Перечислите способы задания функции двух переменных

Содержание

Способы задания функции двух переменных
Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
2. Способы задания функций двух переменных

Способы задания функции двух переменных

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ФНП)

ПЛАН

1. Определение функции нескольких переменных (ФНП).

2. Способы задания функции двух переменных.

3. Предел и непрерывность ФНП.

4. Частные и полное приращения функции двух переменных.

5.Частные производные первого порядка функции двух

переменных и их геометрическая интерпретация

Определение ФНП.

При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем примеры.

Пример 1. Площадь Sпрямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у вычисляется по формуле: S = х · у, где S– является функцией двух переменных т.к. каждой паре значений х и усоответствует определенное значение площади S.

Пример 2. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х, у, z определяется по формуле V = x y z.

Здесь V – функция трех переменных x, y, z.

Определение. Функцией n переменных х₁, х₂,…,х_n,

где (х₁, х₂,…,х_n) ÎDÌ R n будем называть правило или

закон, по которому каждому набору переменных

(х₁, х₂,…,х_n) ÎD ставится в соответстие единственное число

у ÎЕ Ì R. Тот факт, что задана функция n переменных

будем записывать следующим образом: у = f(х₁, х₂,…,х_n) .

Мы будем рассматривать функции двух переменных, т.к. основные факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функции двух переменных, а также для функций двух переменных можно дать геометрическую интерпретацию.

Определение.Функцией двух переменных х, у будем называть правило

или закон, по которому каждой паре чисел (х, у) Î D

ставится в соответствие единственное число z Î Е.

Тот факт, что задана функция двух переменных, будем записывать в виде: z = f(x, у). При этом хи у будем называть независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией).

Множество D(z) называется областью определения функции. Множество Е значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения функции.

Функцию двух переменных z = f(х, у), где (х, у) Î D можно рассматривать как функцию точки М(х, у) координатной плоскости Оху.

Значение функции z = f(х, у) в точке М₀(х₀, у₀) называют частным значением функциии обозначают одним из способов:

z(х₀, у₀), , f(х₀, у₀).

Способы задания функции двух переменных

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами.

1) Аналитический способ состоит в том, что функция zпредставлена с помощью формулы. Если при этом область определения D(z) не указана, то под ней понимают множество таких пар значений (х, у), при которых заданная формула имеет смысл. Областью определения может быть вся плоскость или её часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие

на границе, называются внутренними. Об-

ласть, состоящая только из внутренних точек,

называется открытой, область с присоеди-

ненной к ней границей называется замкнутой

областью. Например, функция

z = ln(4 – х 2 – у 2 ) имеет областью определе-

Рис. 1 ния внутреннюю часть круга х 2 + у 2

Если поверхность является графиком функции двух переменных, то уравнение, определяющее эту функцию, является уравнением поверхности.

Например, функция имеет областью определения круг х 2 + у 2 £ 9 (рис.2) и изображается верхней полусферой с центром в точке О(0, 0, 0) и радиусом R = 3 (рис. 3).

Предел функции

Понятия предела функции двух (и более) переменных и непрерывности вводится аналогично понятию предела и непрерывности функции одной переменной.

вем число: .

Определение.d-окрестностью точки М₀(х₀, у₀) назовем множество всех

точек М(х, у) плоскости, таких, что r(М, М₀) 0 существует d > 0 такое, что для всех

Читайте также: Самый лучший способ чтобы заснуть
точек М(х, у) Î D(z), отличных от точки М₀ и удовлетво-

ряющих неравенству r(М, М₀)

Источник

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Тема 1. Функции двух переменных, частные производные,

Определение функций двух переменных.

Способы задания функций двух переменных.

Частные производные высших порядков.

*Дифференциал функции двух переменных и его применение.

*Дифференциал второго порядка

Тема 2. Экстремум функции двух переменных

Условный экстремум функции двух переменных

Тема 3. Наибольшее и наименьшее значения функции двух

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области

* Нахождение наибольшего (наименьшего) значений линейной функции в области, заданной линейными ограничениями

Тема 1. Функции двух переменных.

частные производные, дифференциалы, градиент

Определение функций двух переменных.

Способы задания функций двух переменных.

Частные производные высших порядков.

Дифференциал функции двух переменных и его применение.

Дифференциал второго порядка

Определение функций двух переменных

Функцией двух переменных называется правило (закон, соответствие), по которому каждой упорядоченной паре чиселиз некоторого множества на плоскостипоставлено в соответствие единственное числоиз множества. Множествоназываетсяобластью определения, а множество — множеством значений функции .

Для функции двух переменных областью определения является некоторое множество точек на плоскости (область), а областью значений — промежуток на оси.

Пример 1. Найти область определения функции .

Запишем неравенство . Отсюда. Множество точекна плоскости, координаты которых удовлетворяют полученному неравенству, образуеткруг с центром в начале координат и радиусом . Это и есть область определения функции.

z

В прямоугольной системе координат каждой упорядоченной паре чиселсоответствует единственная точкакоординатной плоскости, и наоборот. Поэтому функцию двух переменныхудобно рассматривать какфункцию точки и записывать в виде.

2. Способы задания функций двух переменных

Основными способами задания функций являются аналитический, табличный, графический.

Читайте также: Особенности фармакотерапии способы введения у недоношенных
Существует и другие способы задания функций — алгоритмический, с помощью программы на ЭВМ.

Аналитический способ задания функции.

одной формулой, разрешенной относительно зависимой переменной (например, ), или

разными формулами на определенных числовых промежутках

Функция двух переменных называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенной относительно зависимой переменной. Например, .

Табличный способ задания функции — с помощью таблицы, в которой указаны значения аргументов и соответствующие им значения зависимой переменной.

Таблица функции двух переменных

Графический способ задания функции.

Графиком функции двух переменных являетсяповерхность в трехмерном пространстве ХУZ, состоящая из точек , где парыпринадлежат области определения функции.

Графиком линейной функции является плоскость в пространстве.

Пример 2. Построить график функции .

Для функции график представляет собой плоскость, проходящую через точки,,.

4

Одним из способов представления функции двух переменных являются линии уровня.

Линией уровня функции называется линия на плоскости, состоящая из точек области определения, в которых значение функции постоянно, или.

Для линейной функции двух переменных линии уровня задаются уравнениеми представляют собой совокупностьпараллельных прямых на плоскости ХОУ.

Пример 3. Линиями уровня функцииявляются параллельные прямые, уравнение которых.

Y

Источник