Построение эпюр аналитическим способом

iSopromat.ru

Пример решения задачи на построение эпюры внутренних изгибающих моментов M_x для стальной консольной балки нагруженной сосредоточенной силой F, моментом m и равномерно распределенной нагрузкой q.

Задача

Пример решения

Покажем найденные опорные реакции и выбранную систему координат.

Для построения эпюры изгибающих моментов M_x запишем их выражение по каждому силовому участку и рассчитаем их значения на границах участков. При этом воспользуемся методом сечений.

Наш видеоурок построения эпюр внутренних силовых факторов для балки:

Нумерацию силовых участков балки, сечения и другие вспомогательные обозначения примем из расчета эпюры Q_y.

Рассмотрим I силовой участок:

Выбрав левую часть балки, отбросим ненадолго правую, и запишем имеющиеся данные.

Внутренний изгибающий момент в указанном сечении равен сумме всех внешних моментов, воздействующих на рассматриваемую часть балки.

Здесь на момент в рассматриваемом сечении влияют только опорные реакции M и R, то есть сумма моментов состоит из двух слагаемых.

По правилу знаков момент, который стремится сжать верхние слои балки, принимается положительным, следовательно:

В выражении переменная z₁ в первой степени, поэтому эпюра M_x на первом участке будет иметь вид прямой линии.

Рассчитаем значения M_xI на границах участка, т.е. при z₁=0 и при z₁=0,5м

Переходим на второй силовой участок:

Рассекаем балку в произвольном месте участка и рассматриваем её правую часть.

Получено выражение с переменной z₂ во второй степени, значит, эпюра M_x на втором участке будет иметь вид параболы.

Видео про построение эпюр:

Для построения параболы требуется как минимум три точки. Этими точками будут значения M_x на границах и в середине II силового участка, то есть при z₂=0, z₂=1м и z₂=0,5м.

По полученным данным строим эпюру изгибающих моментов M_x (готовую эпюру Q_y перенесем из ранее рассмотренной задачи)

Прежде чем соединять отмеченные точки эпюры параболой, обратите внимание на эпюру поперечных сил Q_y.

Q_y — первая производная от M_x. Поэтому в том месте, где Q_y пересекает базовую линию (т.е. Q_y=0) на эпюре M_x будет экстремум.

Видео про расчет экстремума эпюры:

Рассчитаем значение экстремума эпюры M_x на II участке балки.

1. Выражение Q_yII приравняем к нулю
   Q_yII=100z₂-40=0
2. Выразим из него z₂
   z₂=40/100=0,4м
3. Подставим z₂ в выражение для M_{xII
   MxIIэкстр(z2=0,4м)= -50∙0,4 2 +40∙0,4=8кНм}

Отметив эту точку в области эпюры где Q_y=0 соединим ее с тремя другими параболой.

Эпюра изгибающих моментов построена. Проверка эпюры M_x.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

iSopromat.ru

Построение эпюр

Примеры решения задач на построение эпюр в сопротивлении материалов, строительной и технической механике со всеми расчетами, подробными пояснениями и видеоуроками.

Здесь рассмотрены примеры и порядок расчета значений внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений и построения по ним эпюр для всех видов нагружения балок, стержней и валов.

Примеры построения эпюр

При растяжении-сжатии

Примеры построения эпюр внутренних продольных сил, нормальных напряжений и линейных перемещений для стержней при их растяжении и сжатии.

При кручении

Примеры построения эпюр внутренних крутящих моментов и угловых перемещений сечений вала при кручении.

Построение эпюр при изгибе

Примеры построения эпюр внутренних поперечных сил и изгибающих моментов, нормальных и касательных напряжений для балок и рам при изгибе.

Эпюры внутренних силовых факторов

Эпюры напряжений

Наш плейлист с видеоуроками построения эпюр внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений для балки:

Порядок построения эпюр

В рассмотренных выше примерах для построения эпюр выполняется следующая последовательность действий:

1. Вычерчивается (в масштабе) расчетная схема элемента с указанием всех размеров и приложенных внешних нагрузок; Расчетная схема балки
2. Обозначаются характерные сечения бруса;
3. Определяются опорные реакции; Опорные реакции балки
4. Рассматриваемый элемент разбивается на силовые участки; Обозначение силовых участков
5. Для каждого силового участка выбирается рассматриваемая часть бруса (балки) Выбранная часть балки и записываются выражения для рассчитываемых внутренних силовых факторов, напряжений или перемещений; Выражения для расчета поперечной силы в сечении балки
6. Рассчитываются значения на границах участков. В случаях, когда переменная в выражении имеет вторую или более степень можно дополнительно определить значение в середине участка;
7. В некоторых случаях необходимо определять экстремумы эпюр;
8. После расчета всех значений выполняется построение эпюр. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки

После построения эпюр желательно выполнять их проверку.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для балок

Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 15.08.2015 · Обновлено 16.05.2018

Очень важно уметь строить эпюры для балок, работающих на изгиб! Так как построение эпюр, является неотъемлемой частью любого прочностного расчёта и большинство элементов, из которых состоят современные инженерные сооружения, работают на изгиб. Поэтому в сопромате, очень много внимания уделяется как раз данным эпюрам: поперечных сил и изгибающих моментов. Для краткости, их ещё называют эпюрой моментов и эпюрой сил. В этой статье, рассмотрим, как рассчитать эпюры традиционным методом, а также быстрым, с помощью которого эпюры рисуются за считаные минуты. В статье, построение показано на примере консольной и опирающейся на две опоры балки. Показано, как учитывать сосредоточенные силы и моменты, а также распределённые нагрузки.

Построение эпюр для консольной балки

В качестве первого примера, возьмём балку, защемлённую с левого торца жёсткой заделкой и загруженной силой равной 5 кН и моментом равным 10 кНм . Длины участков даны на расчётной схеме. Нам предстоит рассмотреть два участка. Границами участков будут являться места приложения сил, моментов, начало и конец приложения распределённых нагрузок.

Первым делом, вводим систему координат, ось x пускаем вдоль оси балки, ось y перпендикулярно ей, а ось z будет перпендикулярна плоскости, в которой размещены две первые оси и будет направлена «к нам».

В поперечных сечениях балки под действием приложенной нагрузки будут возникать два внутренних силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент. Наша задача выяснить, какой величины эти факторы во всех сечениях балки. Для наглядности, результат решения фиксируют в виде так называемых эпюр.

Эпюра строится по всей длине балки, ордината эпюры, под исследуемым сечением, показывает величину внутреннего усилия в этом сечении.

Эпюра поперечных сил

Начнём знакомство с поперечными силами с правила знаков для эпюр. После чего последовательно рассчитаем и построим эпюры для первого и второго участка балки.

Правило знаков для поперечной силы

При построении эпюр поперечных сил нужно придерживаться следующих правил знаков:

• Если внешняя сила стремится повернуть балку по часовой стрелке, то поперечную силу считаем положительной . Эпюру откладываем выше нулевой линии со знаком плюс.
• Если сила поворачивает балку против часовой стрелки, то поперечная сила будет отрицательной, и на эпюре будет откладывать ниже нулевой линии.

Возможно, сейчас будет немного непонятны данные правила, но прочитав следующие 2 блока статьи, вы поймёте, как применять эти правила в действии.

Поперечные силы на первом участке

Рассмотрим первым участок равный двум метрам. Сделаем мысленно сечение на расстоянии x₁ от свободного торца и запишем законы изменения эпюр на этом участке. Законы эти выражаются из уравнений равновесия статики. Статика говорит нам, что тело находится в равновесии, если выполняются следующие условия:

Если суммы проекций всех сил на обе оси равны нулю и сумма моментов относительно точки равна нулю.

Для поперечной силы возьмём сумму проекций на ось y:

Из этого уравнения выражаем поперечную силу Q = F. Так как внешняя сила стремиться повернуть балку по часовой стрелке, то поперечную силу считаем положительной . Причем видно , из полученного закона поперечной силы, что Q постоянна по всей длине участка. Откладываем на эпюре Q = F = 5 кН. Эпюру подписываем как Q_y, где y значит , что направление поперечные силы совпадет с направлением этой оси.

Поперечные силы на втором участке

На втором участке, поперечная сила будет равна: Q_{y 2} = Q_{y 1} ;

Так как на этом участке, действует все та же сила F. Момент в уравнениях поперечных сил не учитывается, что является следствием уравнений статики.

Эпюра изгибающих моментов

В этом блоке статьи будем учиться строить эпюру моментов, здесь нюансов несколько больше, чем для эпюры поперечных сил. Начнём , пожалуй, с правил знаков, которые приняты для этой эпюры.

Правила знаков для изгибающих моментов

• Если внешняя сила или момент растягивают «верхние волокна» то эпюра откладывается сверху.
• Если сила или момент силы растягивают «нижние волокна», то эпюра откладывается ниже нулевой линии.

То есть, обычно, при построении эпюр изгибающий моментов знаки не указываются. Эти эпюры откладываются со стороны «растянутых волокон». Так, и удобнее читать эпюры и откладывать их.

Не всегда их откладывают так! Студентов некоторых специальностей, чаще всего машиностроительных, учат откладывать эпюры со стороны «сжатых волокон». Строители откладывают со стороны «растянутых волокон», в своих статьях я буду придерживаться этого правила, так как привык к нему.

Изгибающий момент на первом участке

Для изгибающих моментов на первом участке, запишем сумму моментов, относительно точки С , в которой ранее сделали сечение:

Это закон изменения изгибающих моментов по длине участка. В отличие от поперечных сил, изгибающие моменты будут меняться в пределах этого участка.

• Если подставить вместо x₁ — ноль, который соответствует началу участка, то получим, что М = 0.
• Если подставим вместо x₁ — 2 (конец участка), то получим:

С учётом вышеописанных правил знаков, мысленно представляем себе, что сила стремится растянуть верхние волокна, поэтому откладываем рассчитанные значения на эпюре сверху, получив эпюру в виде прямоугольного треугольника. Обязательно , подписываем эпюру как M _z , где z означает, что все изгибающие моменты поворачивают относительно этой оси.

Источник