Практическая работа числовая последовательность способы задания

Практическая работа «Последовательности»
учебно-методическое пособие на тему

Пособие по математике для студентов 2 курса

Скачать:

Вложение	Размер
prakticheskaya_rabota_posledovatelnosti.doc	465 КБ

Предварительный просмотр:

Департамент образования города Москвы

Государственное автономное образовательное учреждение

Технологический колледж № 28

К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2 КУРСА

«Технология мяса и мясных продуктов»

«Товароведение и экспертиза потребительских товаров»

«Монтаж и эксплуатация холодильно- компрессорных машин и установок»

Методические указания по выполнению практических работ по математике (алгебре и началам анализа) содержат следующие позиции:

— какие знания и умения должен приобрести студент по выполнении работы;

— краткие сведения по теории;

— образцы решения примеров и задач по теме;

— задания для самостоятельного решения;

— контрольные вопросы для проверки теоретических знаний;

— общие рекомендации по выполнению самостоятельной работы.

Методические указания предназначены для студентов второго курса и преподавателей математики профессиональных колледжей.

Авторы: Соколова Людмила Александровна, Плотникова И.А.– преподаватели математики.

Рецензент и редактор Малькова Людмила Алексеевна, методист ГАОУ СПО ТК №28

Рукопись рассмотрена и обсуждена на заседании ЦМК естественнонаучных дисциплин, протокол № 2 от 23 октября 2013 г.

Последовательность — функция натурального аргумента. И функция и аргумент – дискретные величины. Больше того, аргумент принимает значения только из множества натуральных чисел.

Итак, если каждому натуральному числу поставлено в соответствие f некоторое число y, то говорят, что задана последовательность .

Для такой функции , .

Иногда пишут не , а , понимая, что значения аргумента:

1, 2, 3, …, n, …, а полученные значения функции .

называют общим членом последовательности.

Способы задания такой функции те же, что и функции непрерывного аргумента.

Например, если , то последовательность запишется в виде:

Графики такой функции можно строить тоже по-разному. Это либо привычная система координат:

Где на горизонтальной оси отмечаются значения аргумента: 1,2,3,…,n,… , а на вертикальной – соответствующие значения функции.

Либо числовая прямая:

И отмечаются только значения функции, понимая/подразумевая, что соответствующие значения аргументов однозначно строго определены: 1,2,3,…,i,… для каждого y i .

Последовательность задана, если указан способ получения любого ее члена.

Из всех ранее названных свойств функции для последовательностей представляют интерес некоторые из них, причем поведение аргумента строго задано , т.е. . В силу дискретности аргумента и дискретности функции не нужен анализ поведения функции в окрестности какой-то точки: можно просто вычислить значение функции. Так что, если уж и интересны какие-то свойства такой функции, то только при .

Последовательность называется ограниченной , если существует такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство

Геометрически это означает, что все значения функции находятся внутри интервала (-М;М).

Бывают последовательности, которые ограничены только сверху (определение дайте самостоятельно, это просто), либо только снизу. Таким образом, последовательность ограничена, если она ограничена и сверху и снизу.

Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной. Для неограниченной последовательности при любом М>0 найдутся такие члены последовательности (хоть один), которые лежат вне интервала (-М;М).

Заметим, что число М не обязано быть «наименьшим».

Например, последовательность <1>ограниченная. Она ограничена снизу числом 0 (либо числом –3; -0.7; и т.п.), сверху числом 1 (либо числом 6; 105; 3.09; и т.п.).

А последовательность <2 n>неограниченная, так как нет такого числа М, чтобы для любого n было бы меньше М.

Последовательность , т.е. 7, 7, 7, …, 7, … — ограничена.

Выяснить, имеет ли она предел при .

График этой функции:

Ее значения 1; -1.

Выдвинуть гипотезу можно, например, А=0. И если взять , то в интервал (-0.3;0.3) не попадает ни одного значения функции. С таким же успехом опровергаются и все остальные предположения. Т.е. какой бы номер N не взять, найдется такой , что ни одно из f(n) не попадет в -окрестность А. Это означает, что данная функция не имеет предела ( что вовсе не противоречит здравому/бытовому смыслу). Так и пишут: .

Если предел последовательности существует и конечен, то такую последовательность называют сходящейся . Или, говорят, что последовательность сходится (сходится к А).

Если последовательность не имеет конечного предела, ее называют расходящейся .

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

Определение. Последовательность называется бесконечно большой , если для любого числи М>0 найдется такой номер N, что для всех n>N выполняется неравенство .

Геометрически это означает, что какое бы число М>0 ни взяли, все члены последовательности , кроме может быть конечного их числа, лежат вне отрезка (-М;М).

Номер N, начиная с которого выполняется неравенство , вообще говоря зависит от М.

Факт, что последовательность бесконечно большая, записывают так , или .

Определение . Последовательность называется бесконечно малой , если или .

Другими словами, последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного найдется такое число N, что как только n>N, так , т.е. при .

Теоремы о пределах .

Теорема 1 (связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями). Если последовательность <у n >– бесконечно малая и все ее члены отличны от нуля, то последовательность — бесконечно большая, и наоборот, если последовательность <у n >– бесконечно большая, то последовательность — бесконечно малая.

Пример: Последовательность бесконечно малая при , а последовательность — бесконечно большая при .

Теорема 2 . Алгебраическая сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3 . Произведение ограниченной последовательности и бесконечно малой/большой есть бесконечно малая/большая последовательность.

Замечание . Разность двух бесконечно больших последовательностей – неопределенность , которую нужно раскрыть: далеко не всегда в результате бывает ноль (или любая const). Неопределенность часто получается и при делении как бесконечно малых, так и бесконечно больших.

Теорема 4 . Для того, чтобы последовательность – сходилась к числу А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Теорема 5 . Если последовательность имеет предел, то он единственный. (Легко доказывается с помощью теоремы 4).

Теорема 6 . Сходящаяся последовательность ограничена.

Замечание. Обратная теорема неверна. Например, последовательность — ограничена, но она расходящаяся.

Теорема 7 . Алгебраическая сумма/произведение двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, ее предел равен соответствующей сумме/произведению пределов данных последовательностей.

Теорема 8 . Если последовательности и сходятся, ,

, причем при n=1,2,… и , то последовательность сходится и ее предел равен отношению пределов последовательностей и .

Замечание . Если условия теоремы не выполняются, то появляются неопределенности. Раскрываются неопределенности по-разному, в зависимости от последовательностей и .

Определение . Последовательность называется возрастающей , если x 1 2 n n+1 неубывающей , если ; убывающей , если ; невозрастающей , если .

Все такие последовательности называются монотонными .

Из определения монотонных последовательностей непосредственно следует: если монотонно возрастающая последовательность ограничена сверху, то она ограничена; если монотонно убывающая последовательность ограничена снизу, то она ограничена.

Теорема . Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Члены этой последовательности:

Эта последовательность возрастающая (доказывается по определению возрастающей последовательности, пользуясь биномом Ньютона).

При любом n ее члены не превосходят 3 (доказательство этого факта есть в любом учебнике).

Итак, последовательность — монотонно возрастающая и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел. Этот предел обозначается буквой е (обозначение введено Л.Эйлером).

Это число больше 2 и меньше 3, т.е. 2 ).

Для более точного вычисления е использовался соответствующий ряд Тейлора. И его значение :

Как уже упоминалось, число е широко используется в математике, практических расчетах, например, показательная функция у= е х , логарифмическая функция у= lnx (основание логарифма е).

1. Дать определение ограниченной последовательности.

2. Дать определение монотонной последовательности.

3. Дать определение б.м.и б.б последовательности.

Задания для самостоятельного решения

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ;

Надо для каждой последовательности

а) написать ее в виде ;

б) для (1), (2), (3) дать геометрическую интерпретацию;

в) исследовать на монотонность;

г) исследовать на ограниченность;

д) исследовать на сходимость.

Пособие по математике для студентов 2-го курса

Соколова Людмила Александровна, преподаватель математики ГАОУ

Плотникова Ирина Анатольевна, преподаватель математики ГАОУ ТК № 28

Сдано в печать 16.11.2013 г.

Формат бумаги 60х90/16

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования города Москвы

Технологический колледж № 28

109382, Москва, ул. Верхние поля, 27

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «КУРСОВОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ: ПРАКТИЧЕСКОЕ И НАУЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ»

Конференция проводится с целью создания условий, способствующих развитию интеллектуального и творческого потенциала студентов и преподавателей, включение их в научно-исследовательскую и проектную деят.

Методическая разработка «Положительная мотивация к учёбе и творческий потенциал-фундамент развития одарённых детей» ( Всероссийская научно-практическая конференции «Теоретические и практические аспекты образования в сфере культуры и искусства»

Участие во Всероссийской научно-практической конференции » Теоретические и практические аспекты образования в сфере культуры и искусства».

База данных MS Access Практические работы (методические указания по проведению практических работ для специальностей юридического профиля)

Методическое пособие предназначено для студентов СПО юридического профиля, содержит восемь лабораторно — практических работ. Каждая практическая работа содержит теоретический материал, указания для вы.

Разработка практического занятия по теме «Решение практических задач с использованием «КонсультантПлюс», 2011

Методическая разработка практического занятия по теме «Решение практических задач с использованием «КонсультантПлюс» по дисциплине «Информационные технологии в профессиональной деятельности», 2011.

Комплект методических материалов для практических работ по МДК 01.01 Практические основы бухгалтерского учета имущества организации

Комплект методических материалов для практических работ по МДК 01.01 Практические основы бухгалтерского учета имущества организации для специальности 080114 Экономика и бухгалтерский учет.

Методические указания по организации и выполнению практических работ обучающихся по МДК 02.01. Практические основы бухгалтерского учета источников формирования имущества организации

ПРС МДК 02.01 специальность 38.02.01.

СБОРНИК ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ МДК02.02 БУХГАЛТЕРСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ПРОВЕДЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ ИНВЕНТАРИЗАЦИИ Методические указания по выполнению практических работ и организации самостоятельной работы для студентов СПО специальности 38.02.01 Экономика и бухгалт

Методические указания содержат общие указания по выполнению практических работ и организации самостоятельной работы студентов, задания для практических работ, задания для самостоятельной работы, тесты.

Источник

Практическая работа «Числовые последовательности. Составные задачи. (линейные алгоритмы, ветвление, циклические алгоритмы)» (ОГЭ 20.2) Теоретическая справка. Стандартные алгоритмы, используемые при работе с числовыми последовательностями

Практическая работа № 10 «Числовые последовательности. Составные задачи.

(линейные алгоритмы, ветвление, циклические алгоритмы)» (ОГЭ 20.2)

Стандартные алгоритмы, используемые при работе с числовыми последовательностями

Найти сумму чисел в последовательности

for i:=1 to 10 do S:=S+ i;

Найти произведение чисел в последовательности

for i:=1 to 10 do P:=P*i;

for i := 1 to n do

if i mod n = 0 then k := k + 1;

Поиск среднего арифметического нечетных чисел в последовательности

if (i mod 2<>0) then

writeln (‘среднее арифметическое=’, t );

Поиск максимального и минимального числа в последовательности

— определяются переменные ( max и min ), в которых разместятся соответственно максимальное и минимальное значения;

— начинается перебор последовательности с одновременной проверкой «является ли просматриваемое число больше максимального или меньше минимального»; если условие истинно- значение числа присваивается соответствующей переменной

Поиск минимального числа в последовательности

Поиск максимальный числа в последовательности и его номера.

for i:=1 to 10 do

writeln(‘№ max= ’, max_n);

На «3» Задача №1. Рассмотреть решение задачи (реализовать и исправить ошибки).

var s, а , b: longint;

if (i>m а x) and (i m о d 3=0)

На «4» Задача №2. program zadacha 10_2; Дана последовательность натуральных чисел из 5 чисел. Напишите программу, ко­то­рая в последовательности на­ту­раль­ных чисел опре­де­ля­ет:

мак­си­маль­ное число, крат­ное 8

ми­ни­маль­ное число, крат­ное 7

ми­ни­маль­ное нечетное число

сумму чисел, крат­ных 6 и их произведение

сумму и количество четных чисел

мак­си­маль­ное число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 5

минимальное число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 9

ко­личество чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3 и их сумму

сумму чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4, и их произведение

мак­си­маль­ное четное число, крат­ное 5

На «5» Задача №3. Решить одну задачу по указанию учителя zadacha 10_3_ n ;

Напишите программу, ко­то­рая в последовательности на­ту­раль­ных чисел опре­де­ля­ет:

количество нечётных чисел, крат­ных n

сумму дву­знач­ных чисел, крат­ных 8.

сумму чисел, крат­ных 4 и окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6.

количество трёхзначных чисел, крат­ных 25.

количество четырехзначных чисел, крат­ных 16.

их количество и под­счи­ты­ва­ет сумму по­ло­жи­тель­ных чётных чисел, не пре­вос­хо­дя­щих 256.

их сумму и под­счи­ты­ва­ет раз­ность ко­ли­че­ства по­ло­жи­тель­ных и от­ри­ца­тель­ных чисел последовательности. (0 — при­знак окон­ча­ния ввода, не вхо­дит в последовательность).

Введите с кла­ви­а­ту­ры 5 по­ло­жи­тель­ных целых чисел. Вы­чис­ли­те сумму тех из них, ко­то­рые де­лят­ся на 4 и при этом за­кан­чи­ва­ют­ся на 6.

Введите с кла­ви­а­ту­ры 7 по­ло­жи­тель­ных целых чисел. Вы­чис­ли­те произведение тех из них, ко­то­рые де­лят­ся на 3 и при этом за­кан­чи­ва­ют­ся на 2

Введите с кла­ви­а­ту­ры 6 по­ло­жи­тель­ных целых чисел. Вы­чис­ли­те количество тех из них, ко­то­рые де­лят­ся на 5 и при этом за­кан­чи­ва­ют­ся на 3.

***Дополнительно (задачи к подготовке 20.2 ОГЭ).

На­пи­ши­те программу, ко­то­рая в последовательности целых чисел опре­де­ля­ет сумму двух наи­боль­ших и сумму двух наименьших

Напишите про­грам­му . Ка­ме­ра на­блю­де­ния ре­ги­стри­ру­ет в ав­то­ма­ти­че­ском ре­жи­ме ско­рость про­ез­жа­ю­щих мимо неё автомобилей, округ­ляя зна­че­ния ско­ро­сти до целых чисел. Не­об­хо­ди­мо опре­де­лить мак­си­маль­ную за­ре­ги­стри­ро­ван­ную ско­рость автомобиля. Если ско­рость хотя бы од­но­го ав­то­мо­би­ля была мень­ше 30 км/ч, вы­ве­ди­те «YES», иначе вы­ве­ди­те «N0».

Напишите про­грам­му . Ка­ме­ра на­блю­де­ния ре­ги­стри­ру­ет в ав­то­ма­ти­че­ском ре­жи­ме ско­рость про­ез­жа­ю­щих мимо неё автомобилей, округ­ляя зна­че­ния ско­ро­сти до целых чисел. Не­об­хо­ди­мо опре­де­лить сред­нюю за­ре­ги­стри­ро­ван­ную ско­рость всех автомобилей. Если не менее двух ав­то­мо­би­лей дви­га­лись со ско­ро­стью не боль­ше 40 км/ч, вы­ве­ди­те «YES», иначе вы­ве­ди­те «NO».

Напишите про­грам­му для ре­ше­ния сле­ду­ю­щей задачи. Ка­ме­ра на­блю­де­ния ре­ги­стри­ру­ет в ав­то­ма­ти­че­ском ре­жи­ме ско­рость про­ез­жа­ю­щих мимо неё автомобилей, округ­ляя зна­че­ния ско­ро­сти до целых чисел. Не­об­хо­ди­мо опре­де­лить ми­ни­маль­ную за­ре­ги­стри­ро­ван­ную ско­рость автомобиля. Если ско­рость хотя бы од­но­го ав­то­мо­би­ля была боль­ше 80 км/ч, вы­ве­ди­те «YES», иначе вы­ве­ди­те «NO».

Напишите про­грам­му для ре­ше­ния сле­ду­ю­щей задачи. Ка­ме­ра на­блю­де­ния ре­ги­стри­ру­ет в ав­то­ма­ти­че­ском ре­жи­ме ско­рость про­ез­жа­ю­щих мимо неё автомобилей, округ­ляя зна­че­ния ско­ро­сти до целых чисел. Не­об­хо­ди­мо определить: разность мак­си­маль­ной и ми­ни­маль­ной ско­ро­стей автомобилей; кол-во автомобилей, ско­рость ко­то­рых не пре­вы­ша­ла 30 км/ч. Программа по­лу­ча­ет на вход число про­ехав­ших ав­то­мо­би­лей N (1 ≤ N ≤ 30), затем ука­зы­ва­ют­ся их скорости. Зна­че­ние ско­ро­сти не может быть мень­ше 1 и боль­ше 300.

На­пи­ши­те про­грам­му для ре­ше­ния сле­ду­ю­щей задачи. Де­вя­ти­класс­ни­ки участ­во­ва­ли в вик­то­ри­не по математике. Не­об­хо­ди­мо было от­ве­тить на 20 вопросов. По­бе­ди­те­лем вик­то­ри­ны счи­та­ет­ся участник, пра­виль­но от­ве­тив­ший на наи­боль­шее кол-во вопросов. На сколь­ко во­про­сов по­бе­ди­тель от­ве­тил правильно? Если есть участ­ни­ки викторины, ко­то­рые не смог­ли дать пра­виль­ный ответ ни на один из вопросов, вы­ве­ди­те YES, иначе вы­ве­ди­те NO. Гарантируется, что есть участники, пра­виль­но от­ве­тив­шие хотя бы на один из вопросов. Про­грам­ма по­лу­ча­ет на вход число участ­ни­ков вик­то­ри­ны N (1 ≤ N ≤ 50), затем для каж­до­го участ­ни­ка вво­дит­ся кол-во вопросов, на ко­то­рые по­лу­чен пра­виль­ный ответ.

На­пи­ши­те программу, ко­то­рая в последовательности на­ту­раль­ных чисел на­хо­дит сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, крат­ных 8, или сообщает, что таких чисел нет (выводит «NO»). Про­грам­ма по­лу­ча­ет на вход на­ту­раль­ные числа, кол-во введённых чисел неизвестно, последовательность чисел за­кан­чи­ва­ет­ся чис­лом 0 (0 – при­знак окон­ча­ния ввода, не вхо­дит в последовательность).

Кол-во чисел не пре­вы­ша­ет 100. Введённые числа не пре­вы­ша­ют 300. Про­грам­ма долж­на вы­ве­сти сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, крат­ных 8, или вы­ве­сти «NO», если таких чисел нет. Зна­че­ние вы­во­дить с точ­но­стью до десятых.

На­пи­ши­те про­грам­му для ре­ше­ния сле­ду­ю­щей задачи. Уче­ни­ки 4 клас­са вели днев­ни­ки на­блю­де­ния за по­го­дой и еже­днев­но за­пи­сы­ва­ли днев­ную температуру. Най­ди­те самую низ­кую тем­пе­ра­ту­ру за время наблюдения. Если тем­пе­ра­ту­ра опус­ка­лась ниже –15 градусов, вы­ве­ди­те YES, иначе вы­ве­ди­те NO. Про­грам­ма по­лу­ча­ет на вход кол-во дней, в те­че­ние ко­то­рых про­во­ди­лось из­ме­ре­ние тем­пе­ра­ту­ры N (1 ≤ N ≤ 31), затем для каж­до­го дня вво­дит­ся температура.

На­пи­ши­те программу, ко­то­рая в послед-ти на­ту­раль­ных чисел опре­де­ля­ет мак­си­маль­ное число, крат­ное n

Напишите программу, ко­то­рая в по­сле­д-­сти на­ту­раль­ных чисел опре­де­ля­ет ми­ни­маль­ное число, крат­ное n (четное/2)

Напишите программу, ко­то­рая в послед-ти на­ту­раль­ных чисел опре­де­ля­ет

количество чисел, крат­ных n

Напишите программу, ко­то­рая в послед-ти на­ту­раль­ных чисел опре­де­ля­ет сумму чисел, крат­ных n

Источник