Полином жегалкина способы нахождения

Рассмотрим алгоритмы построения полинома Жегалкина булевой функции, заданной различными способами, а именно: совершенной ДНФ, произвольной ДНФ, формулой и таблицей истинности.

Алгоритм построения полинома Жегалкина по СовДНФ (основан на доказательстве теоремы о существовании полинома Жегалкина).

Начало. Задана совершенная ДНФ функции f(x₁, …, x_n).

Шаг 1. Заменяем каждый символ дизъюнкции на символ дизюнкции с исключением.

Шаг 2. Заменяем каждую переменную с инверсией x равносильной формулой x 1.

Шаг 3. Раскрываем скобки.

Шаг 4. Вычеркиваем из формулы пары одинаковых слагаемых.

Конец. Получен полином Жегалкина функции f(x₁, …, x_n).

Пример. Найдем полином Жегалкина мажоритарной булевой функции по ее совершенной ДНФ.

Алгоритм построения полинома Жегалкина по ДНФ (основан на равносильности K₁ K₂= K₁ K₂ K₁K₂).

Начало. Задана произвольная ДНФ функции f(x₁, …, x_n).

Шаг 1. Разбиваем ДНФ на пары конъюнкций, предпочтительно ортогональных (если число конъюнкций нечетно, одна из них остается без пары).

Шаг 2. Заменяем дизъюнкцию каждой пары конъюнкций K₁ K₂ формулой K₁ K₂ K₁K₂ или формулой K₁ K₂, если K₁ и K₂ ортогональны.

Шаг 3. В полученной формуле находим очередную дизъюнкцию A₁ A₂и заменяем ее формулой A₁ A₂ A₁A₂. Повторяем шаг 3 до тех пор, пока это возможно.

Шаг 4. Заменяем каждую переменную с инверсией x равносильной формулой x 1.

Шаг 5. Раскрываем скобки.

Шаг 6. Вычеркиваем из формулы пары одинаковых слагаемых.

Конец. Получен полином Жегалкина функции f(x₁, …, x_n).

Пример. Найдем полином Жегалкина мажоритарной функции по ДНФ.

Отметим, что полиномы мажоритарной функции, полученные в двух последних примерах, совпадают с точностью до порядка конъюнкций, и это естественно (по теореме о единственности полинома Жегалкина).

Способ 1 основан на предварительном преобразовании формулы в ДНФ (любым известным нам способом). Затем ДНФ преобразуется в полином Жегалкина по только что изученному алгоритму.

Примеры. Получим полиномы Жегалкина двух элементарных булевых функций: импликации и эквивалентности, представив их предварительно кратчайшими ДНФ.

Аналогично можно получить полиномы Жегалкина всех элементарных булевых функций (оставим читателю их вывод).

Константы 0 и 1, тождественная функция, а также конъюнкция ab и дизъюнкция с исключением ab уже являются полиномами Жегалкина. Полином Жегалкина инверсии a =1a.

Заметим, что некоторые из приведенных полиномов могут быть получены гораздо проще, в частности,

Способ 2. Если булева функций задана произвольной формулой, то ее полином Жегалкина можно получить подстановкой в формулу вместо элементарных булевых функций их полиномов.

Пример. Найдем полином Жегалкина мажоритарной функции, заданной формулой:

[ подставим в формулу полином Жегалкина штриха Шеффера 1 ab при a=(xy) z, b=x y ]

[ подставим полиномы Жегалкина обратной импликации 1 b ab при a=xy, b=z и импликации 1 a ab при a=x, b= y ]

[ подставим полином Жегалкина эквивалентности 1 x y, раскроем скобки, и вычеркнем появившиеся при этом пары одинаковых слагаемых ]

[заменим инверсию ее полиномом Жегалкина, раскроем скобки и вычеркнем пары одинаковых слагаемых ]

Полином, естественно, совпадает с полученными ранее по совершенной и произвольной ДНФ.

Способ 3. Если булева функций задана произвольной формулой, то ее полином Жегалкина можно получить, используя специальное разложение функции.

Определение. Разложением Дэвио называется следующее разложение булевой функции f(x₁, …, x_n по переменной x_i:

Разложение Дэвио непосредственно следует из разложения Шеннона, если учесть, что слагаемые в последнем ортогональны, и что x _i=x_i 1.

Пример. Найдем разложение Дэвио по переменной x мажоритарной булевой функции, заданной формулой.

Для получения полинома Жегалкина необходимо продолжить разложение подформул, не являющихся дизъюнкцией с исключением элементарных конъюнкций, пока не получится формула над <,, – >. Если в такой формуле заменить инверсии x на x 1, раскрыть скобки и вычеркнуть пары одинаковых слагаемых, то получится полином Жегалкина.

Пример. Продолжив предыдущий пример, получим полином Жегалкина мажоритарной функции. Для этого разложим подформулы (y z) / y и y z по переменной y:

Полином Жегалкина, естественно, совпадает с полученными ранее.

Алгоритм построения полинома Жегалкина по таблице истинности (основан на методе неопределенных коэффициентов).

Продемонстрируем идею метода на примере произвольной булевой функции двух аргументов f(x,y). Представим ее полиномом Жегалкина в форме с коэффициентами

Подставив в данное равенство наборы значений аргументов, получим систему из четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными коэффициентами: c₀, c₁ c₂, c₃.

f(0,0) = c₀ c₁0 c₂0 c₃0 0 = c₀

f(0,1) = c₀ c₁1 c₂0 c₃0 1 = c₀ c₁

f(1,0) = c₀ c₁0 c₂1 c₃1 0 = c₀ c₂

f(1,1) = c₀ c₁1 c₂1 c₃1 1 = c₀ c₁ c₂ c₃

Заметим, что наборы подставлены в равенство в естественном порядке, и система имеет треугольный вид: в первом уравнении обратились в ноль все слагаемые, следующие за c₀, во втором – следующие за c₁ и так далее. Значит, коэффициент c₀ можно получить из первого уравнения и подставить его в остальные. Тогда c₁ можно получить из второго уравнения, и так далее.

В общем случае для функции n аргументов получается система треугольного вида из 2 n линейных уравнений с 2 n неизвестными – коэффициентами полинома Жегалкина.

Пример. Найдем полином Жегалкина мажоритарной булевой функции, заданной таблицей истинности, последовательно вычисляя коэффициенты полинома и подставляя их в остальные уравнения.

Из первого уравнения следует, что c₀=0. Из второго и третьего уравнений следует, что c₁=0 и c₂=0, значит, c₁z и c₂y тождественно равны нулю. Из четвертого уравнения получаем c₃=1, значит, надо вычислять значения конъюнкции c₃yz в остальных уравнениях. Аналогично получаем c₄=0, c₅=1, c₆=1 и c₇=0. Найден вектор коэффициентов полинома Жегалкина мажоритарной функции π=00010110, и сам полином P=yz xz xy, который, естественно, совпадает с полученными ранее. •

Источник

Полином Жегалкина

Полином Жегалкина (англ. Zhegalkin polynomial) — полином с коэффициентами вида [math]0[/math] и [math]1[/math] , где в качестве произведения берётся конъюнкция, а в качестве сложения исключающее или. Полином был предложен в 1927 году И. И. Жегалкиным в качестве средства для представления функций булевой логики. Полином Жегалкина имеет следующий вид:

[math]P = a_ <000\ldots000>\oplus a_ <100\ldots0>x_1 \oplus a_ <010\ldots0>x_2 \oplus \ldots \oplus a_ <00\ldots01>x_n \oplus a_ <110\ldots0>x_1 x_2 \oplus \ldots \oplus a_ <00\ldots011>x_ x_n \oplus \ldots \oplus a_ <11\ldots1>x_1 x_2 \ldots x_n [/math]

Содержание

Полнота [ править ]

По теореме Поста, чтобы система булевых функций была полной, надо, чтобы в ней существовали

Хотя бы одна функция, не сохраняющая [math]0[/math] ;
Хотя бы одна функция, не сохраняющая [math]1[/math] ;
Хотя бы одна нелинейная функция;
Хотя бы одна немонотонная функция;
Хотя бы одна несамодвойственная функция.

Исходя из этого, система функций [math]\bigl\langle \wedge, \oplus, 1 \bigr\rangle[/math] является полной:

[math]x_0[/math]	[math]x_1[/math]	[math]\ldots[/math]	[math]x_n[/math]	[math]1[/math]	[math]\land[/math]	[math]\oplus[/math]
[math]0[/math]	[math]0[/math]	[math]\ldots[/math]	[math]0[/math]	[math]1[/math]	[math]0[/math]	[math]0[/math]
[math]1[/math]	[math]0[/math]	[math]\ldots[/math]	[math]0[/math]	[math]1[/math]	[math]0[/math]	[math]1[/math]
[math]\vdots[/math]	[math]\vdots[/math]	[math]\vdots[/math]	[math]\vdots[/math]	[math]\vdots[/math]	[math]\vdots[/math]	[math]\vdots[/math]
[math]1[/math]	[math]1[/math]	[math]\ldots[/math]	[math]1[/math]	[math]1[/math]	[math]1[/math]	[math]0[/math]
Сохраняет 0				[math]0[/math]	[math]1[/math]	[math]1[/math]
Сохраняет 1				[math]1[/math]	[math]1[/math]	[math]0[/math]
Самодвойственная				[math]0[/math]	[math]0[/math]	[math]0[/math]
Монотонная				[math]1[/math]	[math]1[/math]	[math]0[/math]
Линейная				[math]1[/math]	[math]0[/math]	[math]1[/math]

На основе этой системы и строятся полиномы Жегалкина.

Существование и единственность представления (теорема Жегалкина) [ править ]

Доказательство: [math]\triangleright[/math]

Заметим, что различных булевых функций от [math]n[/math] переменных [math]2^<2^n>[/math] штук. При этом конъюнкций вида [math]x_ \ldots x_[/math] существует ровно [math]2^n[/math] , так как из [math]n[/math] возможных сомножителей каждый или входит в конъюнкцию, или нет. В полиноме у каждой такой конъюнкции стоит [math]0[/math] или [math]1[/math] , то есть существует [math]2^<2^n>[/math] различных полиномов Жегалкина от [math]n[/math] переменных.

Теперь достаточно лишь доказать, что различные полиномы реализуют различные функции. Предположим противное. Тогда приравняв два различных полинома и перенеся один из них в другую часть равенства, получим полином, тождественно равный нулю и имеющий ненулевые коэффициенты. Тогда рассмотрим слагаемое с единичным коэффициентом наименьшей длины, то есть с наименьшим числом переменных, входящих в него (любой один, если таких несколько). Подставив единицы на места этих переменных, и нули на места остальных, получим, что на этом наборе только одно это слагаемое принимает единичное значение, то есть нулевая функция на одном из наборов принимает значение 1. Противоречие. Значит, каждая булева функция реализуется полиномом Жегалкина единственным образом. [math]\triangleleft[/math]

Построение полинома Жегалкина [ править ]

Существует несколько способов построения полинома Жегалкина.

По таблице истинности [ править ]

Пусть для функции [math]f(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] задана таблица истинности. Запишем сначала данную функцию в виде полинома Жегалкина с неопределёнными коэффициентами. Затем по очереди подставляем всевозможные наборы в порядке увеличения количества единиц и находим коэффициенты с учётом того, что [math] a \oplus 1 = \bar[/math] , а [math] a \oplus 0 = a[/math] . За каждую подстановку находим только один коэффициент.

Пример: Дана функция [math]f(x_1,x_2,x_3,x_4)[/math] и её таблица истинности:

[math]x_1[/math]	[math]x_2[/math]	[math]x_3[/math]	[math]x_4[/math]	[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4)[/math]
0	0	0	0	0
0	0	0	1	0
0	0	1	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	0
1	0	1	1	1
1	1	0	0	1
1	1	0	1	0
1	1	1	0	1
1	1	1	1	0

Построим для неё полином Жегалкина:

[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>x_1 \oplus a_ <0100>x_2 \oplus a_ <0010>x_3 \oplus a_ <0001>x_4 \oplus a_ <1100>x_1 x_2 \oplus a_ <1010>x_1 x_3 \oplus a_ <1001>x_1 x_4 \oplus a_ <0110>x_2 x_3 \oplus a_ <0101>x_2 x_4 \oplus a_ <0011>x_3 x_4 \oplus a_ <1110>x_1 x_2 x_3 \oplus a_ <1101>x_1 x_2 x_4 \oplus a_ <1011>x_1 x_3 x_4 \oplus a_ <0111>x_2 x_3 x_4 \oplus a_ <1111>x_1 x_2 x_3 x_4[/math]

Так как [math]f(0,0,0,0) = 0[/math] , то [math]a_ <0000>= 0[/math] . Далее подставляем все остальные наборы в порядке возрастания числа единиц, подставляя вновь полученные значения в следующие формулы:

[math]f(1,0,0,0) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>= 1,[/math] следовательно [math]a_ <1000>= 1[/math]

[math]f(0,1,0,0) = a_ <0000>\oplus a_ <0100>= 0,[/math] следовательно [math]a_ <0100>= 0[/math]

[math]f(0,0,1,0) = a_ <0000>\oplus a_ <0010>= 0,[/math] следовательно [math] a_ <0010>= 0[/math]

[math]f(0,0,0,1) = a_ <0000>\oplus a_ <0001>= 0,[/math] следовательно [math] a_ <0001>= 0[/math]

[math]f(1,1,0,0) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>\oplus a_ <0100>\oplus a_ <1100>= 1,[/math] следовательно [math] a_ <1100>= 0[/math]

[math]f(1,0,1,0) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>\oplus a_ <0010>\oplus a_ <1010>= 0, [/math] следовательно [math] a_ <1010>= 1[/math]

[math]f(1,0,0,1) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>\oplus a_ <0001>\oplus a_ <1001>= 0, [/math] следовательно [math] a_ <1001>= 1[/math]

[math]f(0,1,1,0) = a_ <0000>\oplus a_ <0100>\oplus a_ <0010>\oplus a_ <0110>= 1, [/math] следовательно [math] a_ <0110>= 1[/math]

[math]f(0,1,0,1) = a_ <0000>\oplus a_ <0100>\oplus a_ <0001>\oplus a_ <0101>= 0, [/math] следовательно [math] a_ <0101>= 0[/math]

[math]f(0,0,1,1) = a_ <0000>\oplus a_ <0010>\oplus a_ <0001>\oplus a_ <0011>= 0, [/math] следовательно [math] a_ <0011>= 0[/math]

[math]f(1,1,1,0) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>\oplus a_ <0100>\oplus a_ <0010>\oplus a_ <1100>\oplus a_ <1010>\oplus a_ <0110>\oplus a_ <1110>= 1, [/math] следовательно [math] a_ <1110>= 0[/math]

[math]f(1,1,0,1) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>\oplus a_ <0100>\oplus a_ <0001>\oplus a_ <1100>\oplus a_ <1001>\oplus a_ <0101>\oplus a_ <1101>= 0, [/math] следовательно [math] a_ <1101>= 0[/math]

[math]f(1,0,1,1) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>\oplus a_ <0010>\oplus a_ <0001>\oplus a_ <1010>\oplus a_ <1001>\oplus a_ <0011>\oplus a_ <1011>= 1, [/math] следовательно [math] a_ <1011>= 0[/math]

[math]f(0,1,1,1) = a_ <0000>\oplus a_ <0100>\oplus a_ <0010>\oplus a_ <0001>\oplus a_ <0110>\oplus a_ <0101>\oplus a_ <0011>\oplus a_ <0111>= 0, [/math] следовательно [math] a_ <0111>= 1[/math]

[math]f(1,1,1,1) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>\oplus a_ <0100>\oplus a_ <0010>\oplus a_ <0001>\oplus a_ <1100>\oplus a_ <1010>\oplus a_ <1001>\oplus a_ <0110>\oplus a_ <0101>\oplus a_ <0011>\oplus a_ <1110>\oplus a_ <1101>\oplus a_ <1011>\oplus a_ <0111>\oplus a_ <1111>= 0, [/math] следовательно [math] a_ <1111>= 1[/math]

Таким образом, полином Жегалкина выглядит так:

[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 \oplus x_1 x_3 \oplus x_1 x_4 \oplus x_2 x_3 \oplus x_2 x_3 x_4 \oplus x_1 x_2 x_3 x_4[/math]

Преобразование дизъюнктивной нормальной формы [ править ]

Этот способ основан на том, что [math] X \oplus 1 = \bar [/math] . Если функция задана в виде ДНФ, то можно сначала убрать дизъюнкцию, используя правило де Моргана, а все отрицания заменить прибавлением единицы по модулю два, после чего раскрыть скобки по обычным правилам, при этом учитывая, что четное число одинаковых слагаемых равно нулю (так как [math] X \oplus X = 0 [/math] ), а нечетное число одинаковых слагаемых равно одному такому слагаемому. Либо же можно заменить дизъюнкцию по следующему правилу: [math] A \lor B = AB \oplus A \oplus B [/math] [math] (1) [/math] .

Если функция задана в СДНФ, то так как при любых значениях входных переменных в единицу обращается не более одного члена выражения, то достаточно просто заменить все дизъюнкции исключающим ИЛИ.

Пример: Дана функция в ДНФ [math] f(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1 \land x_2 \land \neg x_3 \land x_4) \lor (\neg x_1 \land \neg x_4) \lor (x_1 \land x_2) \lor x_2 [/math] , построим полином Жегалкина.

Запишем функцию так:

[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 x_2 \neg x_3 x_4 + \neg x_1 \neg x_4 + x_1 x_2 + x_2[/math] ;

Сгруппируем слагаемые и воспользуемся преобразованием (1):

[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1 x_2 \neg x_3 x_4 \oplus \neg x_1 \neg x_4 \oplus x_1 x_2 \neg x_3 x_4 \neg x_1 \neg x_4) + (x_1 x_2 \oplus x_2 \oplus \oplus x_1 x_2 x_2)[/math]

Воспользуемся свойствами конъюнкции [math]A \land A = A[/math] и [math]\neg A \land A = 0[/math] , а также тем, что [math]A \oplus A = 0[/math] , и упростим выражение:

[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1 x_2 \neg x_3 x_4 \oplus \neg x_1 \neg x_4) + x_2[/math]

Ещё раз воспользуемся преобразованием (1):

[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 x_2 \neg x_3 x_4 \oplus \neg x_1 \neg x_4 \oplus x_2 \oplus (x_1 x_2 \neg x_3 x_4 \oplus \neg x_1 \neg x_4) x_2[/math]

Раскроем скобку по алгебраическим правилам:

[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 x_2 \neg x_3 x_4 \oplus \neg x_1 \neg x_4 \oplus x_2 \oplus x_1 x_2 x_2 \neg x_3 x_4 \oplus \neg x_1 x_2 \neg x_4[/math]

Снова воспользуемся свойствами конъюнкции и исключающего ИЛИ:

[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = \neg x_1 \neg x_4 \oplus x_2 \oplus \neg x_1 x_2 \neg x_4[/math]

Заменим отрицание на прибавление [math]1[/math] :

[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1 \oplus 1) (x_4 \oplus 1) \oplus x_2 \oplus (x_1 \oplus 1) x_2 (x_4 \oplus 1)[/math]

[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 x_4 \oplus x_1 \oplus x_4 \oplus 1 \oplus x_2 \oplus x_1 x_2 x_4 \oplus x_1 x_2 \oplus x_2 x_4 \oplus x_2[/math]

Выкинем парные слагаемые и получим окончательную формулу:

[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 x_2 x_4 \oplus x_1 x_2 \oplus x_1 x_4 \oplus x_2 x_4 \oplus x_1 \oplus x_4 \oplus 1[/math]

Метод треугольника [ править ]

Метод треугольника позволяет преобразовать таблицу истинности в полином Жегалкина путём построения вспомогательной треугольной таблицы в соответствии со следующими правилами:

Строится полная таблица истинности, в которой строки идут в порядке возрастания двоичных кодов от [math]000\ldots00[/math] до [math]111\ldots11[/math] .
Строится вспомогательная треугольная таблица, в которой первый столбец совпадает со столбцом значений функции в таблице истинности.
Ячейка в каждом последующем столбце получается путём сложения по модулю 2 двух ячеек предыдущего столбца — стоящей в той же строке и строкой ниже.
Столбцы вспомогательной таблицы нумеруются двоичными кодами в том же порядке, что и строки таблицы истинности.
Каждому двоичному коду ставится в соответствие один из членов полинома Жегалкина в зависимости от позиций кода, в которых стоят единицы. Например, ячейке [math]111[/math] соответствует член [math]ABC[/math] , ячейке [math]101[/math] — член [math]AC[/math] , ячейке [math]010[/math] — член [math]B[/math] , ячейке [math]000[/math] — член [math]1[/math] и т.д.
Если в верхней строке какого-либо столбца стоит единица, то соответствующий член присутствует в полиноме Жегалкина.

Фактически, этот метод является модификацией метода построения по таблице истинности, описанного выше. По сравнению с ним он удобнее тем, что расчёты занимают мало места и в них сложнее ошибиться, но метод треугольника требует бо́льшего количества операций.

Пример преобразования таблицы истинности в полином Жегалкина для функции трёх переменных [math]P(A,B,C)[/math] показан на рисунке.

Чтобы получить формулу, по которой рассчитывается какой-либо коэффициент, нужно из клетки, в которой он записан, пройтись всеми возможными путями влево, до столбца [math]»P»[/math] таблицы истинности, делая ходы влево и влево-вниз, записать значения в конечных ячейках и сложить их все между собой по модулю 2.

Таким образом, в первом столбце сверху записан коэффициент [math] a_0 = P(0,0,0) [/math] ,

во втором — [math] a_1 = P(0,0,0) \oplus P(0,0,1) [/math] ,

в третьем — [math] a_2 = P(0,0,0) \oplus P(0,0,1) \oplus P(0,0,1) \oplus P(0,1,0) = P(0,0,0) \oplus P(0,1,0) [/math] ,

[math] a_3 = P(0,0,0) \oplus P(0,0,1) \oplus P(0,0,1) \oplus P(0,0,1) \oplus P(0,1,0) \oplus P(0,1,0) \oplus P(0,1,0) \oplus P(0,1,1) = P(0,0,0) \oplus P(0,1,0) \oplus P(0,0,1) \oplus P(0,1,1), [/math]

и так далее, то есть при построении вспомогательной таблицы коэффициенты полинома просчитываются автоматически.

Преобразование Мёбиуса [ править ]

Пусть задана булева функция [math]f: B^n \rightarrow B, \;\; B=\< 0; 1 \>[/math] . Любая булева функция представима в виде полинома Жегалкина, притом единственным образом.

Пусть [math] i = (i_1, i_2, \ldots i_n), \;\; i_k \in \<0 ; 1\>[/math] , и введем обозначение [math] x ^ \sim \left\ <\beginx, \;\; i_k=1 \\ 1, \;\; i_k=0 \end\right. [/math]

Тогда полином Жегалкина можно записать как: [math] f(x) = \bigoplus\limits_i \alpha_i \cdot x_1^ \cdot x_2^ \cdot[/math] [math]\ldots[/math] [math]\cdot x_n^[/math] , где [math]\alpha_i \in \< 0; 1 \>[/math] .

Множество коэффициентов [math]\<\alpha _i\>[/math] можно рассматривать как функцию [math]\alpha[/math] , заданной на множестве индексов [math] i = (i_1, i_2, \ldots i_n)[/math] , то есть [math]\alpha: i \mapsto \alpha_i[/math] .

Очевидно, функцию [math] f [/math] можно записать и следующим образом: [math] f(x) = \bigoplus \limits_i \alpha_i \cdot [x_1 , \; [/math] если [math] \;\; i_1] \cdot [x_2 , \; [/math] если [math] \;\; i_2] \cdot[/math] [math]\ldots[/math] [math]\cdot [x_n , \; [/math] если [math] \;\; i_n][/math] .

Тут запись [math][x_k , \; [/math] если [math] \; i_k][/math] означает, что элелемент [math] x_k [/math] присутствует в соответствующем члене полинома только если [math] i_k = 1 [/math] . Тогда если для какого-то [math]x[/math] , [math]i \succ x*[/math] ,то в слагаемом будет существовать хотя бы один множитель, равный нулю, и такое слагаемое на сумму не повлияет. Отсюда ясно, что [math] f(x) = \bigoplus \limits_ \alpha_i [/math] [math] (2) [/math] Найдем отображение [math] f \mapsto \alpha[/math] (То есть такое, которое по заданной функции вычисляет значения всех коэффициентов).

[math]*[/math] [math]i \succ x[/math] обозначает, что [math]x[/math] «меньше» [math]i[/math] как последовательность бит
Доказательство: [math]\triangleright[/math]
Докажем при помощи индукции по количеству единиц в векторе [math] x [/math] ( иначе говоря, по сумме [math]x_1+x_2+[/math] [math]\ldots[/math] [math]+x_n[/math] ) и для удобства обозначим это количество единиц(сумму) [math] wt(x) [/math] .

1) База: если [math] x = 0 [/math] , то, очевидно [math] f(0) = \alpha_0 [/math]

2) Пускай теорема справедлива для всех сумм [math]wt(x) \lt k[/math] . Покажем, что в таком случае она верна и для [math]wt(x) = k[/math] . По [math] (2) [/math] , а далее по предположению индукции видим: [math] f(x) = \bigoplus \limits_ \alpha_i = \left [ \bigoplus \limits_ \bigoplus \limits_ f(j) \right ] \oplus \alpha_x[/math] .

Рассмотрим сумму [math] \left [ \bigoplus \limits_ \bigoplus \limits_ f(j) \right ] [/math] . Каждый элемент [math] f(j) [/math] содержится в ней, только если [math] j \prec x [/math] , и для фиксированных [math] j[/math] и [math] x [/math] элемент [math] f(j)[/math] встречается ровно столько раз, сколько существует [math] i [/math] , таких, что [math] j \preceq i \prec x[/math] . Несложно увидеть, что таких [math] i [/math] существует ровно [math] 2^-1 [/math] , то есть нечетное количество раз. Тогда [math] \left [ \bigoplus \limits_ \bigoplus \limits_ f(j) \right ] = \bigoplus \limits_ f(j) [/math] . Но тогда [math] f(x) = \left [ \bigoplus \limits_ f(j) \right ] \oplus \alpha_x \Leftrightarrow f(x) \oplus \bigoplus \limits_ f(j) = \alpha_x \Leftrightarrow \alpha_x = \bigoplus \limits_ f(j)[/math] .

То есть при [math]wt(x) = k[/math] формула также выполняется, значит при любых [math] x [/math] выполняется [math]\alpha_x = \bigoplus \limits_ f(j)[/math] . [math]\triangleleft[/math]
Отображение [math] f \rightarrow \alpha[/math] также называется преобразованием Мёбиуса.

Видно, что [math] (2) [/math] и [math] (3) [/math] — это одно и тоже преобразование. Значит, если применить преобразование Мёбиуса к функции, а затем вновь применить то же преобразование к получившейся функции, тогда вновь получим исходную функцию [math]f[/math] . То есть преобразование Мёбиуса обратно самому себе, иными словами, является инволюцией.

Источник