Понятие отношения способы задания отношений свойства отношений

Презентация по ТОНКМ с методикой обучения на тему «Отношения и соответствия»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Отношения и соответствия План: Отношения между элементами одного множества. Понятие отношения, способы задания. Свойства отношений. Отношение эквивалентности и порядка. Соответствие между элементами двух множеств. Понятие соответствия, способы задания. Взаимно однозначные соответствия. Задания для самостоятельной работы. Вопросы для самоконтроля.

В математике рассматривают связи между элементами одного множества и называют их отношениями. Если рассматривают отношения между двумя элементами, то их называют бинарными. Отношения многообразны: между понятиями – это отношения род и вида, части и целого; между предложениями – это отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…» и т. п.

Рассмотрим на множестве отрезков на рис.1 отношения перпендикулярности равенства «длиннее» Рисунок1 Построим графы данных отношений. Сравним их и выделим свойства.

Рисунок 2 «Граф отношений равенства»

Рисунок 3 «Граф отношения перпендикулярности»

Рисунок 4 «Граф отношения длиннее»

Определение. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой. На графе: «петля» в каждой вершине графа. Рефлексивны отношения: равенства (рисунок 2 «каждый отрезок равен сам себе»). кратности (каждое N число кратно самому себе). подобия.

На графе: две вершины соединены только одной стрелкой. Существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности. Пример. Дано отношение «быть сестрой» на множестве детей одной семьи: Катя, Маша, Толя. К М Т

Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности). Верно и обратное утверждение. Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично. Является отношением порядка отношения: «меньше» «длиннее»

Данное соответствие взаимно однозначное, т.к. каждому соответствует единственный

Курс повышения квалификации

Охрана труда

• Сейчас обучается 95 человек из 44 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

• Сейчас обучается 336 человек из 66 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

• Сейчас обучается 172 человека из 48 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-092237

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Осетии студенты проведут уроки вместо учителей старше 60 лет

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Руководители управлений образования ДФО пройдут переобучение в Москве

Время чтения: 1 минута

Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Правительство предложило потратить до 1 млрд рублей на установку флагов РФ у школ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Тема 5. Отношения на множестве

Понятие отношения между элементами одного множества.

Способы задания отношений.

Свойства бинарных отношений.

Отношение эквивалентности. Отношение порядка.

Основная литература 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34;

Дополнительная литература 1, 10, 14, 74

1. Понятие отношения между элементами одного множества

В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними.

Отношения многообразны. Между понятиями – это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями – отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…», «следует» и др.

Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, т.е отношения между двумя элементами, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю полезно знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.

Чтобы определить общее понятие отношения на множестве, рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = 2, 4, 6, 8 задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества Х можно сказать, какое из них меньше: 2 4, 2  6, 2  8, 4  6, 4  8, 6  8. Но все эти пары есть элементы декартова произведения ХХ, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве Х, можно сказать, что оно является подмножеством множества ХХ.

Определение. Отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения ХХ.

Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только бинарные отношения, то определимся, на множестве Х мы их будем определять следующим образом:

Определение. Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения ХХ.

Условимся отношения обозначать буквами R, S, T, P и др.

Если R – отношения на множестве Х, то, согласно определению, R ХХ. С другой стороны, если задано некоторое подмножество множества ХХ , то оно определяет на множестве Х некоторое отношение R.

Замечание. Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, можно записать так: (х,у)  R или х R у. Последняя запись читается : “Элемент х находится в отношении R с элементом у”.

2. Способы задания отношений

По определению отношения R между элементами множества Х есть всякое подмножество декартова произведения Х  Х, т.е. множество, элементами которого являются упорядоченные пары. Поэтому способы задания отношений, по существу, такие же, как и способы задания множеств.

Отношение R на множестве Х можно задать, перечислив все пары элементов, взятых из множества Х и связанных этим отношением.

Формы записи при этом могут быть различными. Например, некоторое отношение R на множестве Х = 4, 5, 6, 7, 9можно задать, записав множество пар: (5,4),(6,4),(6,5),(7,4),(7,5),(7,6),(9, 4),(9,5),(9,6),(9,7).То же отношение можно задать при помощи графа.

Отношения на конечном множестве Х можно представлять наглядно, при помощи особых чертежей, состоящих из точек, соединенных стрелками. Такие чертежи называют графами.

Построим граф отношения «меньше», заданного на множестве Х = 2, 4, 6, 8. Для этого элементы множества Х изобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение «меньше» – стрелкой.

На том же множестве Х можно рассмотреть другое отношение – «кратно». Граф этого отношения будет в каждой вершине иметь петлю (стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число кратно самому себе.

2   4

8   6

Чаще отношение R на множестве Х задают, указав характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в отношении R. Это свойство задается при помощи предложения с двумя переменными.

Пример. Пусть заданы рассмотренные выше отношения «меньше» и «кратно», причем использована краткая форма предложений«число х меньше числа у» и «число х кратно числу у». Некоторые такие предложения можно записать используя символы. Например, отношения «меньше» и «кратно» можно было записать в таком виде: «х  у», «ху». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или х – у = 3). Отношение между прямыми плоскости задают, используя символы: х // у, х у.

Для отношения R, заданного на множестве Х, всегда можно задать отношение R -1 , ему обратное. Например, если R – отношение “х меньше у”, то обратным ему будет отношение “ у меньше х”.

Понятием отношения, обратного данному, часто пользуются при начальном обучении математике. Например, чтобы предупредить ошибку в выборе действия, с помощью которого решается задача: «У Пети 7 карандашей, что на 2 меньше, чем у Бори. Сколько карандашей у Бори?» – ее переформулируют: «У Пети 7 карандашей, а у Бори на 2 больше. Сколько карандашей у Бори?». Видим, что переформулировка свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением «больше на 2».

Источник

Лекция 3. Отношения на множествах. Свойства бинарных отношений

п.3. Отношения на множествах. Свойства бинарных отношений.

Когда говорят о родстве двух людей, например, Сергей и Анна, то подразумевают, что есть некая семья, к членам которой они относятся. Упорядоченная пара (Сергей, Анна) отличается от других упорядоченных пар людей тем, что между Сергеем и Анной есть некое родство (кузина, отец и т. д.).

В математике среди всех упорядоченных пар прямого произведения двух множеств A и B (A´B) тоже выделяются «особые» пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других. В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь университета и множество K читаемых там курсов. В прямом произведении S´K можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s, k), обладающих свойством: студент s слушает курс k. Построенное подмножество отражает отношение «… слушает …», естественно возникающее между множествами студентов и курсов.

Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств введем понятие бинарного отношения.

Определение 3.1. Бинарным (или двухместным) отношением r между множествами A и B называется произвольное подмножество A´B, т. е.

.

В частности, если A=B (то есть rÍA2), то говорят, что r есть отношение на множестве A.

Элементы a и b называются компонентами (или координатами) отношения r.

Замечание. Договоримся, что для обозначения отношений между элементами множеств использовать греческий алфавит: r, t, j, s, w и т. д.

Определение 3.2. Областью определения бинарного отношения r называется множество Dr=<a | $ b, что arb> (левая часть). Областью значений бинарного отношения r называется множество Rr=<b | $ a, что arb> (правая часть).

Пример 3.1. Пусть даны два множества A= <1; 3; 5; 7>и B=<2; 4; 6>. Отношение зададим следующим образом t=<(x; y)ÎA´B | x+y=9>. Это отношение будет состоять из следующих пар (3; 6), (5; 4) и (7; 2), которые можно записать в виде t=<(3; 6), (5; 4), (7;2)>. В данном примере Dt= <3; 5; 7>и Rt= B=<2; 4; 6>.

Пример 3.2. Отношение равенства на множестве действительных чисел есть множество r=<(x; y) | x и y – действительные числа и x равно y>. Для этого отношения существует специальное обозначение «=». Область определения совпадает с областью значений и является множеством действительных чисел, Dr= Rr.

Пример 3.3. Пусть A – множество товаров в магазине, а B – множество действительных чисел. Тогда j=<(x; y)ÎA´B | y – цена x> – отношение множеств A и B.

Если обратить внимание на пример 3.1., то можно заметить, что данное отношение было задано сначала в виде t=<(x; y)ÎA´B | x+y=9>, а потом записано в виде t=<(3; 6), (5;4), (7;2)>. Это говорит о том, что отношения на множествах (или одном множестве) можно задавать различными способами. Рассмотрим способы задания бинарных отношений.

Способы задания отношений:

1) с помощью подходящего предиката;

2) множество упорядоченных пар;

3) в графической форме: пусть A и B – два конечных множества и r – бинарное отношение между ними. Элементы этих множеств изображаем точками на плоскости. Для каждой упорядоченной пары отношения r рисуют стрелку, соединяющую точки, представляющие компоненты пары. Такой объект называется ориентированным графом или орграфом, точки же, изображающие элементы множеств, принято называть вершинами графа.

4) в виде матрицы: пусть A=<a1, a2, …, an> и B=<b1, b2, …, bm>, r – отношение на A´B. Матричным представлением r называется матрица M=[mij] размера n´m, определенная соотношениями

.

Кстати, матричное представление является представлением отношения в компьютере.

Пример 3.4. Пусть даны два множества A=<1; 3; 5; 7>и B=<2; 4; 6>. Отношение задано следующим образом t=<(x; y) | x+y=9>. Задать данное отношение как множество упорядоченных пар, орграфом, в виде матрицы.

Решение. 1) t= <(3; 6), (5; 4), (7; 2)>— есть задание отношения как множества упорядоченных пар;

2) соответствующий ориентированный граф показан на рисунке.

3) в матричном представлении это отношение имеет вид

. ,

Пример 3.5. Еще в качестве примера можно рассмотреть предложенную Дж. фон Нейманом (1903 – 1957) блок-схему ЭВМ последовательного действия, которая состоит из множества устройств M:

,

где a – устройство ввода, b – арифметическое устройство (процессор), c – устройство управления, d – запоминающее устройство, e – устройство вывода.

Рассмотрим информационный обмен между устройствами mi и mj, которые находятся в отношении r, если из устройства mi поступает информация в устройство mj.

Это бинарное отношение можно задать перечислением всех его 14 упорядоченных пар элементов:

Соответствующий орграф, задающий это бинарное отношение, представлен на рисунке:

Матричное представление этого бинарного отношения имеет вид:

. ,

Для бинарных отношений обычным образом определены теоретико-множественные операции: объединение, пересечение и т. д.

Введем обобщенное понятие отношения.

Определение 3.3. n-местное (n—арное) отношение r – это подмножество прямого произведения n множеств, то есть множество упорядоченных наборов (кортежей)

Многоместные отношения удобно задавать с помощью реляционных таблиц. Такое задание соответствует перечислению множества n-к отношения r. Реляционные таблицы широко используются в компьютерной практике в реляционных базах данных. Заметим, что реляционные таблицы нашли применение в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.

Слово «реляционная» происходит от латинского слова relation, которое в переводе на русский язык означает «отношение». Поэтому в литературе для обозначения отношения используют букву R (латинскую) или r (греческую).

Далее мы будем рассматривать только двухместные (бинарные) отношения, при этом опуская слово «бинарные».

Определение 3.4. Пусть rÍA´B есть отношение на A´B. Тогда отношение r-1 называется обратным отношением к данному отношению r на A´B, которое определяется следующим образом:

Определение 3.5. Пусть r ÍA´B есть отношение на A´B, а s ÍB´C – отношение на B´C. Композицией отношений s и r называется отношение t ÍA´C,которое определяется следующим образом:

Пример 3.6. Пусть , и C=<,, !, d, à>. И пусть отношение r на A´B и отношение s на B´C заданы в виде:

Найти r-1 и s◦r, r◦s.

2) Используя определение композиции двух отношений, получаем

поскольку из (1, x)Îr и (x, ,)Îs следует (1, ,)Îs◦r;

из (1, x)Îr и (x, !)Îs следует (1, !)Îs◦r;

из (1, y)Îr и (y, d)Îs следует (1, d)Îs◦r;

из (3, x)Îr и (x, !)Îs следует (3, !)Îs◦r.

Теорема 3.1. Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) — ассоциативность композиции.

Доказательство. Свойство 1 очевидно.

Докажем свойство 2. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные в левой и правой частях равенства, состоят из одних и тех же элементов. Пусть (a; b) Î (s◦r)-1 Û (b; a) Î s◦r Û $ c такое, что (b; c) Î r и (c; a) Î s Û $ c такое, что (c; b) Î r-1 и (a; c) Î s-1 Û (a; b) Î r -1◦s -1.

Свойство 3 доказать самостоятельно.

3.2. Свойства бинарных отношений.

Рассмотрим специальные свойства бинарных отношений на множестве A.

Свойства бинарных отношений.

1. Отношение r на A´A называется рефлексивным, если (a,a) принадлежит r для всех a из A.

2. Отношение r называется антирефлексивным, если из (a,b)Îr следует a¹b.

3. Отношение r симметрично, если для a и b, принадлежащих A, из (a,b)Îr следует, что (b,a)Îr.

4. Отношение r называется антисимметричным, если для a и b из A, из принадлежности (a,b) и (b,a) отношению r следует, что a=b.

5. Отношение r транзитивно, если для a, b и c из A из того, что (a,b)Îr и (b,c)Îr, следует, что (a,c)Îr.

Решение. 1) Это отношение рефлексивно, так как для каждого aÎA, (a; a)Îr.

2) Отношение не является антирефлексивным, так как не выполняется условие этого свойства. Например, (2, 2)Îr, но отсюда не следует, что 2¹2.

3) Рассмотрим все возможные случаи, показав, что отношение r является симметричным:

4) Данное отношение не является антисимметричным, поскольку (1, 2)Îr и (2,1)Îr, но отсюда не следует, что 1=2.

5) Можно показать, что отношение r транзитивно, используя метод прямого перебора.

Как по матрице представления

определить свойства бинарного отношения

1. Рефлексивность: на главной диагонали стоят все единицы, звездочками обозначены нули или единицы.

.

2. Антирефлексивность: на главной диагонали все нули.

3. Симметричность: если .

4. Антисимметричность: все элементы вне главной диагонали равны нулю; на главной диагонали тоже могут быть нули.

.

Операция «*» выполняется по следующему правилу: , где , .

5. Транзитивность: если . Операция «◦» выполняется по обычному правилу умножения, при этом надо учитывать: .

3.3 Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.

Отношение эквивалентности является формализацией такой ситуации, когда говорят о сходстве (одинаковости) двух элементов множества.

Определение 3.6. Отношение r на A есть отношение эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности arb часто обозначается: a

Пример 3.8. Отношение равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентности.

Пример 3.9. Отношение «одного роста» есть отношение эквивалентности на множестве людей X.

Пример 3.10. Пусть ¢ — множество целых чисел. Назовем два числа x и y из ¢ сравнимыми по модулю m (mÎ¥) и запишем , если равны остатки этих чисел от деления их на m, т. е. разность (x—y) делится на m.

Отношение «сравнимых по модулю m целых чисел» есть отношение эквивалентности на множестве целых числе ¢. В самом деле:

это отношение рефлексивно, т. к. для «x΢ имеем x—x=0, и, следовательно, оно делится на m;

это отношение симметрично, т. к. если (x—y) делится на m, то и (y—x) тоже делится на m;

это отношение транзитивно, т. к. если (x—y) делится на m, то для некоторого целого t1 имеем , а если (y—z) делится на m, то для некоторого целого t2 имеем , отсюда , т. е. (x—z) делится на m.

Определение 3.7. Отношение r на A есть отношение частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно и обозначается символом °.

Частичный порядок важен в тех ситуациях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство. Иными словами, решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой.

Пример 3.11. Отношение x£y на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка. ,

Пример 3.12. Во множестве подмножеств некоторого универсального множества U отношение AÍB есть отношение частичного порядка.

Пример 3.13. Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей.

Прообразом отношения частичного порядка является интуитивное понятие отношения предпочтения (предшествования). Отношение предпочтения выделяет класс задач, которые можно объединить, как задача о проблеме выбора наилучшего объекта.

Формулировка задачи: пусть имеется совокупность объектов A и требуется сравнить их по предпочтительности, т. е. задать отношение предпочтения на множестве A и определить наилучшие объекты.

Отношение предпочтения P, которое можно определить как «aPb, a, bÎA Û объект a не менее предпочтителен, чем объект b» является по смыслу рефлексивным и антисимметричным (каждый объект не хуже самого себя, и, если объект a не хуже b и b не хуже a, то они одинаковы по предпочтительности). Естественно считать, что отношение P транзитивно (хотя в случае, когда, например, предпочтения обсуждаются группой лиц с противоположными интересами, это свойство может быть нарушено), т. е. P – отношение частичного порядка.

Один из возможных способов решения задачи сравнения объектов по предпочтительности – ранжирование, т. е. упорядочение объектов в соответствии с убыванием их предпочтительности или равноценности. В результате ранжирования мы выделяем «наилучшие» или «наихудшие» с точки зрения отношения предпочтения объекты.

Области применения задачи о проблеме выбора наилучшего объекта: теория принятия решений, прикладная математика, техника, экономика, социология, психология.

Источник