Перемножить эпюры по способу верещагина

Вычисление интеграла Мора спо­собом перемножения эпюр (способ, метод Верещагина)

Для вы­числения необходимо провести сле­дующие операции:

1. Построить эпюры изгибающих моментов Мр и Мк соответственно от заданного и единичного нагружений балки. При сложном нагружении балки (фиг. 19, а) следует: либо эпюру Мр разбить на простейшие части, для которых величина площади и по­ложение центра тяжести известны (фиг. 19, б), либо (предпочтительно) построить эпюру Мр в расслоенном виде (фиг. 19, в).

Если балка ступенчато переменного сечения, эпюра Мр должна быть, кроме того, разбита на участки, в пре­делах которых жесткость сечения по­стоянна.

2. На каждом участке помножить площадь ω одной из эпюр (например, эпюры Мр) на ординату Мс другой эпюры (например, эпюры Мк) под центром тяжести первой эпюры и по­лученное произведение разделить на коэффициент ступенчатости j.

При этом ордината Мс должна быть взята на эпюре, которая на рассматриваемом участке меняется по линейному закону (без излома). Если же эпюра является лома­ной, ее следует разбить на участки, в пределах которых она окажется линейной.

3. Вычислить сумму слагаемых, ука­занных в п. 2.

(36)

где суммирование производят по всем участкам балки

Фиг. 19

Площади и координаты центров тя­жести некоторых эпюр даны в табл. 11. Результаты перемножения часто встре­чающихся грузовых и единичных эпюр приведены в табл. 12.

Определив опорные реакций Аи В, построим эпюру Мр на фиг. 19, б и визо­бражены нерасслоенная и расслоенная эпю­ры Мр. Приложив к точке В освобожденной от нагрузки балки единичный момент, по­строим единичную эпюру М1 (фиг, 19. г).

Используя расслоенную эпюру Мр,по формуле 36 и табл. 12 определяем искомый угол поворота сечения В:

Фиг. 20

Пример. Определить прогиб в точке К балки постоянного поперечного сечения (фиг. 20, а).

Приложив к точке К,освобожденной от заданной нагрузки балки, единичную силу, построим единичную эпюру изгибающих мо­ментов Мк (фиг. 20, б).
Определив опорные реакции от заданной нагрузки

отрежем консоль и заменим ее силой qa и моментом (фиг. 20, в).

Построим, эпюру М расслоенной (от каждого вида нагрузки в отдельности), под­ходя к месту излома единичной эпюры Мк с двух сторон (фиг. 20, i).

По формуле (36) с использованием табл. 12 определяем искомое перемещение

Источник

Правило (способ, метод) Верещагина

Недостатком метода Мора является необходимость получать значения внутренних силовых факторов, входящих в подинтегральные выражения формул (2.18) и (2.19), в общем виде, как функций от z, что становится достаточно трудоемким уже при двух – трех участках разбиения в балках и особенно – в рамах.

Оказывается, что от этого недостатка можно уйти, если непосредственное интегрирование в формулах Мора заменить так называемым перемножением эпюр. Такая замена возможна в тех случаях, когда хотя бы одна из перемножаемых эпюр является прямолинейной. Этому условию соответствуют все системы, состоящие из прямолинейных стержней. Действительно, в таких системах эпюра, построенная от обобщенной единичной силы, всегда будет прямолинейной.

Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина и заключается в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры (если есть криволинейная эпюра, то обязательно ее площадь) умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой.

Докажем справедливость этого правила. Рассмотрим две эпюры (рис.28). Пусть одна из них (Mn) является грузовой и имеет криволинейное очертание, а вторая соответствует единичной нагрузке и является линейной.

Из рис.28 следует, что Подставим значения в выражение

где — дифференциал площади эпюры Mn.

Рис. 28

Интеграл представляет собой статический момент площади относительно оси О – О1, при этом:

где zc – абсцисса центра тяжести площади , тогда:

Учитывая, что получим:
(2.20)
Выражение (2.20) определяет результат перемножения двух эпюр, а не перемещения. Чтобы получить перемещение, этот результат нужно разделить на жесткость, соответствующую внутренним силовым факторам, стоящим под знаком интеграла.

Основные варианты перемножения эпюр

Очевидно, что разнообразие приложенных нагрузок и геометрических схем конструкций приводит к различным, с точки зрения геометрии, перемножаемым эпюрам. Для реализации правила Верещагина нужно знать площади геометрических фигур и координаты их центров тяжести. На рис.29 представлены некоторые основные варианты, возникающие в практических расчетах.

Для перемножения эпюр сложной формы их необходимо разбивать на простейшие. Например, для перемножения двух эпюр, имеющих вид трапеции, нужно одну из них разбить на треугольник и прямоугольник, умножить площадь каждого из них на ординату второй эпюры, расположенную под соответствующим центром тяжести, и результаты сложить. Аналогично поступают и для умножения криволинейной трапеции на любую линейную эпюру.

Если указанные выше действия проделать в общем виде, то получим для таких сложных случаев формулы, удобные для использования в практических расчетах (рис.30). Так, результат перемножения двух трапеций (рис.30,а):

(2.21)

Рис. 29

По формуле (2.21) можно перемножить и эпюры, имеющих вид «перекрученных» трапеций (рис.30,б), но при этом произведение ординат, расположенных по разные стороны от осей эпюр, учитывается со знаком минус.

Если одна из перемножаемых эпюр очерчена по квадратной параболе (что соответствует нагружению равномерно распределенной нагрузкой), то для перемножения со второй (обязательно линейной) эпюрой ее рассматривают как сумму (рис.30,в) или разность (рис.30,г) трапециидальной и параболической эпюр. Результат перемножения в обоих случаях определяется формулой:
(2.22)

но значение f при этом определяется по-разному (рис. 30, в, г).

Рис. 30

Возможны случаи, когда ни одна из перемножаемых эпюр не является прямолинейной, но хотя бы одна из них ограничена ломаными прямыми линиями. Для перемножения таких эпюр их предварительно разбивают на участки, в пределах каждого из которых по крайней мере одна эпюра являетя прямолинейной.
Рассмотрим использование правила Верещагина на конкретных примерах.

Пример 15. Определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис.31,а), способом Верещагина.

Последовательность расчета способом Верещагина – такая же, как и в методе Мора, поэтому рассмотрим три состояния балки: грузовое – при действии распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра Mq (рис.31,б), и два единичных состояния — при действии силы приложенной в точке С (эпюра , рис.31,в), и момента , приложенного в точке В (эпюра , рис.31,г).

Прогиб балки в середине пролета:

.

Аналогичный результат был получен ранее методом Мора (см. пример 13). Следует обратить внимание на тот факт, что перемножение эпюр выполнялось для половины балки, а затем, в силу симметрии, результат удваивался. Если же площадь всей эпюры Mq умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры (на рис.31,в), то величина перемещения будет совершенно иной и неправильной так как эпюра ограничена ломаной линией. На недопустимость такого подхода уже указывалось выше.

А при вычислении угла поворота сечения в точке В можно площадь эпюры Mq умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры (, рис.31,г), так как эпюра ограничена прямой линией:

Этот результат также совпадает с результатом, полученным ранее методом Мора (см. пример 13).

Рис. 31

Пример 16. Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки А в раме (рис.32,а).

Как и в предыдущем примере, для решения задачи необходимо рассмотреть три состояния рамы: грузовое и два единичных. Эпюра моментов MF, соответствующая первому состоянию, представлена на рис.32,б. Для вычисления горизонтального перемещения прикладываем в точке А по направлению искомого перемещения (т.е. горизонтально) силу , а для вычисления вертикального перемещения силу прикладываем вертикально (рис.32,в,д). Соответствующие эпюры и показаны на рис.32,г,е.

Горизонтальное перемещение точки А:

При вычислении на участке АВ трапеция (эпюра MF) разбита на треугольник и прямоугольник, после чего треугольник с эпюры «умножен» на каждую из этих фигур. На участке ВС криволинейная трапеция разделена на криволинейный треугольник и прямоугольник, а для перемножения эпюр на участке СД использована формула (2.21).

Знак » — «, полученный при вычислении , означает, что точка А перемещается по горизонтали не влево (в этом направлении приложена сила ), а вправо.
Вертикальное перемещение точки А:

Здесь знак » — » означает, что точка А перемещается вниз, а не вверх.

Отметим, что единичные эпюры моментов, построенные от силы , имеют размерность длины, а единичные эпюры моментов построенные от момента , являются безразмерными.

Пример 17. Определить вертикальное перемещение точки А плоско-пространственной системы (рис.33,а).

Рис.23

Как известно (см. гл.1), в поперечных сечениях стержней плоско-пространственной системы возникают три внутренних силовых фактора: поперечная сила Qy, изгибающий момент Mx и крутящий момент Mкр. Так как влияние поперечной силы на величину перемещения незначительно (см. пример 14, рис.27), то при вычислении перемещения методом Мора и Верещагина из шести слагаемых остаются только два.

Для решения задачи построим эпюры изгибающих моментов Mx,q и крутящих моментов Мкр,q от внешней нагрузки (рис.33,б), а затем в точке А приложим силу по направлению искомого перемещения, т.е. вертикального (рис.33,в), и построим единичные эпюры изгибающих моментов и крутящих моментов (рис.33,г). Стрелками на эпюрах крутящих моментов показаны направления закручивания соответствующих участков плоско-пространственной системы.

Вертикальное перемещение точки А:

При перемножении эпюр крутящих моментов произведение берется со знаком «+», если стрелки, указывающие направление кручения, сонаправленны, и со знаком » — » – в противном случае.

Источник