Научная электронная библиотека
Пиралова О. Ф., Ведякин Ф. Ф.,
8.3. Взаимные пересечения поверхностей
Построение линии пересечения поверхностей осуществляется при помощи вспомогательных секущих поверхностей. При этом данные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью и определяются линии пересечения каждой из данных поверхностей со вспомогательной. Если эти линии пересекаются (а они, в силу принадлежности одной и той же вспомогательной поверхности, могут пересекаться, касаться или не иметь общих точек), то полученные точки пересечения принадлежат обеим данным поверхностям и, следовательно, их линии пересечения.
Если в качестве вспомогательных секущих поверхностей используются плоскости, то способ построения называют способом вспомогательных плоскостей. Если используются сферы − способом вспомогательных сфер. Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения цилиндра с конусом вращения (рис.8.4).
Для построения линии пересечения заданных поверхностей удобно в качестве вспомогательных поверхностей использовать серию горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси конуса, которые пересекают цилиндр и конус по окружностям. На пересечении этих окружностей находят точки искомой линии пересечения.
Известно, что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения − окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом, если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические и неконцентрические сферы. Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер − сфер с постоянным центром.
.
Рис. 8.4. Пример построения линии пересечения поверхностей конуса и цилиндра с помощью вспомогательных секущих плоскостей
Способ секущих сфер с постоянным центром для построения линии пересечения двух поверхностей применяют при следующих условиях:
— обе линии пересекающиеся поверхности − поверхности вращения;
-оси поверхностей вращения пересекаются;
— точку пересечения принимают за центр вспомогательных (концентрических) сфер;
— плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна плоскости проекций.
В случае, если это условие не соблюдается, то, чтобы его обеспечить, прибегают к способам преобразования чертежа.
Такие сферы применяют, если:
— одна из пересекающихся поверхностей — поверхность вращения, другая поверхность имеет круговые сечения;
— две поверхности имеют общую плоскость симметрии (т. е. ось поверхности вращения и центры круговых сечений второй поверхности принадлежат одной плоскости — плоскости их симметрии);
.
Рис. 8.5. Пример построения линии пересечения поверхностей конусов с помощью концентрических сфер
Плоскость симметрии параллельна плоскости проекций (это условие при необходимости может быть обеспечено преобразованием чертежа).
Рассмотрим построение линии пересечения прямого кругового конуса и тора, оси которых скрещиваются с помощью эксцентрических сфер (рис. 8.6).
Ось конуса параллельна плоскости П2, ось тора перпендикулярна плоскости П2, окружность центров осевых круговых сечений тора и ось конуса лежат в одной плоскости, параллельной плоскости П2. Две очевидные характерные точки: высшая с проекцией а2 и низшая d2 — являются точками пересечения проекций очерков тора и конуса. Для построения проекций промежуточных точек, например проекции b2, выполняют следующие построения: выбирают на поверхности тора окружность, например с проекцией 12 22 с центром в точке с проекцией 32.
.
Рис. 8.6. Пример построения линии пересечения поверхностей конуса и тора с помощью эксцентрических сфер
Перпендикуляр к плоскости этой окружности из точки с проекцией 32 является линией центров множества сфер, которые пересекают тор по окружности с проекцией 12 22. Из множества этих сфер выбирают сферу с центром на оси конуса. Его проекция О1. Эта сфера радиусом R1 пересекает конус по окружности с проекцией 42 52. Пересечение проекций 12 22 и 42 52 является проекцией пары общих точек тора и конуса, т.е. линии их пересечения. На чертеже обозначена проекция b2 одной из указанных точек — точки на видимом участке линии пересечения.
Построение проекций второй пары точек линии пересечения, из которых обозначена проекция c2, выполнено с помощью отрезка 62 72 − проекции окружности на поверхности тора. Вспомогательная сфера для построения проекции c2 − сфера радиусa R2 с центром, проекция которого О2. Конус эта сфера пересекает по окружности с проекцией 82 92. В пересечении проекций 62 72 и 82 92 окружностей находим проекцию c2 искомой точки и симметричной ей на невидимой части пересекающихся поверхностей.
Вопросы для самоконтроля
1) От каких параметров поверхности и плоскости зависит форма линии пересечения поверхности с плоскостью?
2) Каков алгоритм (порядок) определения линии пересечения поверхности плоскостью?
3) Какое положение плоскости пересечения по отношению к поверхности является предпочтительным для определения линии пересечения?
4) Какой способ построения линии пересечения называется способом вспомогательных сфер?
5) В каком случае при определении линии пересечения применяются концентрические (эксцентрические) сферы?
6) Какой способ построения линии пересечения необходимо применить, если две поверхности имеют общую плоскость симметрии?
7) Приведите пример определения линии пересечения поверхностей с помощью эксцентрических сфер.
Источник
Построение линии пересечения поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей
Федеральное государственное образовательное учреждение
«Астраханский государственный технический университет»
Кафедра начертательной геометрии
и инженерной графики
ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Методические указания для студентов первых курсов
всех технических специальностей
Составители: к. т.н. профессор ,
Рецензент: доцент кафедры НГГ
Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры «Начертательной геометрии и инженерной графики»
Протокол № от «___» __________20 г.
Цель работы. Применение метода вспомогательных секущих плоскостей для построения линии пересечения двух поверхностей.
1. Вычертить условие задачи.
2. Построить характерные (опорные) и промежуточные точки линии пересечения поверхностей заданным методом.
3. Построить линию пересечения поверхностей.
4. Определить видимость проекций.
1 Общий алгоритм построения линии пересечения двух кривых поверхностей
Две кривые поверхности пересекаются по пространственной кривой линии, которая графически строится по отдельным точкам. Основной метод построения линии пересечения состоит в применении вспомогательных секущих поверхностей – посредников F.
Поверхности F выбираются такими, чтобы они пересекали данные поверхности Ф’ и Ф” по наиболее простым линиям — прямым или окружностям. Точки пересечения (I, II) этих линий и будут принадлежать искомой линии пересечения поверхностей (рисунок 1).
Рисунок 1 — Иллюстрация алгоритма построения линии пересечения поверхностей
Пространственный алгоритм состоит из следующих операций:
В зависимости от вида секущих поверхностей-посредников рассматриваются два способа построения линии пересечения поверхностей.
1) Способ вспомогательных секущих плоскостей;
2) Метод вспомогательных секущих сфер.
2 Метод вспомогательных секущих плоскостей
Метод вспомогательных секущих плоскостей применяется для построения:
а) поверхности многогранника и кривой поверхности;
б) двух поверхностей вращения с параллельными или скрещивающимися осями;
в) двух конических или цилиндрических, или конической и цилиндрической поверхностей общего вида.
2.1 Построение линии пересечения поверхности многогранника
с кривой поверхностью
Линия пересечения многогранника с кривой поверхностью имеет форму кривой с точками излома на ребрах многогранника.
Пример 1. Построить линию пересечения треугольной пирамиды с цилиндром вращения. (рисунок 2).
Линии пересечения треугольной пирамиды с поверхностью цилиндра вращения являются тремя дугами эллипсов, которые пересекаются между собой в точках пересечения А (А1,А2), В (В1,В2), С (С1,С2) ребер пирамиды с поверхностью цилиндра.
Горизонтальной проекцией этих дуг эллипсов является окружность – горизонтальная проекция цилиндра вращения.
Найдем ряд точек на фронтальной проекции. Фронтальные проекции D2, Е2 точек D и Е находим на фронтальной проекции основания пирамиды путем проведения линий связи через точки D1 и Е1 (т. е. через точки основания перпендикуляров из S1 на L1P1 и P1T1).
Точки видимости М2 и N2 найдем по принадлежности их боковым граням пирамиды, проводя через М1 и N1 горизонтальные проекции горизонталей.
Фронтальные проекции К2, F2,G2 и т. д. вспомогательных точек К, F, G и т. д. так же найдем из условия их инцидентности.
Найдя достаточное количество точек, соединяем их плавными кривыми.
Рисунок 2 – Построение линии пересечения пирамиды с цилиндром
2.2 Построение линии пересечения двух кривых поверхностей,
одна из которых – проецирующая
Пример 2. Построить линию пересечения цилиндра с конусом (рисунок 3).
В этом примере цилиндр является горизонтально-проецирующей поверхностью. Следовательно, известны горизонтальные проекции всех точек искомой линии пересечения. Так как точки пересечения принадлежат конической поверхности, можно построить их фронтальные проекции.
Построение следует начинать с характерных точек. Высшая (В2) и низшая (А2) точки лежат в горизонтально-проецирующей плоскости (11-21), проходящей через оси цилиндра и конуса (горизонтальные проекции точек А и В – А1 и В1).
Границей видимости (С2, D2) линии пересечения на фронтальной плоскости проекций являются горизонтальные проекции точек С и D.
Точки Е и F расположены на образующих конуса, которые являются очерковыми на фронтальной плоскости проекций. Точки М и N также являются опорными.
Для получения их проекций, как и промежуточных точек линии пересечения, намечают ряд горизонтальных проекций точек. Для получения фронтальной проекции этих точек проводят через их горизонтальные проекции одноименные проекции образующих конуса, строят фронтальные проекции этих образующих, и на них находят фронтальные проекции искомых точек (М2, N2).
Вместо образующих можно использовать параллели конической поверхности, которые на горизонтальную плоскость проецируются в виде окружностей.
На рисунке 3 параллель К2К’2 проведена через точку L.
Горизонтальной проекцией этой параллели является окружность, проходящая через точки L1 и L’1. Фронтальные проекции этих точек лежат на прямой К2К’2.
Соединяя полученные точки плавной кривой, получим фронтальную проекцию искомой линии пересечения поверхностей.
Часть линии пересечения от точки С2 через точки А2, М2 до точки D2 видимая, остальная ее часть (В2, N2, L2, Е2, С2) – невидимая.
Рисунок 3 – Построение линии пересечения цилиндра с конусом
Пример 3. Построить линию пересечения поверхности шара с цилиндром (рисунок 4).
Так как цилиндрическая поверхность фронтально-проецирующая, фронтальная проекция линии пересечения известна. Для построения горизонтальной проекции намечается на фронтальной проекции цилиндра ряд точек.
Построение начинают с характерных точек линии пересечения: высшей (точка А2), низших (точки В1, В’1), точки перехода от видимой части линии пересечения до невидимой (С1, С1′).
Горизонтальные проекции точек А и D находятся без построения, т. к. они лежат на очерковой окружности, которая на горизонтальной плоскости проецируется в прямую, совпадающую с горизонтальной осью.
Для нахождения промежуточных точек проводят на фронтальной проекции ряд параллелей, которые на горизонтальную проекцию спроецируются в виде окружностей. Пересечение окружности с образующими цилиндра дает искомые точки.
Соединяя их плавной кривой, получим искомую линию пересечения. Часть этой линии от точки А1 через точки F1′, F1 до точек С1, С’1 – видимая, остальная часть (Е1, В1, D1, …) – невидимая.
Рисунок 4 – Построение линии пересечения шара и цилиндра
2.3 Построение линии пересечения двух кривых поверхностей
введением вспомогательных секущих плоскостей
Пример 4..Построить линию пересечения конуса вращения и сферы (рисунок 5).
Заданные поверхности имеют общую (фронтальную) плоскость симметрии, определяемую осью конуса i и осью сферы i‘.
Построение линии пересечения начинаем с определения опорных точек. Сначала отмечаем очевидные общие 1 и 7 точки поверхностей в пересечении их главных меридианов δ и τ, так как поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии Ф (Ф1). Фронтальные проекции точек 12 , 72 ≡ δ2 ∩ τ2.
Горизонтальные проекции точек 11 ≡ 12 11 ∩ τ1, 71 ≡ 72 71 ∩ τ1.
Эти опорные точки являются наивысшей 1 и наинизшей 7 точками линии пересечения, а также точками видимости на плоскости П2.
Выбирать вспомогательные фронтальные плоскости уровня, параллельные П2, для построения последующих точек неудобно, так как они будут пересекать конус по гиперболам. Графически простые линии (окружности параллелей) на данных поверхностях получаются от пересечения их горизонтальными плоскостями уровня Г2.
Первую такую вспомогательную плоскость Г (Г2) берем на уровне экватора сферы h (h2). Эта плоскость пересекает конус по параллели n. В пересечении n и h (параллелей конуса и сферы) находятся точки видимости линии пересечения на плоскости П1:
Промежуточные точки 6 и 6′ линии пересечения построены с помощью плоскости Г ‘ (Г2′), пересекающей поверхности по параллелям h и m.
Аналогично построены точки 2(2′) и 3(3′) с помощью вспомогательных плоскостей Г » (Г2») и Г »’(Г2»’).
Рисунок 5 – Построение линии пересечения конуса
Видимость заданных поверхностей и точек линии пересечения на плоскости проекций П2 определяет фронтальная плоскость Ф (Ф1). Плоскость Ф делит поверхности конуса и сферы на две симметричные части. Те части заданных поверхностей, которые расположены перед плоскостью Ф, на плоскости П2 видимы, а значит видимы и точки 2′, 3′, 4′, 5′, 6′, им принадлежащие. Точки 2, 3, 4, 5, 6 – невидимы на П2. Так как линия пересечения – кривая, симметричная относительно плоскости Ф, то на плоскости П2 видимая ее часть и невидимая совпадают. Изображаем на чертеже видимую часть линии пересечения сплошной основной линией. Границы видимости – точки 1 и 7.
Видимость заданных поверхностей и линий пересечения на плоскости проекций П1 определяет плоскость Г (Г2) и поверхность сферы: та часть сферы, которая расположена над плоскостью Г2, на П1 будет видима, значит и точки 1, 2′, 2, 3, 3′ на П1 видимы, как ей принадлежащие. Точки 5, 5′, 6, 6 ‘ – невидимы на П1. Границы видимости – точки 4 и 4′.
Соединяем одноименные проекции построенных точек с учетом их видимости плавными кривыми и получаем проекции искомой линии пересечения.
Если пересекающиеся поверхности вращения не имеют общей фронтальной плоскости симметрии (рисунок 6), то самую высокую 1 и самую низкую 2 точки линии пересечения поверхностей легко определить, построив изображения этих поверхностей на плоскости П4, параллельной осевой плоскости ∑ (∑1) данных поверхностей.
Можно строить проекции всей линии пересечения в системе плоскостей П1 ^ П4, а затем построить ее фронтальную проекцию в проекционной связи с горизонтальной проекцией, замеряя высоты точек на плоскости П4, так как это показано на рисунке 6 для точек 1 и 2.
Рисунок 6 – Пересечение поверхностей вращения, не имеющих общей плоскости
симметрии, методом замены плоскостей проекций
3 Вопросы для самопроверки
1. В чем заключается способ вспомогательных поверхностей, применяемый для построения линии пересечения двух кривых поверхностей?
2. На какие виды подразделяется способ вспомогательных поверхностей?
3. Что называется экстремальными точками? Точками видимости?
4. Какие точки называются случайными?
5. Когда применяется способ вспомогательных секущих плоскостей?
1. и др. Начертательная геометрия. — М.: Высшая школа, 1963.-420 с.
2. , , Якунин начертательной геометрии (на базе ЭВМ). – М.: Высшая школа. – 1983.
3. Иванов геометрия. – М.: Машиностроение, 1995. – 224 с.
4. Харах геометрия на базе алгоритмизации и ЭВМ. Астрахань: Изд-во Астрахан. гос. технич. ун-та, 1995 – 106с.
5 Варианты заданий для самостоятельной работы
1 Общий алгоритм построения линии пересечения двух кривых
2 Метод вспомогательных секущих плоскостей……………………..4
2.1 Построение линии пересечения поверхности
многогранника с кривой поверхностью……..……………………..4
2.2 Построение линии пересечения кривых поверхностей,
одна из которых – проецирующая…..…………………………. …6
2.3 Построение линии пересечения двух кривых поверхностей
введением вспомогательных секущих плоскостей………………..9
3 Вопросы для самопроверки…………………………………………14
Источник
