Понятие функции числовые функции способы задания функции

Содержание

Числовые функции. Определение и способы задания
Урок 1. Алгебра 10 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Числовые функции. Определение и способы задания»
Что такое Функция?
Понятие функции
Понятие функции. Способы задания функции
Числовые функции
Понятие числовой функции.
Равенство функций. Операции над функциями.
Способы задания функции.
График функции.
Четные и нечетные функции.
Ограниченные и неограниченные функции.
Монотонные функции.

Числовые функции. Определение и способы задания

Урок 1. Алгебра 10 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Числовые функции. Определение и способы задания»

· повторить определение числовых функций;

· повторить способы задания функций;

· повторить основные преобразования графиков числовых функций;

· повторить вид графиков основных функций.

Если даны числовое множество X и правило f, которое позволяет поставить в соответствие каждому элементу x из множества X определенное число y, то говорят, что задана функция y=f(x) с областью определения X.

x – независимая переменная или аргумент.

y – зависимая переменная.

Множество всех значений y=f(x), где x принадлежит множеству X называют областью значений функции и обозначают E(f).

Если дана функция y=f(x), где x принадлежит множеству X и на координатной плоскости отмечены все точки вида (x, y), где x принадлежит множеству X, а y=f(x), то множество этих точек называют графиком функции y=f(x), где x принадлежит множеству X.

Перед вами графики некоторых функций и их названия.

Зная график функции f(x) с помощью геометрических преобразований можно построить график функции y=f(x+a)+b. Для этого надо сделать параллельный перенос графика функции f(x) на вектор (-a;b), то есть на │a│ вправо, если a 0 на │b│ вверх, если b>0, и вниз, если b Оцените видеоурок

Источник

Что такое Функция?

О чем эта статья:

7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Источник

Понятие функции. Способы задания функции

Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут , при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции.

Существуют разные способы задания функций.

1. Аналитический способ.

Аналитический способ — это наиболее часто встречающийся способ задания функции.

Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Например .

Читайте также: Безрукавка каким способом образовано
Рассмотрим первый пример — . Здесь значению x = 1 соответствует , значению x = 3 соответствует и т. д.

Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями.

Во всех ранее приведенных примерах аналитического способа задания, функция была задана явно. То есть, справа стояла переменная y, а слева формула от переменной х. Однако, при аналитическом способе задания, функция может быть задана и неявно.

Например . Здесь, если мы задаем переменной x значение, то, чтобы найти значение переменной у (значение функции), мы должны решить уравнение. Например, для первой заданной функции при х = 3, будем решать уравнение:

. То есть, значение функции при х = 3 равно -4/3.

При аналитическом способе задания, функция может быть задана параметрически — это, когда х и у выражены через некоторый параметр t. Например,

Здесь при t = 2, x = 2, y = 4. То есть, значение функции при х = 2 равно 4.

2. Графический способ.

При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом . Пример:

3. Словесный способ.

Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле.

«Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число».

4. Табличный способ.

Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!

Источник

Числовые функции

Понятие числовой функции.

Пусть дано числовое множество $X\subset\mathbb$. Если каждому $x\in X$ поставлено в соответствие по некоторому правилу число $y$. то говорят, что на множестве $X$ определена числовая функция.

Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым символом, например, $f$ и пишут
$$
y=f(x),\;x\in X,\label
$$
а множество $X$ называют областью определения функции и обозначают $D(f)$, то есть $X=D(f)$.

$x$ часто называют аргументом или независимой переменной, а $y$ — зависимой переменной. Числа $x$ из множества $D(f)$ называют значениями аргумента. Число $y_0$, соответствующее значению $x_<0>\in D(f)$, называют значением функции при $x=x_<0>$ (или значением функции в точке $x_0$) и обозначают $f(x_0)$ или $f(x)|_>$. Совокупность всех значений, которые функция принимает на множестве $D(f)$, называют множеством значений функции и обозначают $E(f)$. Заметим, что если $y_0\in E(f)$, то существует по крайней мере одно число $x_<0>\in D(f)$ такое, что $f(x_0)=y_0$.

Функцию часто обозначают только символом ($f,\;\varphi,\;F$ и т. д.), который определяет правило (закон) соответствия. Для обозначения функции используются также записи вида $x\mapsto f(x),\;f:\;X\rightarrow Y$. Под словом «функция» часто понимают зависимую переменную $у$, значения которой определяются значениями независимой переменной $x$ и правилом $f$, или даже само это правило. Термин «функция» имеет синонимы: отображение, преобразование, морфизм. Например, говорят, что функция $f$ отображает множество $X=D(f)$ на множество $Y=E(f)$, и называют множество $Y$ образом множества $X$ при отображении $f$. Если $E(f)\subset E_1$, то говорят, что функция $f$ отображает $X$ в $E_1$.

Равенство функций. Операции над функциями.

Функции $f$ и $g$ называют равными или совпадающими, если они имеют одну и ту же область определения $X$ и для каждого $x\in X$ значения этих функций совпадают. В этом случае пишут $f(x)=g(x),\ x\in X$ или $f=g$.

Например, если $f(x)=\sqrt>, \ x\in\mathbb$,и $g(x)=|x|, \ x\in\mathbb$, то $f=g$, так как при всех $x\in\mathbb$ справедливо равенство $\sqrt>=|x|$.

Если $E’\subset D(f)$ , то функцию $g(x)=f(x),\;x\in E’$, называют сужением функции f на множество $E’$. Например, если $E’=[0, +\infty),$ то функция $ q(x)=x, \ x\in E’$, является сужением функции $f(x)=|x|$, $x\in\mathbb$ , на множество $E’$.

Если равенство $f(x)=g(x)$ верно при всех $x\in E’$, где $E’\subset D(f)\cap D(g)$, то есть сужения функций f и g на множество $E’$ совпадают, то в этом случае говорят, что функции $f$ и $g$ равны на множестве $E’$. Например, функции $\sqrt>$ и $x$ равны на множестве $ E’=[0,+\infty$).

Естественным образом для функций вводятся арифметические операции. Пусть функции $f$ и $g$ определены на одном и том же множестве $E$. Тогда функции, значения которых в каждой точке $x\in E$ равны $f(x)+g(x),\;f(x)-g(x),\;f(x)g(x),\;f(x)/g(x)(g(x)\neq 0$ для всех $x\in E$) , называют соответственно суммой, разностью, произведением и частным функций $f$ и $g$ и обозначают $f+g,\;f-g,\;fg,\;f/g$.

Введем понятие сложной функции. Пусть функции $y=\varphi(x)$ и $z=f(y)$ определены на множествах $X$ и $Y$ соответственно, причем множество значений функции $\varphi$ содержится в области определения функции $f$. Тогда функцию, принимающую при каждом $x\in X$ значение $F(x)=f(\varphi(x))$, называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций $\varphi$ и $f$ и обозначают $ f\circ \varphi $. Например, функция $z=\sqrt<4-x^2>,\;x\in [-2,2]$, является композицией функций $y=4-x^2,\;x\in [-2,2]$ и $z=\sqrt,\;y\in [0,+\infty)$ . Эта функция относится к совокупности элементарных функций, то есть функций, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций. К основным элементарным функциям относят постоянную, степенную, логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Например, элементарными являются функции:

линейная $y=ax+b, \ a\neq 0;$

квадратичная $y=ax^2+bx+c,\ a\neq 0$;

многочлен степени n, то есть функция , где $y=P_n(x)$, где $P_n(x)=a_x^+a_x^+\ldots+a_<1>x+a_0;$

рациональная функция, то есть функция вида $y=\frac(x)>(x)>$ где $P_$ и $Q_$ — многочлены степени n и m, $ m\neq 0$.

Способы задания функции.

Числовые функции чаще всего задаются при помощи формул. Такой способ задания называют аналитическим. Например, функции $y=x^2, \ y=|x|^<3>, \ y=\sin^3<3x>$ заданы на множестве $\mathbb$ аналитически.

Если числовая функция f задана формулой и не указана область ее определения $D(f)$ , то принято считать, что $D(f)$ — множество всех тех значений аргумента, при которых эта формула имеет смысл, и результатом каждой операции, указанной в формуле, является вещественное число. Например, если $f(x)=\sqrt<9-x^2>$, то $D(f)=[-3,3]$, а если $f(x)=\sqrt <\operatorname\sin>$, то $D(f)$ — множество корней уравнения $\sin x=1$ то есть множество чисел $x_=\pi/2.+2\pi k$, где $k\in Z$.

Следует отметить, что функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Например, функция
$$
f(x)=\left\<\begin-x,\quad если\;x\; 1,\end\right.\nonumber
$$
задана аналитическим способом на $\mathbb$ с помощью трех различных формул.

Иногда функциональная зависимость описывается с помощью таблицы, содержащей лишь некоторые значения аргумента и соответствующие значения функции. Для значений аргумента, не содержащихся в таблице, значения функции обычно находят приближенно.

На практике часто соответствие между значениями аргумента и значениями функции задается с помощью рисунка. Например, в медицине при изучении работы сердца получают электрокардиограммы — кривые, отражающие изменение с течением времени электрических импульсов в мышце сердца. В практике физических измерений функциональная зависимость часто задается с помощью эскиза графика, снимаемого, например, с экрана осциллографа.

График функции.

Графиком функции $y=f(x), x\in D(f),$ в прямоугольной системе координат $Oxy$-называют множество всех точек плоскости с координатами $(x,f(x)\overline<)>$, где $x\in D(f)$.

Для каждого $x_0\in D(f)$ прямая, $x=x_<0>$, параллельная оси $Oy$, пересекает график функции $y=f(x)$ , $x\in D(f)$, в одной точке $M_<0>(x_<0>,y_<0>)$ , где $y_<0>=f(x_<0>)$ — значение функции f при $x=x_<0>$. Значениях $x=a$, при котором $f(a)=0$, называют нулем функции $f(x)$. Если $x=a$ — нуль функции $f(x)$, то график функции $y=f(x)$ пересекает ось $Ox$ при $x=a$ то есть в точке М$(a,0)$.

Строго говоря, следует различать график функции, точное определение которого дано выше, и эскиз части графика, принимаемый нередко за график.

Построить график функции $y=E(x)$ , где $E(x)=[x]$ — целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Пусть $x\in[n,n+1$), где $n\in Z$, тогда $E(x)=n$. График функции $y=E(z)$ изображен на рис. 9.1. Стрелка на графике указывает на то, что точка в ее острие не принадлежит графику.

Рис. 9.1

Построить график функции $y=sign\;\sin x$ где
$$
\operatorname\;x=\left\<\begin1,\quad если\quad x>0,\\0,\quad если\quad x=0,\\-1,\quad если\quad x\; Решение

Если $x\in\left(-\pi+2k\pi,\;2k\pi\right)$ , где $k\in\mathbb$, то $\sin x\; 0$, и $sign \sin x=1$. Если $x=k\pi$, где $k\in\mathbb$, то $y=0$. График функции изображен на рис. 9.2.

Рис. 9.2

График функции $y=f(x)$ иногда можно получить преобразованием известного графика другой функции $y=g(x)$.

Функция $y=f(x)$ Преобразование графика функции $y=g(x)$

$y=g(x)+A$ Сдвиг (параллельный перенос) вдоль оси ординат на A

$y=g(x-a)$ Сдвиг вдоль оси абсцисс на а

$y=g(-x)$ Симметрия относительно оси ординат

$y=-g(x)$ Симметрия относительно оси абсцисс

$y=Bg(x)$ Умножение каждой ординаты на B, где $b\neq 0$

$y=g(kx)$ Деление каждой абсциссы на k, где $k\neq 0$

Приведем примеры применения преобразований, указанных в таблице.

График квадратичной функции
$$
y=ax^<2>+bx+c,\quad a\neq 0,\label
$$
можно получить сдвигом графика функции $у=ах$ вдоль оси $Ox$.

$\triangle$ Действительно, выделяя полный квадрат, получаем
$$
ax^2+bx+c=a(x+\displaystyle \frac<2a>)^<2>+c-\frac><4a>.\nonumber
$$
Поэтому графиком квадратичной функции \eqref является парабола, получаемая сдвигом параболы $y=ax^<2>.\quad\blacktriangle$

Рис. 9.3

Например, график функции $y=x^<2>-2x$, изображенный на рис. 9.3, можно получить сдвигом графика $у=x^2$ вдоль оси $Ox$ на 1 и вдоль оси $Oy$ на -1, так как $x^<2>-2x=(x-1)^<2>-1$.

График дробно-линейной функции
$$
y=\displaystyle \frac,\quad c\neq 0,\quad ad-bc\neq 0,\label
$$
можно получить преобразованием графика функции вида $y=\displaystyle \frac$.

В частности, если $y=\displaystyle \frac<3-2x>$, то $y=\displaystyle \frac<5-2(x+1)>=-2+\frac<5>$.

Рис. 9.4

Поэтому график этой функции можно получить сдвигом графика гиперболы $y=\displaystyle \frac<5>$ вдоль оси $Ox$ на -1 и вдоль оси $Oy$ на -2 (рис. 9.4). Отсюда следует, что график функции $y=\displaystyle \frac<3-2x>$ симметричен относительно точки $(-1, -2)$.

Построить график функции $y=\sqrt<-x>$.

$\triangle$ График функции $y=\sqrt<-x>$ можно получить из графика функции $y=\sqrt$ с помощью симметрии относительно оси ординат (рис. 9.5).$\blacktriangle$

Отметим еще, что график функции $y=|f(x)|$ можно получить из графика функции $у=f(x)$ следующим образом:

часть графика функции $f(x)$, лежащую выше оси $Ox$ и на этой оси, оставить без изменения;

часть графика функции f(x),лежащую ниже оси $Ox,$ симметрично отразить относительно Ox.

Построить график функции $y=|x^<2>-2x|.$

$\triangle$ Применяя указанный выше прием, строим график этой функции (рис. 9.6) с помощью графика функции $y=x^<2>-2x$ (рис.9.3). $\blacktriangle$

Четные и нечетные функции.

Функция f, определенная на множестве X, называется:

четной, если для любого $x\in X$ выполняются условия $-x\in X$ и $f(-x)=f(x)$;

нечетной, если для любого $x\in X$ выполняются условия $-x\in X$ и $f(-x)=-f(x)$.

Четными являются, например, следующие функции: $\displaystyle y=x^<4>,\;y=\cos\frac<2>,\;y=\lg |x|,\;y=\frac<\sin x>$, а нечетными — функции $y=\displaystyle \frac<1>>,\ y=\sin^<5>2x, y=x^<2>\displaystyle \operatorname\frac<2>,\ y=\arcsin(\sin x)$.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Построить график функции $y=x^<2>-2|x|.$

$\triangle$ Если $x\geq 0,$ то $y =x^2-2x$ (см. рис. 9.3). Так как $x^<2>-2|x|$— четная функция, то для функции, соответствующей значениям $x\leq 0$, следует симметрично отразить график $y=x^<2>-2x, x\geq 0,$ относительно оси $Oy$ (рис. 9.7). $\blacktriangle$

На рис. 9.8 изображен график нечетной функции $y=x^<3>.$

Рис. 9.8

Ограниченные и неограниченные функции.

Функцию f называют ограниченной снизу на множестве $X\subset D(f)$, если существует число $С_1$ такое, что для любого $x\in X$ выполняется неравенство $f(x) \geq C_1$.

Используя символы $\exists$ и $\forall$, это определение можно записать так:
$$
\exists C_<1>:\forall x\in X\rightarrow f(x)\geq C_<1>.\nonumber
$$
Аналогично функцию f называют ограниченной сверху на множестве $X\subset D(f)$, если
$$
\exists C_<2>:\forall x\in X\rightarrow f(x)\leq C_<2>.\nonumber
$$

Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве X, называют ограниченной на этом множестве.

Функция f является ограниченной на множестве X тогда и только тогда, когда
$$
\exists c>0:\forall x\in X\rightarrow|f(x)|\leq C.\label
$$

Если неравенство $|f(x)|\leq C$ выполняется для всех $x\in D(f)$, говорят, что функция f ограничена.

Геометрически ограниченность функции f на множестве X означает, что график функции $y=f(x), x\in X,$ лежит в полосе $<-C\leq y\leq C>.$

Например, функция $y=\displaystyle \sin\frac<1>$, определенная при $x\in\mathbb, x\neq 0$, ограничена, так как
$$
|\sin\frac<1>|\leq 1\nonumber
$$

Функция f не ограничена на множестве X, если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\forall C>0\ \exists x_\in X:|f(x_)|\geq C.\label
$$

Если $X= D(f)$ и выполнено условие \eqref, то говорят, что функция f не ограничена.

Доказать, что функция $y=\displaystyle \frac<1>>$ не ограничена.

$\triangle$ Функция $\displaystyle \frac<1>>$ определена при $x\in\mathbb$, $x\neq 0$. Пусть C — любое положительное число, и пусть $\displaystyle =\frac<1><\sqrt<2C>>>$, тогда $\displaystyle y(x_)=2C>C$ то есть выполняется условие \eqref. $\blacktriangle$

Пусть Y — множество значений, которые функция f принимает на множестве $X\subset D(f)$ . Тогда точную верхнюю грань множества Y называют точной верхней гранью функции f на множестве X и обозначают $\sup_$, а точную нижнюю грань множества Y — точной нижней гранью функции f на множестве X и обозначают $\displaystyle \inf_$.
Если X=D(f), то в этих определениях указание на множество X опускают.

Пусть существует точка $x_<0>\in X\subset D(f)$ такая, что для всех $x\in X$ выполняется неравенстве $f(x) \leq f(x_0)$.Тогда говорят, что функция f принимает в точке $x_<0>$ наибольшее (максимальное) значение на множестве X и пишут $f(x_<0>)=\displaystyle \max_f(x)$ В этом случае $\displaystyle \sup_=f(x_<0>) $

Аналогично, если $\exists x_<0>\in X\subset D(f):\forall x\in X\rightarrow f(x)\geq f(x_<0>)$ , то говорят, что функция f принимает в точке $x_0$ наименьшее (минимальное) значение на множестве X, и пишут $f(x_<0>)=\displaystyle \min_f(x)$. В этом случае $\displaystyle \inf_f(x)=f(x_<0>)$.

Максимальные и минимальные значения называют экстремальными.

Монотонные функции.

Функцию $f$ называют возрастающей (неубывающей) на множестве $X\subset D(f)$, если для любых точек $x_1 \in X, x_<2>\in X$ таких, что $x_<1>\; f(x_<2>).\nonumber
$$

Убывающие и возрастающие функции объединяют названием монотонные, а строго возрастающие и строго убывающие — названием строго монотонные.

Если \(X=D(f)$, то в этих определениях указание на множество $X$ обычно опускают.

Доказать, что функция f строго возрастает на множестве X, если:

Источник
Читайте также: Персональные компьютеры способ защиты

Функция \(y=f(x)\)	Преобразование графика функции \(y=g(x)\)
\(y=g(x)+A\)	Сдвиг (параллельный перенос) вдоль оси ординат на A
\(y=g(x-a)\)	Сдвиг вдоль оси абсцисс на а
\(y=g(-x)\)	Симметрия относительно оси ординат
\(y=-g(x)\)	Симметрия относительно оси абсцисс
\(y=Bg(x)\)	Умножение каждой ординаты на B, где \(b\neq 0\)
\(y=g(kx)\)	Деление каждой абсциссы на k, где \(k\neq 0\)