Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов
Автор: Oswald • Ноябрь 11, 2020 • Курсовая работа • 2,828 Слов (12 Страниц) • 132 Просмотры
Пояснительная записка представляет собой отчёт о выполнении курсовой работы. В ней рассматриваются вопросы построения эмпирических формул методом наименьших квадратов (МНК) средствами Microsoft Excel, Mathcad и решение данной задачи в VBA.Пояснительная записка данного проекта выполнена на 35 стр., вкл. 34 рис.
The explanatory note represents the report on performance of course work/ In it (her) questions of construction of empirical formulas by a method of least squares means of Microsoft Excel, Mathcad and the decision of the given problem in VBA are considered. Explanatory note this project is made on 35 pages, incl. 34 figures.
Теоретические сведения. Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов 6
Задача 1. Зависимость плотности от содержания ионов Cl- 11
Решение с помощью табличного процессора MS Excel 11
Использование функции ЛИНЕЙН ………………………………………………….15
Решение средствами математичских расчетов MathCAD 18
Задача 2. Зависимость коэффициента насыщения от общей минерализации 21
Решение с помощью табличного процессора MS Excel 21
Использование функции ЛИНЕЙН ……………………………………………………23
Решение средствами математичских расчетов MathCAD 24
Решение задачи 2 в среде VBA 25
Список использованной литературы 35
Целью курсовой работы является углубление знаний по информатике, развитие и закрепление навыков работы с табличным процессором Microsoft Excel и вычислительной средой Mathcad и применение их для решения задач с помощью ЭВМ из предметной области, связанной с исследованиями.
В каждом задании формулируются условия задачи, исходные данные, форма выдачи результатов, указываются основные математические зависимости для решения задачи. В соответствии с методом решения задачи разрабатывается алгоритм решения, который представляется в графической форме. Разработанная программа проходит этап отладки, в процессе которого обнаруживаются ошибки, допущенные при составлении алгоритма и написании программы. Контрольный расчет позволяет убедится в правильности работы программы.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Поскольку табличные результаты получаются как итог каких-либо экспериментов, эти значения называются эмпирическими или опытными или экспериментальными значениями. Таким образом, исходными данными являются два одномерных массива одинаковой длины, содержащие эмпирические данные.
Если между величинами х и у существует некоторая функциональная зависимость, но её аналитический вид неизвестен, то возникает практическая задача — найти эмпирическую формулу:
где – коэффициенты. Вид функции и значения коэффициентов подбираются таким образом, чтобы значения , вычисленные по эмпирической формуле при различных значениях , как можно меньше отличались бы от опытных значений .
Нахождение аналитической зависимости между эмпирическими величинами называется аппроксимацией функции, заданной таблично.
Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от опыта и знаний исследования в предметной области, используя которые он может правильно указать класс функций.
Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденных теоретических значений функции от заданных эмпирических значений будет минимальной.
Источник
Аннотация
Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы. В ней рассматриваются вопросы по нахождению эмпирических формул методом наименьших квадратов (МНК) посредством возможностей пакета Microsoft Excel , Mathcad , MATLAB . В работе получены уравнения различных видов с помощью аппроксимации линейной, квадратичной и экспоненциальной зависимостей. По окончании работы сделан вывод, каким методом задача решена лучше всего.
Страниц 34, рисунков 2 1 .
The explanatory note represents the report on term paper performance. In it questions on a finding of empirical formulas by a method of the least squares ( МНК ) by means of possibilities of package Microsoft Excel, Mathcad, MATLAB are considered.. In work the equations of various kinds by means of approximation linear, square-law and экспоненциальной dependences are received. Upon termination of work the conclusion is drawn, the problem is solved by what method is better.
Pages 34, figures 21.
Оглавление
Расчёт с помощью таблиц, выполненных средствами Microsoft Excel.
Расчеты в системе Mathcad.
Введение
Аппроксимация (от латинского » approximare » — «приближаться») — приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в использовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов. Целью курсовой работы является углубление знаний по информатике, развитие и закрепление навыков работы с табличным процессором Microsoft Excel , и применение их для решения с помощью ЭВМ задач из предметной области, связанной с исследованиями.
В каждом задании формулируются условия задачи, исходные данные, форма выдачи результатов, указываются основные математические зависимости для решения задачи. В соответствии с методом решения задачи разрабатывается алгоритм решения, который представляется в графической форме. Поставленные задачи анализа данных так же можно решить с помощью инструментария MATLAB . Контрольный расчет в среде Mathcad позволяет убедиться в правильности решения задачи.
Теоретические сведения .
Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов (МНК) один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.
Метод наименьших квадратов применяют также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто МНК оказывается полезным при обработке наблюдений.
Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y , которые получены в результате измерений.
При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений, и в результате получается таблица значений (Рис.1):
Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых x i (независимая величина) задается экспериментатором, а y i получается в результате опыта. Поэтому значения y i называются опытными или эмпирическими значениями. Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но её аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача найти эмпирическую формулу:
(где — параметры), значения которой при возможно мало отличались бы от опытных значений
Обычно указывается класс функций (например, множество линейных, степенных, показательных и т. п.), из которого выбирается функция , и далее определяются наилучшие значения параметров.
Если в эмпирическую формулу (1) подставить исходные , то получим теоретические значения , где
Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции
Геометрический смысл метода наименьших квадратов.
Каждая пара чисел из исходной таблицы определяет точку на плоскости XOY . Используя формулу (1) при различных значениях коэффициентов можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (1). Задача состоит в определении коэффициентов таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до графика функции (1) была наименьшей (рис. 2).
x 1 x 2 x i x n x
Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида формулы и определение её наилучших параметров.
Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y, то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от знаний исследователя в предметной области, используя которые, он может указать класс функций из теоретических соображений. Большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых иди специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т. д.). По положению точек можно примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.
Определение наилучших коэффициентов , входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известными аналитическими методами.
Для того, чтобы найти набор коэффициентов , которые доставляют минимум функции S , определяемой формулой (2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов
Значит, нахождение коэффициентов сводится к решению системы (3).
Эта система упрощается, если эмпирическая формула (1) линейна относительно параметров , тогда система (3) будет линейной. Конкретный вид системы (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул находится зависимость (1). В случае линейной зависимости система примет вид:
Эта линейная система может быть решена любым известным методом (методом Гаусса, простых итераций, методом Крамера). В случае квадратичной зависимости система (3) примет вид:
Линеаризация экспотенциальной зависимости.
В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию в которую неопределенные коэффициенты входят нелинейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать т. е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспотенциальная зависимость:
где и неопределенные коэффициенты.
Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (6), после чего получаем соотношение:
Обозначим и соответственно через t и c, тогда зависимость (6) может быть записана в виде , что позволяет применить формулы (4) с заменой на c и на .
Элементы теории корреляции.
Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой.
Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:
где , и среднее арифметическое значение соответственно по x и y.
Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не больше 1. Чем ближе к 1, тем теснее линейная связь между x и y.
В случае нелинейной корреляционнной связи условные средние значения располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.
Корреляционное отношение вычисляется по формуле:
где , а числитель характеризует рассеяние условных средних около безусловного среднего .
Всегда . Равенство соответствует некоррелированным случайным величинам; тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь между y и x. В случае линейной зависимости y от x корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Величина используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.
Корреляционное отношение является мерой корреляционной связи y с x в какой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенности эмпирических данных к специальной форме. Чтобы выяснить насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные вводится еще одна характеристика коэффициент детерминированности.
Для его описания рассмотрим следующие величины. — полная сумма квадратов, где среднее значение .
Можно доказать следующее равенство .
Первое слагаемое равно и называется остаточной суммой квадратов. Оно характеризует отклонение экспериментальных данных от теоретических.
Второе слагаемое равно и называется регрессионной суммой квадратов и оно характеризует разброс данных.
Очевидно, что справедливо следующее равенство .
Коэффициент детерминированности определяется по формуле: . (10)
Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности , который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y
Коэффициент детерминированности всегда не превосходит корреляционное отношение. В случае, когда выполняется равенство то можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные.
Задание.
Приведены экспериментальные данные о содержании ионов Cl- (с, мг-экв/л) и плотность (p, кг/м3), поступающей в скважину вместе с нефтью. Необходимо исследовать эмпирическую зависимость содержания ионов Cl- от плотности воды, поступающей в скважину вместе с нефтью, построить графики уравнений зависимости. вычислить и сравнить коэффициенты детерминированности общего и «специализированного» уравнений, вычислить абсолютную и относительную разницу прогнозных значений.
Приведены экспериментальные данные (Рис. 3.) о насыщении подземных вод газом и общей минерализации.
Источник
Построение эмпирических формул по способу наименьших квадратов реферат
Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов
Требуется исследовать эмпирическую зависимость содержания ионов Cl — (с, мг-экв/л) от плотности воды (?, кг/м ³ ) поступающей в скважину вместе с нефтью. Используя МНК, построить и исследовать «специализированное» уравнение. Используя МНК, построить и исследовать линейное уравнение общего вида
Вычислить по этим уравнениям прогнозные значения величины содержания ионов Cl -, если плотность пластовой воды равна ? прогнозн . В качестве ? прогнозн взять величину, равную ? max -0,1 ( ? max — ? min ), где ? max и ? min — максимальное и минимальное значения плотности ? в таблице исходных данных.
Целью курсовой работы является углубление знаний по информатике, развитие и закрепление навыков работы с табличным процессором МS Ехсе1, и применение их для решения задач из предметной области, связанной с исследованиями. В задании формулируются условия задачи, исходные данные, форма выдачи результатов, указываются основные математические зависимости для решения задачи. В соответствии с методом решения задачи разрабатывается алгоритм решения. Поставленные задачи анализа данных можно решить с помощью инструментария MS Excel. Контрольный расчёт в среде МаthCAD позволяет убедиться в правильности решения задач.
Основными этапами курсовой работы являются:
1) формализация поставленной задачи;
2) выбор, обоснование и изложение метода решения задачи;
3) решение задачи с помощью инструментария;
4) оформление пояснительной записки и защита отчёта.
Оформление пояснительной записки должно начинаться с
титульного листа, содержать теоретические сведения и описание средств решения задач, постановку задачи.
В процессе выполнения работы студент должен продемонстрировать навыки самостоятельной работы с литературой, список которой должен быть обязательно включён в пояснительную записку.
Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов
Часто при анализе фактических результатов измерений или экспериментов возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между этими фактическими величинами.
Для нахождения аналитической взаимосвязи между двумя величинами х и у производят ряд наблюдений; в результате получается таблица значений:
xx 1 x 2 …x i …x n yy 1 y 2 …y i …y n
Поскольку табличные результаты получаются как итог каких-либо экспериментов, эти значения называются эмпирическими или опытными или экспериментальными значениями. Таким образом, исходными данными являются два одномерных массива одинаковой длины, содержащие эмпирические данные.
Если между величинами х и у существует некоторая функциональная зависимость, но её аналитический вид неизвестен, то возникает практическая задача — найти эмпирическую формулу
где а1, а2,…, ат — коэффициенты. Вид функции и значения коэффициентов а1, а2,…, ат подбираются таким образом, чтобы значения = F(xi, al, a2,…, am), вычисленные по эмпирической формуле при различных значениях xi, как можно меньше отличались бы от опытных значений уi.
Нахождение аналитической зависимости между эмпирическими величинами называется аппроксимацией функции, заданной таблично.
Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от опыта и знаний исследователя в предметной области, используя которые он может правильно указать класс функций.
Для аппроксимации вначале определяют класс функций, из которых выбирается аппроксимирующая функция F (x, al, a1,…, am), и далее отыскивают наилучшие значения коэффициентов.
Чаще всего для аппроксимации используют метод наименьших квадратов (МНК). Поясним геометрический смысл этого метода. Каждая пара чисел (xi, yi) из исходной таблицы определяет точку Мi на плоскости XOY. Используя формулу (2) с различными значениями коэффициентов а1, а2,…, ат, можно построить множество кривых, которые будут являться графиками теоретических функций F (x, al, a2,…, am). Величина = F(xi, a1, а2,…, ат) называется теоретическим значением функции в точке хi. Разность (- уi) называется отклонением или остатком и представляет собой расстояние по вертикали от точки М, до графика эмпирической функции.
Рис. 1. Геометрический смысл метода наименьших квадратов
Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами a1, a2,…, am считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденных теоретических значений функции от заданных эмпирических значений будет минимальной. Следовательно, задача состоит в определении коэффициентов а1, а2,…, ат таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.
Построение эмпирических формул состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение её наилучших параметров.
Если из теоретических соображений характер зависимости между величинами х и у неизвестен, то вид эмпирической зависимости может быть произвольным. Предпочтение отдаётся простым формулам, обладающим хорошей точностью.
Большое значение имеет изображение полученных экспериментальных данных в декартовых или в специальных системах координат. По положению точек можно примерно угадать вид зависимости путём установления подобия между построенным графиком и образцами известных кривых.
Для того, чтобы найти набор коэффициентов а1, а2,…, ат, при которых достигается минимум функции S(a1, a2,…, am), определяемой формулой (3), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных — равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему дли определения коэффициентов a1, а2,…, ат:
Таким образом, нахождение коэффициентов a1, а2,…, ат сводится к решению системы (4). Эта система упрощается, если эмпирическая формула (2) линейна относительно параметров a1, а2,…, ат, тогда система (4) будет линейной.
Конкретный вид системы (4) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (2). В случае линейной зависимости у = а1 +а2х система (4) примет вид:
где a1 и а2 — неизвестные, а суммы (); () и т.д. дают конкретные значения коэффициентов и свободных членов в системе линейных уравнений (5). Эта линейная система может быть решена любым известным методом (с помощью обратной матрицы, методом Гаусса, простых итераций, по формулам Крамера, и т.д.). В случае квадратичной зависимости у = а1+ а2х + а3х2 система (4) примет вид
Линеаризация нелинейных зависимостей
В ряде случаев в качестве эмпирической зависимости берут функцию, в которую неопределённые коэффициенты входят нелинейно. При этом функцию выбирают, как правило, такого вида, чтобы можно было её линеаризовать, т.е. свести к линейной. К таким зависимостей относятся, например, степенная:
и показательная зависимость:
В приведенных выше зависимостях а1 и а2 являются коэффициентами, которые необходимо определить численно.
В общем случае, такое преобразование может быть своё. Для указанных выше зависимостей это достигается путём логарифмирования.
В случае степенной зависимости линеаризацию выполним путём логарифмирования уравнения (7). В результате чего получим соотношение:
Обозначим ln y, ln х и ln a1, соответственно через z, t и b, тогда зависимость (9) может быть записана в виде z = b + a2t, что позволяет применить формулы (5) с заменой a1, на b и пересчетом исходных данных zi = ln yi, а ti = ln xi. После вычисления b определяем значение коэффициента a1 исходной зависимости по формуле а1= еb.
Линеаризацию экспоненциальной зависимости выполняем путём логарифмирования равенства (8), после чего получаем соотношение
Обозначим ln y и ln а1 соответственно через Z и с, тогда зависимость (6.4) может быть записана в виде z=c+а2·х, что позволяет применить формулы для вычисления коэффициентов линейной зависимости (с заменой а на с и уi на zi).
Линеаризующие преобразования для различных видов функций приведены в таблице 2.
Исходная функцияЗаменаЛинейное уравнение, экспоненциальнаяlnY=Z
равносторонняя гиперболаY = а 1 + а2Т
Специальный вид линейной зависимости
В традиции некоторых разделов науки зависимость содержания различных ионов (минерализации) от плотности пластовой воды принято представлять в виде
где X — плотность пластовой воды; Y — степень минерализации; с — некоторый параметр, зависящий от типа растворённых ионов (минералов).
Такой вид зависимости имеет ряд преимуществ по сравнению с традиционным. Во-первых, он обеспечивает нулевое значение степени минерализации для дистиллированной воды, которая имеет плотность, равную 1000, и при этом значении X, и, очевидно, Y равны нулю. Во-вторых, параметр с имеет простой смысл — он показывает, на сколько повышается степень минерализации для пластовой воды, если её плотность возрастает на единицу по сравнению с плотностью дистиллированной воды.
В качестве примера приведём эмпирическую зависимость содержания ионов от плотности воды, поступающей в скважину вместе с нефтью. Для этого был проанализирован состав вод по скважинам горизонта Д1 Ромашкинского месторождения, эксплуатирующимся в течение длительного времени. Для основных ионов пластовой воды: Na+, К+, Сa2+, Mg2+, Cl- — указанная зависимость в пределах изменения плотности пластовых вод 1030-1185 кг/м ³ (типичная зависимость) приведена на рис. 2. Очевидно, что она носит линейный характер и хорошо аппроксимируется уравнением
где ? — плотность воды, поступающей в скважину; с — постоянная величина для данного вида иона, характеризующая концентрацию.
Рис. 2. Зависимости содержания ионов от плотности воды, поступающей в скважину вместе с нефтью
Полученная закономерность подтверждена результатами обработки данных об изменении состава вод при заводнении продуктивных пластов девонского горизонта и верхнего карбона на 121-м месторождении Урало-Поволжья и Западной Сибири.
Чтобы определить коэффициент с в зависимости (12), достаточно сделать замену
Тогда зависимость (12) примет вид
Чтобы найти коэффициент с с помощью МНК, воспользуемся следующими соотношениями. Цель МНК — найти такое значение с, чтобы сумма квадратов отклонений S(c) была минимальной. Сумма квадратов отклонений в данном случае равна
Необходимым условием экстремума является соотношение
Соотношение (16) может быть преобразовано к виду:
Отсюда можно определить с :
Элементы теории корреляции
График теоретической зависимости YT (х), полученный по найденной эмпирической формуле, называется кривой регрессии. Для проверки согласия (справедливости) построенной кривой регрессии с результатами эксперимента, как правило, используют следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности.
Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми величинами. Он показывает, насколько хорошо, в среднем, может быть представлена (вычислена) одна из величин в виде линейной функции от другой.
Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:
где — среднеарифметические значения по x и y соответственно.
Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе |r| к 1, тем теснее линейная связь между х и у, и тем более целесообразна аппроксимация таблично заданной функции линейной зависимостью.
Особо подчеркнём, что если модуль коэффициента корреляции существенно меньше 1, это не означает отсутствия зависимости между х и у. Это означает только, что в таком случае не применима линейная аппроксимация, но можно искать аппроксимирующую зависимость среди степенных, экспоненциальных, квадратичных и других видов функций.
Чтобы определить, насколько хорошо построенная зависимость отображает эмпирические данные, водится ещё одна характеристика — коэффициент детерминированности R2.
Пусть Socm — сумма квадратов отклонений теоретических значений функции от эмпирических данных:
Полученная величина характеризует отклонение теоретических результатов от экспериментальных данных. Чем больше Socm, тем хуже выбранная теоретическая функция описывает экспериментальные данные и, наоборот, чем меньше Socm, тем лучше выбранная теоретическая функция описывает экспериментальные данные.
Введём понятие регрессионной суммы квадратов:
Эта величина характеризует разброс теоретических данных относительно среднего значения.
Для линейной зависимости справедливо следующее соотношение:
Обозначим: , тогда для линейной зависимости справедливо следующее равенство:
Коэффициент детерминированности R2 определяют по формуле:
Поскольку Snoлн ? 0, Socm ?0, и из формулы (23) следует, Snoлн ? Socm, то из формулы (15) следует
Чем меньше остаточная сумма квадратов Socm по сравнению с общей суммой квадратов Snom, тем больше значение коэффициента детерминированности R2. Коэффициент детерминированности R2 показывает, насколько хорошо полученная теоретическая функция описывает взаимосвязь между эмпирическими данными. Если этот коэффициент равен 1, то имеет место полное совпадение выбранной теоретической модели с фактическими данными. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности близок к нулю, то выбранная эмпирическая формула неудачна, и она не может использоваться для вычисления значений функции.
Коэффициент детерминированности служит показателем тесноты связи между фактором х и откликом у, описываемой данным уравнением.
Иногда показателям тесноты связи можно дать качественную оценку (шкала Чеддока) (табл. 3).
Количественная мера тесноты связиКачественная характеристика силы связи0,1-0,3Слабая0,3-0,5Умеренная0,5-0,7Заметная0,7-0,9Высокая0,9-0,99Весьма высокая
Решение задачи в MS Excel
Расчеты для определения коэффициентов зависимостей (1) и (13) с использованием MS Excel приведены на рис. 3-15.
На рис. 3-4 в ячейке С35 содержится вычисленный коэффициент корреляции r, он примерно равен 0,993. Это значение близко к единице, что позволяет сделать вывод о том, что содержание ионов Cl — (с, мг-экв/л) и плотность воды ( ?, кг/м ³ ), поступающей в скважину вместе с нефтью, связаны линейной зависимостью.
На рис. 3-4 также приведены расчеты по определению коэффициента с для «специализированного» уравнения (12).
Коэффициент с для иона Cl-, характеризующий концентрацию, находится в ячейке G34 и равен 25,76. Итак, искомое «специализированное» уравнение имеет вид:
с( ?) = 25, 77 · (? — 1000) (25)
Для определения качества уравнения вычислим коэффициент детерминированности R2. (рис. 5-6). Значение , равное 0,9864, приведено в ячейке J35. Такая величина (близкая к единице), позволяет сделать вывод, что «специализированное» уравнение хорошо описывает эмпирические данные.
Рис. 3. Решение задачи. Расчеты для «специализированного» уравнения на листе MS Excel в режиме отображения данных (начало)
Рис. 4. Решение задачи. Расчеты для «специализированного» уравнения на листе MS Excel в режиме отображения формул (начало)
Рис. 5. Решение задачи. Расчеты для «специализированного» уравнения на листе MS Excel в режиме отображения данных (окончание)
Рис. 6. Решение задачи. Расчеты для «специализированного» уравнения на листе MS Excel в режиме отображения формул (окончание)
Для определения коэффициентов зависимости (1), т.е. «общего» уравнения с использованием MS Excel приведены на рис. 7-10. При этом коэффициенты системы (5) определены в интервале ячеек B66:D66 (рис. 7-8). Система нормальных уравнений примет вид:
Коэффициенты матрицы системы содержатся в интервале ячеек B70:C71; вектор правых частей — в интервале ячеек B74:C75. Вектор решения содержится в интервале ячеек E74:E75. Таким образом, а1 и а2 равны —25828 и 25,822 соответственно, и уравнение общего вида может быть записано как
с(?) = 25,822·? — 25828 (26)
Рис. 7. Решение задачи. Расчеты для «общего» уравнения на листе MS Excel в режиме отображения данных (начало)
Рис. 8. Решение задачи. Расчеты для «общего» уравнения на листе MS Excel в режиме отображения формул (начало)
Для определения качества «общего» уравнения вычисляем коэффициент детерминированности R2 (рис. 9-10). Значение , приведенное в ячейке I68, равно 1. Такая величина (близкая к единице) позволяет сделать вывод, что полученное «общее» уравнение хорошо описывает эмпирические данные и делает это лучше, чем «специализированное» уравнение, у которого = 0,99. Это улучшение невелико, поскольку разница в коэффициентах мала и составляет 0,01.
Рис. 9. Решение задачи. Расчеты для «общего» уравнения на листе MS Excel в режиме отображения данных (окончание)
Рис. 10. Решение задачи. Расчеты для «общего» уравнения на листе MS Excel в режиме отображения формул (окончание)
Рис. 11. Решение задачи. Расчеты для определения прогнозного значения на листе MS Excel в режиме отображения данных
Рис. 12. Решение задачи. Расчеты для определения прогнозного значения на листе MS Excel в режиме отображения данных
Расчёты по этим уравнениям прогнозных значений величины содержания ионов Сl-, если плотность пластовой воды равна заданному значению ?прогнозн , приведены на рис. 11-12. Для определения величины ?прогнозн в ячейку F79 вводим формулу, соответствующую выражению ?тах — 0.1· ( ?max — ? min ), где ?тax и ?min — максимальное и минимальное значения плотности ? в таблице исходных данных (интервал ячеек Е7:ЕЗ1). В результате получим значение ? прогноз , равное 1157,8. Для вычисления прогнозных значений величины содержания ионов Сl — подставим это значение в найденные уравнения. Полученные прогнозные значения величин содержания ионов для «специализированного» и «общего» уравнений находятся в ячейках G83 и G84, соответственно. Абсолютная и относительная разности прогнозных значений приведены в ячейках H83 и I83.
Коэффициент с зависимости (13) также может быть найден с помощью MS Excel, если воспользоваться специальной возможностью средства «Диаграмма-Тренд». Для этого на вкладке «Параметры» нужно установить отметку (v ) в элементе управления с надписью «пересечение кривой с осью Y в точке 0» (рис. 13).
Рис. 13. Вкладка «Параметры» средства «Диаграмма-Тренд»
Результат применения этого средства приведен на рис. 14. Заметим что по оси абцисс откладываются не истинные значения плотности, а их отклонения от плотности дистиллированной воды, равной 1000. Коэффициент с и коэффициент детерминированности получились равными 25,822 и 0,9864, что полностью совпало со значением, вычисленным по расчетным формулам.
Рис. 14. Решение задачи. Построение средством «Диаграмма-Тренд» зависимости для «специализированного» уравнения на листе MS Excel
Коэффициенты а1 и а2 уравнения «общего» вида (1) также определены с помощью MS Excel «Диаграмма-Тренд» на диаграмме рис. 15. Все полученные величины совпали со значениями, полученными по расчётным формулам.
Рис. 15. Решение задачи. Построение средством «Диаграмма-Тренд» зависимости для «специализированного» уравнения на листе MS Excel.
Решение задачи в MathCad
Расчёты для определения коэффициентов зависимости (1) и (13) с использованием Mathcad приведены на рис. 16-20.
Исходные данные запишем в текстовый файл. Для этого можно скопировать исходные данные из интервала ячеек В7:С31 (рис. 4) в буфер обмена и перенести в текстовый файл, созданный с помощью «Блокнота». Далее (при необходимости) установить символ «точка» в качестве разделителя между целой и дробной частью чисел, после чего сохранить полученный файл с именем mnk_oil.txt. Вид текстового файла приведен на рис. 16. Этот текстовый файл будет использован для ввода данных как при расчетах в Mathcad, так и в MATLAB.
Все вычисления в Mathcad достаточно прозрачны. Для ввода данных используется команда ? Вставка ? Компонента из главного меню Mathcad.
Будет запущен Мастер (специальная программа), который обеспечит выполнение всей процедуры ввода, результат ввода будет находиться в двумерном массиве W. Далее эти данные (по столбцам) присваиваем одномерным массивам x и y, с которыми выполняем все дальнейшие операции.
Рис. 16. Решение задачи. Подготовка данных и запуск Мастера Компонентов для ввода данных в системе MathCad
Рис. 17. Решение задачи 1 в системе Mathcad (начало)
Рис. 18. Решение задачи 1 в системе Mathcad (продолжение)
Рис. 19. Решение задачи 1 в системе Mathcad (продолжение)
Рис. 20. Решение задачи 1 в системе Mathcad (продолжение)
Рис. 21. Решение задачи 1 в системе Mathcad (продолжение)
Рис. 22. Решение задачи 1 в системе Mathcad (окончание)
Основные выводы по решению задачи
Все вычисленные величины и коэффициенты зависимостей в системе Mathcad полностью совпали с соответствующими значениями, вычисленными в MS Excel.
Эмпирические зависимости содержания ионов Cl — (с, мгэкв/л) от плотности воды ? (кг/м ³ ) могут быть записаны в виде:
— уравнение «общего» вида.
Сопоставим величины коэффициентов детерминации и . Можно заметить, что , а значит уравнение «общего» вида формально хуже описывает экспериментальные данные, чем «специализированное» уравнение. Стоит заметить, что отличие незначительно, поскольку объяснённая доля дисперсии величины «с» «общим» уравнением всего на 0,01% меньше объяснённой доли дисперсии величины «с» «специализированным» уравнением. Таким образом, принимая во внимание, что весьма близко к единице и это уравнение умеет простой и ясный физический смысл, приходим к выводу, что для описания зависимости содержания ионов Cl — от плотности воды, поступающей в скважину вместе с нефтью, можно использовать «специализированное» уравнение. Другим выводом в пользу использования «специализированного» уравнения является тот факт, что графики этих зависимостей, приведённые на рис. 21, отличаются весьма незначительно.
Прогнозные значения содержания ионов Cl-, вычисленные по этим уравнениям при равны 4066,5 и 4068,1, соответственно. Отклонение этих величин незначительно и равно 0,04%. Полученные прогнозные значения величины для «специализированного» и «общего» уравнений имеют расхождение в единичных знаках. Это объясняется различной настройкой точности вычислений Worksheet Options в MS Excel и в MathCAD.
Список использованной литературы
1. Мановян А.К. Технология первичной переработки нефти и природного газа. М.: Химия. 2001, 568 с.
. Очков В.Ф. MathCAD 14 для студентов и инженеров: русская версия. СПб: BHV — Петербург. 2009, 512 с.
. Ломтадзе В.Д. Словарь по инженерной геологии. СПб.: СПГГИ(ТУ), 1999, 424 с.
Теги: Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов Курсовая работа (теория) Менеджмент
Источник
