Плоскопараллельный способ преобразования чертежа

Метод плоскопараллельного перемещения

В начертательной геометрии метод плоскопараллельного перемещения используется, как правило, для определения натуральных величин плоских фигур, отрезков и углов.

Свойства плоскопараллельного перемещения:

1. При перемещении любой фигуры параллельно плоскости проекции, проекция фигуры на эту плоскость остается неизменной.
2. При перемещении точки параллельно горизонтальной плоскости проекции, её фронтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X. На рисунке ниже точки C» и D», следуя этому свойству, заняли положение C»₁ и D»₁.
3. При перемещении точки параллельно фронтальной плоскости проекции, её горизонтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X.

Рассмотрим перевод произвольно расположенного отрезка CD в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций П₂.

• Используя первое свойство параллельного перемещения, на любом свободном месте чертежа строим отрезок C’₁D’₁ = C’D’.
• По линиям связи определяем недостающие проекции C»₁ и D»₁. Стрелками показано перемещение точек C» и D» параллельно оси X в соответствии со вторым свойством рассматриваемого метода.

Следующий рисунок иллюстрирует перевод отрезка MN в проецирующее положение по отношению к фронтальной плоскости проекций П₂. В общем случае для решения подобной задачи необходимо дважды воспользоваться методом плоскопараллельного перемещения.

• После первого преобразования отрезок MN займет положение параллельно плоскости П₁. Сначала строится M»₁N»₁ = M»N» на произвольном месте чертежа, после чего по линиям связи находятся недостающие проекции M’₁ и N’₁.
• Второе преобразование заключается в параллельном переносе горизонтальной проекции отрезка M’₁N’₁ в положение M’₂N’₂, перпендикулярное оси X. После этого точки M»₂ = N»₂ определяются по линиям связи.

Определение натуральной величины треугольника

Рассмотрим порядок плоскопараллельного перемещения треугольника ABC с целью определения его натуральной величины.

1. Через точку С треугольника ABC проводим горизонталь CD. Находим её недостающие проекции.
2. Переводим ABC в положение, перпендикулярное фронтальной плоскости проекций. Для этого строим C’₁D’₁ = C’D’ перпендикулярно оси X. В соответствии с первым свойством плоскопараллельного перемещения достраиваем треугольник A’₁B’₁C’₁ = A’B’C’. По линиям связи определяем точки A»₁, B»₁, C»₁.
3. Перемещаем проекцию A»₁B»₁C»₁ треугольника ABC в положение A»₂B»₂C»₂, параллельное оси X, соблюдая равенство A»₂B»₂C»₂ = A»₁B»₁C»₁. По линиям связи определяем точки A’₂, B’₂, C’₂. Теперь треугольник ABC расположен параллельно горизонтальной плоскости проекций и проецируется на неё в натуральную величину A’₂B’₂C’₂.

Определение расстояния между параллельными прямыми

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из произвольной точки первой прямой на вторую прямую. Рассмотрим, как указанное расстояние определяется на практике с помощью метода плоскопараллельного перемещения.

Путем двух последовательных преобразований прямые a и b переводятся в положение, перпендикулярное горизонтальной плоскости. Таким образом, они проецируются на неё в точки A’₂ и B’₂, расстояние между которыми является искомым. Показанные на рисунке величины d₁ и d₂ являются вспомогательными для выполнения построений согласно свойствам плоскопараллельного перемещения.

Источник

Научная электронная библиотека

Пиралова О. Ф., Ведякин Ф Ф.,

5.4. Преобразование чертежа способом плоскопараллельного перемещения

Плоскопараллельным называется такое перемещение элемента, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных одной плоскости, которая принимается за неподвижную.

Обычно за неподвижные плоскости принимаются плоскости проекций. Перемещение производится относительно одной из них. Если одного перемещения недостаточно, то выполняется ещё одно относительно другой плоскости проекций. При плоскопараллельном перемещении геометрического элемента относительно плоскости проекций его проекция на эту плоскость меняет положение, но не меняет своей формы и размеров. Если точка перемещается в плоскости, параллельной П1, то ее фронтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной оси П2/П1. Если же точка перемещается в плоскости, параллельной П2, то ее горизонтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной той же оси.

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня.

Рассмотрим прямую общего положения АВ, т. е. прямую, расположенную под наклоном ко всем плоскостям проекций (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Пример перемещения геометрического элемента (прямая АВ) относительно горизонтальной плоскости проекций

При плоскопараллельном перемещении прямой АВ относительно горизонтальной плоскости проекций все его точки движутся в горизонтальных плоскостях уровня (α и β). Это значит, что отрезок АВ может перемещаться в любое положение, но фронтальные проекции А2, В2 могут перемещаться только по проекциям α2 и β2 горизонтальных плоскостей уровня, линии которых одновременно служат горизонтальными линиями связи. Так как разность высот концов отрезка сохраняется, то угол его наклона к горизонтальной плоскости проекций не меняется и горизонтальная проекция отрезка А1В1 может перемещаться произвольно по отношению к оси Х, сохраняя размеры и форму.

В рассматриваемом примере, отрезок АВ перемещён до положения фронтали. Горизонтальная проекция фронтали на комплексном чертеже должна быть параллельной оси проекций Х. Новая горизонтальная проекция отрезка А’1В’1 расположена правее А1В1 параллельно Х. Из точек А1 и В1 проведены вертикальные линии связи и в пересечении их с горизонтальными линиями связи отмечены новые фронтальные проекции точек А’2 и В’2. Новые проекции [А’1 В’1] → [А’2 В’2] изображают отрезок [АВ] || П2. После преобразования чертежа горизонтальная проекция прямой АВ стала параллельна плоскости П2, а значит, спроецировалась она на эту плоскость в натуральную величину |А’2В’2| = АВ. Угол наклона (α°) прямой к П1 спроецировался на фронтальной плоскости в натуральную величину. Следовательно, первая задача на преобразование комплексного чертежа решена.

Решим аналогичную задачу относительно фронтальной плоскости проекций П2. Для этого рассмотрим прямую общего положения СD, т. е. прямую, расположенную под наклоном ко всем плоскостям проекций (рис. 5.9).

Рис. 5.9. Пример перемещения геометрического элемента (прямая СD) относительно фронтальной плоскости проекций

При плоскопараллельном перемещении прямой CD относительно фронтальной плоскости проекций все его точки движутся во фронтальных плоскостях уровня (γ и δ).

При этом горизонтальные проекции точек С1и D1 перемещаются по прямым (γ1 и δ1), перпендикулярным вертикальным линиям связи, а фронтальные проекции отрезка C2 D2 могут перемещаться произвольно относительно оси Х, сохраняя свою форму и размеры.

Из точки С1 проводим горизонтальную линию связи, а из точки С׳ 2, — вертикальную линию связи, на пересечении которых и будет новое положение горизонтальной проекции С’1. Аналогично проведем горизонтальную линию связи из точки D1 до пересечения с вертикальной линией связи, проведенной из точки D’2. Новое положение горизонтальной проекции точки Dполучим на пересечении этих линий в точке D’1.

После преобразования чертежа горизонтальная проекция прямой CD стала параллельна плоскости П1, а значит, спроецировалась она на эту плоскость в натуральную величину, а угол наклона прямой к П2 на горизонтальной плоскости проекций тоже спроецировался в натуральную величину т.е. в результате получено ещё одно решение первой задачи на преобразование комплексного чертежа.

Решим вторую задачу на преобразование комплексного чертежа.

Задача 2. Преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую.

Для решения такой задачи необходимо выполнить два преобразования комплексного чертежа.

Если объект (например, прямые АВ или СD) расположен относительно плоскостей проекций в общем положении (наклонен по отношению к плоскостям проекций под углами отличными от 90°), необходимо выполнить первое преобразование – переместить объект в положение, параллельное одной из плоскостей проекций, т. е. решить первую задачу на преобразование, а затем выполнить второе преобразование комплексного чертежа – натуральную величину прямой расположить перпендикулярно плоскости проекций, т.е. преобразовать параллельное положение прямой относительно плоскости проекций в перпендикулярное (проецирующее).

Рассмотрим решение второй позиционной задачи на примере прямой (АВ) общего положения (рис. 5.10).

Первая ступень решения – прямую общего положения АВ переместить до положения фронтали А’1В’1. При решении необходимо помнить, что А1В1= А’1В’1. Вторая ступень решения – прямую АВ из положения фронтали переместить в положение горизонтально-проецирующей прямой А»2В»2. В этом случае при построении необходимо помнить, что А’1В’1 = А»2В»2 и горизонтально проецирующая прямая перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, а на комплексном чертеже А»2В»2 ⊥ х.

Рис. 5.10. Пример преобразования прямой общего положения
в положение горизонтально-проецирующей

При решении третьей позиционной задачи необходимо преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей.

Задача 3. Преобразовать плоскость общего положения Δ(АВС) в проецирующую плоскость.

Для решения задачи выбрана плоскость общего положения, заданная двумя проекциями А1В1С1 и А2В2С2 (рис. 5.11). При решении необходимо помнить и использовать два положения:

— две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости;

— прямую линию уровня можно одним преобразованием сделать проецирующей (перпендикулярной) к одной из плоскостей проекций.

Первая ступень решения – построить во фронтальной плоскости треугольника фронтальную проекцию горизонтали h2, а затем горизонтальную проекцию горизонтали h1.

Рис. 5.11. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую

Вторая ступень решения – переместить горизонтальную проекцию плоскости треугольника таким образом, чтобы горизонтальная проекция горизонтали стала фронтально проецирующей прямой. Для этого в любом удобном для построения месте построить h’1 и на этой прямой отложить величину А’11’1=А111, На этом отрезке построить треугольник А’1В’1С’1 = А1В1С1 таким образом, чтобы обход вершин осуществлялся в одном направлении. Для чего необходимо провести дуги окружностей из точки 1’1 радиусом 1’1С’1 = 11С1, а из точки А’1, радиусом А’1С’1. В пересечении построенных дуг обозначить точку С’1, с учётом направления обхода вершин. Провести прямую 1’1С’1 и на ней отложить прямую линию С’1В’1 = С1В1. Положение вершин определено. Нужно соединить вершину А’1 с вершинами В’1 и С’1.

Третья ступень решения. По линиям связи построить фронтальную проекцию плоскости треугольника А’2В’2С’2. Для этого из точки С’1 провести вертикальную линию связи до пересечения с горизонтальной линией связи из точки С2. В пересечении горизонтальной и вертикальной линий связи получится С’2. Из точки А’1 провести вертикальную линию связи, а из А2 провести горизонтальную линию связи. В пересечении указанных линий получится А’2. Аналогичным способом построить В’2. Соединить полученные проекции точек. В результате получается фронтально проецирующая плоскость. Значит, решена третья позиционная задача.

Задача 4.Преобразовать комплексный чертеж плоскости общего положения в плоскость уровня (рис. 5.12).

Рис. 5.12. Пример решения четвёртой позиционной задачи способом плоскопараллельного перемещения

Четвёртую позиционную задачу относительно плоскости общего положения нельзя решить без решения третьей позиционной задачи. Для решения четвёртой задачи необходимо выполнить два перемещения заданной плоскости относительно плоскостей проекций.

Учитывая имеющееся решение третьей задачи. Рассмотрим пример решения четвертой задачи на основе решения предыдущей (третьей) задачи. Решаем четвёртую позиционную задачу, перемещая фигуру относительно фронтальной плоскости проекций до положения плоскости треугольника А»2В»2С»2 ⊥ С’1С’2. В таком положении плоскость находится параллельно горизонтальной плоскости проекций т.е. плоскость становится плоскостью горизонтального уровня.

Горизонтальная проекция А»1В»1С»1 плоскости определяется в пересечениях вертикальных линий связи с горизонтальными. Недостатком способа плоскопараллельного перемещения является необходимость построения свободно перемещаемой проекции в новом положении. Достоинством этого способа можно считать возможность удобного размещения новых проекций на комплексном чертеже.

Источник

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежа служат для решения метрических задач по определению натуральной величины геометрических объектов (отрезка прямой или плоскости), либо кратчайшего расстояния между геометрическими объектами.

Суть этих способов заключается в том, что необходимо преобразовать комплексный чертеж так, чтобы рассматриваемый геометрический объект занял положение параллельное какой-либо плоскости проекций. Тогда на нее он, очевидно, спроецируется в натуральную величину.

Такое преобразование комплексного чертежа может быть осуществлено двумя основными способами:

1. Способом вращения, при котором оставляют неизменной систему плоскостей проекций, а меняют положение заданного геометрического объекта путем его вращения вокруг одной или последовательно вокруг двух подходящим образом выбранных осей так, чтобы интересующие нас прямые или плоскости оказались параллельными одной из плоскостей проекций. В качестве оси вращения обычно выбирают прямую, перпендикулярную одной из плоскостей проекций.

2. Способом замены плоскостей проекций, при котором оставляют неизменным положение в пространстве геометрического объекта, а заменяют одну или последовательно обе плоскости проекций так, чтобы интересующие нас прямые или плоскости оказались параллельными одной из новых плоскостей проекций.

Этими способами также можно решать задачи на приведение геометрических объектов в проецирующее положение.

Способ вращения вокруг проецирующей оси

Рассмотрим вращение точки А вокруг оси i, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций П₁ (рис. 4.1). Ось вращения проецируется на плоскость П₁ в точку, а на плоскость П₂ — в прямую, перпендикулярную оси ОХ. Траекторией движения точки А будет окружность, лежащая в плоскости вращения, параллельной плоскости П₁, с центром вращения в точке О, лежащей на оси, и с радиусом вращения ОА (рис. 4.1, а).

Траектория движения точки проецируется на плоскость П₁ в натуральную величину, а на плоскость П₂ — в виде прямой, параллельной оси ОХ. Радиус окружности проецируется на плоскость П₁ в натуральную величину. Таким образом, горизонтальная проекция А₁ точки А движется по окружности, а фронтальная проекция А₂ — по прямой, параллельной оси ОХ.

Для того, чтобы повернуть точку А на угол j, откладывают этот угол на горизонтальной проекции (рис. 4.1, б) и получают горизонтальную проекцию А₁ точки А в новом положении А₁*. Фронтальную проекцию А₂* этой точки находят с помощью линии проекционной связи, которую проводят из точки А₁* до пересечения с прямой, проведенной из точки А₂ параллельно оси ОХ.

Рис. 4.1. Вращение точки вокруг горизонтально-проецирующей оси

Способ плоскопараллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения является частным случаем способа вращения вокруг проецирующей оси, с той лишь разницей, что геометрический объект можно не только вращать, но и перемещать вдоль плоскости, параллельной одной из плоскостей проекций.

При перемещении отрезка прямой в новое положение таким образом, что его крайние точки движутся параллельно какой-либо плоскости проекций, длина проекции отрезка на эту плоскость остается неизменной (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Плоскопараллельное перемещение отрезка прямой.

Преобразуем последовательно отрезок прямой линии общего положения АВ в положение горизонтали, затем фронтально-проецирующее положение. Для этого расположим фронтальную проекцию А₂В₂ отрезка АВ параллельно оси ОХ (А₂*В₂* параллелен ОХ) в любом месте чертежа. При этом точки А₁ и В₁ перемещаются в новое положение по прямым, параллельным оси ОХ, и будут лежать на линиях связи с А₂*, В₂* соответственно.

Тогда новая горизонтальная проекция займет положение А₁*В₁*. Очевидно, что А₁*В₁*- натуральная величина отрезка АВ, т.к. А*В* является горизонталью. Затем А₁*В₁* переместим в новое положение, чтобы А₁**В₁** была перпендикулярна оси ОХ. Тогда А₂** = В₂**, т.е. АВ займет положение проецирующей прямой. Следует заметить, что при определение натуральной величины АВ, которой является А₁*В₁*, удаленность проекции А₂*В₂* от оси ОХ не играет роли. Важно лишь выполнение двух требований: А₂*В₂* должна быть равна А₂В₂ и параллельна оси ОХ.

Способ замены плоскостей проекций

Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из основных плоскостей проекций П₁ или П₂ заменяется новой плоскостью проекций П₄, подходящим образом расположенной относительно изображаемого геометрического объекта, но перпендикулярной незаменяемой плоскости проекций.

В результате замены одной из основных плоскостей на плоскость проекций П₄ получаем вместо старой системы плоскостей проекций П₁/П₂ новую систему П₁/П₄ (рис. 4.3), если заменялась плоскость П₂, и систему П₂/П₄, если заменялась плоскость П₁.

Рис. 4.3. Интерпретация способа замены плоскостей проекций

Например, на рис. 4.3а плоскость П₄ может выступать в роли фронтальной плоскости проекций П₂. На рисунке 4.3б, фигурными скобками отмечены расстояния от точки А до горизонтальной плоскости проекций П₁. Естественно, как видно на рис. 4.3а, эти расстояния равны А₂А₁₂ = А₄А₁₄, так как высота точки А над плоскостью П₁ проецируется как на П₂, так и на П₄ в виде одинаковых отрезков. Расстояние же до П₂ и П₄ от точки А могут быть различными, поэтому А₁А₁₂¹А₁А₁₄.

Способ замены плоскостей проекций рационально применять при решении следующих задач:

— определение натуральной величины отрезка прямой линии;

— определение натуральной величины плоской фигуры;

— определение натуральной величины двугранного угла;

— определение кратчайшего расстояния от точки до прямой линии или до плоскости;

— определение кратчайшего расстояния между двумя параллельными или двумя скрещивающимися прямыми.

Решение задач данным способом рассмотрим на нескольких примерах.

Определение длины отрезка общего положения

Для определения натуральной величины (длины) отрезка АВ прямой линии необходимо сделать этот отрезок прямой линии общего положения в новой системе плоскостей проекций линией уровня. Чтобы отрезок АВ стал линией уровня относительно новой плоскости проекций, заменим плоскость П₂ на плоскость П₄, параллельную АВ, и перейдем от системы П₁/П₂ к системе П₁/П₄. Новую ось проекций X₁₄, выбираем параллельно А₁В₁ (рис. 4.4). Для построения новой проекции отрезка АВ проводим новые линии проекционной связи перпендикулярно оси Х₁₄, и отмечаем на них новые проекции А₄, В₄ точек А и В. Для этого откладываем А_х1А₄ = А₂А_х, В_х1В₄ = В₂В_х.

Рис. 4.4. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня.

Соединяя найденные точки А₄, В₄, получаем новую проекцию А₄В₄ отрезка АВ. Как видим, отрезок АВ в новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ является линией уровня, так как А₁В₁ параллельна X₁₄, а следовательно, АВ параллельна П₄. Тогда, очевидно, что А₄В₄ является натуральной величиной отрезка АВ.

Определение натуральной величины плоской фигуры

Для определения натуральной величины плоской фигуры необходимо дополнительную плоскость построить так, чтобы она была параллельна рассматриваемой фигуре, и тогда на эту плоскость проекций плоская фигура спроецируется в натуральную величину. Если в качестве плоской фигуры выбрать треугольник, тогда задача формулируется следующим образом: преобразовать плоскость треугольника общего положения в новой системе плоскостей проекций в плоскость уровня.

Одной заменой плоскостей проекций эту задачу решить невозможно, так как необходимо соблюдать условие: новая плоскость должна быть перпендикулярна незаменяемой. Поэтому решим эту задачу двумя заменами: первой заменой введем плоскость, которая перпендикулярна треугольнику АВС, второй заменой – плоскость, параллельную треугольнику АВС.

Для того, чтобы построить плоскость П₄, перпендикулярную треугольнику АВС, необходимо расположить ее так, чтобы она была перпендикулярна фронтали либо горизонтали треугольника АВС.

Пусть П₄ перпендикулярна горизонтали, тогда новая ось Х₁₄ должна быть перпендикулярна h₁ (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.

Построим ее на произвольном расстоянии от треугольника А₁В₁С₁. Затем из точек А₁, В₁, С₁ проведем линии связи перпендикулярно Х₁₄. На каждой из них от оси Х₁₄ отложим отрезок, равный расстоянию от фронтальной проекции соответствующей точки до оси Х₁₂. В результате получаем новую проекцию В₄А₄С₄ треугольника АВС, которая представляет собой прямую, поскольку плоскость треугольника АВС перпендикулярна плоскости П₄.

Второй заменой вводим вместо П₁ плоскость П₅, параллельную плоскости треугольника АВС. Тогда получается система плоскостей проекций П₄/П₅, ось Х₄₅ которой параллельна В₄А₄С₄. Она может быть расположена на произвольном расстоянии от В₄А₄С₄. Далее из точек В₄ А₄ С₄ проводим линии связи перпендикулярно Х₄₅, и на каждой из них от оси Х₄₅ откладываем отрезок, равный расстоянию от горизонтальной проекции соответствующей точки до оси Х₁₄. Получим точки А₅, В₅, С₅, соединив которые имеем треугольник А₅В₅С₅, который и является натуральной величиной треугольника АВС, поскольку в новой системе плоскостей проекций треугольник АВС параллелен плоскости П₅.

Вопросы для самоконтроля

1. С какой целью осуществляется преобразование комплексного чертежа?

2. В чем заключается способ вращения вокруг проецирующей оси?

3. Назовите основные способы преобразования комплексного чертежа?

4. В чем сущность способа плоскопараллельного перемещения.

5. В чем заключается способ замены плоскостей проекций?

Источник