Пассажирском поезде 17 вагонов сколькими способами можно распределить по вагонам 17 проводников если

vivat2.okis.ru

Задачи 696 — 705 проекта

Условия и решения вариантов задач

701а. В пассажирском поезде 14 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 14 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

Решение. 14·13·12·…·3·2·1 = 1·2·3·4·…·14 = 14!

Ответ: 14!

702а. Имеется три ключа от трех чемоданов с различны­ми замками. Каждый ключ подходит только к одному чемодану. Достаточно ли трех проб, чтобы подобрать ключи к каждому из них?

Решение. Обозначим ключи буквами А, В, С, а замки М, К, Р. Тогда первая проба может дать, например, такой результат: ключ А не подходит к замку М. Это означает, что он подходит к замку К или к замку Р. Вторая проба: ключ В не подходит к замку М. Тогда ясно, что: а) ключ В подходит к замку К или к замку Р; б) к замку М подходит ключ С. Третья проба ставит все на свои места: если к замку К не подходит ключ А, то к нему подходит ключ В, а ключ А подходит к замку Р. Если же первая проба дает результат такой, что ключ А подходит к замку М, то тогда достаточно второй про­бы, чтобы установить, какой из оставшихся ключей к какому замку подходит.

Ответ: достаточно.

704а. На острове правдолюбцев и лжецов живут правдолюбцы, всегда говорящие только правду, и лжецы, изрекающие только ложь. 2013 жителей острова правдолюбцев и лжецов встали в круг, и каждый из них заявил, что оба его соседа правдолюбцы. Сколько правдолюбцев и сколько лжецов могло быть среди этих 2013 человек? Укажите все ответы и обоснуйте их.

Решение. 1. Если один из 2013 жителей правдолюбец, то и его соседи правдолюбцы, следовательно, все 2013 человек правдолюбцы. 2. Если один из 2013 жителей лжец, то среди 2013 человек правдолюбцев уже не будет (по первому случаю). Следовательно, все 2013 человек лжецы.

Ответ: все 2013 человек правдолюбцы или все 2013 человек лжецы.

Есть известный принцип, применяемый в программировании и дизайне. По-английски он звучит так: «Keep it simple,stupid!» (Не усложняй, чудило!)

3232. На ветке сидят 3 птицы. Все, кроме двух, вороны, все, кроме двух, воробьи, все, кроме двух,голуби. Сколько ворон, воробьёв и голубей сидят на ветке?

3233 .Катя составила из цифр 1, 2, 3, 4, 5 самое большое трёхзначное и самое маленькое двузначное числа (при этом цифры в числах не повторяются), а потом записала их разность.Какое число записала Катя?

3234 .27 октября 2016года у Маши родился братик Ваня. Сегодня ему исполнился 1 месяц. Какой сегоднядень недели, если 27 октября был четверг, а в октябре 31 день?

3235. Катя позвала подруг в гости. Таня решила, что пойдёт в гости к Кате, если пойдут Оля и Марина. Оля решила, что пойдёт в гости к Кате, если пойдёт Марина. Марина решила, что пойдёт в гости к Кате, если не пойдёт Оля и пойдёт Таня. Кто из девочек пойдёт в гости к Кате?

3236. Петух Петя в течение недели с 4 до 8 утра каждые полчаса по 3 раза кричал «кукареку». Сколько всего раз Петя крикнул «кукареку» за неделю?

3237 .В классе 24 ученика. Половина из них девочки. Треть всех учеников пойдут сегодня вечером в кино. Известно, что 5 из них – мальчики, а остальные – девочки. Сколько девочек не пойдут сегодня в кино?

3238 .По стеблю цветка ползёт гусеница. Она начала движение в понедельник в 10 часов утра. В четверг в это же время она оказалась на высоте 42 см от земли. На какой высоте окажется гусеница в воскресенье в 10 часов утра, если известно, что во вторые сутки она поднималась вдвое быстрее, чем в первые, в третьи – вдвое быстрее, чем во вторые, и так далее.

3225 .Решите уравнение ( x 2 − x + 1 ) 2 − 10 ( x − 4 ) ( x + 3 ) − 109 = 0 ‘ tabindex=»0″>( x^ 2 −x+1 )^ 2 −10(x−4)(x+3) −109 = 0 . В ответе укажите сумму его корней.

3226 .Число aa при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. В каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7? В ответе укажите номер правильного ответа: 1 — если число aa при делении на 7 дает в остатке 2; 2 — если число aa при делении на 7 дает в остатке 4.

3227 .Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. Какова скорость первого пешехода (в км/ч)?

3228 .Трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. Сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Найти такое трехзначное число.

3229 .При каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?

3230. Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1:2. Периметр трапеции равен 90. Найдите большую сторону трапеции.

3231. Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырехугольника PQRS.

3218. Через 52 месяца Майе исполнится ровно 7 лет. Сколько лет и сколько месяцев сейчас Майе?

3219. Пилот Саша получил задание перевезти 19 пассажиров с аэродрома Дракино на аэродром Конаково. Он запустил вертолёт на аэродроме Дракино и готов начать перевозку. Сколько посадок придётся сделать вертолёту, чтобы справиться с задачей, если всего он вмещает 5 человек, включая пилота?

3220 . Маша собиралась с родителями на море. Она достала свой чемодан и поняла, что забыла код. Она помнит, что код состоит из цифр 2, 5 и 6 и что они не повторяются, но не может вспомнить их порядок.Каково максимальное количество времени, которое понадобится Маше, чтобы подобрать код,если на проверку одного кода у неё уходит 10 секунд?

3221. Аня шила платки.Сначала она разрезала ткань на 27 одинаковых квадратов, затем решила одну треть квадратов разрезать ещё на 4 части, чтобы получились носовые платочки. Из другой трети квадратов Аня сшила платки побольше, а последнюю треть квадратов она решила разрезать на 2 части и сделать шарфики. Сколько платков (носовых платков и платков побольше) и сколько шарфиков сшила Аня?

3222 .У царя Додона есть роскошный сад прямоугольной формы. Злой колдун за одну ночь уменьшил сад царя Додона в 9 раз. Царь в отчаянии! А можешь ли ты сказать царю, как изменились длины сторон его сада?

3223 .Встретились два кота. Кот Вася говорит: «Я за 5 недель наловлю 10 килограммов рыбы». А кот Филя отвечает: «А я наловлю столько же рыбы за 2 недели».За сколько дней они вместе наловят 10 килограммов рыбы?

3224. На школьном празднике Маша, Катя и Таня раздавали ученикам билеты в театр. Маша раздала половину всех билетов и ещё 2, Катя – половину оставшихся билетов, а Таня раздала ребятам последние 9 билетов. Сколько всего билетов раздавали ученикам на празднике?

3211. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 331 ‘ tabindex=»0″>331 . Чему равен куб суммы этих чисел?

3212. При каком значении параметра a уравнение |x2−2x−3|=a имеет три корня?

3213. В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру. Полученное двузначное число оказалось в 6 раз меньше исходного трёхзначного. Найдите это трёхзначное число.

3214. Стоимость билета в кино была 1200 рублей. После снижения стоимости количество посетителей увеличилось 1,5 раза и сбор увеличился на 25%. На сколько рублей была снижена стоимость билета? Дайте ответ в рублях.

3215. На часах со стрелками ровно 10. Через сколько минут стрелки часов часовая и минутная совпадут в первый раз? Дайте ответ в минутах, округлите до целых.

3216. В коробке 6 красных, 7 зелёных, 8 синих и 9 жёлтых карандашей. В темноте из коробки берут карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них обязательно было 3 красных и 2 зелёных карандаша?

3217. Из посёлка в город идёт автобус, и каждые 6 минут он встречает автобус, который идёт из города в посёлок, и скорость которого в 1,5 раза больше. Сколько автобусов в час приходит из города в посёлок?

Источник

Задачи по комбинаторике

Задачи по комбинаторике:

1. а) Сколькими способами Дима сможет покрасить пять елок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски у него неограничено, а каждую елку он красит только в один цвет?
б) У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять елок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?
в) А если можно надевать несколько шариков на одну елку (и все шарики должны быть использованы)?

Решение

а) Каждую из пяти елок можно покрасить в один из трех цветов, поэтому всего различных способов существует 3*3*3*3*3 = 35 = 243.
б) На первую елку можно надеть любой из пяти шариков, на вторую елку — любой из оставшихся четырех, и так далее; всего получаем 5*4*3*2*1 = 120 способов.
в) Каждый из шариков можно надеть на любую елку, поэтому в этом случае ответ — 55 = 3125.

Ответ

а) 243; б) 120; в) 3125.

2. У людоеда в подвале томятся 25 пленников.
а) Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин?
б) А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?

Решение

а) На завтрак людоед может предпочесть любого из 25 человек, на обед — любого из 24 оставшихся, а на ужин — кого-то из 23 оставшихся счастливчиков. Всего получаем 25*24*23 = 13800 способов.
б) Заметим, что в предыдущем пункте каждую тройку пленников мы посчитали 3*2*1 = 6 раз. Поскольку теперь их порядок нам неважен, то ответом будет число 13800/6 = 2300.

Ответ

3. В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Решение

Выберем чашку. В комплект к ней можно выбрать любое из трех блюдец. Поэтому есть 3 разных комплекта, содержащих выбранную чашку. Поскольку чашек всего 5, то число различных комплектов равно 15.

4.В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В — 4 дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Ответ 6*4=24

5. В Стране Чудес есть четыре города: А, Б и В и Г. Из города А в город Б ведет 6 дорог, из города Б в город В — 4 дороги, из города А в город Г — две дороги, и из города Г в город В — тоже две дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Решение

Выделим два случая: путь проходит через город Б или через город Г. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных маршрутов: в первом — 24, во втором — 4. Складывая, получаем общее количество маршрутов: 28.

5. В магазине «Все для чая» по-прежнему продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

Решение

Возможны три разных случая: первый — покупаются чашка с блюдцем, второй — чашка с ложкой, третий — блюдце и ложка. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных вариантов (в первом — 15, во втором — 20, в третьем — 12). Складывая, получаем общее число возможных вариантов: 47.

6. Назовем натуральное число «симпатичным» , если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует 4-значных «симпатичных» чисел?

Решение

Понятно, что однозначных «симпатичных» чисел ровно 5. К каждому однозначному «симпатичному» числу вторая нечетная цифра может быть дописана пятью различными способами. Таким образом, двузначных «симпатичных» чисел всего 5*5=25 Аналогично, трехзначных «симпатичных» чисел 5*5*5=125, и четырехзначных – 5*5*5*5 = 625.

7. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить? Ответ 8 =2*2*2.

8. Каждую клетку квадратной таблицы 2 × 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы? Ответ 16 = 24.

9. Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее «Спортпрогноз»? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча — победа одной из команд либо ничья; счет роли не играет).

Ответ 3^13

10. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Указание. Сосчитайте отдельно количества одно-, двух-, трех — и четырехбуквенных слов.

Ответ 3+3^2+3^3+3^4=120

11. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

Капитаном может стать любой из 11 футболистов. После выбора капитана на роль его заместителя могут претендовать 10 оставшихся человек. Таким образом, всего есть 11*10=110 разных вариантов выборов.

12. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Решение

Белую ладью можно поставить на любую из 64 клеток. Независимо от своего расположения она бьет 15 полей (включая поле, на котором она стоит). Поэтому остается 49 полей, на которые можно поставить черную ладью. Таким образом, всего есть 64*49 = 3136 разных способов.

13. В киоске «Союзпечать» продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт с маркой?

Ответ 5*4 = 20

14. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «КРУЖОК»?

Ответ 2*3 = 6

15. На доске написаны 7 существительных, 5 глаголов и 2 прилагательных. Для предложения нужно выбрать по одному слову каждой из этих частей речи. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ 7*5*2 = 70

16. У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Честным обменом называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить честный обмен?

Ответ 20*20 + 10*10 = 500

17. Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно использовать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

Ответ 3^6

18. Чемпионат России по шахматам проводится в один круг. Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов?

Ответ 18*17 / 2 = 153

19. В пассажирском поезде 17 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 17 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

Ответ 17!

20. Сколькими способами можно составить расписание первого тура чемпионата России по футболу, в котором играет 16 команд? (Является важным, кто хозяин поля).

Подсказка

Сопоставьте каждому упорядочению 16 команд (число таких упорядочений равно 16!) некоторое расписание игр первого тура.

Решение

Можно расставить 16! способами 16 команд на 16 местах, после чего разбить их на пары 1-2, 3-4, . , 15-16 (команды с нечётными номерами — хозяева, с чётными — гости). Но при этом каждое разбиение на пары в этих вариантах встреча-ется 8! раз (количество способов переставить 8 пар по порядку). Таким образом, количество расписаний первого тура равно 16! : 8! = .

Ответ

21. Слово — любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слов

Решение

а) Так как все буквы слова различны, то всего можно получить 6! слов.

б) В этом слове две буквы И, а все остальные буквы разные. Временно будем считать разными и буквы И, обозначив их через И и И. При этом предположении получится 5!=120 разных слов. Однако те слова, которые получаются друг из друга только перестановкой букв И и И, на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 120 слов разбиваются на пары одинаковых. Поэтому разных слов всего 120:2 = 60.

в) Считая три буквы А этого слова различными (А, А, А), получим 8! разных слов. Однако слова, отличающиеся лишь перестановкой букв А, на самом деле одинаковы. Поскольку буквы А, А, А можно переставлять 3! способами, все 8! слов разбиваются на группы по 3! одинаковых. Поэтому разных слов всего 8!/3!.

г) В этом слове три буквы С и две буквы И. Считая все буквы различными, получаем 11! слов. Отождествляя слова, отличающиеся лишь перестановкой букв И, но не С, получаем 11!/2! различных слов. Отождествляя теперь слова, отличающиеся перестановкой букв С, получаем окончательный результат 11!/(2!3!).

д) Ответ: 10!/(3!2!2!).

22. На плоскости дано n прямых общего положения. Чему рано число образованных ими треугольников?

Ответ Cn3.

23. Сколько можно составить разных бус из семи разноцветных бусин?

Решение

Всего из 7 разных бусин можно составить 7*6*. *2*1 = 7! = 5040 упорядоченных последовательностей. Поскольку мы не различаем бусы, отличающиеся друг от друга только поворотом, то это число нужно поделить на 7; кроме того, мы считаем одинаковыми и симметричные бусы, поэтому оставшееся число нужно разделить еще на 2. В итоге получаем 5040 / 14 = 360 разных бус.

Ответ 360.

24. Сколькими способами можно разложить 9 орехов по трем карманам? (Карманы разные, а орехи одинаковые.)

Решение

В первый карман мы можем положить любое число орехов от 0 до 9. В каждом из этих 10 случаев подсчитаем, сколько орехов можно положить во второй карман; например, если в первый карман положен один орех, то во второй можно положить любое число орехов от 0 до 8 — всего 9 способов. Если мы определили, сколько орехов кладем в первые два кармана, то число орехов в третьем определяется однозначно. Поэтому общее число способов равно 10 + 9 + 8 + . + 1 + 0 = 55.

Ответ 55.

25. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию из восьми человек. Сколькими способами можно составить комиссию, если в нее должен входить хотя бы один математик?

Ответ 2 . C107 + 1 . C106.

26. Сколько диагоналей имеет выпуклый:
а) 10-угольник; б) k-угольник (k > 3)?

Ответ б) Ck2 — k.

27. Полоска 1*10 разбита на единичные квадраты. В квадраты записывают числа 1, 2, . 10. Сначала в один какой-нибудь квадрат пишут число 1, затем число 2 записывают в один из соседних квадратов, затем число 3 — в один из соседних с уже занятыми и т. д. (произвольными являются выбор первого квадрата и выбор соседа на каждом шагу). Сколькими способами это можно проделать?

Решение

Пусть 1 стоит в i-м слева квадрате полосы. Расстановка остальных чисел однозначно определяется набором чисел, стоящих левее 1. Таких наборов ровно C9i – 1 (так как в каждом наборе фиксирован порядок чисел), а общее количество способов равно
C90 + C91 + C92 + C93 + C94 + C95 + C96 + C97 + C98 + C99 = 29 = 512.

Ответ 512-ю способами.

28. 6 ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров (на этот раз некоторые ящики могут оказаться пустыми)?

Решение

Рассмотрим ряд из 25 предметов: 20 одинаковых шаров и 5 одинаковых перегородок, расположенных в произвольном порядке. Каждый такой ряд однозначно соответствует некоторому способу раскладки шаров по ящикам: в первый ящик попадают шары, расположенные левее первой перегородки, во второй — расположенные между первой и второй перегородками и т. д. (между какими-то перегородками шаров может и не быть). Поэтому число способов раскладки шаров по ящикам равно числу различных рядов из 20 шаров и 5 перегородок, т. е. равно С(25, 5) (ряд определяется теми пятью местами из 25, на которых стоят перегородки).

29. Сколькими способами 4 черных шара, 4 белых шара и 4 синих шара можно разложить в 6 различных ящиков?

Ответ C(9, 5)^3

30. Сколькими способами 3 человека могут разделить между собой 6 одинаковых яблок, один апельсин, одну сливу и один мандарин?

Ответ C(8, 2)*3*3*3 = 756

31. Было 7 ящиков. В некоторые из них положили еще по 7 ящиков и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков. Сколько всего стало ящиков?

Решение

При каждой операции заполняется один пустой ящик. Поскольку стало 10 непустых ящиков, то было проведено 10 операций. Вначале было 7 ящиков, и при каждой операции добавлялось еще по 7. Поэтому в результате стало 77 ящиков.

32. Сколько существует 6-значных чисел, у которых каждая последующая цифра меньше предыдущей?

Источник