Поверхностный интеграл 1 го рода определение свойства способ вычисления

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

1. Услуги проектирования
2. Поверхностный интеграл
3. Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

Поверхностный интеграл первого рода < по площади поверхности >и его свойства

Определение поверхностного интеграла первого рода

Пусть в пространстве переменных $\mathbf < \textit < x,y,z >> \mathbf < >$ задана кусочно-гладкая поверхность $\sigma $, на которой определена функция $\mathbf < \textit < f >> (\mathbf < \textit < x >> $,$\mathbf < \textit < y >> $,$\mathbf < \textit < z >> )$.$\mathbf < >$

Разобьём поверхность на $n$ частей $\sigma _1 ,\sigma _2 ,\ldots \sigma _i ,\ldots \sigma _n $, на каждой из частей $\sigma _i $ выберем произвольную точку $M_i (x_i ,y_i ,z_i )$, найдём $f(M_i )=f(x_i ,y_i ,z_i )$ и площадь части $\sigma _i $ < которую будем обозначать тем же символом $\sigma _i )$ и составим интегральную сумму $\sum\limits_ < i=1 >^n < f(M_i )\cdot \sigma _i >$.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при $\mathop < \max >\limits_ < i=1,2,\ldots n >diam\sigma _i \to 0$, не зависящий ни от способа разбиения поверхности $\sigma $ на части $\sigma _i (i=1,2,\ldots ,n)$, ни от выбора точек $M_i $, то функция $\mathbf < \textit < f >> (\mathbf < \textit < x >> $,$\mathbf < \textit < y >> $,$\mathbf < \textit < z >> )$ называется интегрируемой по поверхности $\sigma $, а значение этого предела называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности и обозначается $\iint\limits_\sigma < f(M)\cdot d\sigma >$.

Теорема существования Если функция $\mathbf < \textit < f >> (\mathbf < \textit < x >> $,$\mathbf < \textit < y >> $,$\mathbf < \textit < z >> )$ непрерывна на поверхности $\sigma $, то она интегрируема по этой поверхности.

Свойства поверхностного интеграла первого рода

Аналогичны по формулировке и доказательству свойствам рассмотренных ранее интегралов первого рода.

1. Линейность. $\iint\limits_\sigma < (\lambda \,f+ >\mu \,g)d\sigma =\lambda \iint\limits_\sigma < fd\sigma >+\mu \iint\limits_\sigma < gd\sigma >$
2. Аддитивность $\iint\limits_ < \sigma _1 \cup \sigma _2 >< fd\sigma >=\iint\limits_ < \sigma _1 >< fd\sigma >\iint\limits_ < \sigma _2 >< fd\sigma >$
3. $\iint\limits_\sigma < d\sigma >=S_\sigma -$ площадь поверхности.
4. Если $f(x,\,y,\,z)\geqslant g(x,\,y,\,z)$, то $\iint\limits_\sigma < fd\sigma \geqslant \iint\limits_\sigma < gd\sigma >> $ < если $f\geqslant 0$, то $\iint\limits_\sigma < fd\sigma >\geqslant 0)$,
5. Теорема об оценке Если $m\leqslant f\left( < x,\,y,\,z >\right)\leqslant M$, то $mS_\sigma \leqslant \iint\limits_\sigma < fd\sigma >\leqslant MS_\sigma $,
6. Теорема о среднем Пусть функция $f(M)=f(x,\,y,\,z)$ непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной поверхности $\sigma $. Тогда на поверхности найдется точка С, такая что $f(C)=\frac < 1 >< S_\sigma >\iint\limits_\sigma < f\left( < x,\,y,\,z >\right)d\sigma > $

Доказательство

Первые четыре свойства доказываются аналогично подобным свойствам в двойном, тройном интегралах, криволинейном интеграле первого рода < записью соотношений в интегральных суммах и предельным переходом >. Во втором свойстве используется возможность такого разбиения поверхности на две части, чтобы ни один элемент разбиения не содержал граничные точки этих частей в качестве своих внутренних точек.

Теорема об оценке следует из свойств 3, 4.

Теорема о среднем, как и ранее, использует теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши для функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах.

Седьмое, персональное, свойство — независимость поверхностного интеграла первого рода от выбора стороны поверхности

Далее:

Соленоидальное векторное поле

Функции 2-значной логики. Лемма о числе функций. Элементарные функции 1-ой и 2-х переменных

Свойства тройного интеграла

Полином Жегалкина. Теорема о представлении в виде полинома Жегалкина

Теорема об алгоритме распознавания полноты

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Замыкание. Свойства замыкания. Теорема о сведении к заведомо полной системе

Критерий полноты <формулировка>. Лемма о несамодвойственной функции

Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры

Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Критерий полноты <формулировка>. Лемма о немонотонной функции

СКНФ. Теорема о представлении в виде СКНФ. Построение СКНФ по таблице

Огравление $\Rightarrow $

Источник

Поверхностные интегралы в математике с примерами решения и образцами выполнения

При изучении темы «Поверхностные интегралы» вы познакомитесь с понятием интеграла по поверхности от функции трех
переменных и научитесь сводить его к двойному (а затем — к повторному), проецируя заданную поверхность на одну из координатных плоскостей. Кроме того, вы научитесь вычислять интегралы по части цилиндрической и сферической поверхностей.

Поверхностный интеграл первого рода

Постановка задачи. Вычислить поверхностный интеграл

где — часть поверхности, описываемая уравнением F(x,y,z) = 0
и некоторыми неравенствами.

План решения. Поверхностный интеграл сводится к двойному
проецированием на координатную плоскость XOY по формуле

где D — проекция на плоскость XOY, — угол между нормалью
к поверхности и осью OZ; z(x, у) определяем из уравнения поверхности F(x, у, z) = 0.

Замечание:

Если уравнение F(x,y,z) = 0 не определяет однозначно функцию z = z(x,y), то проецируем на другую координатную плоскость или используем криволинейные координаты (можно
также разбить поверхность на части и воспользоваться аддитивностью интеграла).

1.Единичные нормальные векторы к поверхности, заданной уравнением F(x, у, z) = 0, определяются формулой

2.Проекцию D поверхности на плоскость XOY находим, исключая z из условий, определяющих .

3.Находим z = z(x, у), решая уравнение F(x, у, z) = 0.

4.Переходим от поверхностного интеграла к двойному по формуле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному.

Пример:

Вычислить поверхностный интеграл

где — часть плоскости

расположенная в первом октанте (т.е. ).

Решение:

1.Единичные нормальные векторы к по-
поверхности, заданной уравнением F(x, у, z) = 0, определяются формулой

В данном случае F(x,y,z) = х + 2у + 3z — 1. Следовательно,

2.Поверхность определяется условиями

Ее проекцию D на плоскость XOY находим, исключая z из условий,
определяющих :

3.Из уравнения х + 2у + 3z — 1 = 0 находим z(x, у) = (1 — х — 2у)/3.

4.Переходим от поверхностного интеграла к двойному по формуле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному:

Ответ.

Интеграл по цилиндрической поверхности

Постановка задачи. Вычислить поверхностный интеграл

где — часть поверхности вырезаемая плоскостями
z = 0 и z = h.

1.Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные
координаты

В этих координатах поверхность задается условиями

3.Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ.

Пример:

Вычислить поверхностный интеграл

где — часть поверхности вырезаемая плоскостями
z = 0, z = 2.

Решение:

1.Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные
координаты

В этих координатах поверхность задается условиями

2.Так как и то имеем

3.Вычисляем повторный интеграл:

Ответ.

Интеграл по сферической поверхности

Постановка задачи. Вычислить поверхностный интеграл

где — верхняя полусфера

1.Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные координаты

В этих координатах поверхность задается условиями

2.Так как имеем

3.Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ.

Пример:

Вычислить поверхностный интеграл

где — верхняя полусфера

Решение:

1.Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные координаты

В этих координатах поверхность задается условиями

2.Так как и имеем

3.Вычисляем повторный интеграл:

Ответ.

Определение и свойства поверхностных интегралов

Поверхностный интеграл I рода

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.

Пусть в точках некоторой поверхности S, с площадью S , пространства Oxyz определена непрерывная функция f(х; у; z). Разобьем поверхность S на п частей площади которых обозначим через ДSi (см. рис. 246), а диаметры — через В каждой части возьмем произвольную точку и составим сумму

Она называется интегральной для функции f(x;y;z) по поверхности S.

Если при интегральная сумма (57.1) имеет пре-дел, то он называется поверхностным интегралом I рода от функции f(x;y;z) по поверхности S и обозначается

Таким образом, по определению,

Отметим, что «если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f(x;y;z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема существования).

Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

3. Если поверхность S разбить на части такие, что а пересечение состоит лишь из границы, их разделяющей, то

4.Если на поверхности S выполнено неравенство

7.Если f(x; у, z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверхности существует точка такая, что

(теорема о среднем значении).

Вычисление поверхностного интеграла I рода

Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла по области D — проекции поверхности S на плоскость Оху.

Разобьем поверхность S на части Обозначим через проекцию на плоскость Оху. При этом область D окажется разбитой на п частей Возьмем в произвольную точку и восстановим перпендикуляр к плоскости Оху до пересечения с поверхностью S . Получим точку на поверхности . Проведем в точке М, касательную плоскость и рассмотрим ту ее часть , которая на плоскость Оху проектируется в область (см. рис. 247). Площади элементарных частей обозначим как соответственно. Будем приближенно считать, что

Обозначив через, острый угол между осью Oz и нормалью п, к поверхности в точке получаем:

(область есть проекция на плоскость Оху).

Если поверхность S задана уравнением z = = z(x;y), то, как известно (см. (45.2)), уравнение касательной плоскости в точке есть

где — координаты нормального вектора к плоскости. Острый угол уг есть угол между векторами и

Равенство (57.4) принимает вид

В правой части формулы (57.2) заменим (учитывая (57.3)) на полученное выражение для , a заменим на Поэтому, переходя к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра (а следовательно, и ), получаем формулу

выражающую интеграл по поверхности S через двойной интеграл по проекции S на плоскость Оху.

Отметим, что если поверхность S задана уравнением вида у = y(x;z) или х = x(y;z), то аналогично получим:

где — проекции поверхности S на координатные плоскости Oxz и Oyz соответственно.

Пример:

Вычислить — часть плоскости расположенной в I октанте (см. рис. 248).

Решение:

Запишем уравнение плоскости в виде

Находим По формуле (57.5) имеем:

Пример:

где S — часть цилиндрической поверхности отсеченной плоскостями z = 0, z = 2 (см. рис. 249).

Решение:

Воспользуемся формулой (57.6). Поскольку

то где — прямоугольник

Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода

Приведем некоторые примеры применения поверхностного интеграла I рода.

Площадь поверхности

Если поверхность S задана уравнением z = z(x; у), а ее проекция на плоскость Оху есть область D, в которой z(x;y), zx'(x; у) и zy'(x;y) — непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле

Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления массы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы Все эти величины определяются одним и тем же способом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой области деления упрощающие задачу предположения; находят приближенное значение искомой величины; переходят к пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.

Масса поверхности

Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть Для нахождения массы поверхности:

1. Разбиваем поверхность S на п частей площадь которой обозначим .
2. Берем произвольную точку в каждой области . Предполагаем, что в пределах области плотность постоянна и равна значению ее в точке .
3. Масса области мало отличается от массы фиктивной однородной области с постоянной плотностью

4. Суммируя по всей области, получаем:

5.За точное значение массы материальной поверхности S принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю диаметров областей , т. е.

Моменты, центр тяжести поверхности

Статистические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции материальной поверхности S находятся по соответствующим формулам:

Пример:

Найти массу полусферы радиуса R, если в каждой точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от радиуса, перпендикулярного основанию полусферы. Решение: На рисунке 250 изображена полусфера радиуса R. Ее уравнение — поверхностная плотность полусферы.

По формуле (57.7) находим:

Переходим к полярным координатам:

внутренний интеграл вычислен с помощью подстановки r= Rsint:

Поверхностный интеграл II рода

Поверхностный интеграл II рода строится по образцу криволинейного интеграла II рода, где направленную кривую разлагали на элементы и проектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.

Пусть задана двусторонняя поверхность (таковой является плоскость, эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнением z =f(x;y), где f(x;y), — функции, непрерывные в некоторой области D плоскости Оху и т.д.). После обхода такой поверхности, не пересекая ее границы, направление нормали к ней не меняется. Примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса, получающийся при склеивании сторон АВ и CD прямоугольника ABCD так, что точка А совмещается с точкой С, a В — с D (см. рис. 251).

Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности S в пространстве Oxyz определена непрерывная функция f(x; у; z). Выбранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность ориентирована) разбиваем на части , где i = 1,2,…,п, и проектируем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции берем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности, или, что то же самое, если нормаль п к выбранной стороне поверхности составляет с осью Oz острый угол (см. рис. 252, а), т. е. со знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (или ) (см. рис. 252, б). В этом случае интегральная сумма имеет вид

где — площадь проекции на плоскость Оху. Ее отличие от интегральной суммы (57.1) очевидно.

Предел интегральной суммы (58.1) при если он существует и не зависит от способа разбиения поверхности S на части и от выбора точек называется поверхностным интегралом II рода (по координатам) от функции f(x;y;z) по переменным x и у по выбранной стороне поверхности и обозначается

Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода по переменным у и z и z и х:

Общим видом поверхностного интеграла II рода служит интеграл

где P, Q, R — непрерывные функции, определенные в точках двусторонней поверхности S.

Отметим, что если S — замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней стороне ее обозначается , по внутренней .

Из определения поверхностного интеграла II рода вытекают следующие его свойства:

1. Поверхностный интеграл II рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла.
3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.
4. Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности равен сумме интегралов по ее частям (аддитивное свойство), если пересекаются лишь по границе, их разделяющей.
5. Если — цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Oz, Ох, Оу, то

Вычисление поверхностного интеграла II рода

Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению двойного интеграла.

Пусть функция R(x; у, z) непрерывна во всех точках поверхности S, заданной уравнением z = z(x; y), где z(x; у) — непрерывная функция в замкнутой области D (или ) — проекции поверхности S на плоскость Оху.

Выберем ту сторону поверхности S, где нормаль к ней образует с осью Oz острый угол. Тогда

Так как , то интегральная сумма (58.1) может быть записана в виде

Правая часть этого равенства есть интегральная сумма для функции R(x;y;z(x;y)), непрерывной в области D. Переходя к пределу в равенстве (58.2) при , получаем формулу

выражающую поверхностный интеграл II рода по переменным х и у через двойной интеграл. Если выбрать вторую сторону, т. е. нижнюю, поверхности S, то полученный двойной интеграл берут со знаком «минус». Поэтому

где — проекции поверхности S на плоскости Oxz и Oyz соответственно (замкнутые области).

В формуле (58.5) поверхность S задана уравнением у = y(x;z), а в формуле (58.6) — уравнением х = x(y;z). Знаки перед интегралами выбираются в зависимости от ориентации поверхности S (так, в формуле (58.5) берем знак «плюс», если нормаль к поверхности образует с осью Оу острый угол, а знак «минус» — если тупой угол).

Для вычисления общего поверхностного интеграла II рода используют формулы (58.4)-(58.6), проектируя поверхность S на все три координатные плоскости:

Замечание:

Можно показать справедливость равенств

— элемент площади поверхности — направляющие косинусы нормали n к выбранной стороне поверхности S.

Поверхностные интегралы I и II рода связаны соотношением

Пример:

по верхней стороне части плоскости 2х — Зу + z = 6, лежащей в IV октанте.

Решение:

На рисунке 253 изображена заданная часть плоскости. Нормаль п, соответствующая указанной стороне поверхности, образует с осью Оу тупой угол, а с осями Ох и Oz — острые. В этом можно убедиться, найдя направляющие косинусы нормального вектора = (2; —3; 1) плоскости:

Поэтому перед двойными интегралами в формулах (58.4) и (58.6) следует брать знак «плюс», а в формуле (58.5) — знак «минус». Следовательно,

Формула Остроградского-Гаусса

Связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью устанавливает следующая теорема.

Теорема:

Если функции P(x;y;z), Q(x;y,z), R(x;y;z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной области V, то имеет место формула

где S — граница области V и интегрирование по S производится по ее внешней стороне.

Формула (58.9) называется формулой Остроградского-Гаусса (является аналогом формулы Остроградского-Грина (см. п. 56.3).

Пусть область V ограничена снизу поверхностью , уравнение которой сверху — поверхностью , уравнение которой (функции непрерывны в замкнутой области D — проекции V на плоскость , сбоку — цилиндрической поверхностью , образующие которой параллельны оси Oz (см. рис. 254).

Рассмотрим тройной интеграл

Двойные интегралы в правой части равенства заменим поверхностными интегралами II рода по внешней стороне поверхностей соответственно (см. (58.3)). Получаем:

Добавляя равный нулю интеграл по внешней стороне (см. свойство 5 п. 58.1), получим:

где S — поверхность, ограничивающая область V. Аналогично доказываются формулы

Складывая почленно равенства (58.10), (58.11) и (58.12), получаем формулу (58.9) Остроградского-Гаусса.

Замечания:

1. Формула (58.9) остается справедливой для любой области V, которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного вида.
2. Формулу Остроградского-Гаусса можно использовать для вычисления поверхностных интегралов II рода по замкнутым поверхностям.

Пример:

где S — внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями 2х — Зу + z = 6, х = 0, у = 0, z = 0.

Решение:

По формуле (58.9) находим:

Заметим, что интеграл (см. пример 58.1) можно вычислить иначе:

где поверхности есть соответственно треугольники ОАС, АОВ, СОВ (см. рис. 255). Имеем:

Формула Стокса

Связь между поверхностными и криволинейными интегралами II рода устанавливает следующая теорема.

Теорема:

Если функции P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x;y;z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности S, то имеет место формула

где L — граница поверхности S и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т. е. при обходе границы L поверхность S должна оставаться все время слева).

Формула (58.13) называется формулой Стокса (Д. Г. Стоке — английский математик, физик).

Пусть z = f(x;y) — уравнение поверхности S, функции непрерывны в замкнутой области D (проекции поверхности S на плоскость Оху), — граница области D (см. рис. 256).

Будем считать, что поверхность S пересекается с любой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в одной точке. Выберем верхнюю сторону поверхности S. Рассмотрим сначала интеграл вида

Значения функции Р(х; у; z) на L равны значениям функции P(x; y;z(x;y)) на . Интегральные суммы для криволинейных интегралов II рода по контурам совпадают. Поэтому

Применим к этому интегралу формулу Остроградского-Грина (см. п. 56.3). Тогда получим:

Преобразуем полученный двойной интеграл в равный ему поверхностный интеграл II рода (см. п. 58.2). Для этого последнее равенство перепишем в виде

(см. 58.7) и используем уравнение нормали к поверхности S (см. (45.3)). Так как выбрана верхняя сторона поверхности S, т. е. — острый угол между нормалью к поверхности S и осью Oz), то нормаль имеет проекции 1. Направляющие косинусы пропорциональны соответствующим проекциям:

Отсюда Тогда

Аналогично получаются при соответствующих условиях еще два равенства:

Складывая почленно три последних равенства, получаем формулу Стокса (58.13).

Отметим, что формулу Стокса (58.13) можно применить и для поверхностей более сложного вида (разбив ее на части рассмотренного выше типа).

Формулу Стокса можно применять для вычисления криволинейного интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного интеграла.

Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются условия

то криволинейный интеграл по произвольному пространственному замкнутому контуру L равен нулю:

Следовательно, в данном случае криволинейный интеграл не зависит от вида пути интегрирования.

Пример:

Вычислить где контур L — окружность а) непосредственно,
б) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу

Решение: Поверхность интегрирования изображена на рисунке 257.

а) Запишем уравнение окружности в параметрической форме:

По формуле (56.7) имеем:

б) По формуле Стокса (58.13) находим:

Переходя к полярным координатам, получаем:

Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода

С помощью поверхностного интеграла 11 рода можно найти объем тела, ограниченного сверху поверхностью снизу — поверхностью сбоку — цилиндрической поверхностью , образующие которой параллельны оси Oz:

где

Действительно, положив в формуле Остроградского-Гаусса (58.9) находим:

Аналогично, полагая P = 0, Q = у, R = 0, находим еще одну формулу для нахождения объема тела с помощью поверхностного интеграла II рода:

Наконец, положив Р = 0, Q = 0, R = z, по формуле (58.9) находим третью формулу

выражающую объем тела через поверхностный интеграл II рода.

Сложив почленно равенства (58.15)-(58.17) и разделив на три, получим формулу (58.14).

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник