Пересечение точки с плоскостью способом замены плоскости

58. Способ замены плоскостей проекций

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

Рассмотрим решение четырех исходных задач способом замены плоскостей проекций.

1. Преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций прямая общего положения заняла положение прямой уровня.

Новую проекцию прямой, отвечающей поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций П₄, расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций, т. е. от системы плоскостей П₁_|_П₂ перейти к системе П₄ _|_ П₁ или П₄ _|_ П₂. На чертеже новая ось проекций должна быть параллельна одной из основных проекций прямой. На рис. 108 построено изображение прямой l (А, В) общего положения в системе плоскостей П₁ _|_ П₄, причем П₄ || l. Новые линии связи A₁A₄ и В₁В₄проведены

перпендикулярно новой оси —П₁/П₄ параллельной горизонтальной проекции l₁.

Новая проекция прямой дает истинную величину А₄В₄отрезка АВ (см. § 11) и позволяет определить наклон прямой к горизонтальной плоскости проекций (а = L₁П₁). Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b = L₁П₂) можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости П4_|_П₂ (рис. 109).

2. Преобразовать чертеж прямой уровня так, чтобы относительно новой плоскости проекций она заняла проецирующее положение.

Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой было точкой (см. § 10), новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной прямой уровня. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на плоскости П₄_|_ П₁. (рис. 110), а фронталь f— на П₄_|_ П₂

Если требуется построить вырожденную в точку проекцию прямой общего положения, то для преобразования чертежа потребуется произвести две последовательные замены плоскостей проекций. На рис. 111 исходный чертеж прямой l (А,В) преобразован следующим образом: сначала построено изображение прямой на плоскости П₄_|_ П₂, расположенной параллельно самой прямой l. В системе плоскостей П₂_|_ П₄, прямая заняла положение линии l уровня (А₂А₄ _|_П₂/П₁;

П₄ _|_П₅, причем вторая новая плоскость проекций П₅ перпендикулярна самой прямой l. Так как точки А и В прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости П₄, то на плоскости П₅ получаем изображение прямой в виде точки (А₅ = B₅ = l₅).

3. Преобразовать чертеж плоскости общего положения так, чтобы относительно новой плоскости она заняла проецирующее положение.

Для решения этой задачи новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной плоскости общего положения и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций. Это возможно сделать, если учесть, что направление ортогонального проецирования на новую плоскость проекций должно совпадать с направлением соответствующих линий уровня данной плоскости общего положения. Тогда все линии этого уровня на новой плоскости проекций изобразятся точками, которые и дадут «вырожденную» в прямую проекцию плоскости (см. § 47).

На рис. 112 дано построение нового изображения плоскости 0 (ABC) в системе плоскостей П₄ _|_П₁. Для этого в плоскости 0 построена горизонталь h(A, 1), и новая плоскость проекций П₄ расположена перпендикулярно горизонтали h. Графическое решение третьей исходной задачи приводят к построению изображения плоскости в виде прямой линии, угол наклона которой к новой оси проекции П₁/П₄, определяет угол наклона а плоскости Q(ABC) к горизонтальной плоскости проекций (а = Q ^ П₁).

Построив изображение плоскости общего положения в системе П₂ _|_П₄, (П₄ расположить перпендикулярно фронтали плоскости),

можно определить угол наклона Р этой плоскости к фронтальной плоскости проекций.

4. Преобразовать чертеж проецирующей плоскости так, чтобы относительно новой плоскости она заняла положение плоскости уровня.

Решение этой задачи позволяет определить величину плоских фигур.

Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтально проецирующим, то новое изображение строят в системе и П₂ _|_П₄, а если горизонтально проецирующим, то в системе П₁ _|_П₄. Новая ось проекций будет расположена параллельно вырожденной проекции проецирующей плоскости (см. § 47). На рис. 113 построена новая проекция А₄В₄С₄горизонтально проецирующей плоскости Sum (ABC) на плоскости П₄ _|_П₁

Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить изображение ее как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно задачу 3; а затем задачу 4. При первой замене плоскость становится проецирующей, а при второй — плоскостью уровня (рис. 114).

В плоскости А(DEF) проведена горизонталь h (D — 1). По отношению к горизонтали проведена первая ось П₁ / П₄ _|_h₁. Вторая новая ось

проекций параллельна вырожденной проекции плоскости, а новые линии связи — перпендикулярны вырожденной проекции плоскости. Расстояния для построения проекций точек на плоскости П₅ нужно замерить на плоскости П₁от оси П₁ / П₂и откладывать по новым линиям связи от новой оси П₄ /П₅. Проекция D₅E₅F₅треугольника DEF конгруэнтна самому треугольнику ABC.

С применением способа замены плоскостей можно решать ряд других задач как самостоятельных, так и отдельных частей задач, включающих большой объем графических решений.

Источник

Метод замены плоскостей проекций

Для решения целого ряда задач начертательной геометрии наиболее рациональным является метод замены плоскостей проекций. Например, с его помощью можно определить натуральную величину плоской фигуры, расстояние между параллельными прямыми, опорные точки пересечения поверхностей.

Замена одной плоскости проекции

Сущность метода заключается в замене одной из плоскостей проекций на дополнительную плоскость, выбранную так, чтобы в новой системе плоскостей решение поставленной задачи значительно упрощалось. Положение фигур в пространстве при этом не меняется.

Рассмотрим на примере точек A и B, как осуществляются построения на комплексном чертеже. Изначально точка A находится в системе плоскостей П₁, П₂. Введем дополнительную горизонтальную пл. П₄. Она будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П₂ и пересечет её по оси x₁. Эту ось необходимо провести на комплексном чертеже с учётом цели построения. Здесь мы расположили её произвольно.

В новой системе плоскостей положение точки A» не изменится. Чтобы найти точку A’₁, которая является проекцией т. А на плоскость П₄, проведем из A» перпендикуляр к оси x₁. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x₁ отложим отрезок A_x1А’₁, равный отрезку A_xA’.

Данные построения основаны на равенстве ординат точек A’ и А’₁. Действительно, в системе плоскостей П₁, П₂ и в системе П₂, П₄ точка A удалена от фронтальной плоскости проекций П₂ на одно и то же расстояние.

Теперь осуществим перевод точки B в новую систему плоскостей П₁, П₄ (рис. ниже). Для этого введем произвольную фронтальную пл. П₄, которая будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П₁ и пересечет её по оси x₁.

В системе П₁, П₄ положение точки B’ останется неизменным. Чтобы найти точку B»₁, проведем из B’ перпендикуляр к оси x₁. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x₁ отложим отрезок B_x1B»₁ равный отрезку B_xB». Описанные построения основаны на равенстве аппликат точек B» и B»₁.

Замена двух плоскостей проекций

Иногда для решения поставленной задачи требуется замена двух плоскостей проекций (рис. ниже). Пусть A’ и A» – исходные проекции точки A, находящейся в системе пл. П₁, П₂. Введем первую дополнительную плоскость П₄ и определим новую горизонтальную проекцию A’₁ точки A, как это было описано ранее.

Для осуществления второй замены плоскости проекций будем рассматривать систему пл. П₂, П₄ в качестве исходной. Введем новую фронтальную плоскость П₅ перпендикулярно горизонтальной пл. П₄. Для этого на произвольном месте чертежа проведем ось x₂ = П₄ ∩ П₅. Из точки A’₁, положение которой останется неизменным, восстановим перпендикуляр к оси x₂. На нем от точки A_x2 отложим отрезок A_x2A»₁ равный отрезку A»A_x1.

Использование метода замены при решении задач

Владея методом замены применительно к одной точке, можно построить дополнительные проекции любых фигур, поскольку они представляют собой множество точек. На рисунке ниже показан перевод отрезка AB в частное положение. Новая плоскость П₄ проведена параллельно AB, поэтому отрезок проецируется на неё в натуральную величину.

На следующем рисунке показана плоскость общего положения α, заданная следами. Переведем её в новую систему плоскостей П₁, П₄ так, чтобы α занимала проецирующее положение. Для этого перпендикулярно горизонтальному следу h_0α введем дополнительную фронтальную плоскость П₄.

Новый фронтальный след f_0α1 строится по двум точкам. Одна из них, X_α1, лежит на пересечении h_0α с осью x₁. Дополнительно возьмем точку N, принадлежащую α, и укажем её фронтальную проекцию N»₁ на плоскости П₄.

Определение расстояния между параллельными плоскостями

Параллельные плоскости α и β расположены так, как показано на рисунке. Чтобы найти расстояние между ними, необходимо из произвольной точки A, взятой на пл. α, опустить перпендикуляр AB на пл. β и определить его настоящую длину.

Для уменьшения количества геометрических построений α и β предварительно переводятся в проецирующее положение с помощью метода замены плоскостей проекций. Вспомогательная точка M используется для определения направления следов f_0β1 и f_0α1, параллельных друг другу.

Источник

Способы преобразования чертежа

Содержание:

Способы преобразования чертежа можно классифицировать, исходя из основных составляющих аппарата проецирования:

• изменение положения фигур относительно основной системы координат (способ вращения относительно различных осей; способ плоскопараллельного движения);
• изменение положения плоскостей проекций (способ замены плоскостей проекций);
• изменение направления проецирования (способы дополнительного проецирования: косоугольное, окружностное, винтовое и другие).

Цель способов преобразования чертежа — приведение геометрических фигур в частное (параллельное или проецирующее) положение относительно плоскостей проекций для обеспечения большей наглядности изображения и упрощения решения позиционных и метрических задач.

Способ замены плоскостей проекций

Смысл способа замены плоскостей проекций: при сохранении неизменного положения фигуры в пространстве вводится новая плоскость проекций, перпендикулярная одной из основных плоскостей проекций; для получения новой проекции фигуры она ортогонально проецируется на введенную плоскость проекций

Проецирование точки на вспомогательную плоскость проекций

Метрические задачи начертательной геометрии связаны с определением натуральных величин геометрических объектов. Эти величины невозможно построить ни на одной из плоскостей проекций П1, П2, П3 для произвольной ориентации объектов в пространстве: проекции отрезков короче, чем их оригиналы; проекции плоских фигур имеют искаженную форму и меньшую площадь: проекции углов, в том числе прямых, не равны действительным их значениям (рис. 2.1).

При решении позиционных задач прямым способом приходится вводить множество вспомогательных геометрических фигур, что приводит к громоздкости геометрических построений. Например, для определения линии пересечения двух плоскостей необходимо вводить вспомогательные плоскости особого положения; для построения двух взаимно перпендикулярных прямых необходимо вводить плоскость общего положения и т.д. (см. раздел 1). Это усложняет решение практических задач и чтение комплексного чертежа.

Проецирование геометрических объектов

Для устранения выше перечисленных проблем применяются способы преобразования комплексного чертежа. Одна группа этих способов связана со сменой ориентации плоскостей проекций относительно данных объектов, вторая – со сменой ориентации геометрических объектов относительно фиксированных плоскостей проекций, третья –со сменой способа проецирования. К первой группе относятся такие способы:

а) способ замены плоскостей проекций;

б) способ прямоугольного аксонометрического проецирования (см. п. 6.4),

в) способ вращения вокруг проецирующей оси (см. п. 2.2);

г) способ плоскопараллельного перемещения (см. п. 2.3);

д) способы вращения вокруг линии уровня (см. п. 2.4),

е) способ косоугольного проецирования (см. п. 2.5).

Все вышеперечисленные способы применяются для перевода геометрических объектов из общего положения в частное (положение уровня или проецирующее положение) с целью установления их взаимного расположения или для определения натуральных величин.

Суть способа замены плоскостей проекций

Способ замены плоскостей проекций состоит во введении системы дополнительных плоскостей особого положения П4, П5, …, параллельных или перпендикулярных элементам заданных геометрических объектов (плоскостей или плоских линий) с дальнейшим проецированием на эти плоскости (рис. 2.2 а, в, д) и совмещением П4, П5, … в одну плоскость (рис. 2.2 б, г, е).

Способ замены плоскостей проекций

На рис. 2.2 а – б построены четыре ортогональные проекции точки А на плоскости проекций П1, П2, П3, П4. Плоскость П4 — горизонтально-проецирующая. её горизонтальный след — одна из осей вспомогательной системы координат. Нижний индекс «14» свидетельствует о том, что прямая является линией пересечения плоскостей П1, П4. Вторая ось – фронтальный след – по направлению совпадает с осью z.

На рис. 2.2 в – г построены четыре ортогональные проекции точки А на плоскости проекций П1, П2, П3, П5. Плоскость П5 -фронтально-проецирующая. её фронтальный след — одна из осей вспомогательной системы координат. Нижний индекс «25» свидетельствует о том, что прямая является линией пересечения плоскостей П2, П5. Другая ось – горизонтальный след – по направлению совпадает с осью у.

На рис. 2.2 д – е построены четыре ортогональные проекции точки А на плоскости проекций П1, П2, П3, П6. Плоскость П6 — профильно-проецирующая. её профильный след — одна из осей вспомогательной системы координат. Нижний индекс «36» свидетельствует о том, что прямая является линией пересечения плоскостей П3, П6.Другая ось – фронтальный след –по направлению совпадает с осью х.

Правила проецирования на вспомогательные плоскости проекций:

а) проекция А4 точки А на горизонтально-проецирующую плоскость П4 находится на линии проекционной связи А1А4, перпендикулярной оси и сохраняет высоту (координату z);

б) проекция А5 точки А на фронтально-проецирующую плоскость П5 находится на линии проекционной связи А2А5, перпендикулярной оси и сохраняет глубину (координату у);

в) проекция А6 точки А на профильно-проецирующую плоскость П6 находится на линии проекционной связи А3А6,перпендикулярной оси и сохраняет ширину (координату х).

Длина отрезка и углы его наклона к плоскости проекций

Длины проекций отрезка АВ прямой общего положения на плоскости проекций П1, П2, П3 меньше действительной длины отрезка. Только прямые особого положения проецируются хотя бы на одну из плоскостей проекций в натуральную величину.

Для определения натуральной величины отрезка АВ способом замены плоскостей проекций необходимо ввести плоскость П4, параллельную этому отрезку. Проекция А4В4 — натуральная величина (рис. 2.3 а). Угол α наклона отрезка АВ к плоскости П1 равен углу наклона проекции А4В4 к оси .

На рис. 2.3 б заданы горизонтальная и фронтальная проекции отрезка АВ. Для определения натуральной величины отрезка и угла его наклона к плоскости П1 вводится вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость П4, параллельная отрезку АВ (ось параллельна проекции А1В1). С помощью линий проекционной связи и по координатам концов отрезка определяется проекция А4В4, являющаяся натуральной величиной АВ.

Аналогично можно определить натуральную величину отрезка путём введения дополнительной фронтально- или профильно-проецирующей плоскости П5, П6.В этом случае можно определить углы β, γ наклона отрезка к П2, П3 (рис. 2.3 в – г).

Необходимо отметить, что расстояние от отрезка до дополнительной плоскости проекций выбирается произвольно. В п. 1.4.4 показан способ прямоугольного треугольника для определения натуральной величины отрезка. Этот способ является частным случаем способа замены плоскостей проекций, в котором отрезок принадлежит вспомогательной плоскости проекций (расстояние от отрезка до вспомогательной плоскости проекций равно нулю).

Определение натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций

Расстояние от точки до прямой и плоскости

Для определения расстояния от точки D до прямой l общего положения (рис. 2.4 а) необходимо ввести вспомогательную плоскость проекций П4, параллельную прямой (ось параллельна проекции l1),и найти проекции D4, l4. В таком случае прямая l занимает положения уровня относительно П4. При дальнейшем введении вспомогательной плоскости проекций П5, перпендикулярной прямой l (ось перпендикулярна проекции l4), последняя проецируется в точку l5, поскольку прямая l занимает проецирующее положения относительно П5. Проекции геометрических объектов на плоскость П5 строятся по координатам, которые определяются по системе плоскостей П1, П4. Например, расстояние h от оси до D5 равно расстоянию от оси до D1. Длина отрезка D5l5 рана расстоянию от точки D до прямой l.

Необходимо отметить, что плоскость П5 нельзя вводить сразу (без использования П4), поскольку она занимает особое положения только в системе плоскостей П4, П5, а в системе П1, П2, П3 – общее.

Определение расстояния от точки до прямой

На рис. 2.4 б прямая l задана отрезком АВ. Отрезок DN принадлежит прямой перпендикулярной l. Прямая занимает положения уровня относительно П5 (проекция D4N4 параллельна оси ). Точка N (основа перпендикуляра) является точкой пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых n, l. Таким образом, задачу по определению расстояния от точки D до прямой l способом замены плоскостей проекций можно дополнить задачей на построение двух взаимно перпендикулярных прямых l, n ,пересекающихся в точке N.

Для определения расстояния от точки D до плоскости Σ общего положения (рис. 2.5 а) необходимо перевести плоскость Σ в проецирующее положения путём введения вспомогательной плоскости проекций П4, перпендикулярной Σ (ось перпендикулярна одной из линий уровня плоскости). В этом случае плоскость Σ проецируется в прямую Σ4, а искомое расстояние является длиной перпендикуляра D4N4, проведенного из точки D4 до прямой Σ4. Точка N — основа перпендикуляра и одновременно точка пересечения прямой заданной отрезком DN, с плоскостью Σ.

На рис. 2.5 б плоскость Σ задана треугольником АВС. Его горизонтальная прямая уровня h, заданная двумя точками А и 1, проецируется на перпендикулярную ей плоскость П4 в точку h4. Проекция А4В4С4 треугольника является отрезком, наклонённым под углом α к оси . Этот угол равен углу наклона плоскости Σ к П1. Расстояние от точки D до плоскости АВС равно длине отрезка D4N4. Горизонтальная проекция D1N1 параллельна оси и перпендикулярна горизонтальной проекции h1 горизонтали.

Определение расстояния от точки до плоскости

Расстояние между параллельными прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями

Для определения расстояния между параллельными прямыми l, m способом замены плоскостей проекций (рис. 2.6 а) вводится система двух вспомогательных плоскостей проекций П4, П5. Первая из них параллельна заданным прямым, вторая – им перпендикулярна. На плоскость П4 прямые проецируются в натуральные величины, на П5 – в точки . Длина отрезка равна расстоянию между параллельными прямыми l, m.

На рис. 2.6 б прямые заданы отрезками АВ, CD. Отрезок принадлежит прямой , перпендикулярной прямой . Прямая занимает положение уровня относительно П5 (проекция параллельна оси ). Длина отрезка равна расстоянию между параллельными прямыми l, m.

Для определения расстояния между параллельными прямой l и плоскостью Σ (рис. 2.7 а) вводится вспомогательная плоскость проекций П4, перпендикулярна Σ (ось перпендикулярна одной из линий уровня плоскости). Искомое расстояние является длиной отрезка , перпендикулярного проекциям l4, Σ4.

На рис. 2.7 б плоскость Σ задана треугольником АВС. Его горизонтальная прямая уровня h, заданная двумя точками А, 1, проецируется на перпендикулярную ей плоскость П4 в точку h4. Проекция А4В4С4 треугольника является отрезком прямой. Расстояние от прямой l до плоскости АВС равно длине отрезка . Горизонтальная проекция параллельна оси и перпендикулярна горизонтальной проекции h1 горизонтали.

Для определения расстояния между параллельными плоскостями Σ, Ω (рис. 2.8 а) вводится вспомогательная плоскость проекций П4, перпендикулярна этим плоскостям (ось перпендикулярна линии уровня одной из плоскостей). Искомое расстояние является длиной отрезка , перпендикулярного проекциям Σ4, Ω4.

На рис. 2.8 б плоскости Σ, Ω заданы своими горизонтальными и фронтальными следами. Фронтальный след плоскости Σ проецируется на перпендикулярную ей плоскость П4 в точку . Проекции Σ4, Ω4 плоскостей являются прямыми – следами построенными с помощью

Определение расстояния между параллельными прямыми

Определение расстояния между параллельными прямой и плоскостью

Определение расстояния между параллельными плоскостями

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми l, m способом замены плоскостей проекций (рис. 2.9) вводится система двух вспомогательных плоскостей проекций П4, П5. Первая из них параллельна одной из заданных прямых (например, l), вторая – перпендикулярна этой прямой. На плоскость П4 прямая l проецируется в натуральную величину, на П5 – в точку. Длина отрезка равна расстоянию между скрещивающимися прямыми l, m

На рис. 2.9 прямые заданы отрезками АВ, CD. Отрезок перпендикулярен прямым и занимает положения уровня относительно П5 (проекция параллельна оси ). Длина отрезка равна расстоянию между скрещивающимися прямыми l, m.

Определение расстояния между скрещивающимися прямыми

Угол между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями

Натуральную величину углов между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями невозможно определить графически по их проекциям без применения способов преобразования комплексного чертежа.

Для определения плоского угла χ между прямыми l, m, пересекающимися в точке K, способом замены плоскостей проекций необходимо спроецировать этот угол в натуральную величину. Следует ввести систему двух вспомогательных плоскостей проекций П4, П5. Первая должна быть перпендикулярна плоскости Σ, образованной данными прямыми, вторая – параллельна Σ.

На рис. 2.10 прямые l, m заданы отрезками AВ, СD. Плоскость П4 перпендикулярна фронтали f (плоскости Σ), проведенной через точки C, 1. Проекция Σ4 является отрезком прямой линии. Плоскость П5 параллельна плоскости Σ (проекция Σ4 параллельна оси ).

Определение плоского угла

Угол φ между прямой l и плоскостью Σ определяется с помощью введения вспомогательной плоскости проекций П4, перпендикулярный заданной плоскости (рис. 2.11 а). Таким образом, задача по определению угла φ между прямой l и плоскостью Σ сводится к задаче по определению угла между проекцией l4 прямой и следом Σ4 плоскости.

Угол φ между прямой l и плоскостью Σ также определяется (рис. 2.11 б) с помощью вспомогательного угла между данной прямой и прямой проходящей через произвольную точку D прямой l перпендикулярно плоскости Σ (см. п. 1.6.3, рис. 1.69). Таким образом, задача по определению угла φ между прямой l и плоскостью Σ сводится к задаче по определению вспомогательного угла между двумя прямыми (см. рис. 2.10). Из проекций D1, D2 произвольной точки прямой l проведены проекции перпендикулярные соответствующим следам плоскости Σ. С помощью вспомогательной плоскости проекций П4, перпендикулярной плоскости Ω, образованной прямыми (ось перпендикулярна проекции h1 плоскости Ω), последняя проецируется в прямую линию l4. После введения плоскости проекций П5, параллельной плоскости Ω (ось параллельна следу l4), определяется натуральная величина вспомогательного угла . Искомый угол φ дополняет вспомогательный угол до 90°.

Определение угла между прямой и плоскостью

Существуют два способа определения угла θ между двумя плоскостями Σ, Ω (см. п. 1.6.3). Прямой способ реализуется, в том числе, с помощью способа замены плоскостей проекций.

Прямой способ определения двугранного угла

На рис. 2.12 плоскости Σ, Ω заданы треугольником АВС и параллельными прямыми a, b. Прямая k — линия пересечения плоскостей (см. п. 1.5.8, рис. 1.42). С помощью вспомогательной плоскости проекций П4, параллельной прямой k, последняя переведена в положения уровня. Введение плоскости проекций П5, перпендикулярной прямой k, позволяет определить угол θ между заданными плоскостями.

При непрямом способе угол θ между плоскостями Σ, Ω равен углу между прямыми пересекающимися в произвольной точке пространства и перпендикулярны ,соответственно, плоскостям Σ, Ω (см. п. 1.6.3, рис. 1.70)..

На рис. 2.13 плоскости Σ, Ω заданы своими горизонтальными и фронтальными следами. Из проекций D1, D2 произвольной точки пространства проведены прямые и перпендикулярные соответствующим следам плоскостей.

С помощью вспомогательной плоскости проекций П4, перпендикулярной вспомогательной плоскости Ψ, заданной прямыми плоскость Ψ переведена в проецирующее положение. После введения плоскости проекций П5, параллельной плоскости Ψ, определяется угол , числовое значение которого совпадает с искомым углом θ.

Непрямой способ определения двугранного угла

Натуральная величина плоской фигуры

Натуральная величина плоской фигуры определяется как без применения способов преобразования комплексного чертежа, так и с их применением.

На рис. 2.14 показан способ определения натуральной величины треугольника АВС способом прямоугольного треугольника (см. п. 1.4.4). Предварительно определяются натуральные величины сторон АВ, ВС, АС. На их основе строится треугольник А0В0С0, тождественный натуральной величине треугольника АВС

Для определения натуральной величины плоской фигуры Ф способом замени плоскостей проекций (рис. 2.15 а) необходимо ввести по очереди плоскость П4, перпендикулярную Ф, и П5, параллельную Ф (ось параллельная следу плоской фигуры на плоскости П4). Проекция Ф5 является натуральной величиной фигуры Ф.

На рис. 2.15 б плоская фигура является треугольником АВС. Ось вспомогательной системы плоскостей П1, П4 перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f треугольника. Проекция А4В4С4 является отрезком прямой линии. Ось вспомогательной системы плоскостей П4, П5 параллельна проекции А4В4С4. Проекция А5В5С5 является натуральной величиной треугольника АВС.

Определение натуральной величины плоской фигуры способом прямоугольного треугольника

Определение натуральной величины плоской фигуры способом замены плоскостей проекций

Пересечение прямой и плоскости, двух плоскостей

У п. 1.5.7 показан способ определения точки K пересечения прямой l и плоскости Σ с помощью вспомогательной плоскости Ω особого положения (рис. 1.38).

Для определения точки K пересечения прямой l с плоскостью Σ способом замены плоскостей проекций (рис. 2.16) вводится вспомогательная плоскость П4, перпендикулярная плоскости Σ. На П4 последняя проецируется в прямую Σ4. Точка K4 пересечения Σ4, l4 позволяет определить горизонтальную и фронтальную проекции точки K пересечения прямой l с плоскостью Σ.

Определение точки пересечения прямой и плоскости

На рис. 2.16 плоскость Σ задана треугольником АВС, прямая l – точками 2, 3. На плоскости построена фронталь f, которой перпендикулярна вспомогательная плоскость проекций П4. Точка K пересечения прямой и плоскости имеет проекцию K4, которая является точкой пересечения отрезков .

У п. 1.5.8 показаны три способа определения линии пересечения двух плоскостей (рис. 1.42 – 1.46), не связанные с преобразованиями комплексного чертежа.

Определение линии пересечения плоскостей

Для определения линии MN пересечения двух плоскостей Σ, Ω способом замены плоскостей проекций (рис. 2.17) вводится вспомогательная плоскость П4, перпендикулярная плоскости Σ, на которую последняя проецируется в прямую Σ4. Прямая M4N4 пересечения Σ4, Ω4 позволяет определить горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения данных плоскостей .

На рис. 2.17 плоскости Σ, Ω заданы треугольниками АВС, DEF. В первом проведена фронталь f, которой перпендикулярна вспомогательная плоскость проекций П4. Линия пересечения плоскостей АВС, DEF имеет проекцию М4N4, принадлежащую проекции А4В4С4.

Способ вращения вокруг проецирующей оси

Метод вращения вокруг проецирующих осей этот метод заключается в том, что геометрический объект (прямую или плоскость) вращают вокруг проецирующей оси i до положения параллельности какой-либо плоскости проекций. В результате вращения геометрический объект проецируется на плоскость проекций в натуральную величину.

Вращение точки вокруг проецирующей оси

Способ вращения вокруг проецирующей оси — это один из способов преобразования комплексного чертежа, в котором геометрический объект вращается вокруг проецирующей оси до тех пор, пока не займет особое положение (рис. 2.18).

Поскольку любой геометрический объект является совокупностью точек в пространстве, для его вращения вокруг оси необходимо уметь вращать каждую точку.

На рис. 2.19 показан комплексный чертёж точки А до и после вращения вокруг осей i, j соответственно на углы α, β.

Вращение вокруг проецирующей оси

Реализация способа вращения вокруг проецирующей оси

Для вращения точки А вокруг проецирующей оси необходимо знать:

а) ось вращения– прямая линия, которая не изменяет своего положения в пространстве во время вращательного движения точки;

б) центр вращения – точка на оси вращения, для которого выполняется условие перпендикулярности отрезку оси вращения;

в) радиус вращения r – расстояние от центра вращения до точки А;

г) направление вращения;

Траекторией точки А при её вращении вокруг проецирующей оси является дуга окружности, принадлежащей плоскости уровня. Проекция траектории на одну из плоскостей проекций является дугой окружности, на две другие – прямой, параллельной соответствующим осям координат (рис. 2.19).

Способом вращении вокруг проецирующей оси можно определить :

а) натуральную величину отрезка (см. п. 2.2.2);

б) расстояния между геометрическими объектами (см. пп. 2.2.3 – 2.2.5);

в) точку пересечения прямой и плоскости (см. п. 2.2.6);

г) линию пересечения двух плоскостей (см. п. 2.3.5);

д) точки пересечения прямой линии с поверхностью тела вращения (см. п. 4.2.2.3).

Длина отрезка

Задача по определению натуральной величины отрезка имеет простейший способ реализации с использованием способа вращения вокруг проецирующей оси .

На рис. 2.20 приведён пример определения длины отрезка АВ общего положения. Через точку А проведена фронтально-проецирующая ось j, вокруг которой данный отрезок вращается до положения горизонтального уровня (фронтальная проекция параллельная оси х). Горизонтальная проекция является натуральной величиной отрезка АВ

Определение длины отрезка

Расстояние от точки до прямой и плоскости

Для определения расстояния от точки А до прямой l общего положения способом вращения вокруг проецирующей оси необходимо повернуть прямую до положения уровня.

На рис. 2.21 прямая l задана отрезком ВС. Фронтально-проецирующая ось вращения j проходит через точку В. Точки А, С вращаются вокруг оси на одинаковый угол. После вращения отрезок ВС занимает горизонтальное положение уровня По теореме о проецировании прямого угла (см. п. 1.4.8, рис. 1.26) горизонтальная проекция перпендикуляра, проведенного из точки к отрезку , проецируется на П1 в натуральную величину. Натуральная величина отрезка АN определяется путём вращения отрезка вокруг фронтально-проецирующей оси и равна длине отрезка

Определение расстояния от точки до прямой

Определение расстояния от точки до плоскости

Для определения расстояния от точки D до плоскости Σ общего положения способом вращении вокруг проецирующей оси необходимо повернуть плоскость в проецирующее положение.

На рис. 2.22 плоскость Σ задана треугольником АВС. Плоскости принадлежит фронталь f, проведенная через точки В, 1. Фронтально-проецирующая ось вращения j проходит через точку В. Точки А, С, D вращаются вокруг оси j на одинаковый угол. После вращения прямая f занимает горизонтально-проецирующее положение, а треугольник проецируется на П1 в отрезок прямой. Длина перпендикуляра , проведенного к плоскости , равна расстоянию от точки D к плоскости Σ.

Расстояние между параллельными прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями

Для определения расстояния между параллельными прямыми l, m способом вращения вокруг проецирующей оси прямые l, m вращаются вокруг этой оси до положения уровня.

На рис. 2.23 прямые заданные отрезками АВ, CD. Прямые вращаются вокруг фронтально-проецирующей оси j, яка проходить через точку А, до горизонтального положения уровня. На горизонтальной плоскости проекций П1 проекция перпендикуляра к образует прямые углы с проекциями . Расстояние между параллельными прямыми равно длине отрезка и определяется способом вращения вокруг проецирующей оси (равно длине отрезка

Для определения расстояния между параллельными прямой l и плоскостью Σ способом вращения вокруг проецирующей оси плоскость Σ вращается вокруг проецирующей оси до проецирующего положения.

Определение расстояния между параллельными прямыми

Определение расстояния между параллельными прямой и плоскостью

На рис. 2.24 плоскость Σ задана треугольником АВС, прямая l – отрезком DE. Фронталь f плоскости АВС, задана двумя точками В, 1, после вращения вокруг проецирующей оси j, проходящей через точку В, проецируется на плоскость П1 в точку у . Проекция треугольника является отрезком прямой. Расстояние от прямой l до плоскости АВС равно длине отрезка

Для определения расстояния между параллельными плоскостями Σ, Ω последние вращаются вокруг проецирующей оси до проецирующего положения.

На рис. 2.25 плоскости Σ, Ω заданы треугольниками АВС, DEF. Фронталь f плоскости АВС задана двумя точками В, 1. После вращения вокруг проецирующей оси j, проходящей через точку В, фронталь f проецируется на плоскость П1 в точку . Проекции треугольников являются отрезками прямых. Расстояние между данными плоскостями равно длине перпендикуляра

Определение расстояния между параллельными плоскостями

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми l, m применяется способ вспомогательной параллельной плоскости (см. п. 1.6.2, рис. 1.65 – 1.66), для чего вводится плоскость Σ, проходящая через прямую параллельно прямой l. После вращения вокруг проецирующей оси плоскость Σ проецируется в прямую линию. Расстояние между этой линией и соответствующей проекцией прямой l равен расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Определение расстояния между скрещивающимися прямыми

На рис. 2.26 прямые l, m заданы отрезками АВ, CD. Вспомогательная плоскость Σ, задана треугольником CDE, параллельна отрезку АВ. После вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси и, проходящая через точку D, треугольник CDE занимает фронтально-проецирующее положение . Длина перпендикуляра равна расстоянию между прямыми l, m.

Пересечение прямой и плоскости

Для определения точки K пересечения прямой l и плоскости Σ последняя вращается вокруг проецирующей оси до проецирующего положения. На рис. 2.27 плоскость задана треугольником АВС, прямая – отрезком DE. В плоскости построена фронталь f, которая после вращения вокруг фронтально-проецирующей оси j переводится в горизонтально-проецирующую прямую f . При этом плоскость проецируется в прямую , пересекающую проекцию в точке . Вращение этой точки вокруг оси j в обратном направлении позволяет определить искомые проекции K1, K2.

Определение точки пересечения прямой и плоскости

Способ плоскопараллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения основан на том, что при параллельном переносе геометрического тела относительно плоскости проекций проекция его на эту плоскость не меняет своей формы и размеров, хотя и меняет положение.

Плоскопараллельное перемещение тела

Плоскопараллельным движением тела называется такое его движение, в котором все точки тела имеют траектории, принадлежащие плоскостям, параллельным некоторой неподвижной плоскости. Последней в начертательной геометрии выбирают одну из плоскостей проекций.

Плоскопараллельные перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения каждой точки тела реализуется с помощью комбинации двух движений: поступательного движения проецирующей оси и вращения вокруг этой оси (рис. 2.28).Целью применения способа плоскопараллельного перемещения является переведение геометрических объектов из общего положения в особое.

Способ вращения вокруг проецирующей оси (см. п. 2.2) является частным случаем способа плоскопараллельного перемещения, в котором ось вращения неподвижна.

Реализация способа плоскопараллельного перемещения тела Ф на его комплексном чертеже приведена на рис. 2.29. Она аналогична вращению вокруг проецирующей оси, но имеет существенное преимущество: одну из проекций объекта (на рис. 2.29 – это фронтальная проекция) можно переносить на свободное поле комплексного чертежа.

Основное правило плоскопараллельного перемещения

При плоскопараллельном перемещении геометрического объекта расстояния между всеми парами его точек не изменяются.

На рис. 2.29 длины проекций отрезков одинаковы так же, как одинаковы длины проекций отрезков и т.д..

Правило определения видимости для способа плоскопараллельного перемещения

При плоскопараллельном перемещении геометрического объекта видимость его линий не изменяется на одной из плоскостей проекций.

На рис. 2.29 на фронтальной проекции отрезок ВD невидим, все другие – видимы. После плоскопараллельного перемещения тела видимость отрезков на фронтальной проекции не изменилась, на горизонтальной – изменилась для отрезков AD, CD.

Способом плоскопараллельного перемещения решаются все задачи, описанные в п. 2.2, а также и те, которые не целесообразно решать способом вращения вокруг проецирующей оси.

Реализация способа плоскопараллельного перемещения

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется такими способами:

а) вспомогательной параллельной плоскости (см. п. 1.6.2, рис. 1.65 – 1.66);

б) замены плоскостей проекций (п. 2.1.5, рис. 2.9);

в) вращения вокруг проецирующей оси (п. 2.2.5, рис. 2.26);

г) плоскопараллельного перемещения.

Способом параллельного перемещения можно определить расстояние между скрещивающимися прямыми l, m путём проецирования одной из прямых в точку.

На рис. 2.30 прямые l, m заданы отрезками АВ, CD. Их перемещение, параллельное плоскости П2, дозволяет перевести прямую l в горизонтальное положение уровня (проекция параллельна оси х; длина проекции является натуральной величиной отрезка АВ). Перемещение отрезков , параллельное плоскости П1, позволяет спроецировать прямую во фронтально-проецирующее положение (проекция перпендикулярна оси х; проекция является точкой). Расстояние между скрещивающимися прямыми l, m равно длине проекции перпендикуляра .

Определение расстояния между скрещивающимися прямыми

Угол между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями

Для определения угла χ между двумя прямыми l, m, пересекающимися в точке K, способом плоскопараллельного перемещения необходимо перевести плоскость Σ,образованную этими прямыми , сначала в проецирующее положение, а потом – в положение уровня.

На рис. 2.31 прямые l, m заданы отрезками АВ, CD. В плоскости Σ, заданной прямыми l, m, вводится горизонталь h, которая с помощью перемещения, параллельного П1, переводится во фронтально-проецирующее положение (проекция перпендикулярна оси х; проекция является точкой; проекция является прямой линией). Перемещение плоскости параллельно плоскости П2 позволяет спроецировать угол χ между прямыми l, m в натуральную величину.

Определение плоского угла

Угол φ между прямой l и плоскостью Σ и между двумя плоскостями определяется с помощью перемещения плоскости Σ параллельно одной из плоскостей проекций до проецирующего положения.

На рис. 2.32 плоскость Σ задана треугольником АВС, прямая l – отрезком DE. В плоскости Σ проведена горизонтальная прямая уровня h, которая после плоскопараллельного перемещения проецируется в точку , а треугольник – на отрезок прямой. Угол φ между фронтальными проекциями равен искомому углу φ между прямой l и плоскостью Σ.

Определение угла между прямой и плоскостью

На рис. 2.33 плоскости Σ, Ω заданы треугольниками АВС, ABD. С помощью перемещения отрезка АВ (основы двугранного угла) параллельно П2, данный отрезок проецируется на П1 в натуральную величину. Перемещение отрезка параллельно П1 позволяет спроецировать заданные плоскости в прямые линии, пересекающиеся в точке, и определить угол θ между ними. Этот угол равен искомому двугранному углу при ребре АВ.

Определение двугранного угла

Натуральная величина плоской фигуры

Для определения натуральной величины плоской фигуры Ф способом плоскопараллельного перемещения необходимо перевести эту фигуру в положение уровня, перед этим спроецировав её на отрезок прямой линии.

На рис. 2.34 фигура Ф является треугольником АВС. В нём вводится горизонталь h, которая с помощью перемещения, параллельного П1, переводится во фронтально-проецирующее положение (проекция перпендикулярна оси х; проекция является точкой; проекция является отрезком прямой). Перемещение фигуры параллельно плоскости П2 позволяет определить натуральную величину треугольника АВС.

Определение натуральной величины плоской фигуры

Пересечение плоскостей

Для определения линии k (отрезка MN) пересечения двух плоскостей Σ, Ω способом плоскопараллельного перемещения одна из плоскостей переводится в проецирующее положение.

На рис. 2.35 плоскости заданы треугольниками АВС, DEF. В первом проведена горизонталь h, которая перемещается параллельно П1 до фронтально-проецирующего положения (проекция перпендикулярна оси х; проекция является точкой). При этом треугольник проецируется на отрезок который совпадает с проекцией линии пересечения, заданной точками . Искомые горизонтальная и фронтальная проекции отрезка MN определяются по линиям проекционной связи.

Определение линии пересечения плоскостей

Способ вращения вокруг линии уровня

При применении метода поворота плоскость проекции не изменяется, и изменяется исходное положение в пространстве. Изменение исходного положения осуществляется вращением Он вокруг оси. Линия проекции уровня или прямая линия обычно выбирается в качестве оси вращения.

Вращение точки вокруг линии уровня

Способ вращения вокруг линии уровня является одним из способов преобразования комплексного чертежа, в котором геометрический объект вращается вокруг линии уровня до тех пор, пока не займет особое положение (рис. 2.36).

На рис. 2.37 а показаны положения точки В до и после вращения вокруг горизонтальной прямой уровня.

Вращение вокруг линии уровня

Реализация способа вращения вокруг линии уровня

Для вращения точки В вокруг прямой уровня необходимо знать:

а) ось вращения – горизонталь, фронталь или профильная прямая уровня;

б) центр вращения – точка на оси вращения, для которой выполняется условие перпендикулярности отрезка оси вращения;

в) радиус вращения r – расстояние от центра вращения до точки В;

г) направление вращения.

Траекторией точки В при её вращении вокруг линии уровня является окружность, принадлежащая проецирующей плоскости. Проекция траектории на одну из плоскостей проекций является отрезком, перпендикулярным соответствующей проекции линии уровня (рис. 2.37 б).

На рис. 2.37 отрезок общего положения вращается вокруг горизонтали h до положения горизонтального уровня. Из горизонтальной проекции точки В проведена проекция r1 радиуса вращения, перпендикулярная оси h. На горизонтальной плоскости проекций прямой угол с основой проецируется в натуральную величину (по теореме о проецировании прямого угла, см. п. 1.4.8). Точка является центром вращения точки В. С помощью линии проекционной связи определяются фронтальные проекции центра вращения и радиуса вращения. С помощью способа вращения вокруг фронтально-проецирующей оси определяется натуральная величина радиуса вращения r (отрезок ), равная длине отрезка . Новое положение точки В (после вращения вокруг горизонтали h) удалено от центра вращения на величину радиуса вращения.

Способом вращения вокруг линии уровня целесообразно решать задачу на нахождение натуральной величины плоской фигуры и плоского угла – угла между двумя прямыми, пересекающимися в точке.

Натуральная величина плоской фигуры и плоского угла

Для определения натуральной величины плоской фигуры Ф необходимо повернуть её вокруг линии уровня до положения уровня.

На рис. 2.38 задан треугольник АВС. Определение его натуральной величины реализуется с помощью вращения вокруг горизонтали h, проходящей через его точки Из горизонтальной проекции точки В проведена проекция r1 радиуса вращения, перпендикулярная оси h. На горизонтальной плоскости проекций прямой угол с основой проецируется в натуральную величину. Точка является центром вращения точки В. С помощью линии проекционной связи определяются фронтальные проекции центра и радиуса вращения. С помощью способа вращения вокруг фронтально-проецирующей оси определяется натуральная величина отрезка , равная длине отрезка . Положение точки В (после вокруг горизонтали h) удалено от центра вращения на величину радиуса вращения r. Поскольку точки А, 1 принадлежат оси вращения, они остаются неподвижными. Точка является точкой пересечения лучей (точка является центром вращения точки С; отрезок перпендикулярен h1).

Определение натуральной величины плоской фигуры

На рис. 2.38 показана натуральная величина плоского угла χ при вершине А.

Способ совмещения

Способ совмещения является частным случаем способа вращения вокруг линии уровня. Осью вращения в нём является след плоскости, которой принадлежит плоская фигура.

Способ совмещения используется для нахождения натуральной величины плоской фигуры. В результате вращения последняя совмещается с одной из плоскостей проекций (рис. 2.39 а).

На рис. 2.39 б показана реализация способа совмещения плоскости Σ общего положения с горизонтальной плоскостью проекций П1. На фронтальном следе произвольно выбрана точка . Горизонтальная проекция точки 1 принадлежит оси х. Высота точки 1 равна . Центром вращения точки 1 вокруг горизонтального следа вращения плоскости Σ является точка . Натуральная величина r радиуса вращения равна длине отрезка 1. Величина радиуса вращения откладывается вдоль направления вращения Через точки строится новое положение фронтального следа. Таким образом, после вращения вокруг горизонтального следа плоскость Σ совмещается с горизонтальной плоскостью проекций П1.

Способ совмещения

На рис. 2.40 определена натуральная величина четырехугольника АВСD, принадлежащего плоскости Σ, заданной горизонтальным и фронтальным следами . Точки А, В, С, D вращаются вокруг горизонтального следа Для определения нового положения из точки А проводится горизонталь h и определяются точки Точка принадлежит новому положению горизонтали. Аналогично определяются точки . После вращения натуральная величина четырехугольника принадлежит плоскости проекций П1.

Определение натуральной величины плоской фигуры способом совмещения

Способ косоугольного проецирования

Изображения предметов на чертежах получают проецированием. Проецирование – это процесс получения изображения предмета на какой-либо поверхности . Получившееся при этом изображение называют проекцией предмета. Слово «проекция» в переводе с латинского означает «бросание вперед, вдаль».

Косоугольное проецирование на ортогональные плоскости проекций

Косоугольное проецирование — один из видов параллельного проецирования (см. п. 1.1.2.1, рис. 1.3), в котором проецирующие лучи не перпендикулярны плоскостям проекций П1, П2, П3.

Косоугольное проецирование задаётся направлением проецирования і, которое в общем случае направлено вдоль линии общего положения.

В начертательной геометрии используются три вида косоугольного проецирования:

а) на ортогональные плоскости проекций П1, П2, П3;

б) на плоскость особого положения (см. п. 2.5.2);

в) на биссекторную плоскость (см. п. 2.5.3).

Использование косоугольного проецирования направлено на искажение изображения геометрического объекта с целью упрощения его формы (прямая проецируется в точку, плоскость – в прямую и т.д.).

Правило косоугольного проецирования точки на ортогональные плоскости проекций

При косоугольном проецировании точки А на одну из плоскостей проекций П1, П2, П3 косоугольная проекция совпадает с соответствующим следом (см. п. 1.4.3, рис. 1.12) проецирующего луча і (рис. 2.41 а). Горизонтальная проекция точки принадлежит оси х, фронтальная – совпадает с косоугольной проекцией . Линии косоугольного проецирования параллельны соответствующим проекциям проецирующего луча і.

На рис. 2.41 б построен комплексный чертёж точки А и её косоугольной проекции А на фронтальную плоскость проекций П2.

Косоугольное проецирование на плоскость проекций

Способ косоугольного проецирования позволяет относительно быстро решать позиционные задачи на пересечение геометрических объектов (прямой и плоскости, двух плоскостей и т.д.).

На рис. 2.42 построена точка K пересечения прямой l с плоскостью Σ, заданной параллельными прямыми а, b. Введен проецирующий луч і, параллельный заданной плоскости. Косоугольная проекция плоскости Σ на плоскость проекций П2 (прямая ) является фронтальным следом плоскости Σ и пересекается с косоугольной проекцией в точке . С помощью линий проекционной связи определяются фронтальная и горизонтальная проекции искомой точки K.

Определение точки пересечения прямой и плоскости

На рис. 2.42 с целью упрощения горизонтальные проекции плоскости и прямой не обозначены (они совпадают с осью х). Их фронтальные проекции совпадают с косоугольными проекциями, поэтому нижний индекс «2» также не обозначен.

На рис. 2.43 построена линия k пересечения плоскости Σ, заданной параллельными прямыми а, b, с плоскостью Ω, заданной треугольником АВС. Введен проецирующий луч і, параллельный плоскости Σ. Косоугольная проекция плоскости Σ на плоскость проекций П2 (пряма ) является фронтальным следом плоскости Σ и пересекается с косоугольной проекцией по прямой , заданной отрезком . С помощью линий проекционной связи определяются фронтальная и горизонтальная проекции искомой прямой k.

Определение линий пересечения плоскостей

Косоугольное проецирование на плоскость особого положения

При косоугольном проецировании на плоскость особого положения (плоскость уровня или проецирующую плоскость) вводится вспомогательная плоскость с помощью одного из своих следов .

На рис. 2.44 а показан способ косоугольного проецирования на горизонтально-проецирующую плоскость . На рис. 2.44 б построен комплексный чертёж точки А, косоугольно спроецированной на эту плоскость. Горизонтальная проекция является точкой пересечения оси с горизонтальной проекцией проецирующего луча. Фронтальная проекция является точкой пересечения фронтальной проекции проецирующего луча с вертикальной линией проекционной связи, проведенной из точки .

Косоугольное проецирование на проецирующую плоскость

На рис. 2.45 построена точка K пересечения прямой l с плоскостью Σ, заданной параллельными прямыми а, b. Введены горизонтально-проецирующая плоскость и проецирующий луч і, параллельный плоскости Σ. Косоугольная проекция плоскости Σ на плоскость проекций П2 является прямой пересекающейся с косоугольной проекцией в точке С помощью линий проекционной связи определяются фронтальная и горизонтальная проекции искомой точки K.

Определение точки пересечения прямой и плоскости

На рис. 2.45 для упрощения горизонтальные проекции плоскости и прямой не обозначены (они совпадают с осью ). Их фронтальные проекции не совпадают с проекциями на плоскость поэтому нижний индекс «2» обязателен.

На рис. 2.46 построена линия k пересечения плоскости Σ, заданной параллельными прямыми а, b, с плоскостью Ω, заданной треугольником АВС. Введены горизонтально проецирующая плоскость и проецирующий луч і, параллельный плоскости Σ. Косоугольная проекция плоскости Σ на плоскость проекций П2 пересекается с косоугольной проекцией плоскости Ω по прямой заданной отрезком С помощью линий проекционной связи определяются фронтальная и горизонтальная проекции искомой прямой k.

Определение линии пересечения плоскостей

Косоугольное проецирование на биссекторную плоскость

Биссекторная плоскость – это плоскость, равнонаклонённая к двум плоскостям проекций. При решении позиционных задач на пересечение геометрических объектов используются способы косоугольного проецирования, в том числе на биссекторную плоскость которая проходит через ось х, принадлежит ІІ и ІV четвертям (см. п. 1.3.1, рис. 1.6) и наклонена к плоскостям проекций П1, П2 под углом 45° (рис. 2.47 а).

Биссекторная плоскость

Основное свойство точек биссекторной плоскости

Любая точка А биссекторной плоскости имеет одинаковые по модулю и противоположные по знаку высоту z и глубину у (рис. 2.47).

На рис. 2.47 б построен комплексный чертёж точки А и её косоугольной проекции на биссекторную плоскость

Согласно основному свойству биссекторной плоскости на комплексном чертеже вместо обозначения косоугольных проекций которые совпадают , упрощенно обозначается только (рис. 2.48).

Косоугольное проецирование точки на биссекторную плоскость

Правило определения косоугольной проекции точки на биссекторную плоскость

Косоугольная проекция точки А на биссекторную плоскость является точкой пересечения горизонтальной и фронтальной проекций проецирующего луча і (рис. 2.48).

На рис. 2.49 построена точка K пересечения прямой l с плоскостью Σ, заданной параллельными прямыми а, b. Введен проецирующий луч і, параллельный заданной плоскости. Косоугольная проекция плоскости Σ на биссекторную плоскость П2 является прямой пересекающейся с косоугольной проекцией в точке С помощью линий проекционной связи точки на биссекторную плоскость определяются фронтальная и горизонтальная проекции точки K.

Определение точки пересечения прямой и плоскости

На рис. 2.50 построена линия k пересечения плоскости Σ, заданной параллельными прямыми а, b, с плоскостью Ω, заданной треугольником АВС. Введен проецирующий луч і, параллельный плоскости Σ. Косоугольная проекция плоскости Σ на биссекторную плоскость является прямой пересекающейся с косоугольной проекцией плоскости Ω по прямой заданный отрезком С помощью линий косоугольной проекционной связи определяются фронтальная и горизонтальная проекции искомой прямой k.

Определение линий пересечения плоскостей

Комбинированные способы

Описанные в разделах 1, 2 способы позволяют решать большое количество позиционных и метрических задач начертательной геометрии. При этом одну задачу можно решать разными способами, которые отличаются сложностью реализации. Поэтому, прежде, чем решать ту или иную задачу, необходимо проанализировать и сравнить между собой разные способы по критерию их сложности. Субъективное мнение авторов по этому вопросу приведено в табл. 2.1.

Таблица 2.1- Способы решения задач начертательной геометрии

Из табл. 2.1 видим, что универсальным способом решения почти всех задач начертательной геометрии является способ замены плоскостей проекций.

При решении комплексных задач способ замены плоскостей проекций можно дополнять другими способами (например, вращение вокруг проецирующей оси і, плоскопараллельного перемещения и т.д.). Умение объединять разные способы свидетельствует о высоком уровне опытности будущего инженера .

На рис. 2.51 определена натуральная величина треугольника АВС с использованием комбинации двух способов – замены плоскостей проекций и плоскопараллельного перемещения. На рис. 2.52 комбинацией двух указанных способов определён двугранный угол θ при ребре АВ.

Определение натуральной величины плоской фигуры

Определение двугранного угла

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Источник