Геометрия
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Определение параллельных прямых
Из аксиом геометрии известно, что две прямые могут иметь единственную общую точку. В этом случае их называют пересекающимися. Как пример приведем рисунок:
Здесь a и c пересекаются в А. Однако прямые на плоскости можно расположить так, что они не будут пересекаться:
Как бы далеко мы не продолжали а и с, они никогда не пересекутся. В подобном случае говорят, что a и c параллельны.
Дадим определение параллельных прямых:
Для подобного отношения существует специальный значок, который выглядит как две вертикальные черточки: a||c.
Параллельными бывают и другие геометрические фигуры: отрезки, лучи. Для этого они должны лежать на параллельных прямых:
Здесь АВ||CD. У многих геометрических фигур параллельны противоположные стороны. Достаточно вспомнить квадрат или прямоугольник.
Представим себе кубик с шестью гранями. Обозначим буквами его вершины:
Несложно заметить, что отрезки TE и UJ и их продолжения не пересекаются. Но это не значит, что TE||UJ. Дело в том, что ребра TE и UJ не лежат в одной плоскости. Для подобных случаев используется термин «скрещивающиеся» отрезки.
Аксиома параллельности
Ясно, что через точку, лежащую на прямой, не получится провести другую прямую, которая будет ей параллельна. Но в противном случае это возможно. В древности Евклид, великий древнегреческий ученый, создавший классическую геометрию, сформулировал знаменитую аксиому параллельности, известную как пятый постулат:
На рисунке через А проходит с, которая параллельна а. Любая другая прямая, которой принадлежит А (в данном случае d), обязательно будет пересекать а.
Это утверждение кажется очевидным, но в реальности пятый постулат веками будоражил умы величайших математиков мира. Дело в том, что аксиомой считается утверждение, которое считается очевидным и не может быть доказано. Они являются основанием всех логических умозаключений, которые используются при доказательстве теорем. Однако многие ученые полагали, что пятый постулат можно вывести из других аксиом.Но за две тысячи лет никому так и не удалось сделать это.
В XIX веке россиянин Лобачевский попробовал построить доказательство пятого постулата методом «от противного». Он предположил, что пятый постулат неверен, и на основе этого утверждения стал доказывать теоремы, ожидая, что когда-нибудь получится прийти к противоречию. В результате ученый создал отдельную геометрию, которую сегодня называют геометрией Лобачевского, однако к противоречию он так и не пришел. Тем самым он доказал, что всем известная евклидовая геометрия является не единственно возможной. Существуют альтернативные ей геометрические системы, которые сегодня называют неевклидовыми. Это одно из величайших открытий в истории математики, которое позже легло в основу теории относительности, созданной Альбертом Эйнштейном.
Но вернемся к евклидовой геометрии. Из аксиомы параллельности следует следующее утверждение:
Такое свойство называют транзитивностью. Докажем его методом «от противного». Пусть а||c и a||b. Предположим, что b и с пересекаются в D:
В результате через D проходят сразу две различные прямые, которые параллельны a. Но по пятому постулату это невозможно. Получается противоречие. Значит, исходное утверждение (о том, что b и с пересекаются) ошибочно, а поэтому b||c.
Секущая
При этом она образует 8 углов:
Здесь с – это секущая, а||b. Образованные углы можно разбить на пары, которые имеют особое название. Накрест секущими называют пары ∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠4 и ∠6, ∠2 и ∠8:
Еще 4 пары называют соответственными углами. Это ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠8:
Третья группа углов носит название односторонних. К ним относят пары∠1 и ∠6, ∠2 и ∠7, ∠4 и ∠5, ∠3 и ∠8:
Те углы, которые расположены между параллельными прямыми, носят название внутренних. На рисунке таковыми являются ∠1, ∠4, ∠5 и ∠6. Остальные углы считаются внешними. Можно заметить, что пары накрест лежащих и односторонних углов образуются либо двумя внешними (на рисунке расположены справа), либо двумя внутренними углами. А вот пара соответственных углов всегда состоит из одного внешнего и одного внутреннего угла.
Теорема о прямых, перпендикулярных секущей
Докажем следующее утверждение:
На рисунке это будет выглядеть так:
Кажется очевидным, что aи b никогда не пересекутся, однако доказать это на основе аксиом геометрии не так-то просто! Попробуйте сначала сделать это самостоятельно, а если не получилось, то смотрите сюда:
Доказательство построено на методе «от противного». Допустим, что a и b пересекутся в точке, которую мы обозначим как А. Теперь отобразим (как будто в зеркале) полученный треугольник DKA симметрично относительно c. При этом отражение А обозначим как А’. ∠ADK равен 90°, поэтому и угол ∠A’DK также равен 90°. Тогда ∠А’DА=∠ADK+∠A’DK=90°+90°=180°. Это означает, что линия АDА’) является прямой. Тоже самое можно доказать и для линии АKА’.
Получаем, что через А и A’ проходит две разных прямых. Однако одна из аксиом геометрии гласит, что через две точки можно провести единственную прямую. Полученное противоречие говорит о том, что изначальное утверждение ошибочно, и a и b не пересекаются.
Признаки параллельности прямых
По характерным углам, которые образуются секущей, можно определить параллельность прямых. Первый из признаков параллельности двух прямых звучит так:
Попробуем доказать это. Пусть c – секущая для aи b, и ∠1 равен∠5.
Сначала рассмотрим простейший случай, когда эти углы прямые. Тогда a и b перпендикулярны c,а потому a||b. В более сложном случае ∠1 и ∠5 не равны 90°. Тогда с середины отрезка АВ (обозначим ее как О), опустим перпендикуляр на a, а точку их пересечения обозначим как H. Далее построим отрезок АК, который лежит на b и равен по длине BH:
Теперь рассмотрим треугольники АОК и ВОН. ∠ОАК и ∠НВО равны друг другу, также равны и две прилегающие к нему стороны: ОА=ОВ (так как О – середина отрезка АВ) и HB=АК. Получаем, что эти треугольники равны друг другу по 1-ому признаку равенства треугольников (смотри урок 3).
Из этого можно сделать два вывода. Во-первых, равны ∠АОК и ∠НОВ, поэтому они являются вертикальными.Это означает, что Н, О и К располагаются на одной прямой. Во-вторых, угол ∠ОКА=∠ВНО=90°. Следовательно, отрезок HK перпендикулярен и к a, и к b. Поэтому a||b.
Второй признак формулируется так:
Действительно, пусть ∠3 и ∠5 равны друг другу. Тогда∠1 равен∠3, так как они вертикальные. Получаем, что ∠5=∠3=∠1. Но ∠5 и ∠1 накрест лежащие. Их равенство ранее доказанному1-ому признаку параллельности означает, a||b.
Третий признак звучит так:
Пусть ∠5+∠4=180° (1). Так как ∠4 и ∠1 являются смежными, то для них можно записать равенство: ∠4+∠1=180°. Отсюда можно получить значение угла 4: ∠4=180°-∠1. Подставляя это уравнение в выражение (1), получаем:
∠5+(180°-∠1)=180. Раскрывая скобки и перенося слагаемые в правую часть, можно получить равенство ∠5=∠1. Но эти углы являются накрест лежащими, а потому их равенство означает, что a||b.
Расстояние между параллельными прямыми
Дадим определение расстояния между параллельными прямыми:
На этом рисунке a||b, из D опущен перпендикуляр на b. Длина полученного отрезка DK и является расстоянием между aи b. Несложно убедиться, что его величина не зависит от выбора точки D. Докажем это утверждение:
Опустим из двух произвольных точек D и D’, принадлежащих a, перпендикуляры на b. Обозначим точки, в которых они пересекут b, как K и K’. Kи D’ соединим отрезком, который окажется секущим. А теперь внимательно изучим треугольники DKD’и KK’D’. У них есть общая сторона KD’. ∠D’KK’ и ∠KD’D равны друг другу как накрест лежащие. По той же причине можно записать равенство ∠DKD’=∠KD’K’. Получается, что эти треугольники равны друг другу по стороне и двум прилегающим углам. Из это следует, что DK=D’K’.
Заметим, что если прямые не параллельны, то длина перпендикуляра будет меняться в зависимости от выбора исходной точки. Поэтому понятие расстояния для пересекающихся прямых теряет смысл.
Способы построения параллельных прямых
На уроках геометрии обязательно придется строить параллельные отрезки. Как это делать быстро с помощью подручных инструментов? Самый простой практический способ построения параллельных прямых требует наличия только линейки и угольника.
Сначала надо приложить угольник к исходному отрезку. Далее к боковой грани угольника прикладывают линейку. После этого треугольник можно двигать по линейке, которую надо удерживать неподвижно. Когда угольник займет новое положение, можно будет построить отрезок, параллельный исходному:
В геометрии ещё с античных времен существуют так называемые задачи на построение. В них требуется построить требуемый рисунок, используя только два предмета: циркуль и линейку. При этом на линейке нет никаких делений. Как же построить параллельные отрезки с помощью этих двух инструментов?
Рассмотрим такую задачу: дана прямая a и точка D, не лежащая на ней. Требуется построить через D такую b, что a||b:
Решение состоит из нескольких шагов. Сначала надо провести из D окружность произвольного радиуса, но достаточно большую, чтобы, она пересекла a в двух точках. Обозначим их как K и K’.
Далее из этих точек мы проводим две окружности равных радиусов, при этом также таких, чтобы они пересекались в двух точках. Для определенности в качестве радиуса можно взять длину отрезка KK’. Точки пересечения этих окружностей обозначим как Fи F’:
Соединяя эти две точки, мы получим перпендикуляр к a, который проходит через D. В принципе, для построения достаточно использовать одну точку(либо F, либо F’):
На следующем шаге проводится окружность любого радиуса с центром в D. Обозначим буквами M и M’ точки, где она пересекается с FF’:
Последний шаг. Проводим из M и M’ окружности, чьи радиусы равны MM’. Они пересекутся в двух точках, V и V’. Прямая VV’ будет параллельна исходной прямой a:
Из этого урока вы узнали, какие прямые именуются параллельными, и по каким признакам их можно определить. Эти знания очень пригодятся не только при изучении геометрии, но и в других областях. При построении инженерами чертежей и 3D моделей именно параллельные отрезки играют ключевую роль.
Посмотрите на окружающий мир и оцените, сколько в нем параллельных линий. Можно вспомнить:
- рельсы, по которым ездят локомотивы и поезда;
- шпалы, лежащие под этими рельсами;
- полосы движения на автомагистралях
- колонны, поддерживающие фасады зданий.
Это доказывает, что геометрия – не сухая бумажная наука, рассуждающая об абстрактных понятиях, а практически важная дисциплина. Её изучение обязательно пригодится в будущем. Ждем вас на следующем уроке!
Источник
Практические способы построения параллельных прямых. 7-й класс
Класс: 7
Презентация к уроку
Класс: 7
Тип урока: урок применения знания.
Форма урока: урок исследования объекта, постановки проблемы и ее решения.
Цели: Познакомить учащихся с различными способами построения параллельных прямых;
Задачи:
обучающие
- формулировать определение параллельных прямых, лучей и отрезков; находить их на чертеже и строить с помощью чертежных инструментов;
- Научить строить параллельные прямые с помощью линейки, угольника, угольника и линейки, циркуля и линейки.
- Научиться строить параллельные прямые, используя инструменты;
развивающие
- развивать умение сравнивать, анализировать, обобщать, делать вывод, осуществлять перенос знаний и умений в новой нестандартной ситуации;
- развивать умение анализировать информацию
- развивать пространственные представления и умения, научить пользоваться геометрическим языком;
- создать условия для развития познавательного интереса к математике
воспитательные
- воспитывать сознательное отношение к труду, расширять кругозор;
- воспитывать аккуратность, самостоятельность, интерес к предмету;
- воспитание математической культуры и речи
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Предметные учатся строить параллельные прямые, применяя различные способы, опираясь на изученный ранее материал.
Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению математики, способам решения учебных задач; дают позитивную оценку и самооценку учебной деятельности; адекватно воспринимают оценку учителя и сверстников; понимают причины успеха в учебной деятельности.
Метапредметные:
- регулятивные: определяют цель учебной деятельности с помощью учителя и самостоятельно, осуществляют поиск средства ее достижения;
- познавательные: передают содержание в сжатом или развернутом виде;
- коммуникативные: умеют высказывать свою точку зрения, ее обосновать, приводя аргументы.
Формы работы на уроке:
- Фронтальная,
- Парная,
- Индивидуальная.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация к уроку: презентация учителя, рабочий лист ученика, линейка, угольник, карандаш, учебник Геометрия 7-9 классы, Атанасян Л.С. и др. – М.: Просвещение, 2009.
| Деятельность учителя | Деятельность обучающихся |
| 1. Организационный момент | |
| Учитель приветствует учеников, объясняет работу урока (рабочие листы) | Ученики слушают внимательно учителя |
| 2. Мотивация к учебной деятельности | |
| Ребята, как вы считаете, что общего между привычной для всех вас школьной тетрадью и моделью железной дороги (показываем тетрадь и рельсы)? | Дети высказывают свои предположения. Приводят аргументы в защиту своей версии (Все эти предметы объединяет понятие параллельности: тетради разлинованы параллельными линиями, железнодорожное полотно состоит из шпал и рельс). |
| А знаете ли вы, что тема параллельных прямых волновала людей с давних времен. Первый кто систематизировал знания о параллельных прямых был древнегреческий ученый – Евклид. | Ученики слушают историческую справку. |
Сообщение ученика.
- Почему электрические провода параллельны?
- Почему рельсы параллельны?
- Почему тетради в линейку?
Б) железнодорожное полотно.
Если бы они не были параллельными, значит, они соприкасались друг с другом, а это привело к замыканию, пробоям, при которых электрическая цепь размыкается и ток отключается.
Если бы рельсы не были параллельными, то они где-нибудь бы сходились и поезд потерпел бы крушение.
В быту, на даче, на улице
Знания: теоретический материал
Подручными средствами
А что вы еще знаете о параллельных прямых?
1. Какие прямые называются параллельными?
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
2. Какие два отрезка называются параллельными? Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
3. Что такое секущая? Прямая называется секущей, если она пересекает две прямые в двух точках.
4. Назовите основные признаки параллельности прямых.
1.Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Практические способы построения параллельных прямых на классной доске, в тетради
Кто знает, как с помощью линейки построить параллельные прямые? Объясните факт параллельности.
Ребята, какие из инструментов, изображают секущую? (линейка)
Какие из инструментов, изображают угол? (чертежный треугольник)
Достаточно ли одного угольника и одной линейки для построения параллельных прямых? Объясните способ построения. На чем основан способ?
Источник
