Понятие функции числовой способ задания функции

Что такое Функция?

О чем эта статья:

7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

• х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Источник

Числовые функции

Понятие числовой функции.

Пусть дано числовое множество \(X\subset\mathbb\). Если каждому \(x\in X\) поставлено в соответствие по некоторому правилу число \(y\). то говорят, что на множестве \(X\) определена числовая функция.

Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым символом, например, \(f\) и пишут
$$
y=f(x),\;x\in X,\label
$$
а множество \(X\) называют областью определения функции и обозначают \(D(f)\), то есть \(X=D(f)\).

\(x\) часто называют аргументом или независимой переменной, а \(y\) — зависимой переменной. Числа \(x\) из множества \(D(f)\) называют значениями аргумента. Число \(y_0\), соответствующее значению \(x_<0>\in D(f)\), называют значением функции при \(x=x_<0>\) (или значением функции в точке \(x_0\)) и обозначают \(f(x_0)\) или \(f(x)|_>\). Совокупность всех значений, которые функция принимает на множестве \(D(f)\), называют множеством значений функции и обозначают \(E(f)\). Заметим, что если \(y_0\in E(f)\), то существует по крайней мере одно число \(x_<0>\in D(f)\) такое, что \(f(x_0)=y_0\).

Функцию часто обозначают только символом (\(f,\;\varphi,\;F\) и т. д.), который определяет правило (закон) соответствия. Для обозначения функции используются также записи вида \(x\mapsto f(x),\;f:\;X\rightarrow Y\). Под словом «функция» часто понимают зависимую переменную \(у\), значения которой определяются значениями независимой переменной \(x\) и правилом \(f\), или даже само это правило. Термин «функция» имеет синонимы: отображение, преобразование, морфизм. Например, говорят, что функция \(f\) отображает множество \(X=D(f)\) на множество \(Y=E(f)\), и называют множество \(Y\) образом множества \(X\) при отображении \(f\). Если \(E(f)\subset E_1\), то говорят, что функция \(f\) отображает \(X\) в \(E_1\).

Равенство функций. Операции над функциями.

Функции \(f\) и \(g\) называют равными или совпадающими, если они имеют одну и ту же область определения \(X\) и для каждого \(x\in X\) значения этих функций совпадают. В этом случае пишут \(f(x)=g(x),\ x\in X\) или \(f=g\).

Например, если \(f(x)=\sqrt>, \ x\in\mathbb\),и \(g(x)=|x|, \ x\in\mathbb\), то \(f=g\), так как при всех \(x\in\mathbb\) справедливо равенство \(\sqrt>=|x|\).

Если \(E’\subset D(f)\) , то функцию \(g(x)=f(x),\;x\in E’\), называют сужением функции f на множество \(E’\). Например, если \(E’=[0, +\infty),\) то функция \( q(x)=x, \ x\in E’\), является сужением функции \(f(x)=|x|\), \(x\in\mathbb\) , на множество \(E’\).

Если равенство \(f(x)=g(x)\) верно при всех \(x\in E’\), где \(E’\subset D(f)\cap D(g)\), то есть сужения функций f и g на множество \(E’\) совпадают, то в этом случае говорят, что функции \(f\) и \(g\) равны на множестве \(E’\). Например, функции \(\sqrt>\) и \(x\) равны на множестве \( E’=[0,+\infty\)).

Естественным образом для функций вводятся арифметические операции. Пусть функции \(f\) и \(g\) определены на одном и том же множестве \(E\). Тогда функции, значения которых в каждой точке \(x\in E\) равны \(f(x)+g(x),\;f(x)-g(x),\;f(x)g(x),\;f(x)/g(x)(g(x)\neq 0\) для всех \(x\in E\)) , называют соответственно суммой, разностью, произведением и частным функций \(f\) и \(g\) и обозначают \(f+g,\;f-g,\;fg,\;f/g\).

Введем понятие сложной функции. Пусть функции \(y=\varphi(x)\) и \(z=f(y)\) определены на множествах \(X\) и \(Y\) соответственно, причем множество значений функции \(\varphi\) содержится в области определения функции \(f\). Тогда функцию, принимающую при каждом \(x\in X\) значение \(F(x)=f(\varphi(x))\), называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций \(\varphi\) и \(f\) и обозначают \( f\circ \varphi \). Например, функция \(z=\sqrt<4-x^2>,\;x\in [-2,2]\), является композицией функций \(y=4-x^2,\;x\in [-2,2]\) и \(z=\sqrt,\;y\in [0,+\infty)\) . Эта функция относится к совокупности элементарных функций, то есть функций, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций. К основным элементарным функциям относят постоянную, степенную, логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Например, элементарными являются функции:

1. линейная \(y=ax+b, \ a\neq 0;\)
2. квадратичная \(y=ax^2+bx+c,\ a\neq 0\);
3. многочлен степени n, то есть функция , где \(y=P_n(x)\), где \(P_n(x)=a_x^+a_x^+\ldots+a_<1>x+a_0;\)
4. рациональная функция, то есть функция вида \(y=\frac(x)>(x)>\) где \(P_\) и \(Q_\) — многочлены степени n и m, \( m\neq 0\).

Способы задания функции.

Числовые функции чаще всего задаются при помощи формул. Такой способ задания называют аналитическим. Например, функции \(y=x^2, \ y=|x|^<3>, \ y=\sin^3<3x>\) заданы на множестве \(\mathbb\) аналитически.

Если числовая функция f задана формулой и не указана область ее определения \(D(f)\) , то принято считать, что \(D(f)\) — множество всех тех значений аргумента, при которых эта формула имеет смысл, и результатом каждой операции, указанной в формуле, является вещественное число. Например, если \(f(x)=\sqrt<9-x^2>\), то \(D(f)=[-3,3]\), а если \(f(x)=\sqrt <\operatorname\sin>\), то \(D(f)\) — множество корней уравнения \(\sin x=1\) то есть множество чисел \(x_=\pi/2.+2\pi k\), где \(k\in Z\).

Следует отметить, что функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Например, функция
$$
f(x)=\left\<\begin-x,\quad если\;x\; 1,\end\right.\nonumber
$$
задана аналитическим способом на \(\mathbb\) с помощью трех различных формул.

Иногда функциональная зависимость описывается с помощью таблицы, содержащей лишь некоторые значения аргумента и соответствующие значения функции. Для значений аргумента, не содержащихся в таблице, значения функции обычно находят приближенно.

На практике часто соответствие между значениями аргумента и значениями функции задается с помощью рисунка. Например, в медицине при изучении работы сердца получают электрокардиограммы — кривые, отражающие изменение с течением времени электрических импульсов в мышце сердца. В практике физических измерений функциональная зависимость часто задается с помощью эскиза графика, снимаемого, например, с экрана осциллографа.

График функции.

Графиком функции \(y=f(x), x\in D(f),\) в прямоугольной системе координат \(Oxy\)-называют множество всех точек плоскости с координатами \((x,f(x)\overline<)>\), где \(x\in D(f)\).

Для каждого \(x_0\in D(f)\) прямая, \(x=x_<0>\), параллельная оси \(Oy\), пересекает график функции \(y=f(x)\) , \(x\in D(f)\), в одной точке \(M_<0>(x_<0>,y_<0>)\) , где \(y_<0>=f(x_<0>)\) — значение функции f при \(x=x_<0>\). Значениях \(x=a\), при котором \(f(a)=0\), называют нулем функции \(f(x)\). Если \(x=a\) — нуль функции \(f(x)\), то график функции \(y=f(x)\) пересекает ось \(Ox\) при \(x=a\) то есть в точке М\((a,0)\).

Строго говоря, следует различать график функции, точное определение которого дано выше, и эскиз части графика, принимаемый нередко за график.

Построить график функции \(y=E(x)\) , где \(E(x)=[x]\) — целая часть числа \(x\) (наибольшее целое число, не превосходящее \(x\)).

Пусть \(x\in[n,n+1\)), где \(n\in Z\), тогда \(E(x)=n\). График функции \(y=E(z)\) изображен на рис. 9.1. Стрелка на графике указывает на то, что точка в ее острие не принадлежит графику.

Рис. 9.1

Построить график функции \(y=sign\;\sin x\) где
$$
\operatorname\;x=\left\<\begin1,\quad если\quad x>0,\\0,\quad если\quad x=0,\\-1,\quad если\quad x\; Решение

Если \(x\in\left(-\pi+2k\pi,\;2k\pi\right)\) , где \(k\in\mathbb\), то \(\sin x\; 0\), и \(sign \sin x=1\). Если \(x=k\pi\), где \(k\in\mathbb\), то \(y=0\). График функции изображен на рис. 9.2.

Рис. 9.2

График функции \(y=f(x)\) иногда можно получить преобразованием известного графика другой функции \(y=g(x)\).

Функция \(y=f(x)\)	Преобразование графика функции \(y=g(x)\)
\(y=g(x)+A\)	Сдвиг (параллельный перенос) вдоль оси ординат на A
\(y=g(x-a)\)	Сдвиг вдоль оси абсцисс на а
\(y=g(-x)\)	Симметрия относительно оси ординат
\(y=-g(x)\)	Симметрия относительно оси абсцисс
\(y=Bg(x)\)	Умножение каждой ординаты на B, где \(b\neq 0\)
\(y=g(kx)\)	Деление каждой абсциссы на k, где \(k\neq 0\)

Приведем примеры применения преобразований, указанных в таблице.

График квадратичной функции
$$
y=ax^<2>+bx+c,\quad a\neq 0,\label
$$
можно получить сдвигом графика функции \(у=ах\) вдоль оси \(Ox\).

\(\triangle\) Действительно, выделяя полный квадрат, получаем
$$
ax^2+bx+c=a(x+\displaystyle \frac<2a>)^<2>+c-\frac><4a>.\nonumber
$$
Поэтому графиком квадратичной функции \eqref является парабола, получаемая сдвигом параболы \(y=ax^<2>.\quad\blacktriangle\)

Рис. 9.3

Например, график функции \(y=x^<2>-2x\), изображенный на рис. 9.3, можно получить сдвигом графика \(у=x^2\) вдоль оси \(Ox\) на 1 и вдоль оси \(Oy\) на -1, так как \(x^<2>-2x=(x-1)^<2>-1\).

График дробно-линейной функции
$$
y=\displaystyle \frac,\quad c\neq 0,\quad ad-bc\neq 0,\label
$$
можно получить преобразованием графика функции вида \(y=\displaystyle \frac\).

В частности, если \(y=\displaystyle \frac<3-2x>\), то \(y=\displaystyle \frac<5-2(x+1)>=-2+\frac<5>\).

Рис. 9.4

Поэтому график этой функции можно получить сдвигом графика гиперболы \(y=\displaystyle \frac<5>\) вдоль оси \(Ox\) на -1 и вдоль оси \(Oy\) на -2 (рис. 9.4). Отсюда следует, что график функции \(y=\displaystyle \frac<3-2x>\) симметричен относительно точки \((-1, -2)\).

Построить график функции \(y=\sqrt<-x>\).

\(\triangle\) График функции \(y=\sqrt<-x>\) можно получить из графика функции \(y=\sqrt\) с помощью симметрии относительно оси ординат (рис. 9.5).\(\blacktriangle\)

Отметим еще, что график функции \(y=|f(x)|\) можно получить из графика функции \(у=f(x)\) следующим образом:

1. часть графика функции \(f(x)\), лежащую выше оси \(Ox\) и на этой оси, оставить без изменения;
2. часть графика функции f(x),лежащую ниже оси \(Ox,\) симметрично отразить относительно Ox.

Построить график функции \(y=|x^<2>-2x|.\)

\(\triangle\) Применяя указанный выше прием, строим график этой функции (рис. 9.6) с помощью графика функции \(y=x^<2>-2x\) (рис.9.3). \(\blacktriangle\)

Четные и нечетные функции.

Функция f, определенная на множестве X, называется:

1. четной, если для любого \(x\in X\) выполняются условия \(-x\in X\) и \(f(-x)=f(x)\);
2. нечетной, если для любого \(x\in X\) выполняются условия \(-x\in X\) и \(f(-x)=-f(x)\).

Четными являются, например, следующие функции: \(\displaystyle y=x^<4>,\;y=\cos\frac<2>,\;y=\lg |x|,\;y=\frac<\sin x>\), а нечетными — функции \(y=\displaystyle \frac<1>>,\ y=\sin^<5>2x, y=x^<2>\displaystyle \operatorname\frac<2>,\ y=\arcsin(\sin x)\).

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Построить график функции \(y=x^<2>-2|x|.\)

\(\triangle\) Если \(x\geq 0,\) то \(y =x^2-2x\) (см. рис. 9.3). Так как \(x^<2>-2|x|\)— четная функция, то для функции, соответствующей значениям \(x\leq 0\), следует симметрично отразить график \(y=x^<2>-2x, x\geq 0,\) относительно оси \(Oy\) (рис. 9.7). \(\blacktriangle\)

На рис. 9.8 изображен график нечетной функции \(y=x^<3>.\)

Рис. 9.8

Ограниченные и неограниченные функции.

Функцию f называют ограниченной снизу на множестве \(X\subset D(f)\), если существует число \(С_1\) такое, что для любого \(x\in X\) выполняется неравенство \(f(x) \geq C_1\).

Используя символы \(\exists\) и \(\forall\), это определение можно записать так:
$$
\exists C_<1>:\forall x\in X\rightarrow f(x)\geq C_<1>.\nonumber
$$
Аналогично функцию f называют ограниченной сверху на множестве \(X\subset D(f)\), если
$$
\exists C_<2>:\forall x\in X\rightarrow f(x)\leq C_<2>.\nonumber
$$

Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве X, называют ограниченной на этом множестве.

Функция f является ограниченной на множестве X тогда и только тогда, когда
$$
\exists c>0:\forall x\in X\rightarrow|f(x)|\leq C.\label
$$

Если неравенство \(|f(x)|\leq C\) выполняется для всех \(x\in D(f)\), говорят, что функция f ограничена.

Геометрически ограниченность функции f на множестве X означает, что график функции \(y=f(x), x\in X,\) лежит в полосе \(<-C\leq y\leq C>.\)

Например, функция \(y=\displaystyle \sin\frac<1>\), определенная при \(x\in\mathbb, x\neq 0\), ограничена, так как
$$
|\sin\frac<1>|\leq 1\nonumber
$$

Функция f не ограничена на множестве X, если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\forall C>0\ \exists x_\in X:|f(x_)|\geq C.\label
$$

Если \(X= D(f)\) и выполнено условие \eqref, то говорят, что функция f не ограничена.

Доказать, что функция \(y=\displaystyle \frac<1>>\) не ограничена.

\(\triangle\) Функция \(\displaystyle \frac<1>>\) определена при \(x\in\mathbb\), \(x\neq 0\). Пусть C — любое положительное число, и пусть \(\displaystyle =\frac<1><\sqrt<2C>>>\), тогда \(\displaystyle y(x_)=2C>C\) то есть выполняется условие \eqref. \(\blacktriangle\)

Пусть Y — множество значений, которые функция f принимает на множестве \(X\subset D(f)\) . Тогда точную верхнюю грань множества Y называют точной верхней гранью функции f на множестве X и обозначают \(\sup_\), а точную нижнюю грань множества Y — точной нижней гранью функции f на множестве X и обозначают \(\displaystyle \inf_\).
Если X=D(f), то в этих определениях указание на множество X опускают.

Пусть существует точка \(x_<0>\in X\subset D(f)\) такая, что для всех \(x\in X\) выполняется неравенстве \(f(x) \leq f(x_0)\).Тогда говорят, что функция f принимает в точке \(x_<0>\) наибольшее (максимальное) значение на множестве X и пишут \(f(x_<0>)=\displaystyle \max_f(x)\) В этом случае \(\displaystyle \sup_=f(x_<0>) \)

Аналогично, если \(\exists x_<0>\in X\subset D(f):\forall x\in X\rightarrow f(x)\geq f(x_<0>)\) , то говорят, что функция f принимает в точке \(x_0\) наименьшее (минимальное) значение на множестве X, и пишут \(f(x_<0>)=\displaystyle \min_f(x)\). В этом случае \(\displaystyle \inf_f(x)=f(x_<0>)\).

Максимальные и минимальные значения называют экстремальными.

Монотонные функции.

Функцию \(f\) называют возрастающей (неубывающей) на множестве \(X\subset D(f)\), если для любых точек \(x_1 \in X, x_<2>\in X\) таких, что \(x_<1>\; f(x_<2>).\nonumber
$$

Убывающие и возрастающие функции объединяют названием монотонные, а строго возрастающие и строго убывающие — названием строго монотонные.

Если \(X=D(f)\), то в этих определениях указание на множество \(X\) обычно опускают.

Доказать, что функция f строго возрастает на множестве X, если:

Источник

Читайте также:  По способу представления информационные ресурсы могут быть