Интерполяционный многочлен Ньютона (полином Ньютона)
Этот онлайн калькулятор строит интерполяционный многочлен Ньютона для заданного набора точек. Калькулятор показывает пошаговое решение, интерполирует заданные точки, а также строит график.
Калькулятор ниже строит интерполяционный многочлен Ньютона (полином Ньютона) в общем виде (то есть ему не требуется, чтобы точки из набора значений находились друг от друга на равном расстоянии), после чего упрощает его, раскрывая скобки, и получает результат, пригодный для расчетов. Помимо этого калькулятор интерполирует значения неизвестной функции в указанных точках и строит график полинома, отмечая точки интерполяции и точки из заданного набора данных.
Как пользоваться
Сначала вводите набор точек — одна точка на строку в форме x f(x), значения разделены пробелом. Если вы хотите получить интерполяцию, вводите значения точек, в которых надо найти значения интерполяционного многочлена в следующее поле в виде значений x, разделенных пробелом.
Теория и формулы, как обычно, описаны под калькулятором.
Интерполяционный многочлен Ньютона (полином Ньютона)
Интерполяционный многочлен Ньютона (полином Ньютона)
В общем виде интерполяционный многочлен Ньютона записывается в следующем виде:
где n — степень полинома,
— разделенная разность k-го порядка, вычисляемая как
.
Разделенную разность k-го порядка также можно выразить через значения функции в точках с помощью такой формулы:
.
Последняя формула и используется в калькуляторе.
Полином Ньютона — это форма записи полинома n-ной степени, который проходит через все заданные точки из набора значений. Такая форма является более удобной формой представления интерполяционного полинома для ручных расчетов, так как при добавлении дополнительного узла все вычисленные ранее слагаемые остаются без изменения, а к выражению добавляется только одно новое слагаемое.
При этом сам интерполяционный полином для заданного набора данных является единственным, и по сути, полином Ньютона только по форме отличается от полинома Лагранжа, после упрощения превращаясь в один и тот же полином.
Источник
Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
Выборка экспериментальных данных представляет собой массив данных, который характеризует процесс изменения измеряемого сигнала в течение заданного времени (либо относительно другой переменной). Для выполнения теоретического анализа измеряемого сигнала необходимо найти аппроксимирующую функцию, которая свяжет дискретный набор экспериментальных данных с непрерывной функцией — интерполяционным полиномом n -степени. Данный интерполяционный полином n-степени может быть записан, например, в форме Ньютона (один из способов представления).
Интерполяционный многочлен в форме Ньютона – это математическая функция позволяющая записать полином n -степени, который будет соединять все заданные точки из набора значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки с постоянным/переменным временным шагом измерений.
1. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента
В общем виде интерполяционный многочлен в форме Ньютона записывается в следующем виде:
где n – вещественное число, которое указывает степень полинома;
– переменная, которая представляет собой разделенную разность k-го порядка, которая вычисляется по следующей формуле:
Разделённая разность является симметричной функцией своих аргументов, то есть при любой их перестановке её значение не меняется. Следует отметить, что для разделённой разности k-го порядка справедлива следующая формула:
В качестве примера, рассмотрим построение полинома в форме Ньютона по представленной выборке данных, которая состоит из трех заданных точек 
. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона, который проходит через три заданных точки, будет записываться в следующем виде:
• Разделенная разность 1-го порядка определяется следующим выражением
Следует отметить, что данное выражение может быть переписано в другом виде:
• Разделенная разность 2-го порядка определяется следующим выражением
Следует отметить, что данное выражение может быть переписано в другом виде:
Форма Ньютона является удобной формой представления интерполяционного полинома n-степени, так как при добавлении дополнительного узла все вычисленные ранее слагаемые остаются без изменения, а к выражению добавляется только одно новое слагаемое. Следует отметить, что интерполяционный полином в форме Ньютона только по форме отличается от интерполяционного полинома в форме Лагранжа, представляя собой на заданной сетке один и тот же интерполяционный полином.
Следует отметить, что полином в форме Ньютона может быть представлен в более компактном виде (по схеме Горнера), которая получается путем последовательного вынесения за скобки множителей 
2. Интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих значений аргумента
В случае если значения функции заданы для равноотстоящих значений аргумента, которые имеют постоянный шаг измерений 
, то используют другую форму записи интерполяционного многочлена по формуле Ньютона.
• Для интерполирования функции в конце рассматриваемого интервала (интерполирование назад и экстраполирование вперед) используют интерполяционный полином в форме Ньютона в следующей записи:
где конечные разности k -порядка определяются по следующему выражению
Получаемые конечные разности удобно представлять в табличной форме записи, в виде горизонтальной таблице конечных разностей. В этой формуле из таблицы конечных разностей используются 
верхней диагонали.
• Для интерполирования функции в начале рассматриваемого интервала (интерполирование вперед и экстраполирование назад) используют интерполяционный полином в форме Ньютона в следующей записи:
где конечные разности k -порядка определяются по следующему выражению
Получаемые конечные разности удобно представлять в табличной форме записи, в виде горизонтальной таблице конечных разностей. В формуле из таблицы конечных разностей используются 
нижней диагонали.
3. Погрешность интерполяционного полинома в форме Ньютона
Рассмотрим функцию f ( x ), которая непрерывна и дифференцируема на рассматриваемом отрезке [a, b]. Интерполяционный полином P (x) в форме Ньютона принимает в точках 
заданные значения функции 
. В остальных точках интерполяционный полином P (x) отличается от значения функции f ( x ) на величину остаточного члена, который определяет абсолютную погрешность интерполяционной формулы Ньютона:
Абсолютную погрешность интерполяционной формулы Ньютона определяют следующим образом:
Переменная 
представляет собой верхнюю границу значения модуля (n +1)-й производной функции f(x) на заданном интервале [a, b]
В случае равноотстоящих узлов 
абсолютная погрешность интерполяционной формулы Ньютона определяют следующим образом:
Выражение записано с учетом следующей формулы:
Выбор узлов интерполяции
С помощью корректного выбора узлов можно минимизировать значение 
в оценке погрешности, тем самым повысить точность интерполяции. Данная задача может быть решена с помощью многочлена Чебышева:
В качестве узлов следует взять корни этого многочлена, то есть точки:
4. Методика вычисления полинома в форме Ньютона (прямой способ)
Алгоритм вычисления полинома в форме Ньютона позволяет разделить задачи определения коэффициентов и вычисления значений полинома при различных значениях аргумента:
1. В качестве исходных данных задается выборка из n -точек, которая включает в себя значения функции и значения аргумента функции.
2. Выполняется вычисление разделенных разностей n-порядка, которые будет использоваться для построения полинома в форме Ньютона.
3. Выполняется вычисление полинома n-степени в форме Ньютона по следующей формуле:
Алгоритм вычисления полинома в форме Ньютона 
представлен на рисунке 1.
Рис.1 . Методика вычисления полинома в форме Ньютона
Следует отметить, что разделённые разности k-го порядка в соответствии с представленной методикой перезаписывается в вектор столбец функции 
, а результирующая разделенная разность всегда находится в первой ячейке функций 
. Рассмотрим, каким образом будет изменяться вектор столбец функции при выполнении расчета по представленной методике.
В качестве примера рассмотрим следующую практическую задачу. В рамках задачи известен набор шести значений, которые получены методом случайной выборки для различных моментов времени. Следует отметить, что данная выборка значений описывает функция 
на интервале [0, 10]. Необходимо построить многочлен в форме Ньютона для представленного набора значений. С помощью интерполяционной формулы вычислить приближенное значение функции в точке 
, а также определить оценку погрешности результата вычислений.
Многочлен в форме Ньютона, который строится на основании шести значений, представляет собой полином 5 степени. Результат построения полинома в форме Ньютона показан в графическом виде.
Рис.2 . Исходная функция и полином в форме Ньютона, построенный по шести заданным точкам
С помощью найденного полинома можно определить значение функции в любой точке заданного интервала. Определение промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений называется «интерполяцией». В соответствии с условиями задачи полином в форме Ньютона в точке x =9,5 принимает следующее значение: L (9,5)= – 4,121. Из графика видно, что полученное значение не совпадает c о значением функции f ( x ) на величину абсолютной погрешности интерполяционной формулы Ньютона.
Интерполяционный полином в форме Ньютона часто оказывается удобным для проведения различных теоретических исследований в области вычислительной математики. Так, например, полином в форме Ньютона используются для интерполяции, а также для численного интегрирования таблично-заданной функцией.
Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.
Источник
