Почему прямоугольный способ проецирования главный

Прямоугольное проецирование. Урок черчения в 8-м классе

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (565 кБ)

Цели урока:

• обучающая: формирование знаний и умений при изучении метода прямоугольного проецирования для выполнении чертежа предмета;
• развивающая: развитие пространственных представлении и пространственного мышления в ходе изучении метода прямоугольного проецирования;
• воспитывающая: воспитание культуры графического труда при выполнении чертежей.

Задачи:

• Обосновать необходимость применения двух и трех плоскостей проекций;
• создать условия для формирования умений проецировать предмет на плоскости проекций;

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Методы обучения: объяснение, беседа, упражнения.

Оборудование: конструкция двухгранного и трехгранного угла, чертежные инструменты, плакаты, модели деталей.

Ход урока

I. Организационная часть

II. Актуализация полученных знаний

— Какое существует проецирование?

— Какое проецирование называется центральным?

— Чем центральное проецирование отличается от параллельного?

III. Объяснение новой темы

1. Прямоугольное проецирование на одну плоскость проекций

При прямоугольном проецировании на одну плоскость проекций деталь следует расположить таким образом, чтобы полученное изображение давало наибольшую информацию о ее форме.

Выберем для получения изображения вертикальную плоскость проекции и обозначим ее буквой V. Плоскость, расположенную перед зрителем, называют фронтальной.Перед этой плоскостью расположим деталь. В результате прямоугольного проецирования получим изображение детали, на котором грани предмета, параллельные плоскости проекций, отобразятся в натуральную величину. Полученное изображение называют фронтальной проекцией детали.

Задание. (работа в группе) Установите соответствие главных видов, обозначенных цифрами, деталям, обозначенным буквами, и запишите ответ в тетради.

Задание 1. (самостоятельно) выполните чертеж детали по наглядному изображению макета. Чертеж должен содержать одну проекцию (фронтальную). Нанесите размеры, укажите толщину.

2. Прямоугольное проецирование на две плоскости проекций

Перед учащимися ставится проблемная ситуация.

Задание. (работа в группе) Проанализируйте геометрическую форму детали на фронтальной проекции и найдите эту деталь среди наглядных изображений.

Рис.1. Проанализируйте геометрическую форму детали на фронтальной проекции и найдите эту деталь среди наглядных изображений

Вывод: все 6 деталей имеют одинаковую фронтальную проекцию. Значит, одна проекция не всегда дает полное представление о форме и конструкции детали.

— Какой выход из этой ситуации? (Ответ: Посмотреть на деталь с другой стороны).

Появилась потребность применения ещё одной плоскости проекций.

Вторая плоскость проекций располагается перпендикулярно к фронтальной плоскости.

Эта плоскость в черчении называется горизонтальной плоскостью проекций (плоскость, параллельная земной поверхности) и обозначается латинской буквой H.

— Плоскости V и H пересекаются по оси X, вокруг которой можно вращать плоскость H (показать на модели двугранного угла).

Рис. 2. Проецирования предмета на две плоскости проекций

Итак, помещаем предмет в двугранный угол. Обращаем внимание, что проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций. Предмет проецируется на плоскость Н.

Т.к. тетрадный лист плоский в отличие от двугранного угла (или формат листа А4), мы разворачиваем грань угла относительно оси Х на 90 градусов. Совмещаем проецирующие плоскости в одну грань.

Две проекции располагаются в проекционной связи относительно друг друга.

Разберем вопрос с размерами на чертеже.

Рис. 3. Постановка размеров:
на фронтальной проекции проставляется длина и высота;
на горизонтальной проекции – длина и ширина

Метод прямоугольного проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был разработан французский инженером учёным Гаспаром Монжем в конце 18 века. Метод прямоугольного проецирования называется еще Методом Монжа.

Задание (работа в группе).

Найдите фронтальную и горизонтальную проекции к данному наглядному изображению.

3. Проецирование на три плоскости проекций

Для того чтобы информация о сложной форме детали была представлена достаточно полно, используют проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций: фронтальную, горизонтальную и профильную W (плоскость, расположенная перед зрителем сбоку).
Чтобы построить профильную проекцию предмета, удобно воспользоваться постоянной прямой (линия, которую проводят справа от горизонтальной проекции детали под углом 45 o к оси OX). Линии связи, идущие от горизонтальной проекции, доводят до постоянной прямой. Из точек их пересечения проводят перпендикуляры к горизонтальной прямой и строят профильную проекцию детали. (рассмотреть рис. 91, 92, б учебник)

Система плоскостей проекций представляет собой трехгранный угол с вершиной в точке О. пересечения плоскостей трехгранного угла образуют прямые линии – оси проекций ОХ, ОУ, ОZ.

Помним, что лист тетради (формата) плоский. Для получения чертежа предмета плоскость W поворачивают на 90 o вправо, а плоскость Н — на 90 o вниз. Профильную проекцию располагают в проекционной связи с фронтальной плоскостью, справа от нее на одной высоте.

Чертеж, состоящий из нескольких прямоугольных проекций, называют чертежом в системе прямоугольных проекций.

Задание (работа в группе).

Установите соответствие главных видов, обозначенных цифрами, деталям, обозначенным буквами, и запишите ответ в тетради.

V. Подведение итога урока

Вопросы на закрепление темы урока:

1. С какими плоскостями проекций вы познакомились?

2. Какие размеры проставляются на горизонтальной проекции?

3. Кто обосновал метод прямоугольного проецирования?

4. Как называется комплексный чертеж?

5. В каких случаях применяется прямоугольное проецирование предмета на три плоскости проекций?

4. Закрепление нового материала

Выполнение индивидуальных упражнений по карточкам-заданиям. По наглядному изображению выполнить его фронтальную, горизонтальную и профильную проекции.

5. Итог урока

6. Домашнее задание

• cтр.37-40, пар.16, задание 1.
• стр. 42, задание 2.

Источник

Способ прямоугольного проецирования

Проекционное черчение (основы начертательной геометрии)

Метод проекций

Способ прямоугольного проецирования

Если проецирующие лучи составляют с плоскостью проекций прямой угол, то такие проекции называют прямоугольными.

Прямоугольные проекции называют также ортогональными. Слово «ортогональные» происходит от греческих слов «ortos» — прямой и «gonia» — угол.

Чертежи в системе прямоугольных проекций дают полное представление о форме и размерах предмета. Их легче выполнять, чем аксонометрические проекции.

Что нужно знать для успешного выполнения чертежей?

Всякий предмет, имеющий плоские поверхности, ограничивается вершинами, ребрами и гранями (рис. 108). Следовательно, чтобы научиться изображать на чертежах разнообразные предметы, нужно знать, как в прямоугольных проекциях изображаются вершины (точки), ребра (отрезки прямых линий) и грани предметов (части плоскости).

Рис. 108. Предмсч как совокупность точек, пиши. Вершины плоскостей

Проделаем несложный опыт. Проследим, как изображаются в различных положениях плоский предмет и сто элементы.

Примем противоположную окну стену за плоскость проекций. Пусть из окна перпендикулярно стене падают лучи света — проецирующие лучи. Расположим перед стеной (параллельно ей) лист плотной бумаги ABCD (рис. 109, а). На стене образуется тень, равнозначная проекции предмета. Каковы ее размеры? В данном случае проекция a’b’c’d’ по форме и размерам соответствует объекту проецирования — листу

ABCD. Способ проецирования прямоугольный, так как проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций.

Как будет изменяться проекция, если изображаемый предмет поворачивать, например, вокруг его высоты — ребра AD (рис. 109, б)?

При повороте тень будет сокращаться по ширине (линии а’b’ и c’d’ на рис. 109, б становятся короче). Продолжая поворачивать лист бумаги, заметим, что в положении, перпендикулярном к стене, изображение листа превратится в линию (рис. 109, в), но высота предмета остается постоянной, т. е. линии a’d’ и b’с’ по длине не искажаются.

Теперь сформулируем выводы о том, какие изображения по форме и размерам имеет в прямоугольных проекциях плоский предмет, различно расположенный по отношению к плоскости проекций :

а) плоская фигура, параллельная плоскости проекций, изображается на ней в натуральную величину (рис. 109, а);

б) плоская фигура, наклонная к плоскости проекций, изображается на ней с искажением размеров (рис. 109, б);

в) плоская фигура, перпендикулярная к плоскости проекций, изображается на ней в виде отрезка прямой (рис. 109, в).

Рис. 109. Проецирование плоской фигуры

Эти выводы относятся к изображению граней предметов.

А как в прямоугольных проекциях изображаются ребра предметов, т. е. линии?

Повторим опыт с поворотом плоского предмета, понаблюдаем за тем, как проецируются его ребра, т. е. линии, и сделаем выводы:

а) отрезок прямой, параллельный плоскости проекций, изображается на ней в натуральную величину (сравните высоту предмета AD и ВС на рис. 109, а, б, в с ее проекциями a’d’ и b’с, а ширину предмета АВ и CD с ее проекциями а’b’ и c’d’ на рис. 109, а);

б) отрезок прямой, наклонный к плоскости проекций, изображается на ней с искажением по длине (сравните ширину предмета АВ и CD на рис. 109, б с ее проекциями а’b’ и c’d’);

в) отрезок прямой, перпендикулярный к плоскости проекций, изображается на ней точкой (см. на рис. 109, в ширину предмета — линии АВ и CD, перпендикулярные к плоскости проекций).

Проекцией точки является основание перпендикуляра, опущенного из данной точки в пространстве на плоскость проекций (см. точки а’, b’, с’ , d’ — проекции точек А, В, С, D).

Условимся точки в пространстве обозначать прописными буквами А, В, С, D и т. д., а проекции точек — соответствующими строчными буквами я, Ь, с, d и т. д.

Из двух совпадающих на чертеже точек (рис. 109, в) одна является изображением видимой вершины, а другая — невидимой (закрытой). Обозначение проекций невидимых вершин берут в скобки.

Источник

Лекция 1. Методы проецирования

1.1. Центральное проецирование

Проецирование (лат. Projicio – бросаю вперёд) – процесс получения изображения предмета (пространственного объекта) на какой-либо поверхности с помощью световых или зрительных лучей (лучей, условно соединяющих глаз наблюдателя с какой-либо точкой пространственного объекта), которые называются проецирующими.

Известны два метода проецирования: центральное и параллельное .

Центральное проецирование заключается в проведении через каждую точку (А, В, С,…) изображаемого объекта и определённым образом выбранный центр проецирования (S) прямой линии (SA, SB, >… — проецирующего луча).

Рисунок 1.1 – Центральное проецирование

Введём следующие обозначения (Рисунок 1.1):

SA, SB – проецирующие прямые (проецирующие лучи).

Примечание: левой клавишей мыши можно переместить точку в горизонтальной плоскости, при щелчке на точке левой клавишей мыши, изменится направление перемещения и можно будет ее переместить по вертикали.

Центральной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через центр проецирования и объект проецирования (точку), с плоскостью проекций.

Свойство 1 . Каждой точке пространства соответствует единственная проекция, но каждой точке плоскости проекций соответствует множество точек пространства, лежащих на проецирующей прямой.

Докажем это утверждение.

На рисунке 1.1: точка А₁ – центральная проекция точки А на плоскости проекций π₁. Но эту же проекцию могут иметь все точки, лежащие на проецирующей прямой. Возьмём на проецирующей прямой SA точку С. Центральная проекция точки С (С₁) на плоскости проекций π₁ совпадает с проекцией точки А (А₁):

Следует вывод, что по проекции точки нельзя судить однозначно о её положении в пространстве.

Чтобы устранить эту неопределенность, т.е. сделать чертеж обратимым, введём еще одну плоскость проекций (π₂) и ещё один центр проецирования (S₂) (Рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Иллюстрация 1-го и 2-го свойств

Построим проекции точки А на плоскости проекций π₂. Из всех точек пространства только точка А имеет своими проекциями А₁ на плоскость π₁ и А₂ на π₂ одновременно. Все другие точки лежащие на проецирующих лучах будут иметь хотя бы одну отличную проекцию от проекций точки А (например, точка В).

Свойство 2 . Проекция прямой есть прямая.

Докажем данное свойство.

Соединим точки А и В между собой (Рисунок 1.2). Получим отрезок АВ, задающий прямую. Треугольник ΔSAB задает плоскость, обозначенную через σ. Известно, что две плоскости пересекаются по прямой: σ∩π₁=А₁В₁, где А₁В₁ – центральная проекция прямой, заданной отрезком АВ.

Метод центрального проецирования – это модель восприятия изображения глазом, применяется главным образом при выполнении перспективных изображений строительных объектов, интерьеров, а также в кинотехнике и оптике. Метод центрального проецирования не решает основной задачи, стоящей перед инженером – точно отразить форму, размеры предмета, соотношение размеров различных элементов.

1.2. Параллельное проецирование

Рассмотрим метод параллельного проецирования. Наложим три ограничения, которые позволят нам, пусть и в ущерб наглядности изображения, получить чертёж более удобным для использования его на практике:

1. Удалим оба центра проекции в бесконечность. Таким образом, добьемся того, что проецирующие лучи из каждого центра станут параллельными, а, следовательно, соотношение истинной длины любого отрезка прямой и длины его проекции будут зависеть только от угла наклона этого отрезка к плоскостям проекций и не зависят от положения центра проекций;
2. Зафиксируем направление проецирования относительно плоскостей проекций;
3. Расположим плоскости проекций перпендикулярно друг другу, что позволит легко переходить от изображения на плоскостях проекций к реальному объекту в пространстве.

Таким образом, наложив эти ограничения на метод центрального проецирования, мы пришли к его частному случаю – методу параллельного проецирования (Рисунок 1.3).Проецирование, при котором проецирующие лучи, проходящие через каждую точку объекта, параллельно выбранному направлению проецирования P, называется параллельным.

Рисунок 1.3 – Метод параллельного проецирования

Проведём через точки А и В проецирующие лучи, параллельные заданному направлению проецирования Р. Проецирующий луч проведённый через точку А пересечёт плоскость проекций π₁ в точке А₁. Аналогично проецирующий луч, проведённый через точку В пересечет плоскость проекций в точке В₁. Соединив точки А₁ и В₁, получим отрезок А₁ В₁– проекция отрезка АВ на плоскость π₁.

1.3. Ортогональное проецирование. Метод Монжа

Если направление проецирования Р перпендикулярно плоскости проекций p₁, то проецирование называется прямоугольным (Рисунок 1.4), или ортогональным (греч. ortos – прямой, gonia – угол), если Р не перпендикулярно π₁, то проецирование называется косоугольным .

Четырехугольник АА₁В₁В задаёт плоскость γ, которая называется проецирующей, поскольку она перпендикулярна к плоскости π₁ (γ⊥π₁). В дальнейшем будем использовать только прямоугольное проецирование.

Рисунок 1.4 – Ортогональное проецирование

Рисунок 1.5- Монж, Гаспар (1746-1818)

Основоположником ортогонального проецирования считается французский учёный Гаспар Монж (Рисунок 1.5).

До Монжа строители, художники и учёные обладали довольно значительными сведениями о проекционных способах, и, всё же, только Гаспар Монж является творцом начертательной геометрии как науки.

Гаспар Монж родился 9 мая 1746 года в небольшом городке Боне (Бургундия) на востоке Франции в семье местного торговца. Он был старшим из пяти детей, которым отец, несмотря на низкое происхождение и относительную бедность семьи, постарался обеспечить самое лучшее образование из доступного в то время для выходцев из незнатного сословия. Его второй сын, Луи, стал профессором математики и астрономии, младший — Жан также профессором математики, гидрографии и навигации. Гаспар Монж получил первоначальное образование в городской школе ордена ораторианцев. Окончив её в 1762 году лучшим учеником, он поступил в колледж г. Лиона, также принадлежавший ораторианцам. Вскоре Гаспару доверяют там преподавание физики. Летом 1764 года Монж составил замечательный по точности план родного города Бона. Необходимые при этом способы и приборы для измерения углов и вычерчивания линий были изобретены самим составителем.

Во время обучения в Лионе получил предложение вступить в орден и остаться преподавателем колледжа, однако, вместо этого, проявив большие способности к математике, черчению и рисованию, сумел поступить в Мезьерскую школу военных инженеров, но (из-за происхождения) только на вспомогательное унтер-офицерское отделение и без денежного содержания. Тем не менее, успехи в точных науках и оригинальное решение одной из важных задач фортификации (о размещении укреплений в зависимости от расположения артиллерии противника) позволили ему в 1769 году стать ассистентом (помощником преподавателя) математики, а затем и физики, причём уже с приличным жалованием в 1800 ливров в год.

В 1770 году в возрасте 24-х лет Монж занимает должность профессора одновременно по двум кафедрам — математики и физики, и, кроме того, ведёт занятия по резанию камней. Начав с задачи точной резки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и фортификации, Монж пришёл к созданию методов, обобщённых им впоследствии в новой науке – начертательной геометрии, творцом которой он по праву считается. Учитывая возможность применения методов начертательной геометрии в военных целях при строительстве укреплений, руководство Мезьерской школы не допускало открытой публикации вплоть до 1799 года, книга вышла под названием Начертательная геометрия (Géométrie descriptive) (стенографическая запись этих лекций была сделана в 1795 году). Изложенный в ней подход к чтению лекций по этой науке и выполнению упражнений сохранился до наших дней. Еще один значительный труд Монжа – Приложение анализа к геометрии (L’application de l’analyse à la géometrie, 1795) – представляет собой учебник аналитической геометрии, в котором особый акцент делается на дифференциальных соотношениях.

В 1780 был избран членом Парижской академии наук, в 1794 стал директором Политехнической школы. В течение восьми месяцев занимал пост морского министра в правительстве Наполеона, заведовал пороховыми и пушечными заводами республики, сопровождал Наполеона в его экспедиции в Египет (1798–1801). Наполеон пожаловал ему титул графа, удостоил многих других отличий.

Метод изображения объектов по Монжу заключается в двух основных моментах:

1. Положение геометрического объекта в пространстве, в данном примере точки А, рассматривается относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей π₁ и π₂ (Рисунок 1.6).

Они условно разделяют пространство на четыре квадранта. Точка А расположена в первом квадранте. Декартова система координат послужила основой для проекций Монжа. Монж заменил понятие координатных осей проекций на линию пересечения плоскостей проекций (ось проекций) и предложил совместить координатные плоскости в одну путем поворота их вокруг координатных осей.

Рисунок 1.6 – Модель построения проекций точки

π₁ – горизонтальная (первая) плоскость проекций

π₂ – фронтальная (вторая) плоскость проекций

Рассмотрим пример проецирования точки А на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций π₁ и π₂.

Опустим из точки А перпендикуляры (проецирующие лучи) на плоскости π₁ и π₂ и отметим их основания, то есть точки пересечения этих перпендикуляров (проецирующих лучей) с плоскостями проекций. А₁ – горизонтальная (первая) проекция точки А;А₂ – фронтальная (вторая) проекция точки А; АА₁ и АА₂ – проецирующие прямые. Стрелки показывают направление проецирования на плоскости проекций π₁ и π₂. Такая система позволяет однозначно определить положение точки относительно плоскостей проекций π₁ и π₂:

2. Совместим поворотом вокруг оси проекций π₂/π₁ плоскости проекций в одну плоскость (π₁ с π₂), но так, чтобы изображения не накладывались друг на друга, (в направлении α, Рисунок 1.6), получим изображение, называемое прямоугольным (ортогональным) чертежом (Рисунок 1.7):

Рисунок 1.7 – Ортогональный чертеж

Прямоугольный или ортогональный носит название эпюр Монжа .

Прямая А₂А₁ называется линией проекционной связи , которая соединяет разноимённые проекции точки (А₂ — фронтальную и А₁ — горизонтальную) всегда перпендикулярна оси проекций (оси координат) А₂А₁⊥π₂/π₁. На эпюре отрезки, обозначенные фигурными скобками, представляют собой:

1.4. Прямоугольные проекции точки. Свойства ортогонального чертежа

1. Две прямоугольные проекции точки лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

2. Две прямоугольные проекции точки однозначно определяют её положение в пространстве относительно плоскостей проекций.

Убедимся в справедливости последнего утверждения, для чего повернём плоскость π₁ в исходное положение (когда π₁⊥π₂). Для того, чтобы построить точку А необходимо из точек А₁ и А₂ восстановить проецирующие лучи, а фактически – перпендикуляры к плоскостям π₁и π₂, соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров фиксирует в пространстве искомую точку А. Рассмотрим ортогональный чертеж точки А (Рисунок 1.8).

Рисунок 1.8 – Построение эпюра точки

Введём третью (профильную) плоскость проекций π₃ перпендикулярную π₁ и π₂ (задана осью проекций π₂/π₃).

Расстояние от профильной проекции точки до вертикальной оси проекций А‘₀A₃ позволяет определить расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций π₂. Известно, что положение точки в пространстве можно зафиксировать относительно декартовой системы координат с помощью трёх чисел (координат) A(X_A; Y_A; Z_A) или относительно плоскостей проекций с помощью её двух ортогональных проекций (A₁=(X_A; Y_A); A₂=(X_A; Z_A)). На ортогональном чертеже по двум проекциям точки можно определить три её координаты и, наоборот, по трём координатам точки, построить её проекции (Рисунок 1.9, а и б).

а б
Рисунок 1.9 – Построение эпюра точки по её координатам

По расположению на эпюре проекций точки можно судить о её расположении в пространстве:

• если на эпюре горизонтальная проекция точки А — А₁ лежит под осью координат X , а фронтальная — А₂ – над осью X, то можно говорить, что точка А принадлежит 1-му квадранту;
• если на эпюре горизонтальная проекция точки А — А₁ лежит над осью координат X, а фронтальная — А₂ – под осью X, то точка А принадлежит 3-му квадранту;
• если на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки А — А₁ и А₂ лежат над осью X, то точка А принадлежит 2-му квадранту;
• если на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки А — А₁ и А₂ лежат под осью X, то точка А принадлежит 4-му квадранту;
• если на эпюре проекция точки совпадает с самой точкой, то значит – точка принадлежит плоскости проекций;
• точка, принадлежащая плоскости проекций или оси проекций (оси координат), называется точкой частного положения.

Для определения в каком квадранте пространства расположена точка, достаточно определить знак координат точки.

Зависимости квадранта положения точки и знаков координат

X	Y	Z
I	+	+	+
II	+	—	+
III	+	—	—
IV	+	+	—

Упражнение

Построить ортогональные проекции точки с координатами А (60, 20, 40) и определить в каком квадранте расположена точка .

Решение задачи: по оси OX отложить значение координаты X_A=60, затем через эту точку на оси OX восстановить линию проекционной связи, перпендикулярную к OX, по которой вверх отложить значение координаты Z_A=40, а вниз – значение координаты Y_A=20 (Рисунок 1.10). Все координаты положительные, значит точка расположена в I квадранте.

Рисунок 1.10 – Решение задачи

1.5. Задачи для самостоятельного решения

1. По эпюру определите положение точки относительно плоскостей проекций (Рисунок 1.11).

Рисунок 1.11

2. Достройте недостающие ортогональные проекции точек А, В, С на плоскости проекций π₁, π₂, π₃ (Рисунок 1.12).

Рисунок 1.12

3. Постройте проекции точки:

• Е, симметричной точке А относительно плоскости проекций π₁;
• F, симметричной точке В относительно плоскости проекций π₂;
• G, симметричной точке С относительно оси проекций π₂/π₁;
• H, симметричной точке D относительно биссекторной плоскости второго и четвертого квадрантов.

4. Постройте ортогональные проекции точки К, расположенной во втором квадранте и удаленной от плоскостей проекций π₁ на 40 мм, от π₂ — на 15 мм.

Источник