Построить линию пересечения плоскостей способ вспомогательной секущей плоскости

Метод плоскостей | AutoCAD

В этом уроке рассмотрим одну из самых распространенных задач начертательной геометрии – построение пересечения поверхностей методом секущих плоскостей и способ ее решения средствами AutoСАD.

Метод секущих плоскостей, немного теории

Вкратце суть метода секущих плоскостей состоит в том, что для построения линии пересечения двух поверхностей строятся вспомогательные плоскости (обычно – параллельные одной из плоскостей проекций), которые пересекают заданные поверхности, образуя при этом простые геометрические фигуры.

Точки взаимного пересечения заданных поверхностей будут общими точками двух кривых, образованных пересечением секущей плоскости с каждой из поверхностей.

Условия задачи

Зададим условия: пусть необходимо построить пересечение полусферы и конуса, расположенных таким образом:

Размеры показаны для наглядности, проставлять их на чертеже не нужно.

Решение

Строим секущие плоскости, вид с боку

Очевидно, что для тел вращения удобно использовать плоскости, перпендикулярные осям этих тел. В нашем случае вспомогательные плоскости будут параллельными горизонтальной плоскости. Изобразим их на фронтальном виде (в нашем случае верхняя из плоскостей проходит через явно видимую верхнюю точку пересечения конуса и полусферы, в других случаях для нахождения этой точки потребуются дополнительные построения):

Секущие плоскости, вид сверху

Теперь перенесем линии пересечения секущих плоскостей с каждой из поверхностей на вид сверху. Очевидно, что горизонтальные плоскости пересекают каждое из тел по окружностям, центры которых находятся на одной вертикали с центрами тел. Радиусы этих окружностей легко переносятся на вид сверху с образующих каждой поверхности. Вот эти окружности для полусферы:

Точки пересечения секущих плоскостей

Отметим для наглядности общие точки для каждой из пар окружностей, образованных одной плоскостью:

Видно, что в районе верхней точки построение недостаточно «информативно», т.е. будет полезным построить еще одну секущую плоскость:

Вот еще две точки, заданные этой плоскостью:

Линия пересечения

Соединив на виде сверху полученные точки сплайном (команда Сплайн), мы получим приближенную линию пересечения двух поверхностей:

Остается перенести линию на фронтальный вид. Сделать это совсем несложно: нужно перенести каждую из точек с вида сверху на соответствующую секущую плоскость на фронтальном виде. Линии построения выделены желтым цветом:

Поскольку исходные поверхности (и, соответственно, линия их пересечения) симметричны относительно плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекции, достаточно перенести только половину точек. В нашем частном случае невидимая на фронтальном виде часть кривой «спрятана» за видимой, а верхняя точка является точкой разделения видимой и невидимой частей.

Проверка вида линии пересечения

Полезно проверить правильность наших построений средствами 3D-моделирования. Построим соответствующие фигуры, перейдя предварительно к интерфейсу 3D- моделирование , и сравним полученную модель с построением (для этого удобнее объединить объекты командой Объединить).

Резюме

Как видим, наше построение довольно точно передает реальную линию пересечения поверхностей вращения. И хотя современные средства моделирования позволяют строить такие пересечения гораздо быстрее, рассмотренные нами принципы очень полезны для понимания «механики» геометрических построений, без которого любой, даже самый современный инструмент 3D-моделирования превращается в сложную и непонятную игрушку.

Источник

Построение линии пересечения поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей

Федеральное государственное образовательное учреждение

«Астраханский государственный технический университет»

Кафедра начертательной геометрии

и инженерной графики

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Методические указания для студентов первых курсов

всех технических специальностей

Составители: к. т.н. профессор ,

Рецензент: доцент кафедры НГГ

Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры «Начертательной геометрии и инженерной графики»

Протокол № от «___» __________20 г.

Цель работы. Применение метода вспомогательных секущих плоскостей для построения линии пересечения двух поверхностей.

1. Вычертить условие задачи.

2. Построить характерные (опорные) и промежуточные точки линии пересечения поверхностей заданным методом.

3. Построить линию пересечения поверхностей.

4. Определить видимость проекций.

1 Общий алгоритм построения линии пересечения двух кривых поверхностей

Две кривые поверхности пересекаются по пространственной кривой линии, которая графически строится по отдельным точкам. Основной метод построения линии пересечения состоит в применении вспомогательных секущих поверхностей – посредников F.

Поверхности F выбираются такими, чтобы они пересекали данные поверхности Ф’ и Ф” по наиболее простым линиям — прямым или окружностям. Точки пересечения (I, II) этих линий и будут принадлежать искомой линии пересечения поверхностей (рисунок 1).

Рисунок 1 — Иллюстрация алгоритма построения линии пересечения поверхностей

Пространственный алгоритм состоит из следующих операций:

В зависимости от вида секущих поверхностей-посредников рассматриваются два способа построения линии пересечения поверхностей.

1) Способ вспомогательных секущих плоскостей;

2) Метод вспомогательных секущих сфер.

2 Метод вспомогательных секущих плоскостей

Метод вспомогательных секущих плоскостей применяется для построения:

а) поверхности многогранника и кривой поверхности;

б) двух поверхностей вращения с параллельными или скрещивающимися осями;

в) двух конических или цилиндрических, или конической и цилиндрической поверхностей общего вида.

2.1 Построение линии пересечения поверхности многогранника

с кривой поверхностью

Линия пересечения многогранника с кривой поверхностью имеет форму кривой с точками излома на ребрах многогранника.

Пример 1. Построить линию пересечения треугольной пирамиды с цилиндром вращения. (рисунок 2).

Линии пересечения треугольной пирамиды с поверхностью цилиндра вращения являются тремя дугами эллипсов, которые пересекаются между собой в точках пересечения А (А1,А2), В (В1,В2), С (С1,С2) ребер пирамиды с поверхностью цилиндра.

Горизонтальной проекцией этих дуг эллипсов является окружность – горизонтальная проекция цилиндра вращения.

Найдем ряд точек на фронтальной проекции. Фронтальные проекции D2, Е2 точек D и Е находим на фронтальной проекции основания пирамиды путем проведения линий связи через точки D1 и Е1 (т. е. через точки основания перпендикуляров из S1 на L1P1 и P1T1).

Точки видимости М2 и N2 найдем по принадлежности их боковым граням пирамиды, проводя через М1 и N1 горизонтальные проекции горизонталей.

Фронтальные проекции К2, F2,G2 и т. д. вспомогательных точек К, F, G и т. д. так же найдем из условия их инцидентности.

Найдя достаточное количество точек, соединяем их плавными кривыми.

Рисунок 2 – Построение линии пересечения пирамиды с цилиндром

2.2 Построение линии пересечения двух кривых поверхностей,

одна из которых – проецирующая

Пример 2. Построить линию пересечения цилиндра с конусом (рисунок 3).

В этом примере цилиндр является горизонтально-проецирующей поверхностью. Следовательно, известны горизонтальные проекции всех точек искомой линии пересечения. Так как точки пересечения принадлежат конической поверхности, можно построить их фронтальные проекции.

Построение следует начинать с характерных точек. Высшая (В2) и низшая (А2) точки лежат в горизонтально-проецирующей плоскости (11-21), проходящей через оси цилиндра и конуса (горизонтальные проекции точек А и В – А1 и В1).

Границей видимости (С2, D2) линии пересечения на фронтальной плоскости проекций являются горизонтальные проекции точек С и D.

Точки Е и F расположены на образующих конуса, которые являются очерковыми на фронтальной плоскости проекций. Точки М и N также являются опорными.

Для получения их проекций, как и промежуточных точек линии пересечения, намечают ряд горизонтальных проекций точек. Для получения фронтальной проекции этих точек проводят через их горизонтальные проекции одноименные проекции образующих конуса, строят фронтальные проекции этих образующих, и на них находят фронтальные проекции искомых точек (М2, N2).

Вместо образующих можно использовать параллели конической поверхности, которые на горизонтальную плоскость проецируются в виде окружностей.

На рисунке 3 параллель К2К’2 проведена через точку L.

Горизонтальной проекцией этой параллели является окружность, проходящая через точки L1 и L’1. Фронтальные проекции этих точек лежат на прямой К2К’2.

Соединяя полученные точки плавной кривой, получим фронтальную проекцию искомой линии пересечения поверхностей.

Часть линии пересечения от точки С2 через точки А2, М2 до точки D2 видимая, остальная ее часть (В2, N2, L2, Е2, С2) – невидимая.

Рисунок 3 – Построение линии пересечения цилиндра с конусом

Пример 3. Построить линию пересечения поверхности шара с цилиндром (рисунок 4).

Так как цилиндрическая поверхность фронтально-проецирующая, фронтальная проекция линии пересечения известна. Для построения горизонтальной проекции намечается на фронтальной проекции цилиндра ряд точек.

Построение начинают с характерных точек линии пересечения: высшей (точка А2), низших (точки В1, В’1), точки перехода от видимой части линии пересечения до невидимой (С1, С1′).

Горизонтальные проекции точек А и D находятся без построения, т. к. они лежат на очерковой окружности, которая на горизонтальной плоскости проецируется в прямую, совпадающую с горизонтальной осью.

Для нахождения промежуточных точек проводят на фронтальной проекции ряд параллелей, которые на горизонтальную проекцию спроецируются в виде окружностей. Пересечение окружности с образующими цилиндра дает искомые точки.

Соединяя их плавной кривой, получим искомую линию пересечения. Часть этой линии от точки А1 через точки F1′, F1 до точек С1, С’1 – видимая, остальная часть (Е1, В1, D1, …) – невидимая.

Рисунок 4 – Построение линии пересечения шара и цилиндра

2.3 Построение линии пересечения двух кривых поверхностей

введением вспомогательных секущих плоскостей

Пример 4..Построить линию пересечения конуса вращения и сферы (рисунок 5).

Заданные поверхности имеют общую (фронтальную) плоскость симметрии, определяемую осью конуса i и осью сферы i‘.

Построение линии пересечения начинаем с определения опорных точек. Сначала отмечаем очевидные общие 1 и 7 точки поверхностей в пересечении их главных меридианов δ и τ, так как поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии Ф (Ф1). Фронтальные проекции точек 12 , 72 ≡ δ2 ∩ τ2.

Горизонтальные проекции точек 11 ≡ 12 11 ∩ τ1, 71 ≡ 72 71 ∩ τ1.

Эти опорные точки являются наивысшей 1 и наинизшей 7 точками линии пересечения, а также точками видимости на плоскости П2.

Выбирать вспомогательные фронтальные плоскости уровня, параллельные П2, для построения последующих точек неудобно, так как они будут пересекать конус по гиперболам. Графически простые линии (окружности параллелей) на данных поверхностях получаются от пересечения их горизонтальными плоскостями уровня Г2.

Первую такую вспомогательную плоскость Г (Г2) берем на уровне экватора сферы h (h2). Эта плоскость пересекает конус по параллели n. В пересечении n и h (параллелей конуса и сферы) находятся точки видимости линии пересечения на плоскости П1:

Промежуточные точки 6 и 6′ линии пересечения построены с помощью плоскости Г ‘ (Г2′), пересекающей поверхности по параллелям h и m.

Аналогично построены точки 2(2′) и 3(3′) с помощью вспомогательных плоскостей Г » (Г2») и Г »’(Г2»’).

Рисунок 5 – Построение линии пересечения конуса

Видимость заданных поверхностей и точек линии пересечения на плоскости проекций П2 определяет фронтальная плоскость Ф (Ф1). Плоскость Ф делит поверхности конуса и сферы на две симметричные части. Те части заданных поверхностей, которые расположены перед плоскостью Ф, на плоскости П2 видимы, а значит видимы и точки 2′, 3′, 4′, 5′, 6′, им принадлежащие. Точки 2, 3, 4, 5, 6 – невидимы на П2. Так как линия пересечения – кривая, симметричная относительно плоскости Ф, то на плоскости П2 видимая ее часть и невидимая совпадают. Изображаем на чертеже видимую часть линии пересечения сплошной основной линией. Границы видимости – точки 1 и 7.

Видимость заданных поверхностей и линий пересечения на плоскости проекций П1 определяет плоскость Г (Г2) и поверхность сферы: та часть сферы, которая расположена над плоскостью Г2, на П1 будет видима, значит и точки 1, 2′, 2, 3, 3′ на П1 видимы, как ей принадлежащие. Точки 5, 5′, 6, 6 ‘ – невидимы на П1. Границы видимости – точки 4 и 4′.

Соединяем одноименные проекции построенных точек с учетом их видимости плавными кривыми и получаем проекции искомой линии пересечения.

Если пересекающиеся поверхности вращения не имеют общей фронтальной плоскости симметрии (рисунок 6), то самую высокую 1 и самую низкую 2 точки линии пересечения поверхностей легко определить, построив изображения этих поверхностей на плоскости П4, параллельной осевой плоскости ∑ (∑1) данных поверхностей.

Можно строить проекции всей линии пересечения в системе плоскостей П1 ^ П4, а затем построить ее фронтальную проекцию в проекционной связи с горизонтальной проекцией, замеряя высоты точек на плоскости П4, так как это показано на рисунке 6 для точек 1 и 2.

Рисунок 6 – Пересечение поверхностей вращения, не имеющих общей плоскости

симметрии, методом замены плоскостей проекций

3 Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается способ вспомогательных поверхностей, применяемый для построения линии пересечения двух кривых поверхностей?

2. На какие виды подразделяется способ вспомогательных поверхностей?

3. Что называется экстремальными точками? Точками видимости?

4. Какие точки называются случайными?

5. Когда применяется способ вспомогательных секущих плоскостей?

1. и др. Начертательная геометрия. — М.: Высшая школа, 1963.-420 с.

2. , , Якунин начертательной геометрии (на базе ЭВМ). – М.: Высшая школа. – 1983.

3. Иванов геометрия. – М.: Машиностроение, 1995. – 224 с.

4. Харах геометрия на базе алгоритмизации и ЭВМ. Астрахань: Изд-во Астрахан. гос. технич. ун-та, 1995 – 106с.

5 Варианты заданий для самостоятельной работы

1 Общий алгоритм построения линии пересечения двух кривых

2 Метод вспомогательных секущих плоскостей……………………..4

2.1 Построение линии пересечения поверхности

многогранника с кривой поверхностью……..……………………..4

2.2 Построение линии пересечения кривых поверхностей,

одна из которых – проецирующая…..…………………………. …6

2.3 Построение линии пересечения двух кривых поверхностей

введением вспомогательных секущих плоскостей………………..9

3 Вопросы для самопроверки…………………………………………14

Источник