Переместительный способ по математике

Свойства умножения

Переместительное свойство умножения

От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.

Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:

выражающее переместительное свойство умножения.

4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24.

Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:

выражающее сочетательное свойство умножения.

3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30

3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30.

Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:

25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.

В данном случае можно было вычислить всё последовательно:

25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,

но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.

Распределительное свойство умножения

Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

выражающее распределительное свойство умножения.

Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

Переход от умножения:

соответственно к сложению и вычитанию:

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

называется вынесением общего множителя за скобки.

Источник

Законы умножения

Переместительный закон умножения

Если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Это можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек представленных на рисунке:

3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4

Так как множимое и множитель можно менять местами их ещё называют сомножителями или просто множителями.

Таким образом, для любых натуральных чисел a и b верно равенство:

выражающее переместительный закон умножения:

От перестановки сомножителей произведение не меняется.

Сочетательный закон умножения

Произведение чисел 3, 2 и 4 не изменится, если из них какие-нибудь два числа заменить их произведением:

3 · 2 · 4 = 3 · (2 · 4) = 3 · 8 = 24,

3 · 2 · 4 = (3 · 2) · 4 = 6 · 4 = 24.

Таким образом, для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:

выражающее сочетательный закон умножения:

Произведение не изменится, если какую-либо группу сомножителей заменить их произведением.

Распределительный закон умножения

Для любых натуральных чисел верны равенства:

выражающие распределительный закон умножения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.

Распределительный закон умножения можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек, представленных на рисунке:

Первый: в каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 зелёных звёздочек, то есть всего в каждом ряду (3 + 5) звёздочек. В четырёх рядах всего (3 + 5) · 4 звёздочек.

Второй: жёлтые звёздочки расположены в четыре ряда по 3 звёздочки в каждом, то есть всего жёлтых звёздочек 3 · 4, а зелёных — 5 · 4. Всего звёздочек 3 · 4 + 5 · 4.

Кроме того, для любых натуральных чисел (если уменьшаемое больше или равно вычитаемому) верны равенства:

Например, 6 · (4 — 2) = 6 · 4 — 6 · 2.

Переход от умножения:

соответственно к сложению и вычитанию:

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

называется вынесением общего множителя за скобки.

Источник

Законы математики

В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.

У математики есть свои законы, которые тоже следует соблюдать. Несоблюдение законов математики приводит в лучшем случае к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае приводит к тому, что падают самолёты, зависают компьютеры, улетают крыши домов от сильного ветра, снижается качество связи и тому подобные нехорошие явления.

Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы. Но не мешает вспомнить их ещё раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.

В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.

Переместительный закон сложения

Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:

Если положить на одну чашу весов 10 килограмм яблок и на другую чашу так же положить 10 килограмм яблок, то весы выровнятся, и не важно, что яблоки в пакетах лежат вразброс. Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.

Таким образом, между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма равна:

Полагаем что, вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:

Записанный переместительный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмём любых два числа. Пусть а = 2, b = 3 . Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a + b = b + a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо а , число 3 место b

Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.

Рассмотрим сумму из трёх слагаемых:

Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:

2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10

Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2

2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:

(a + b) + c = a + (b + c)

Переместительный закон умножения

Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.

В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

5 × 2 = 2 × 5

Запишем переместительный закон умножения с помощью переменных:

Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы a и b . Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y . Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом:

Сочетательный закон умножения

Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

Рассмотрим следующее выражение:

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:

Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2

Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

Запишем сочетательный закон умножения с помощью переменных:

a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)

Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий:

Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.

Рассмотрим следующее выражение:

Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках. Выполняем:

В главном выражении (3 + 5) × 2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:

8 × 2 = 16

Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты:

Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно. В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать. Выглядит она следующим образом:

(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16

(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16

Теперь запишем распределительный закон умножения с помощью переменных:

(a + b) × c = a × c + b × c

Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Начало у него выглядит так: (a + b) × c.

Если рассматривать выражение в скобках (a + b), как единое целое, то это будет множимое, а переменная с будет множителем, поскольку соединены они знаком умножения ×

Из переместительного закона умножения мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится.

Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c × (a + b) . Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b) . Для выполнения такого умножения, опять же применяется распределительный закон умножения. В данном случае переменную c нужно умножить на каждое слагаемое в скобках:

c × (a + b) = c × a + c × b

Пример 2. Найти значение выражения 5 × (3 + 2)

Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25

Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2)

Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42

Если в скобках располагается не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. Затем из полученного первого числа вычесть второе число. В принципе, ничего нового.

Пример 4. Найти значение выражения 5 × (6 − 2)

Умножим 5 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20

Пример 5. Найти значение выражения 7 × (3 − 2)

Умножим 7 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

Источник

Переместительный закон сложения — правило и примеры решения задач

Общие сведения

Сложение — математическая операция, при помощи которой происходит увеличение исходного числа на определенное значение. Ее элементами являются минимум два слагаемых и результат. Последний называется суммой. Всего существуют два закона сложения. К ним относятся следующие:

Первый еще называется переместительным, а второй — сочетательным. Многие школьники путают правила сложения и умножения. Следует отметить, что для последнего предусмотрены три закона, т. е. распределительный, сочетательный и переместительный. У деления и умножения правила похожи, а вот для вычитания, как и для сложения, предусмотрено также два свойства.

Чтобы не путать термины, необходимо рассмотреть каждое арифметическое действие по группам.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание являются взаимосвязанными математическими операциями. Для примера необходимо разобрать числовое выражение «10+20+30+40=100». Оно состоит из пяти элементов: четырех слагаемых и одного результата. Это математическое выражение можно записать в обратном виде 100−40−30−20=10. Данное тождество называется вычитанием.

Иными словами, вычитание — математическая операция уменьшения заданного числа (уменьшаемого) на определенное число (вычитаемое), результатом которой является разность. Для сложения и вычитания применимо всего два закона: переместительный и сочетательный. Они используются для оптимизации вычислений.

Следует отметить, что методика ускорения расчетов используется также в программировании и информатике. Кроме того, эти правила применяются и в высшей математике. Например, для сложения или вычитания векторов, а также для работы с числовыми множествами.

Переместительное правило

Переместительный закон сложения гласит: от перемены мест слагаемых значение суммы не изменится. Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться числовым выражением 12+32+16+40=100. Если поменять местами элементы (слагаемые) в левой части, то должна также получиться сотня, т. е. 32+12+40+16=100. Утверждение доказано. Математическая запись или формула закона выглядит таким образом: R+T+S=T+S+R=S+T+R=M.

Специалисты рекомендуют самостоятельно придумать числовое выражение и доказать истину формулировки переместительного свойства. Для вычитания также существует переместительный закон, который может быть сформулирован следующим образом: если поменять местами вычитаемое, то разность останется прежней.

Для доказательства правила можно использовать такой же видоизмененный пример, что и для суммы «100−40−16−32=12». В нем вычитаемое эквивалентно группе элементов 40, 16 и 32. Если эти числа поменять местами, то результат не изменится, т. е. 100−32−40−16=12. Правило доказано. Для вычитания переместительный закон записывается в таком виде: М-R-T=S, М-R-S=T и М-T-S=R. Далее необходимо рассмотреть сочетательные правила.

Сочетательный закон

Сочетательное правило сложения и вычитания похожи. Их суть заключается в перегруппировке элементов. Следует отметить, что последняя не влияет на результат. Она необходима для упрощения вычислений. Сочетательный закон сложения формулируется таким образом: значение суммы не зависит от группировок слагаемых.

Например, 4+11+6+9=30. Для удобства можно записать пример в таком виде: (4+6)+(11+9)=30. Результат не изменился. Кроме того, производить вычисления стало проще. В виде формулы закон можно записать в таком виде: М+R+T=М+(R+T)=(М+T)+R=S.

Для вычитания формулировка правила звучит следующим образом: разность не изменится, если перегруппировать вычитаемые компоненты, т. е. 30−6−11−4=30-(6+4)-4=9. Формула закона имеет вид: М-R-T-P= М-R-(T+P)= N. Следует отметить, что числа можно группировать в произвольном порядке. Главное — придерживаться принципа вынесения знака за скобку (касается только вычитания).

Некоторые ученики часто приписывают к арифметическим операциям сложения и вычитания распределительное свойство. Это большая ошибка, поскольку для суммы и разности его не существует вообще. Далее необходимо рассмотреть операции, в которых оно применяется.

Произведение и деление

Для умножения и деления применимы те же правила, что и для сложения и вычитания, но к ним добавляется еще и третье — распределительное свойство. В итоге список законов имеет такой вид:

1. Переместительный.
2. Сочетательный.
3. Распределительный.

Следует отметить, что формулировки для переместительного закона сложения и умножения практически идентичны. Для последней математической операции он звучит таким образом: произведение не изменится, когда будет выполнено перемещения одного сомножителя на место другого. Например, 2*3*4=2*4*3=24.

В математической форме правило записывается в виде соотношения «RST=SRT=TRS=O». Для деления также используется возможность перемещения делителей, т. е. O: S: T=R или O: Т: S=R. На примере реализация правила выглядит таким образом: 60:2:15=2 или 60:15:2=2.

Для умножения сочетательный закон формулируется в таком виде: значение произведения не изменится при группировке в любом порядке сомножителей, т. е. S*T*R=S*R*T=R*T*S=N. Для деления у него немного другой вид: делители могут группироваться в любом порядке, и это не повлияет на частное. Математическая форма записи выглядит следующим образом: N: T: R: M=N:T:(R:M)=O.

Распределительное свойство для умножения и деления формулируется практически одинаково: произведение (деление) суммы или разности двух элементов на число эквивалентно умножению (делению) каждого элемента суммы или разности на искомый элемент. Законы имеют такие формы записи:

1. Умножение: (S+T)*M=SM+TM или (S-T)*M=SM-TM.
2. Деления: (S+T)/M=S/M+T/M или (S-T)/M=S/M-T/M.

Если обратить внимание на формулы, то для сложения запись невозможна, поскольку это уже будет сочетательный закон. Например, в первом пункте необходимо заменить знак «*» на сложение. Соотношение будет иметь следующий вид: (S+T)+M — сочетательное свойство операции сложения. Далее необходимо разобрать пример на применение всех законов.

Пример задачи

Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют разобрать пример, в котором можно будет применить все законы арифметических операций. Числовое выражение задачи имеет такой вид: 5+6+5+4+20+(25+100)/5+(11+4)*4. Необходимо вычислить результат оптимальным методом. Решать задание нужно по такому алгоритму:

1. Переместительный: 5+5+4+6+20+(25+100)/5+(11+4)*4.
2. Сочетательный: (5+5+20)+(4+6)+(25+100)/5+(11+4)*4.
3. Распределительный: (5+5+20)+(4+6)+25/5+100/5+11*4+4*4.
4. Математические преобразования: 40+5+20+44+16
5. Переместительный: 40+20+44+16+5.
6. Сочетательный: (40+20)+(44+16)+5.
7. Вычисление и результат: 125.

Следует отметить, что к числовому выражению свойства арифметических операций можно применять многократно. Специалисты рекомендуют использовать алгоритм такого вида для оптимизации вычислений.

Таким образом, законы математических операций применяются для оптимизации вычислений для нахождения результатов.

Источник