Плужников 10 способов решения квадратных уравнений
Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.
В школьной программе рассматривается только 3 способа их решения. Готовясь к предстоящим экзаменам, я заинтересовался другими способами их этих уравнений. Поэтому я выбрал тему «10 способов решения квадратных уравнений».
Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.
Цель работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений, научиться решать квадратные уравнения.
– рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;
– выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;
– научиться решать квадратные уравнения различными способами.
Объект исследования: квадратные уравнения.
Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.
— теоретические: изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов;
— анализ полученной информации;
— сравнение способов решения квадратных уравнений на удобство и рациональность.
Методы решения квадратных уравнений
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где х – переменная, a, b и с – некоторые числа, при этом а ? 0. Корень такого уравнения – это значение переменной, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество. Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент а называют первым или старшим, коэффициент b называют вторым или коэффициентом при х, с называется свободным членом этого уравнения.
Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля (a, b, c — 0).
Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент а: x 2 + px + q = 0, р = b/a, q = c/a.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 + c = 0, где с — 0;
2) ax 2 + bx = 0, где b — 0;
В рамках данной работы мы будем рассматривать способы решения только полных квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений по общей формуле
Для решения квадратных уравнений применяется способ нахождения корней через дискриминант. Для нахождения дискриминанта используется следующая формула D = b 2 – 4ac. После нахождения D мы используем формулу для нахождения корней уравнения
.
Стоит заметить, что если:
D > 0 – уравнение имеет два корня;
D = 0– уравнение имеет один корень;
D 2 + 10x – 24 = 0.
Разложим левую часть на множители:
x 2 + 10x – 24 = x + 12x – 2x – 24 = = x(x + 12) – 2(x + 12) = (x + 12)(x – 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при x = 2, а также при x = –12.
Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.2).
Метод выделения полного квадрата
Выделение полного квадрата – это такое тождественное преобразование, при котором заданный трехчлен представляется в виде (a ± b) 2 суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.
Решим уравнение x 2 + 14x + 40 = 0.
Разложим многочлен на множители методом выделения полного квадрата.
Для применения первой формулы необходимо получить выражение
x 2 + 14x + 49 = 0.
Поэтому прибавим и отнимем от многочлена x 2 + 14x + 40 число 9, чтобы выделить полный квадрат
x 2 + 14x + 40 + 9 – 9 = 0
(x + 14x + 40 + 9) – 9 = 0
(x + 14x + 49) – 9 = 0
Применим формулу «разность квадратов» a2 – b2 = (a – b)·(a + b)
(x + 7 – 3)(x + 7 + 3) = 0
x + 4 = 0x + 10 = 0
Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.3).
Решение уравнений с помощью теоремы Виета
Для решения полного квадратного уравнения по теореме Виета нужно разделить всё уравнение на коэффициент а. Для уравнения x 2 + px + q = 0, если х1 и х2 его корни, справедливы формулы:
Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.4).
Решение уравнений с использованием свойств коэффициентов
Если выполняется следующее условие: а + с = b, то x1 = – 1; x2 = – с/а.
4×2 + 3x – 1 = 04 – 1 = 3
Если выполняется следующее условие:
а + b + c = 0, то x1 = 1; x2 = с/а.
5×2 + 2x – 7 = 05 + 2 –7 = 0
Пример невозможности решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.5).
Решение уравнений способом «переброски»
Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем: умножим уравнение ax 2 + bx + с = 0 на а.
Получим: a 2 x2 + abx + aс = 0. Введём новую переменную y = ax. Получим y 2 +by+ac = 0. Корни этого уравнения y1 и y2.Следовательно х1 = y1/a; х2 = y2/a.
Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.6).
Геометрический способ решения квадратных уравнений
Решим уравнение x 2 – 4x – 12 = 0.
Представим его в виде x 2 – 4x = 12.
На рис. 2 «изображено» выражение x – 4x, т.е. из площади квадрата со стороной х дважды вычитается площадь квадрата со стороной 2. Значит х 2 – 4х + 4 есть площадь квадрата со стороной х – 2.
Выполнив замену x 2 – 4x = 12, получим
x – 2 = 4x – 2 = – 4
Ответ: x1 = 6, x1 = – 2.
Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.7).
Графическое решение квадратного уравнения
В уравнении x 2 + px + q = 0 перенесём второй и третий члены в правую часть уравнения. Получим: x 2 = – px – q. Построим графики функций
y = x 2 (парабола);
y = – qx – p (прямая).
Следует учесть, что:
– если прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
– если прямая касается параболы (только одна общая точка), то уравнение имеет один корень;
– если прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.9).
Решение уравнения при помощи циркуля и линейки
Решим уравнение ax 2 + bx + c = 0:
1) построим на координатной плоскости точки:
A(– b/2a; (a + c)/2a) – центр окружности и В(0; 1)
2) Проведём окружность r = AB
3) Абсциссы точек пересечения с осью Ox есть корни исходного уравнения
Следует учесть, что:
– если радиус окружности больше ординаты центра (AB > АС, или R > (a + c)/2a), окружность.
Пересекает ось абсцисс в двух точках К(х1; 0) и N(х2; 0), где х1 и х2 – корни квадратного уравнения x2 + bx + c = 0.
– если радиус окружности равен ординате центра (AB = AС, или R = (a + c)/2a), окружность касается оси абсцисс в точке С(х ; 0), где х1 – корень квадратного уравнения.
– если радиус окружности меньше ординаты центра (AB 2 + pz + q = 0. Если уравнение имеет корни разных знаков, то, найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят, вычитая положительный из – р.
Рис. 6. Вид монограммы для решения уравнения z 2 + pz + q = 0
В случае, когда оба корня отрицательны, берут z = – t и находят по номограмме два положительных корня t1; t 2 уравнения t 2 + – pt + z = 0, а затем z1 = – t1; z 2 = – t2.
Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкал, выполняют подстановку z = kt и решают посредством номограммы уравнение
,
где k берётся с таким расчётом, чтобы имели место неравенства
; 
.
Вид монограммы для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 можно найти на рис. 6.
«Плюсы» и «минусы» различных способов решения
Название способа решения квадратных уравнений
Решение квадратных уравнений по формуле
Можно применить ко всем квадратным уравнениям.
Нужно выучить формулы.
Разложение левой части уравнения на множители
Дает возможность сразу увидеть корни уравнения.
Нужно правильно вычислить слагаемых для группировки.
Метод выделения полного квадрата
За минимальное количество действий можно найти корни уравнений
Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.
Решение уравнений с использованием теоремы Виета
Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения.
легко находятся только целые корни.
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Не требует особых усилий
Подходит только к некоторым уравнениям
Решение уравнений способом переброски
За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета.
легко найти только целые корни.
Геометрический способ решения квадратных уравнений
похож на способ выделения полного квадрата
Графическое решение квадратного уравнения
Могут быть не точности при составлении графиков
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
Могут быть не точности
Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Наглядный способ, прост в применении.
Не всегда под рукой имеется номограмма.
В ходе выполнения данной исследовательской работы мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выбранной теме, изучить различные способы решения квадратных уравнений, научиться решать квадратные уравнения 10 способами. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них по-своему интересен. С моей точки зрения, наиболее рациональными для использования будут способы, изучаемые в школе: 1.1. (по формуле); 1.4. (по теореме Виета); а также способ 1.5. (используя свойства коэффициентов).
Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в математике. Эти знания могут пригодиться нам не только в школе и в ВУЗе, но и на протяжении всей жизни.
Источник
Проект по теме»10 способов решения квадратных уравнений»
Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.
Цели работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений.
Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:
— изучить историю развития квадратных уравнений;
— рассмотреть стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений;
— выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;
— научиться решать квадратные уравнения различными способами.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| sposoby_resheniya_kvadratnyh_uravneniy.docx | 513.31 КБ |
Предварительный просмотр:
МБОУ Новотроицкая СОШ
решения квадратных уравнений
Выпонил: ученица 9 класса
Чемоданогва Ирина Сергеевна
Работа допущена к защите «_____» _______________ 201____г.
Подпись руководителя проекта ____________________(__________________)
I. История развития квадратных уравнений
1.1. Из история квадратных уравнений
1.1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
1.1.2.Квадратные уравнения в Индии.
1.1.3. Квадратные уравнения у ал — Хорезми.
1.1.4. Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.
- Квадратные уравнения и их виды
II. Способы решения квадратных уравнений
2.1.Разложение левой части уравнения на множители
2.2.Метод выделения полного квадрата
Решение квадратных уравнений по формулам
Решение уравнений с использованием теоремы Виета
5.Решение уравнений способом переброски».
- Свойства коэффициентов квадратного уравнения
7.Графическое решение квадратного уравнения
8.Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
9.Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
10. Геометрический способ решения квадратных уравнений
Список информационных источников
Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.
В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатывали их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому в этом учебном году я выбрала тему исследования связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получил название «10 способов решения квадратных уравнений».
Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.
Цели работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений.
Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:
— изучить историю развития квадратных уравнений;
— рассмотреть стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений;
— выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;
— научиться решать квадратные уравнения различными способами.
Объект исследования : квадратные уравнения.
Предмет исследования : с пособырешения квадратных уравнений.
Теоретические: изучение литературы по теме исследования;
Анализ: информации полученной при изучении литературы;
результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.
Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.
1. История развития квадратных уравнений.
1.1.1.Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.
Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
X 2 + X = ¾; X 2 — X = 14,5
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
1.1.2.Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 + bх = с, а > 0. (1)
В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…
Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…
Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис). 
Соответствующее задаче уравнение:
Бхаскара пишет под видом: х 2 — 64х = -768
и, чтобы дополнить левую часть этого
уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем: х 2 — 64х + 32 2 = -768 + 1024,
х 1 = 16, х 2 = 48.
1.1.3.Квадратные уравнения у ал — Хорезми.
В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = bх.
2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.
3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = bх.
5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .
Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.
Задача . «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»
(подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).
Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
1.1.4. Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
1.2.Квадратные уравнения и их виды.
Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a , b , c — действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.
Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным.
Числа a , b , c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
Источник
