контрольная теория вер
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Теория вероятностей и математическая статистика
Студент группы 742/3к
Макаева Мария Олеговна
1. В пассажирском поезде 10 вагонов. Сколькими способами можно размещать вагоны, составляя этот поезд?
2. В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец, три из них восстановленные. Определить вероятность того, что среди взятых наугад четырех колец два окажутся восстановленными?
3. На сборку поступают детали с трех станков с ЧПУ. Первый станок даёт 20%, второй — 30%, третий — 50% однотипных деталей, поступающих на сборку. Найти вероятность того, что из трех наугад взятых деталей: а) три с разных станков; б) три с третьего станка; в) две с третьего станка.
4. В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных шаров, в шести других ящиках с 20 шарами в каждом — по 4 красных шара. Найти вероятность того, что: а) из наугад взятого ящика наудачу взятый шар будет красным; б) наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.
5. Вероятность поражения мишени для данного стрелка в среднем составляет 80%. Стрелок произвел 6 выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что мишень была поражена: а) пять раз; б) не менее пяти раз; в) не более пяти раз.
6. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец равна 0,3. Найти вероятность того, что для 800 заготовок число бракованных колец заключено между 225 и 250.
Cпособов разместить вагоны будет столько, сколько существует перестановок из 10 элементов
2. Разложим все кольца на столе в ряд. Пусть первые 
– новые, а последние 
– восстановленные.
Рассмотрим неупорядоченные выборки. Т.е., например, если мы берём набор колец (по порядку на столе) 1358 и, скажем: 8315 – то такие выборки при анализе мы различать не будем. Ну и правда – это ведь один и тот же набор. Переставить четыре разных элемента можно 24 способами, т.е. 1358, 1385, 1538, 1583, 1835 и т.п. Вообще, если задуматься (или прочитать в учебнике :–), то легко понять, что число таких перестановок, это 4*3*2*1=24 что иначе называется 4!=24
Аналогично можно показать, что число перестановок для трёх элементов – это 3!=6 В самом деле, ведь, например, комбинацию 138 можно переставить 6-ью способами 138, 183, 318, 381, 813 и 831 Аналогично число перестановок для двух элементов составляет 2!=2, в самом деле, ведь, например, комбинацию 18 можно переставить только 2-мя способами 18 и 81
Теперь подумаем, сколькими способами можно вообще выбрать из 10 колец какие-то 4? Первое можно выбрать, как одно из 10-ти, второе – как одно из оставшихся 9-ти, третье, как одно из оставшихся 8-ми, и четвёртое, как одно оставшееся из 7, всего: 10*9*8*7 вариантов. При этом как мы говорили выше, выборки 1358, 1385, 1538, 1583, 1835 и т.п. (всего 24 штуки) ничем не отличаются, значит, общее число неупорядоченных выборок 4 элементов из 10 будет 10*9*8*7/24=10*9*7/3=10*3*7=210
[0] А теперь выясним, сколько можно сделать выборок из 10 колец, чтобы среди них содержались только 4 новых? Да просто не будем брать восстановленные, а будем брать всё из первых семи. Тогда общее число таких выборок составит 7*6*5*4 вариантов. И поскольку в каждом таком варианте можно 24 способами переставить элементы, то всего неупорядоченных выборок будет в 24 раза меньше, а именно: 7*6*5*4/24=7*5=35
Вероятность достать только новые кольца найдём, как отношение неупорядоченных выборок новых колец ко всем возможным выборкам, т.е. : 
[I] Выясним, сколько можно сделать выборок из 10 колец, чтобы среди них содержались только 3 новых, и только – одно восстановленное? Выбреем три восстановленных из первых семи. Это можно сделать 7*6*5 способами. И поскольку в каждом таком варианте можно 6-тью способами переставить элементы, то всего неупорядоченных выборок будет в 6 раза меньше, а именно: 7*6*5/6=7*5=35 Кроме того таких возможностей будет втрое больше из-за того, что ко всякой выборке трёх новых колец можно добавить одно из трёх (!) восстановленных. Значит, общее число способов достать одно восстановленное и три новых составляет 105 Вероятность достать ровно три новых кольца и одно восстановленное найдём, как отношение таких неупорядоченных выборок ко всем возможным выборкам, т.е. : 
[III] Выясним, сколько можно сделать выборок из 10 колец, чтобы среди них содержались ровно 3 восстановленных и только одно новое? Три восстановленных можно выбрать только одним способом (!) – просто взять их все :–). Кроме того таких возможностей будет в семь раз больше из-за того, что ко взятым восстановленным кольцам можно добавить одно из семи (!) новых. Значит общее число способов достать одно новое и три восстановленных составляет 
вариантов.
Вероятность достать ровно три восстановленных кольца и одно новое найдём, как отношение таких неупорядоченных выборок ко всем возможным выборкам, т.е. : 
[IV] Очевидно, что достать четыре восстановленных кольца – невозможно, поэтому: вероятность достать ровно четыре восстановленных кольца равно нулю. 
[II] Всего существует 
сделать какие бы то ни было выборки, значит вероятность выбрать ровно два восстановленных и ровно два новых кольца вычисляется как разность:
3. а) три с разных станков 0,2 * 0,3 * 0,5 * 3! = 0,18 3! — число перестановок 3 элементов
б) три с третьего станка 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125
в) ровно две с третьего станка и одна с первого либо со второго 0,5 * 0,5 * 0,5* 3 = 0,375
Источник
Задачи по комбинаторике
Задача 1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
Задача 2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой — 6 мужчинам, по третьей — 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
Задача 3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
Задача 4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
Задача 5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.
Задача 6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?
Задача 7. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?
Задача 8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?
Задача 9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?
Задача 10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?
1 Задание. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано? Решение. Имеем набор <я, я, г, г, г>. Всего перестановок пятиэлементного множества 5!, но мы не должны учитывать перестановки, в которых объекты одного типа меняются местами несколько раз, поэтому нужно поделить на возможное число таких перестановок: 2! · 3!. Получаем в итоге 
Ответ: 10 способов.
2. Задание. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой — 6 мужчинам, по третьей — 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
Имеем 14 претендентов и 13 рабочих мест. Сначала выберем работников на первую специальность, то есть 4 женщин из 6: 
Далее независимо аналогичным образом выберем мужчин на вторую специальность: 
Осталось 2 женщины, 2 мужчин и 3 вакантных места, которые, по условию, могут занять любые из четырех оставшихся человек. Это может быть сделано 2 вариантами:
1. 1 женщина и 2 мужчин (выбираем женщину 
= 2 способами)
2. 1 мужчина и 2 женщины (выбираем мужчину = 2 способами).
В итогt получаем 15 · 28(2 + 2) = 1680 способов.
Ответ: 1680 способов.
3 ЗАДАНИЕ. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
Т.к. все пассажиры должны ехать в разных вагонах, требуется отобрать 4 вагона из 9 с учетом порядка (вагоны отличаются №), эти выборки – размещения из n различных элементов по m элементов, где n = 9, m = 4. Число таких размещений находим по формуле: 
Получаем: 
ОТВЕТ. 3024 способами можно рассадить в поезде 4 человека.
4 ЗАДАНИЕ. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
Не менее 2-х человек, т.е. 2+7 или 3+6 или 4+5 человек (5+4, 6+3, 7+2 – те же самые комбинации). В каждой выборке важен только состав, т.к. члены подгруппы не различаются по ролям, т.е. выборки − сочетания из n различных элементов по m элементов, их число: 
, где n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅. ⋅ n .
Число выборок из 2-х человек: 
Число выборок из 3-х человек: 
Число выборок из 4-х человек: 
Применяем правило сложения: 
способов.
ОТВЕТ. 246 способов.
5 ЗАДАНИЕ. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.
Создавая первую бригаду, отбирают 3 человека из 20, создавая вторую – 5 из оставшихся 17, создавая третью – 12 из оставшихся 12. Для выборок важен только состав (роли членов бригады не различаются).
Эти выборки — сочетания из n различных элементов по m элементов, их число:
,
Создавая сложную выборку (из 3-х бригад), воспользуемся правилом умножения:
ОТВЕТ. 7054320 способов.
6 ЗАДАНИЕ. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?
Т.к. известно, что двое мальчиков войдут в команду, то остается отобрать 3 из 8. Для выборки важен только состав (по условию все члены команды не различаются по ролям). Следовательно, выборки – сочетания из n различных элементов по m элементов, их число: , где n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅. ⋅ n , при n = 8, m = 3.
ОТВЕТ. 56 способов сформировать команду
7 ЗАДАНИЕ. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?
Способ 1. В одной игре участвуют 2 человека, следовательно, нужно вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х человек из 15, причем порядок в таких парах не важен. Воспользуемся формулой для нахождения числа сочетаний (выборок, отличающихся только составом) из n различных элементов по m элементов , где n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅. ⋅ n , при n =15, m =2.
В процессе решения исключили 13! Из 15!, т.е. сократили произведение 15! = 1⋅ 2 ⋅3⋅. ⋅15 на 13! = 1⋅ 2 ⋅ 3⋅. ⋅13, остались после сокращения множители 14 и 15).
Способ 2. Первый игрок сыграл 14 партий (с2-м, 3-м, 4-м, и так до 15-го), 2- ой игрок сыграл 13 партий (3-м, 4-м, и т.д. до 15-го, исключаем то, что с первым партия уже была), 3-ий игрок − 12 партий, 4-ый − 11 партий, 5 – 10 партий, 6 – 9 партий, 7 – 8 партий, 8 – 7 партий,
14 – 1, а 15-ый уже играл со всеми.
Итого: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 партий
ОТВЕТ. 105 партий.
8 ЗАДАНИЕ. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?
Различных дробей из 6 чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17 можно составить
штук ( 
способами выбираем два числа из 6, и двумя способами составляем из них дробь: сначала одно число – числитель, другое знаменатель и наоборот). Из этих 30 дробей ровно 15 будут правильные (т.е., когда числитель меньше знаменателя):
способами выбираем два числа из 6, и единственным образом составляем дробь так, чтобы числитель был меньше знаменателя.
9 ЗАДАНИЕ. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?
1) В слове «гора» четыре буквы, все они различны, поэтому можно получить всего N1 = 4! = 1 *2* 3 *4 = 24 различных слова.
2) В слове «институт» 8 букв, из них две буквы «и», три буквы «т» и по одной букве «н», «с» и «у». Поэтому всего можно получить перестановками букв
N2 = 
ОТВЕТ. 24 и 3360 слов.
10 ЗАДАНИЕ. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?
РЕШЕНИЕ. Подсчитаем количество чисел от 1 до 999999 (число 1 000 000 содержит единицу, его сразу отбросим), в записи которых нет единиц. Каждую цифру можно выбрать 9 способами (любая цифра кроме 1), поэтому все 6 цифр (по правилу произведения) можно выбрать 9 6 способами (если в числе до значащих цифр стоят нули, мы их просто отбрасываем). При этом один вариант (000000) нужно убрать, так как число 0 не рассматривается. Получаем всего N = 9 6 – 1 = 531440 чисел.
Так как всего чисел 1 000 000, то видно, что чисел без единицы среди чисел от 1 до 1 000 000 больше, чем тех, в записи которых единица есть.
Источник
