Построить натуральную величину фигуры сечения способом замены плоскостей проекций

Построение фигуры сечения методом замены плоскостей проекций

Ранее было показано решение задачи последовательным пересечением прямой с плоскостью (см.рис.6) и пересечением двух плоскостей (см.рис.9). В обоих случаях эти прямые и плоскости занимают в пространстве общее положение, а вспомогательные плоскости – частное положение по отношению к плоскостям проекций.

Точнее сказать, мы выбираем «посредники» так, чтобы на одной из плоскостей проекций получилось решение сразу. Это возможно, когда «посредники» являются проецирующими плоскостями, т.е. они перпендикулярны к одной из плоскостей проекций. Поэтому можно преобразовать фигуры в такое положение, при котором плоскость параллелограмма или треугольника будет проецирующей. Для этого в заданной плоскости проводим линию уровня (горизонталь или фронталь), устанавливаем новую плоскость проекций перпендикулярную линии уровня и перпендикулярную одной из основных плоскостей проекций p₁ или p₂ и на нее проецируем все вместе. Тогда на этой новой плоскости проекций секущая плоскость (треугольник или параллелограмм) изобразятся прямой линией, и мы увидим решение сразу. Такое решение показано на рис. 10. На этом рисунке видно, что стороны параллелограмма D¢D₁¢ и E¢E₁¢ являются фронталями, т.е. прямыми параллельными фронтальной плоскости проекций p₂.

Исходя из этого, устанавливаем новую дополнительную плоскость проекций p₃ перпендикулярную фронтальной проекции фронтали (ось Х₁ перпендикулярна f ¢¢) и проецируем на p₃ обе фигуры – пирамиду и параллелограмм. При совмещении p₃ с плоскостью чертежа каждая точка фигур проецируется по линии связи, перпендикулярной новой оси Х₁ (указано стрелками). От новой оси откладываем координаты точек, измеренные по оси Y (D_y, E_1y, A_y, B_y и т.д.) на горизонтальной плоскости проекций; затем строим пирамиду S¢¢¢A¢¢¢B¢¢¢C¢¢¢ и плоскость параллелограмма, которая станет проецирующей, т.е. изобразится прямой линией (a²¢). На пересечении этой прямой с ребрами пирамиды получим точки M²¢, N¢², 1²¢, и 2¢². Из этих точек проводим линии связи по стрелкам на фронтальную плоскость проекций до пересечения с соответствующими ребрами: A²S², S²C², A²B², B²C². На пересечении M²1² и N²2² со стороной E²E₁² находим точки K² и L². Таким образом, сразу получим окончательный результат в виде четырехугольника M²N²L²K². Проецируя эти точки по линиям связи перпендикулярным оси Х до пересечения с горизонтальной проекцией фигур, строим горизонтальную проекцию M¢N¢L¢K¢. Затем, как было описано выше, определяем видимость, используя конкурирующие точки.

Этим же способом задачу можно решить, если использовать горизонталь плоскости и перпендикулярно ей выполнить описанные выше построения на плоскости p₁. Результат будет тот же.

Рис. 11. Пример оформления расчётно-графической работы.

Источник

Чертежик

Метки

Натуральная величина треугольника с описанием.

Натуральная величина треугольника определяется 2 методами:

1. замена плоскостей проекции;
2. плоскопараллельное перемещение.

Это задание является обязательным для студентов в учебных заведениях и для его решения необходимо изучить тему: » Способы преобразования чертежа».

Для наглядности я использовал определенное задание и на его примере покажу как находится натуральная величина треугольника.

Алгоритм определения натуральной величины плоскости:

Замена плоскостей проекции

1.) Для построения чертежа использовал задание, расположенное снизу. Первоначально строятся точки по координат в плоскостях П1 и П2.

2.) Строится дополнительная горизонтальная линия 1 1 в верхнем изображении (проводится линия от средне расположенной точки по высоте), затем опускают дополнительные отрезки на нижнее изображение (как указано на рисунке снизу) и соединяют прямой. Эта прямая необходима для того, чтобы на ней расположить вспомогательную плоскость.

3.) Построив прямую на нижнем рисунке, чертится под углом 90 0 ось Х 1 (от точки С1 располагаем на произвольном расстоянии, но не слишком далеко). Затем отмеряются расстояния:

• от С2 до оси Х;
• от В2 до оси Х;
• от А0 до оси Х.

Полученные размеры откладываются от оси Х1 (размеры указаны разными цветами на рисунке снизу) и соединяют, далее подписываются точки.

4.) Строится еще одна дополнительная ось Х2, расположенная параллельно отрезку В 4 С 4 А 4. От точек В4,С4 и А4 проводят прямые перпендикулярные оси Х2.

5.) Отмеряются расстояния:

• от В1 до Х1;
• от С1 до Х1;
• от А1 до Х1.

Полученные результаты измерений откладываются от иси Х2 (на изображении снизу отмечены зелеными и голубым цветами).

6.) Соединяются точки и подписывают полученную плоскость заглавными «Н.В.»

Плоскопараллельное перемещение

7.) Откладывается отрезок на оси Х (обозначен синим цветом).

8.) Переносятся точки на текущее построение.

9.) Соединяют точки, получившиеся при переносе из плоскостей проекций. 10.) Методом вращения точки А2′, С2′ переносятся на горизонтальную прямую, а точка В2′ не меняет свое положение (относительно ее и происходило вращение).11.) Откладывается точка (располагают от оси Х на небольшом расстоянии, т.е. произвольном), относительно которой и будет откладываться плоско параллельное перемещение плоскости. 12.) От точек А2′, С2′ и В2′ опускаются прямые. Далее циркулем необходимо отмерить расстояния:

Затем эти размеры откладываются от С1′ (обозначены красным и синим цветами).

13.) Соединяются и подписываются точки (А1′, В1′ и С1′). Опускают прямые от С2″ и А2″14.) От точек С1 и А1 отводят прямые до пересечения с прямыми опущенными от точек С2″ и А2″. В месте пересечения ставится точка.15.) Завершающим шагом является соединение точек и обводка линиями всего чертежа.Пример чертежа на тему «Натуральная величина треугольника» смотрите здесь.

Источник

Метод замены плоскостей проекций

Для решения целого ряда задач начертательной геометрии наиболее рациональным является метод замены плоскостей проекций. Например, с его помощью можно определить натуральную величину плоской фигуры, расстояние между параллельными прямыми, опорные точки пересечения поверхностей.

Замена одной плоскости проекции

Сущность метода заключается в замене одной из плоскостей проекций на дополнительную плоскость, выбранную так, чтобы в новой системе плоскостей решение поставленной задачи значительно упрощалось. Положение фигур в пространстве при этом не меняется.

Рассмотрим на примере точек A и B, как осуществляются построения на комплексном чертеже. Изначально точка A находится в системе плоскостей П₁, П₂. Введем дополнительную горизонтальную пл. П₄. Она будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П₂ и пересечет её по оси x₁. Эту ось необходимо провести на комплексном чертеже с учётом цели построения. Здесь мы расположили её произвольно.

В новой системе плоскостей положение точки A» не изменится. Чтобы найти точку A’₁, которая является проекцией т. А на плоскость П₄, проведем из A» перпендикуляр к оси x₁. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x₁ отложим отрезок A_x1А’₁, равный отрезку A_xA’.

Данные построения основаны на равенстве ординат точек A’ и А’₁. Действительно, в системе плоскостей П₁, П₂ и в системе П₂, П₄ точка A удалена от фронтальной плоскости проекций П₂ на одно и то же расстояние.

Теперь осуществим перевод точки B в новую систему плоскостей П₁, П₄ (рис. ниже). Для этого введем произвольную фронтальную пл. П₄, которая будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П₁ и пересечет её по оси x₁.

В системе П₁, П₄ положение точки B’ останется неизменным. Чтобы найти точку B»₁, проведем из B’ перпендикуляр к оси x₁. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x₁ отложим отрезок B_x1B»₁ равный отрезку B_xB». Описанные построения основаны на равенстве аппликат точек B» и B»₁.

Замена двух плоскостей проекций

Иногда для решения поставленной задачи требуется замена двух плоскостей проекций (рис. ниже). Пусть A’ и A» – исходные проекции точки A, находящейся в системе пл. П₁, П₂. Введем первую дополнительную плоскость П₄ и определим новую горизонтальную проекцию A’₁ точки A, как это было описано ранее.

Для осуществления второй замены плоскости проекций будем рассматривать систему пл. П₂, П₄ в качестве исходной. Введем новую фронтальную плоскость П₅ перпендикулярно горизонтальной пл. П₄. Для этого на произвольном месте чертежа проведем ось x₂ = П₄ ∩ П₅. Из точки A’₁, положение которой останется неизменным, восстановим перпендикуляр к оси x₂. На нем от точки A_x2 отложим отрезок A_x2A»₁ равный отрезку A»A_x1.

Использование метода замены при решении задач

Владея методом замены применительно к одной точке, можно построить дополнительные проекции любых фигур, поскольку они представляют собой множество точек. На рисунке ниже показан перевод отрезка AB в частное положение. Новая плоскость П₄ проведена параллельно AB, поэтому отрезок проецируется на неё в натуральную величину.

На следующем рисунке показана плоскость общего положения α, заданная следами. Переведем её в новую систему плоскостей П₁, П₄ так, чтобы α занимала проецирующее положение. Для этого перпендикулярно горизонтальному следу h_0α введем дополнительную фронтальную плоскость П₄.

Новый фронтальный след f_0α1 строится по двум точкам. Одна из них, X_α1, лежит на пересечении h_0α с осью x₁. Дополнительно возьмем точку N, принадлежащую α, и укажем её фронтальную проекцию N»₁ на плоскости П₄.

Определение расстояния между параллельными плоскостями

Параллельные плоскости α и β расположены так, как показано на рисунке. Чтобы найти расстояние между ними, необходимо из произвольной точки A, взятой на пл. α, опустить перпендикуляр AB на пл. β и определить его настоящую длину.

Для уменьшения количества геометрических построений α и β предварительно переводятся в проецирующее положение с помощью метода замены плоскостей проекций. Вспомогательная точка M используется для определения направления следов f_0β1 и f_0α1, параллельных друг другу.

Источник