Площадь фигуры способы измерения площадей фигур

Площади фигур

Площадь фигуры — это аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Содержание:

Понятие площади

Площадь — это тоже величина. Каждой плоской геометрической фигуре соответствует своя площадь. У пространственных фигур тоже есть соответствующая им площадь, называемая площадью поверхности.

Площадь фигур мы будем обозначать буквой S. Запись читается как «площадь фигуры F».

Определение. Измерить площадь фигуры — это значит сравнить ее с площадью некоторой фигуры, принятой за единицу измерения площади.

Измерить площадь фигуры в Древней Греции означало построить квадрат, площадь которого равна площади данной фигуры. С тех пор всякое вычисление площади принято называть квадратурой.

Если за единицу длины принимается 1 мм, то единицей площади является 1 (квадратный миллиметр); при единице длины 1 см единицей площади является 1 (квадратный сантиметр). Если единицей измерения длины является 1 м, ему соответствует единица площади 1 (квадратный метр).

Любую площадь S можно выразить через единицу измерения площади в виде , где k — числовой множитель, который показывает, сколько раз единичный квадрат укладывается в данной фигуре.

Пусть, например, за единицу измерения площади принят квадратный сантиметр (т. е. ). Тогда запись означает, что площадь фигуры равна , т. е. в данной фигуре квадрат со стороной 1 см укладывается 15 раз.

Можно сфорулировать свойства измерения площади.

1. Всякий многоугольник F имеет площадь . Площадь является величиной, численное значение которой неотрицательно, т. е. для любой фигуры F.

Площадь фигуры зависит только от ее размеров и формы и не зависит от места расположения фигуры в пространстве. Это формулируется так.

2. Если две фигуры равны, то равны и их площади.

Пусть дана фигура F, которая является объединением двух фигур , причем эти фигуры пересекаются не более чем по конечному числу отрезков и точек. Тогда

Есть случаи, когда фигура является объединением двух других фигур, но данное равенство не выполняется. На рисунке 2.138 изображены два треугольника Фигура R — их объединение. В этом случае (при сложении площадь ромбовидной области в центре рисунка войдет в сумму дважды).

Еще одно свойство площади формулируется следующим образом.

3. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины отрезка.

Для фигуры, разбитой на части, справедливо следующее свойство.

4. Если фигура разбита на части, то площадь фигуры равна сумме площадей частей фигуры.

Свойство измерения площади квадрата.

5. Площадь квадрата со стороной равна .

В геометрии различают фигуры равные и равновеликие.

Определение. Две фигуры называются равновеликими, если они имеют одинаковую площадь.

Площади прямоугольника и прямоугольного треугольника

Теорема 33. Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.

где — стороны прямоугольника.

Проведя диагональ АС прямоугольника ABCD (рис. 2.139), можно легко доказать, что она разбивает этот прямоугольник на два равных треугольника ABC и CDA, а тогда нетрудно доказать теорему 34.

Теорема 34. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (рис. 2.140):

где — катеты прямоугольного треугольника.

Площади треугольников

Теорема 35. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты.

На рисунке 2.141 изображен треугольник ABC.

Есть еще одна формула для вычисления площади треугольника через его стороны. Эта формула носит имя древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Кроме этой формулы, есть еще так называемые ге-роновы треугольники — это треугольники, у которых целочисленные стороны и их площадь тоже есть целое число (примерами таких треугольников могут быть треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53).

Теорема 36 (формула Герона). Площадь треугольника равна

где — стороны треугольника, а р — его полупериметр, .

Существует формула площади треугольника, которая использует понятие синуса угла.

Теорема 37. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними

где — стороны ААВС, а — угол между этими сторонами.

Площади четырехугольников и многоугольников

Для вывода формулы площади параллелограмма определим высоту параллелограмма.

Определение. Высотой параллелограмма называют отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки какой-нибудь стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную сторону.

Высотой параллелограмма можно считать также и длину этого перпендикуляра. У параллелограмма две пары противоположных параллельных сторон и соответственно две высоты.

На рисунке 2.142 изображен параллелограмм ABCD, — его высоты. Заметим, что основания высот параллелограмма могут попасть и на продолжение одной из сторон (рис. 2.143).

Теорема 38. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведенной к ней высоты.

ABCD — параллелограмм, AD = ВС = , AM = CN = h (рис. 2.144).

Для вывода формулы площади еще одного четырехугольника — трапеции определяется понятие высоты трапеции.

Определение. Высотой трапеции называют отрезок перпендикуляра, проведенного из какой-либо точки основания трапеции к прямой, содержащей другое основание.

Высотой можно также считать длину этого перпендикуляра. На рисунке 2.145 ВМ — высота трапеции ABCD.

Теорема 39. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты, т. е. если и — основания трапеции, h — высота и S — площадь трапеции, то

Чтобы вычислить площадь произвольного многоугольника, можно разбить его на треугольники, не имеющие общих внутренних точек, и найти сумму их площадей.

Такое разбиение выпуклого многоугольника можно осуществить, проведя, например, диагонали из одной его вершины (рис. 2.146). Иногда удобно пользоваться другими разбиениями (рис. 2.147, 2.148).

Пример:

Через середину основания треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Докажите, что полученный таким образом четырехугольник — параллелограмм и что его площадь равна половине площади треугольника.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1.

2. AD = DC. (рис. 2.149)

3. DE || ВС, DF || АВ.

4. Надо доказать, что BEDF — параллелограмм и что

5. Так как DE || ВС и DF || АВ, то BEDF — параллелограмм (2, определение параллелограмма).

Нужно установить связь между площадью параллелограмма и треугольника. Для этого удобно параллелограмм разбить на треугольники.

6. Соединим точки В и D и рассмотрим полученные треугольники (построение) (рис. 2.150).

7. равны (BD — общая сторона, и , как углы внутренние накрест лежащие при параллельных прямых (1, 2, 3, признак равенства треугольников по сторонам и двум прилежащим углам).

8. Эти треугольники и равновелики.

9. Треугольники BFD и CFD также равновелики между собой (хотя в общем случае они не равны), так как BF = FC (DF — средняя линия), т. е. основания их равны и они имеют одинаковую высоту, так как вершина D у них общая.

10. Аналогично равновелики между собой и

11. следовательно, площади и параллелограмма BEDF можно записать так: а (8, 10, свойства площадей).

12. (11).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Источник

Площадь фигуры. Способы измерения площадей фигур. Равновеликие и равносоставленные фигуры. Нахождение площади прямоугольника

Каждый представляет, что такое площадь комнаты, площадь участка земли. Так же понимает если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что площадь квартиры складывается из площади комнат.

Это обыденное представление о площади. Но когда говорят о площади геометрической фигуры выделяют определённый класс фигур. Например, рассматривают площадь многоугольника, площадь поверхность многоугольника и другое.

Площадью фигуры называется положительная величина определенная для каждой фигуры так, что:

1. Равные фигуры имеют равные площади;

2. Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь ровна сумме площадей этих частей.

Чтобы измерить точно площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку. Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е, а число, которое получается в результате измерения площади – S(F). Это число называют численным значением площади фигуры F при выбранной единице площади E. Оно должно удовлетворять условиям:

1. Число S(F) – положительное.

2. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.

3. Если F состоит из F1 и F2, то численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей F1 и F2.

4. При замене единице площади численное значение площади данной фигуры увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

5. Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1, т.е. S(F)=1.

6. Если фигура F1 является частью фигуры F2, то численное значение площади фигуры F1 не больше численного значения площади фигуры F2.

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

Многоугольники F1 и F2 называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части.

Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

Теорема.Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних его сторон.

Читайте также: А касательное напряжение (сила, действующая на единицу площади) Агентские сети и способы стимулирования их активности Активные способы проверки домашнего задания Альтернативные способы получения и преобразования энергии. Альтернативные способы получения электрической энергии. Амортизация основных средств, способы начисления амортизационных сумм. Аналоговые каналы передачи данных; способы модуляции, модемы Б7.5 Способы оказания первой помощи пострадавшему при поражения электрическим током. Б8.5 Способы проведения искусственного дыхания и наружного массажа сердца. Бак прямоугольной формы с водой имеет в дне малое отверстие, через которое происходит его опорожнение. Время опорожнения бака _____ раза, если площадь бака увеличить в 4 раза.

E

F Дано:

F – данный прямоугольник

a,b – длины его сторон.

Доказать: S(F) = ab

1. Пусть a и b – натуральные числа. Тогда прямоугольник F можно разбить на единичные квадраты: F = E+E+E…+E. Всего их ab, так как имеем b рядов, в каждом из которых a квадратов. Отсюда S(F)=S(E)+S(E)…+S(E) = abS(E) =ab

Для приближенного измерения площадей плоских фигур можно использовать различные приборы, в частности, палетку. Палетка – это прозрачная пластина, на которой нанесена сеть квадратов. Сторона принимается за1.

Таким образом площадь геометрических фигур можно измерить максимально точно с помощью вычислений, но если фигура произвольна, то ее площадь можно найти только приблизительно.

Математические понятия. Объем и содержание понятия. Определение понятия через род и видовое отличие. Требование к определению понятий

1.Связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др.;

2.Алгебраичкские понятия: выражение, равенство, уравнение и др.;

3.Геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д.;

4.Понятия, связанные с величинами и их измерением.

Любое математическое понятие характеризуется термином, объемом и содержанием понятия.

Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Понятия обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z. Их объемы обозначаются соответственно: A, B, C, …, Z.

Если А с В (А = В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.

Если А = В, то говорят, что понятия а и b тождественны (а ≡ b) («равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник»).

В отношении «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок – часть прямой, а не ее вид.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). а b

Определения, имеющие такую структуру называются явными.

Определяемое понятие Родовое понятие + Видовое отличие

Пример: квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Также выделяют неявные понятия, в их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее понятия. Среди них различают контекстуальные и остенсивные.

Контекстуальные определения – содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия.

Остенсивные определения – это определения путем показа. Они используются для введения термина путем демонстрации объектов, которые этим термином обозначаются.

Существенное свойство – свойство, присущее этому объекту и без него он не может существовать.

Между объемом и содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот.

Генетические понятия – показ пути зарождения.

Пример: конус – это тело, образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Индуктивное понятие – определения но основе формулы.

Пример: арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждый последующий элемент получается путем прибавления одного и того же числа к предыдущему.

Требования к определению понятия:

* определение должно быть соразмерным

* в определении не должно быть порочного круга

* определение должно быть ясным

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 203 ; Нарушение авторских прав

Источник