Перечисление как способ задания множеств

Способы задания множеств.

ПЛАН

1. Понятие множества.

2. Способы задания множеств.

3. Отношения между множествами.

4. Операции над множествами.

5. Свойства операций над множествами.

6. Понятие «система счисления».

7. Непозиционная система счисления.

8. Позиционная система счисления.

9. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Понятие множества.

Для сокращенной записи будем использовать следующие символы:

• a Î A — а является элементом множества А;

• a Ï A — а не является элементом множества А;

• — пустое множество;

• <a, d, с> — множество, состоящее из трех элементов a, d и с;

• <х|Р(х)> — множество, состоящее из таких элементов х, для которых истинно утверждение Р(х);

• A È B — объединение множеств A и В;

• A Ç B — пересечение множеств А и В;

• A Ì B — А является подмножеством В;

• — дополнение множества А до универсального множества;

• U — универсальное множество;

• a R b — между a и b существует бинарное отношение R.

Множество является самым широким понятием в математике и поэтому принимается без определения. Множество считается заданным, если относительно каждого объекта можно сказать, принадлежит он данному множеству или нет. Поэтому обычно говорят о множестве как о наборе предметов (элементов множества), наделённых определёнными общими свойствами. Множество книг в библиотеке, множество автомобилей на стоянке, множество звёзд на небосводе, растительный и животный мир Земли — всё это примеры множеств.

Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например, множество страниц в книге, множество учеников в школе и т.д.

Пустое множество ( ) не содержит ни одного элемента, например, множество крылатых слонов, множество корней уравнения sin x = 2 и т.д.

Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Примеры: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.

Счётное множество — множество, элементы которого можно пронумеровать. Например, множества натуральных, чётных, нечётных чисел. Счётное множество может быть конечным (множество книг в библиотеке) или бесконечным (множество целых чисел, его элементы можно пронумеровать следующим образом:

элементы множества: . -5, — 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .

номера элементов: . 11 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10 . ).

Несчётное множество — множество, элементы которого невозможно пронумеровать. Например, множество действительных чисел. Несчётное множество может быть только бесконечным.

Выпуклое множество — множество, которое наряду с любыми двумя точками А и В содержит также весь отрезок АВ. Примеры выпуклых множеств: прямая, плоскость, круг. Однако, окружность не является выпуклым множеством.

Способы задания множеств.

Если объект a является элементом множества A, то говорят, что a принадлежит A, и записывают a A . Запись a Ï A означает, что a не принадлежит A.

Множество может быть задано следующим образом:

• перечислением всех его элементов по их названиям (так описываются множество книг в библиотеке, множество учеников в классе, алфавит любого языка и т.д.);

Множество можно задать перечислением всех его элементов в любом порядке. Если множество A, например, состоит из первых четырех букв русского алфавита, то записывают

• заданием общей характеристики (общих свойств) элементов данного множества (например, множество рациональных чисел, собаки, семейство кошачьих и т.д.);

Множество может быть задано с помощью характеристического свойства, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты. Если множество A задано с помощью характеристического свойства P, то записывают A = <x|p(x)>

Например, запись A = <x|x R,—7

N — множество натуральных чисел;

Z — множество целых чисел;

Q — множество рациональных чисел;

R — множество действительных чисел.

Пример 1.1. Запишем различными способами множество A, элементами которого являются натуральные числа, не превосходящие числа 6.

Решение. Натуральными числами, не превосходящими числа 6, являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поэтому множество A можно записать так: A = <1, 2, 3, 4, 5, 6>, или A = <1, 3, 5, 2, 4, 6>, или A = <6, 5, 4, 3, 2, 1>, или перечислением элементов в каком-либо другом порядке.

По условию множество A задано описанием характеристического свойства его элементов «Быть натуральным числом, не превосходящим числа 6». Используя это свойство, множество можно записать так: A = <x|x N,x б>.

Пример 1.2. Прочитаем различными способами следующие записи:

а) 37 N ;

Решение. а) Число 37 является натуральным. Число 37 принадлежит множеству N. Число 37 — элемент множества N. Число 37 содержится во множестве N. Множество N содержит число 37.

б) Число 2,5 не является натуральным. Число 2,5 не принадлежит множеству N. Число 2,5 не является элементом множества N. Число 2,5 не содержится во множестве N. Множество N не содержит числа 2,5.

Пример 1.3. Используя понятие характеристического свойства, зададим следующие множества:

Решение. Множества A, B и C заданы способом перечисления элементов. Используя характеристические свойства, указанные множества можно задать следующим образом:

A — множество согласных букв русского алфавита;

B — множество цветов радуги;

C — множество дней недели.

Пример 1.4. Изобразим на числовой прямой элементы следующих множеств:

б) A = <x|x Z,—4 x

Источник

1.1.2. Способы задания множеств

Множество считается заданным, если о каждом элементе можно однозначно сказать, принадлежит он этому множеству или нет.

А) Простейший способ задания множества состоит просто в перечислении всех элементов данного множества.

Если множество A конечное, состоящее из элементов A1, A2, …, AN, то пишут A = <A1, A2, …, AN> . В частности, <A> — множество, состоящее из одного элемента A.

Но такой способ задания применим, разумеется, лишь к конечным множествам.

Б) Другой, универсальный способ: задание множества A С помощью характеристического свойства элементов данного множества, то есть такого свойства, которым обладают все элементы множества A и не обладают другие элементы, не принадлежащие A.

Если P(X) — такое свойство, то пишут: .

Например, для конечного множества A = <A1, A2,…, AN> можно записать: A = <X | x = A1, или X = a2, или …, или X = AN>. Множество всех депутатов парламента можно задать тьак: D = <X | X — депутат>. Множество всех студентов S = <x | X — студент>.

В) Еще один способ — это задание множества с помощью порождающей процедуры, или алгоритмический способ.

Например, пусть M = <1, 2, 4, 8, 16,…>— множество степеней числа 2. Тогда его можно задать так:

1) ; 2) если , то .

Другой пример: множество МP = <314, 159, 256, 358, …>задается как последовательность троек подряд идущих цифр десятилетней записи числа p = 3,141592653589793238462… . (В действительности, учитывая трансцендентность числа p, множество МP содержит все целые числа от 0 до 999.)

Г) Четвертый способ — задание множеств с помощью операций над уже известными множествами.

К описанию свойств, задающих множество, естественно предъявить требования точности и недвусмысленности. Например, множество хороших фильмов 1999г. разные люди зададут разными списками. Даже сами критерии отбора фильмов могут оказаться различными.

Надежный способ точного описания множества — распознающая (разрешающая) процедура. Например, для множества степеней двойки М2N разрешающей процедурой может служить разложение числа на простые множители.

Задание множества М4 нельзя отнести ни к одному из перечисленных способов; оно по сути совсем не задано, а только названо. Задать его можно списком футболистов, или описанием: М4 есть множество лиц, имеющих удостоверение футболиста клуба «Динамо-Минск». В этом случае разрешающая процедура — это проверка документов.

Источник

02. Способы задания множеств

Существуют два основных способа задания множеств:

1. Перечислительный способ (перечисление элементов)

2. Высказывательный способ (описание свойств элемента).

Перечислительный Способ состоит в составлении полного списка элементов множества, заключенного в фигурные скобки и применяется только для конечных множеств с небольшим числом элементов. Множество записывается в следующей форме:

Высказывательный Способ состоит в задании такого свойства, наличие которого у элементов определенного множества является истиной. Описание свойства элементов обычно задается так: пусть

Р(х) — утверждение, заключающееся в том, что элемент х обладает свойством Р. Тогда запись

Х = <XM | Р(х)>

Означает, что рассматриваемое множество Х состоит из элементов некоторого множества М, обладающих свойством Р.

Пример. Запись А=<XR| (X2+2X-15=0)> означает, что множество A состоит из действительных корней уравнения: X2+2X-15=0. Это же множество можно также задать перечислительным способом: A=<-5,3>.

Конечное множество может быть задано обоими способами, а бесконечные – лишь высказывательным способом. Пустые множества относятся к конечным.

Если рассматривать теорию множеств без ограничений на способы задания множеств, то такая теория называется Наивной теорией множеств.

Еще при жизни Г. Кантора, создателя наивной теории множеств, были обнаружены многочисленные парадоксы в этой теории.

Приведем один из известных парадоксов Б. Рассела.

Пусть М — множество всех множеств. Тогда очевидно, что М ϵ М. Тем самым, существуют множества, содержащие себя как свой элемент.

Рассмотрим некоторое множество X, которое не содержит себя как свой элемент.

Пусть Y — множество всех таких множеств X, т. е. множество всех множеств, не содержащих себя как свой элемент.

Зададимся вопросом: каково множество Y? Содержит оно себя как элемент или нет? Возможны два случая: 1) содержит; 2) не содержит.

В первом случае YϵY. Тогда по определению множества Y имеем YY. Получили противоречие.

Во втором случае YY. Тогда по определению множества Y имеем YϵY. Получили также противоречие.

Иногда этот парадокс Рассела облекают в бытовую форму. Тогда появляется следующая парадоксальная ситуация. В полку имеется полковой Брадобрей, который руководствуется следующим приказом. Брить бороды только у тех людей, которые сами себя не бреют. Спрашивается, может ли Брадобрей брить себе бороду? Получается так, что если он не бреет себе бороду, то по приказу он должен себя брить. Как только Брадобрей начинает брить себе бороду, то по приказу он не должен себя брить. Парадокс.

Избежать парадоксов удается только в рамках аксиоматической теории множеств, т. е. теории, которая ограничивает способы задания множеств специальной аксиоматикой.

Источник