- Способы решения показательных уравнений
- Показательные уравнения
- Определение показательного уравнения
- Свойства степеней
- Показательные уравнения и способы их решения.
- Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Оставьте свой комментарий
- Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
- Подарочные сертификаты
Способы решения показательных уравнений
Разделы: Математика
Урок посвящен изучению нового материала и построен в форме лекции с элементами беседы. Показательные уравнения являются обязательным элементом подготовки выпускников, а потому достаточно часто встречаются в заданиях ЕГЭ. На последующих уроках отрабатываются рассмотренные способы решения показательных уравнений. Для более полного усвоения темы учащиеся выполняют индивидуальное задание, состоящее из 10 уравнений различных видов. Урок сопровождается компьютерной презентацией (Приложение 1).
1. Изучение нового материала
Определение Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным.
Примеры показательных уравнений:
В ходе беседы выявляется характерная особенность этих уравнений – переменная находится в показателе степени. Далее учащимся на интерактивной доске предлагается задание, направленное на «узнавание» показательных уравнений. Анимация настроена так, что при верном выборе уравнение увеличивается в размере.
Выберите показательные уравнения:
Учащиеся выбирают уравнения №№ 2, 3, 4, 6, 8, эти уравнения предлагается записать в тетрадь для решения дома.
2. Способы решения показательных уравнений
Выделяют две группы способов: графический и аналитические.
2.1. Вспомним суть графического способа решения уравнений:
- Построить графики двух функций (левая и правая части уравнения);
- Найти абсциссы точек пересечения графиков;
- Записать ответ.
Рассмотрим графический способ решения на примере уравнения 2 x = 4 Построим графики функций y = 2 x , y = 4 и найдем абсциссу точки пересечения графиков: x = 2.
Графический способ можно применить не всегда, поэтому рассмотрим более универсальные основные аналитические способы решения показательных уравнений.
2.2. Аналитические способы:
- Приравнивание показателей;
- Вынесение общего множителя за скобки;
- Введение новой переменной;
- Использование однородности.
Рассмотрим каждый способ подробнее и разберем на примере.
2.2.1. Приравнивание показателей.
1. Уединить слагаемое, содержащее переменную;
2. Привести степени к одному основанию;
3. Приравнять показатели;
4. Решить полученное уравнение;
5. Записать ответ.
2.2.2. Вынесение общего множителя за скобки
Примечание: выносим за скобки множитель с меньшим показателем.
2.2.3. Введение новой переменной
Как правило, уравнения, решаемые этим способом, сводятся к квадратным.
Пример: 
Пусть 4 x = а тогда уравнение можно записать в виде:
Сделаем обратную замену:
2.2.4. Использование однородности
Определение Показательные уравнения вида 
называются однородными.
Суть метода: Так как показательная функция не может принимать значение, равное нулю, и обе части уравнения можно делить на одно и то же не равное нулю число, разделим обе части уравнения, например, на 
.
Разделим обе части уравнения на 
3. Первичное закрепление материала
Учащимся предлагается выбрать способ решения для каждого из уравнений, записанных в тетради для решения дома:
Далее на интерактивной доске решаются уравнения (после решения уравнение «растворяется», и появляется новое, что очень удобно):
4. Подведение итогов урока, домашнее задание
Итоги урока: вопросы, обсуждение того, что на уроке было непонятно, что понравилось, выставление оценок за урок.
Задание на дом: конспект; выписанные 5 уравнений.
Список литературы
- Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник/ Под ред. А.Г.Мордковича. – М.:Мнемозина, 2003. – 315с.
- Кодификатор элементов содержания к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения в 2011 году единого государственного экзамена по математике, «Федеральный институт педагогических измерений», 2011.
- Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл.сред.школы. – М.: Просвещение, 1990. – 320 с.
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учебник. – М.:Мнемозина, 2002. – 375с.
Источник
Показательные уравнения
О чем эта статья:
6 класс, 7 класс
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
Источник
Показательные уравнения и способы их решения.
Описание презентации по отдельным слайдам:
Автор: учитель математики МБОУ «Средняя (полная) общеобразовательная школа №8» Елабужского муниципального района РТ Шурыгина И.В. Показательные уравнения и методы их решения
Определение: Показательные уравнения – уравнения, в которых переменная входит только в показатели степеней при постоянных основаниях. Например,
Основные методы решения показательных уравнений 1.Метод уравнивания показателей. 2.Метод разложения на множители. 3. Метод введения новой переменной. 4. Функционально-графический ( он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции).
Метод уравнивания показателей Показательное уравнение равносильно уравнению Ответ:х=1.
Используя формулу Решим уравнение Ответ: х=-3.
Продолжим Ответ: х=-6.
Решите уравнение и укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения Решение: т.к. то получаем
Решите уравнение, используя свойство пропорции. В ответе укажите меньший корень. Ответ:2-меньший корень.
Метод разложения на множители. Решите уравнение Ответ:x=1.
Решите уравнения: Ответ:х=-64.
Т.к. , то вынесем за скобку степень с наибольшим показателем Ответ:х=-1
Найти корни показательного уравнения, указать их сумму. или Ответ: 3,25.
Решите уравнение методом введения новой переменной Пусть ,где ,тогда По теореме, обратной теореме Виета, получаем: ,значит, не удовлетворяет условию Если ,то Ответ:х=0.
Решите однородное уравнение Пусть , ,тогда не удовлетворяет условию Если ,то ; Ответ:х=1.
Решите графически , в ответ запишите положительный корень: Ответ:х=2
Уравнения, решаемые с помощью исследования функций, входящих в левую и правую части уравнения. Рассмотрим функции: Функция — показательная, монотонно убывающая на R. Функция -линейная, монотонно возрастающая на R. Следовательно, графики данных функций могут пересекаться не более 1 раза. Значит, уравнение не может иметь более одного корня, который может быть найдет подбором: х=5. Ответ: х=5. Решить уравнение
Решим уравнение Решение: разделим левую и правую часть уравнения на так как , получаем Рассмотрим функцию ,данная функция монотонно убывает на множестве неотрицательных чисел, т.к. является суммой двух убывающих показательных функций при Следовательно, данная функция принимает каждое свое значение не более 1 раза, поэтому исходное уравнение имеет не более 1 корня, который можно найти подбором. Зная, что получаем Ответ:
Показательно-степенные уравнения вида Данное уравнение эквивалентно уравнению и системе: Отдельно рассматривается случай при условиях Решите уравнение Решение: 1) 2) 3) при При подстановке получаем при х=2 равенство не имеет смысла. Ответ: 3;4.
Решить показательное уравнение с параметром Решить уравнение Разложим на множители квадратные трехчлены и получим: 1. Если то 2. Если то решений нет. 3. Если то один корень. Ответ: 1. При 2. При нет решений. 3. При
Литература: Г.И.Ковалева и др. «Математика, тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами», Волгоград, издательство «Учитель»; А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир «Алгебраический тренажер», Москва, «Илекса» 2001г.; И.С.Слонимская, А.И.Слонимский, «Математика, экспресс-репетитор для подготовки к ЕГЭ, уравнения и неравенства», Москва, «АСТ Астрель» 2009г.; Материалы из интернет-ресурсов.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 809 человек из 76 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 285 человек из 69 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 601 человек из 75 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-045419
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
В российских школах оборудуют кабинеты для сообщества «Большой перемены»
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов
Время чтения: 2 минуты
Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам
Время чтения: 2 минуты
В 16 регионах ввели обязательную вакцинацию для студентов старше 18 лет
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения работает над единым подходом к профилактике девиантного поведения детей
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Источник
