Площадь треугольника три способа

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Источник

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилось из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если параметры переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Общая формула

1. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

S = 0,5 * a * b⋅sin(α) , где a, b — стороны, α — угол между ними.

2. Площадь треугольника через основание и высоту.

S = 0,5 * a * h, где a — основание, h — высота.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны.

S = (a * b * c) : (4 * R), где a, b, c — стороны, R — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

S = r * (a + b + c) : 2, где a, b, c — стороны, r — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что (a + b + c) : 2 — это способ поиска полупериметра. Тогда формулу можно записать следующим образом:

S = r * p, где p — полупериметр.

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

S = a 2 : 2 * (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β)), где a — сторона, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника.

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

S = √ p * (p − a) * (p − b) * (p − c)​, где a, b, c — стороны, p — полупериметр, который можно найти по формуле: p = (a + b + c) : 2

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам.

S = 0,5 * a * b, где a, b — стороны.

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу.

S = 0,25 * c 2 * sin(2α), где c — гипотенуза, α — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу.

S = 0,5 * a 2 * tg(α), где a — катет, α — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и по радиусу вписанной окружности.

S = r * (r + c), где c — гипотенуза, r — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника вписанного в окружность.

Площадь прямого треугольника по формуле Герона.

S = (p − a) * (p − b), где a, b — катеты, p — полупериметр, который рассчитывается по формуле p = (a + b + c) : 2.

Для равнобедренного треугольника

Поиск площади через основание и сторону.

S = b : 4 * √ 4 * a 2 − b 2 , где a — боковая сторона, b — основание.

Вычисление площади через основание и угол.

S = 0,5 * a * b * sin(α), где a — боковая сторона, b — основание, α — угол между основанием и стороной.

Вычисление площади через основание и высоту.

S = 0,5 * b * h, где b — основание, h — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними.

S = 0,5 * a 2 * sin(α), где a — боковая сторона, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами.

S = b 2 : (4 * tgα/2), где b — основание, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности.

S = (3 * √ 3 * R 2 ) : 4, где R — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности.

S = 3 * √ 3 * r 2 , где r — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону.

S = (√ 3 * a 2 ) : 4, где a — сторона.

Площадь равностороннего треугольника через высоту.

S = h 2 : √ 3, где h — высота.

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Источник

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Источник

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон, образованных путем соединения трех точек на плоскости, не принадлежащих одной прямой.

Общие формулы расчета площади треугольника

По основанию и высоте

Площадь (S) треугольника равняется половине произведения его основания и высоты, проведенной к нему.

Формула Герона

Для нахождения площади (S) треугольника необходимо знать длины всех его сторон. Считается она следующим образом:

p – полупериметр треугольника:

Через две стороны и угол между ними

Площадь треугольника (S) равняется половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь (S) фигуры равняется половине произведения его катетов.

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь (S) рассчитывается по следующей формуле:

Площадь равностороннего треугольника

Чтобы найти площадь правильного треугольника (все стороны фигуры равны), необходимо воспользоваться одной из формул ниже:

Через длину стороны

Через высоту

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь треугольника, если одна из его сторон равна 7 см, а высота, проведенная к ней – 5 см.

Решение:
Используем формулу, в которой участвуют длина стороны и высота:
S = 1/2 ⋅ 7 см ⋅ 5 см = 17,5 см 2 .

Задание 2
Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 3, 4 и 5 см.

Решение 1:
Воспользуемся формулой Герона:
Полупериметр (p) = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см.

Решение 2:
Т.к. треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный, его площадь можно посчитать по соответствующей формуле:
S = 1/2 ⋅ 3 см ⋅ 4 см = 6 см 2 .

Источник