Последовательность построения линии пересечения поверхностей способом концентрических сфер
Этот способ применяется для построения линии пересечения поверхностей вращения произвольного вида, при условии, что оси этих поверхностей пересекаются.
В основу способа концентрических сфер положено свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности.
Если центр сферы находится на оси какой-нибудь поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получатся окружности (рис. 106).
Рассмотрим способ концентрических сфер на примере построения линии пересечения цилиндра и конуса вращения, оси которых i(i1,i2) и q(q1,q2) пересекаются и точка пересечения осей обозначена через O(O1,O2) (рис. 107).
Точка пересечения осей поверхностей принимается за центр вспомогательных концентрических сфер.
Алгоритм решения задачи об определении линии пересечения поверхностей состоит в следующем:
1. Определить опорные точки (рис. 108). Так как обе данные поверхности имеют общую плоскость симметрии δ(δ1), параллельную плоскости проекций П2, то их очерковые образующие, по отношению к плоскости П2, пересекаются. Точки A(A1,A2), B(B1,B2), C(C1,C2) и D(D1,D2) пересечения этих образующих являются точками видимости линии пересечения поверхностей.
2. Определить радиусы максимальной и минимальной сфер, необходимых для определения точек линии пересечения.
Радиус максимальной сферы Rmax равен расстоянию от центра вспомогательных сфер до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих, в данном случае Rmax=O2A2 (рис. 109).
Чтобы определить радиус минимальной сферы Rmin, необходимо провести через точку O2 нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Тогда больший из отрезков этих нормалей и будет Rmin. В этом случае сфера минимального радиуса будет касаться одной из данных поверхностей, а со второй – пересекаться.
В данном случае сферой минимального радиуса является сфера, касающаяся цилиндрической поверхности (см. рис. 109).
Сфера радиусом Rmin касается цилиндрической поверхности по окружности m, которая на фронтальной проекции изображается в виде прямой m2), перпендикулярной q2) (m2)⊥q2)). Эта же сфера пересекает коническую поверхность по двум окружностям. Но, в данном случае, нам интересна только окружность n, так как только она дает решение. Эта окружность n изображается на фронтальной проекции в виде прямой n2), перпендикулярной i2)(n2)⊥i2)). Точки E и F пересечения этих окружностей будут принадлежать обеим поверхностям:
Чтобы построить горизонтальные проекции точек E и F следует воспользоваться окружностью n, содержащей данные точки, так как она не искажается на плоскости проекций П1:
3. Для построения промежуточных точек линии пересечения проводят несколько концентрических сфер с центром в точке O, причем радиус R этих сфер должен изменяться в пределах Rmin
Сфера радиусом R1 пересекает цилиндрическую поверхность по окружности l, которая на фронтальной проекции изображается в виде прямой l2, перпендикулярной q2(l2⊥q2). Эта же сфера пересекает коническую поверхность по окружности k, которая изображается на фронтальной проекции в виде прямой k2, перпендикулярной i2(k2⊥i2). Точки G и H пересечения этих окружностей будут точками искомой линии пересечения:
Чтобы построить горизонтальные проекции точек G и H, следует воспользоваться окружностью k, содержащей данные точки, так как она не искажается на плоскости проекций
4. Аналогичным образом определить все остальные точки искомой линии пересечения. Последовательно соединить полученные точки плавной лекальной кривой. В данном случае линия пересечения поверхностей цилиндра и конуса представляет собой две кривые второго порядка u(u1,u2) и u'(u’1,u’2) (рис. 112).
Горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей симметрична относительно плоскости δ(δ1) – общей плоскости симметрии данных поверхностей. Эта плоскость была указана ранее (см. рис. 108).
5. Определить видимость линии пересечения поверхностей и их очерковых образующих. На фронтальной плоскости проекций видимы будут те точки линии пересечения, которые лежат перед горизонтальной проекцией очерковых образующих, проекции которых совпадают с плоскостью симметрии δ(δ1), – точки A, M, G, E, D и B, K, P, C. На горизонтальной плоскости проекций линия u(u1,u2)видима, так как все ее точки лежат выше фронтальной проекции оси вращения цилиндра q(q2), а линия u'(u’1,u’2) будет невидима, поскольку все ее точки лежат ниже фронтальной проекции образующих, совпадающих с проекцией оси вращения цилиндра q(q2).
Источник
Способ концентрических сфер
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ.
СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР.
Способ концентрических сфер.
Рассмотрим построение линии пересечения двух поверхностей, когда в качестве поверхности-посредника используется сфера. При этом возможны два случая применения сфер:
1) вспомогательные сферы могут быть проведены из одного общего для всех сфер центра. В этом случае говорят о способе концентрических сфер,
2) вспомогательные сферы проводятся из разных центров. Этот способ называют способом эксцентрических сфер.
Предварительно скажем несколько слов о пересечении соосных поверхностей, т.е. поверхностей, имеющих общую ось вращения.
Пусть заданы две образующие линии (два главных меридиана) -прямая l и дуга окружности m (рисунок 12-1). При вращении их вокруг оси i будут описаны соответственно цилиндрическая и торовая поверхности. Каждая точка заданных линий при вращении вокруг оси i описывает в пространстве окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения.
Полученные поверхности пересекаются, причем линий пересечения будет столько, сколько точек пересечения имеют сами образующие линии (меридианы). Поскольку в нашем случае они пересекаются в двух точках, будет и две линии пересечения поверхностей, которые представляют собой окружности (параллели).
В частном случае одной из соосных поверхностей может быть сфера, если центр дуги окружности m находится на оси вращения i.
Таким образом, если центр сферы находится на оси некоторой поверхности вращения, то эта поверхность пересекается со сферой по окружностям. Это свойство и положено в основу способа вспомогательных сфер.
Способ концентрических сфер следует применять в случаях, когда соблюдаются следующие три условия:
· пересекаются поверхности вращения или поверхности, содержащие семейства окружностей, по которым их могут пересекать концентрические сферы;
· оси поверхностей вращения пересекаются;
· поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций. Если же она не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то необходимо произвести преобразование чертежа для достижения необходимых условий решения.
Пример 1. Построить линию пересечения конуса вращения с цилиндром вращения (рисунок 12-2).
Сначала определим некоторые опорные точки. Так как поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций, то пересечение их контурных образующих в точках А и В определяет высшую и низшую точки линии пересечения.
Центр сфер 0 выбирают в месте пересечения осей цилиндра и конуса, т.к. только в этом случае сферы будут соосны с обеими поверхностями.
Определим радиус минимальной Rmin и максимальной Rmax сфер, которые будем использовать при решении задачи. Rmax определяется расстоянием от точки 0 до самой удаленной опорной точки.
Для определения Rmin необходимо из центра 0 опустить перпендикуляры на очерковые образующие поверхностей из центра 0 опустить перпендикуляры на очерковые образующие поверхностей. Больший из них принимается в качестве Rmin, т.к. сфера такого радиуса будет касаться одной и пересекать вторую поверхность, что дает возможность найти общие для обеих поверхностей точки — точки линии пересечения. При радиусе сферы меньшем Rmin она не будет иметь общих точек с одной из поверхностей; построения теряют смысл.
Для построения случайных точек проводим сферы радиуса Rmin 
· каждая поверхность содержит семейство окружностей, по которым её могут пересекать эксцентрические сферы, общие для обеих поверхностей.
Пример 2. Построить линию пересечения конуса вращения со сферой (рисунок12-3).
Плоскостью симметрии данных поверхностей является фронтальная плоскость, поэтому можно применить способ вспомогательных сфер. Каких?
Задачу можно решить как способом концентрических сфер, так и эксцентрических. Решим её вторым способом.
Центр сфер можно брать в любой точке оси конуса вращения. На рисунке 12-3 проведены три сферы радиусов RI, R2, R3. Каждая из этих сфер пересекается с каждой из данных поверхностей по окружности, точки пересечения которых будут точками линии пересечения.
На виде сверху точки находим с помощью параллелей конуса h¹,h²,h³.
Пример 2. Построить линию пересечения конуса вращения с тором (рисунок 12-4).
Эту задачу можно решить только способом эксцентрических сфер.
Обе поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций, в которой расположены ось конуса и линия центров тора.
Как и во всех задачах на пересечение поверхностей, вначале определяем опорные точки. Самая верхняя и правая — т. А, расположенная на пересечении контурных линий. Чтобы найти нижнюю и левую т. В (точку касания контурных линий конуса и тора), необходимо из т. О опустить перпендикуляр на контурную образующую конуса; их пересечение определяет т.В.
Для построения дополнительных точек выделим одну окружность –m принадлежащую поверхности тора.
Центры всех сфер, которые будут пересекаться с тором по этой окружности, будут лежать на прямой n1 данной окружности C1 перпендикулярно к её плоскости. Эта прямая пересечёт ось конуса (т.к. они лежат в одной плоскости) в т. 01. Эта точка будет центром сферы, которая пересечёт поверхность конуса по окружности h1. Окружности m1 и h1 пересекаются в точках 1 и 2, которые будут принадлежать линии пересечения.
Для нахождения дополнительных точек нужно взять новую окружность на поверхности тора и все действия повторить.
На виде сверху точки линии пересечения находят при помощи параллелей конуса h.
Источник
Алгоритм решения
Способ вспомогательных сфер
При построении линии пересечения двух поверхностей способом
вспомогательных сфер возможны два случая:
-способ концентрических сфер– сферы проведены из одного, общего для всех сфер центра;
— способ эксцентрических сфер– сферы проведены из разных центров.
Способ концентрических сфер − сфер с постоянным центром.
Этот способ применяют при выполнении следующих условий:
а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
б) оси этих поверхностей должны пересекаться; точку их пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;
в)плоскость симметрии поверхностей должна быть параллельна какой-либо плоскости проекций.
1. Обозначается плоскость симметрии.
2. Определяется центр вспомогательных секущих сфер. Он находится в точке пересечения осей данных поверхностей.
3. Определяются радиусы минимальной и максимальной вспомогательных сфер. За Rmin принимается величина большей нормали. Rmax равно расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной от него опорной точки.
4. Проводится сфера минимального радиуса. Она будет касаться одной поверхности по окружности и пересекать вторую тоже по окружности. Точки пересечения этих окружностей будут являться точками искомой линии пересечения.
5. Для определения промежуточных точек линии пересечения из центра проводится семейство секущих сфер, величины радиусов которых изменяются в пределах от Rmin до Rmax (Rmin≤R≤Rmax).
6. Одноименные проекции точек соединяются плавной кривой линией.
7. Определяется видимость.
Задача 3. Построить проекции линии пересечения поверхностей прямого кругового конуса α с поверхностью прямого кругового цилиндра β.
Решение:
Шаг 1. Оси поверхностей вращения пересекаются в точке О=i Çi 2 . Плоскость симметрии Δ||П2, следовательно задача решается способом концентрических сфер (рис.24).
 |
| Рис. 24 |
Шаг 2. За центр сфер принимается точка пересечения осей заданных поверхностей. Отметим проекции точки О(О1,О2) пересечения осей заданных поверхностей и принимаем их за проекции общего центра всех секущих сфер.
Определим радиусы максимальной и минимальной сфер. Радиус максимальной сферы равен расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения линий очерков поверхностей (Rmax=.О2B2).
Радиус минимальной сферы определяется из условия касания минимальной сферы одной поверхности (вписывается в поверхность) и пересечения второй. Для определения минимального радиуса Rmin секущей сферы из точки О2 проводим перпендикуляры на очерковые образующие поверхностей. Больший из этих перпендикуляров (перпендикуляр О2N2 на образующую конусаα принимаем за Rmin (Rmin= О2N2).
Для построения промежуточных точек линий пересечения обе поверхности пересекаем концентрическими сферами, радиусы которых находятся в диапазоне Rmin
 |
| Рис.27 |
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Источник
