Построение графиков функций заданных различными способами конспект

«построение графиков функций различными способами»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

конспект урока по алгебре и началам анализа в 10 класс по теме «Построение графиков функций»

Скачать:

Вложение	Размер
postroenie_grafikov_funkciy.doc	116.5 КБ

Предварительный просмотр:

МОУ Краснозаводская средняя школа №7

Урок-консультация в 11 классе

по алгебре и началам анализа

Павлинова Марина Вячеславовна

«Построение графиков функций элементарными методами».

Цель урока : Закрепление навыков построения графиков функций элементарными методами, формирование умения строить графики функций с помощью основных операций над графиками функций, воспитание настойчивости для достижения конечного результата, развитие навыков самоконтроля, взаимопомощи.

Оборудование : переносная магнитная доска, плакаты с готовыми графиками функций, таблица «Схема построения графика сложной функции».

1. Сообщение темы и целей урока-консультации: познакомить с еще одним способом построения графиков сложной функции без применения производной; научить применять данный способ на конкретных примерах.
2. Проверка домашнего задания.

-плакат с графиком функции закреплён на магнитной доске,

— плакат с графиком функции закреплён на магнитной доске,

-другие графики функций учащиеся готовят на классной доске

Учащиеся отвечают сначала по плакатам, затем по чертежам,

1. Формирование новых знаний и умений учащихся.

Вы уже знаете, как строить графики функций с помощью производной, преобразований графиков функций, с помощью асимптот. Сегодня, вы узнаете ещё один способ построения графиков сложных функций на примере функций вида:

f(kx+b) и f(ax 2 +bx+c).

Рассмотрим алгоритм построения графиков таких функций (плакат на переносной магнитной доске):

а) Найти область определения функции y=f (k x+b) или y=f (a x 2 +b x+c);

b) Разбить функцию на две: z (x)= k x+b или g (x)= a x 2 +b x+c

и y=f (z) или y=f (g);

с) Построить график функции z (x)= k x+b или g (x)= a x 2 +b x+c

и отметить особые точки (точки пересечения с осями координат, промежуточные точки);

d) Произвести заданные операции над ординатами выбранных точек, то есть вычислить значения y=f (z n ) или y=f (g n );

e) Нанести полученные точки на рисунок, так чтобы ось z и ось y лежали на одной прямой, соединить отмеченные точки плавной линией.

Разберём этот алгоритм на примере функции y= (2-).

1. D(y)=R, z (x)= , y (z)=z 3 (x).

2. Построим график функции z (x)= , отметим точки пересечения с осями координат, А (0;2) и С (6;0) и ещё две промежуточные точки В (3;1) и D (12;-2).

3. Вычислим ординаты этих точек:

z 1 =2 3 =8 z 2 = 0 3 =0 z 3 =1 3 =1 z 4 =(-2) 3 =-8

4. Наносим новые точки на рисунок

А 1 (0;8) В 1 (3;1) С 1 (6;0) D 1 (12;-8).

5. Плавной линией соединяем полученные точки.

1. Закрепление знаний и умений учащихся.

По одному ученику от группы идут к доске и выполняют построение графика функции своей группы. Остальные члены групп работают на местах. При затруднении ученика у доски члены группы могут проконсультировать товарища.

Задания по группам:

1. Рассмотрим построение графика функции вида y=f (a x 2 +b x+c).

а) Повторить алгоритм построения графика квадратичной функции;

b) Построить график функции: y =(x 2 -4x+3) 2

1.D (y)=R, g(x)= x 2 -4x+3 y(x)=g 2 (x)

Строим параболу по точкам: А(0;3), В(1;0), С(2;-1), D(3;0), E(4;3).

Найдём ординаты этих точек.

g 1 =3 2 =9, g 2 =0 2 =0, g 3 =(-1) 2 =1, g 4 =0 2 =0, g 5 =3 2 =9.

Наносим новые точки на рисунок, плавной линией соединяем полученные точки.

1. Групповая работа. На миллиметровой бумаге построить графики функций:

1. Домашнее задание: доделать задание, начатое на уроке.
2. Итоги урока:

Какими способами можно построить графики функций?

По какому алгоритму можно построить графики функций вида y=f (k x+b) и y=f (a x 2 +b x+c).

Решение задач домашней работы.

Построить график функции

Построить график функции

2 Прямые х=2 и х=-4 — вертикальные асимптоты

3 Промежутки знакопостоянства

4 , значит у =0 -горизонтальная асимптота.

С учетом этого построим график функции асимптотическим методом

Источник

Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функции, заданных различными способами. Свойства функции.
план-конспект занятия по алгебре (10, 11 класс)

Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функции, заданных различными способами. Свойства функции.

Скачать:

Вложение	Размер
80_funktsii_oblast_opredeleniya_i_mnozhestvo_znacheniy.doc	136 КБ

Предварительный просмотр:

Тема: Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функции, заданных различными способами. Свойства функции.

• дать определение понятий «функция», «область определения», «область значений», «график функции»;
• рассмотреть способы задания функций;
• рассмотреть свойства функций (нули функций, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания функции, четность и нечетность функции)
• рассмотреть свойства некоторых элементарных функций

Функция — одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y=f(x ). (Читают: у равно f от х .) Символом f(x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х .

Все значения независимой переменной образуют область определения функции . Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции .

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Способы задания функции:

1. аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;

2. табличный способ (функция задается с помощью таблицы)

3. описательный способ (функция задается словесным описанием)

4. графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .

2. Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

3. Возрастание (убывание) функции.

Возрастающая в некотором промежутке функция — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция у = f (x) называется возрастающей на интервале (а; b), если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 2 , справедливо неравенство f(x 1 ) 2 ).

Убывающая в некотором промежутке функция — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Функция у = f (x) называется убывающей на интервале (а; b) , если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 2 , справедливо неравенство f(x 1 )>f(x 2 ).

4. Четность (нечетность) функции

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например, у = х 2 — четная функция.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например: у = х 3 — нечетная функция .

Функция общего вида не является четной или нечетной ( у = х 2 +х ).

Свойства некоторых функций и их графики

1. Линейной функцией называется функция вида , где k и b – числа.

Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.

Графиком линейной функции у = kx + b (k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b ) и параллельная прямой у = kx.

Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.

Свойства линейной функции.

1. При k > 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.

2. При k 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.

3. Множеством значений функции y = kx + b(k ≠ 0 ) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.

При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из одного числа b.

3. При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.

При k = 0 линейная функция имеет вид у = b и при b ≠ 0 она является четной.

При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у = 0 и являете одновременно четной и нечетной.

Графиком линейной функции у = b является прямая, проходящая через точку (0; b ) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b совпадаете осью Ох .

5. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у 0, если . При k 0 имеем, что у > 0, если и у

2. Функция y = x 2

Область определения этой функции — множество R действительных чисел.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x 2 , изображаем график функции.

График функции y = x 2 называется параболой.

Свойства функции у = х 2 .

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) — начало координат.

2. Если х ≠ 0 , то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции у = х 2 является промежуток [0; + ∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х 2 — четная).

5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х 2 возрастает.

6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х 2 убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

Область определения этой функции — промежуток [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле , изображаем график функции.

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями координат общую точку (0; 0) — начало координат.

2. Если х > 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции является промежуток [0;+∞) .

4. Функция не является ни четной, ни нечетной.

5. Функция возрастающая в области определения.

6. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

4. Функция y = x 3

Область определения этой функции — множество R действительных чисел,

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х 3 , изображаем график функции.

График функции у= х 3 называется кубической параболой.

Свойства функции y = x 3 .

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) — начале координат.

2. Если х > 0, то у > 0, а если х 0, то у

3. Множеством значений функции у = х 3 является вся числовая прямая.

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то и значения функции отличаются только знаком, т.е. кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у = х 3 — нечетная).

4. Функция у = х 3 возрастающая в области определения.

Область определения этой функции — множество R действительных чисел.

Пользуясь определением модуля числа х при х > О получим у = х, а при х у = — х . Таким образом, имеем:

График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) — начале координат.

2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции y = |x|, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции y = |x| является промежуток [0;+∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| — четная).

5. На промежутке [0;+∞) функция y = |x| возрастает.

6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x| убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

Область определения функции: .

Область значений функции: .

2. Промежутки знакопостоянства,

Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у х

Если k у х > 0; у > 0 при х

3. Промежутки возрастания и убывания.

Если k > 0, то функция убывает при .

4. Четность (нечетность) функции.

1. Найдите область определения функции

1. При каких значениях функция принимает положительные значения?

Постройте график функции

1. Постройте график функции и укажите координаты точек пересечения этих графиков.
2. Постройте график функции

Проходит ли график через точку А(-35, -65)?

1. Вычислите координаты точек пересечения параболы и прямой
2. Какая из прямых у = 3х — 1, у = 2х + 4 или у = -2х проходит через начало координат? Постройте график этой функции.

Источник