Параметрический способ уравнивания нивелирных сетей

3.8. Уравнивание нивелирной сети параметрическим способом

Рис. 3. Нивелирная сеть

НА = 100,000 м; НВ = 115,000 м — отметки исходных пунктов.

h (м): 5,023; 10,012; 9,990; -10,005 — измеренные превышения.

S (км): 2; 4; 4; 2 — длины ходов.

pi = c/Si: 2; 1; 1; 2 — веса результатов измерений (с = 4 ).

В данной нивелирной сети число измерений n = 4, число необходимых измерений t = 2. Два параметра х1 и х2 — отметки вновь определяемых пунктов.

Параметрические уравнения связи составим по формуле:

Fi(x1, x2, . xt) — yi = νi.

1) (HA — x1) — h1 = ν1; 3) (HB — x2) — h3 = ν3;

2) (x2 — x1) — h2 = ν2; 4) (x1 — x2) — h4 = ν4

— параметрические уравнения связи.

Определим приближенные значения параметров:

х01 = НА — h1 = 94,977 м; x02 = HB — h3 = 105,010 м.

x1 = х01 + δх1 и x2 = x02 + δx2 подставим в систему параметрических уравнений связи.

1) (HA — x01 — δx1) — h1 = ν1; 3) (HB — x02 — δx2) — h3 = ν3;

2) (x02 + δx2 — x01 — δx1) — h2 = ν2; 4) (x01 + δx1 — x02 — δx2) — h4 = ν4.

Переходим к параметрическим уравнениям поправок:

Свободные члены li = Fi(x10, x20, . xt0) — yi, (i = 1, 2, . n) выразим в сантиметрах или в миллиметрах для того, чтобы порядок коэффициентов и свободных членов был одинаков.

1) -δx1 + l1 = v1; l1 = HA — x01 — h1 = 0;

2) δx2 — δx1 + l2 = v2; l2 = x02 — x01 — h2 = 2,1 см;

3) -δx2 + l3 = v3; l3 = HB — x02 — h3 = 0;

4) δx1 — δx2 + l4 = v4; l4 = x01 — x02 — h4= -2,8 см.

Переходим к системе нормальных уравнений:

Коэффициенты и свободные члены параметрических уравнений поправок поместим в табл. 10.

Таблица параметрических уравнений поправок

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решение системы нормальных уравнений с определением элементов обратной матрицы выполним в схеме Гаусса (табл. 10).

Решение нормальных уравнений

Контроль δхj: Контроль Qij: 2 · 0,364 + 0,273 — 1 = 0,001;

2 · 0,700 — 1,400 = 0. 2 · 0,273 + 0,455 — 1 = 0,001.

Вычислим значение параметров:

x1 = x10 + δx1 = 94,9840 м; x2 = x20 + δx2 = 104,9960 м.

Вычислим уравненные результаты измерений, делаем контроль уравнивания (табл. 12).

Уравненные превышения. Контроль уравнивания

Сделаем оценку точности результатов измерений по материалам уравнивания:

— средняя квадратическая ошибка единицы веса (превышения по ходу в 4 км).

— средняя квадратическая ошибка на 1 км хода.

Оценку точности параметров и функции параметров выполним с использованием элементов обратной матрицы

по формулам (38) и (37):

— обратный вес первого параметра.

см — средняя квадратическая ошибка первого параметра.

— обратный вес второго параметра.

см — средняя квадратическая ошибка второго параметра.

— весовая функция — второе уравненное превышение.

— коэффициенты функции.

— обратный вес функции.

см — средняя квадратическая ошибка функции.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

Уравнивание нивелирной сети параметрическим способом

Рис. 3. Нивелирная сеть

Н_А = 100,000 м; Н_В = 115,000 м — отметки исходных пунктов.

h (м): 5,023; 10,012; 9,990; -10,005 — измеренные превышения.

S (км): 2; 4; 4; 2 — длины ходов.

p_i = c/S_i: 2; 1; 1; 2 — веса результатов измерений (с = 4 ).

В данной нивелирной сети число измерений n = 4, число необходимых измерений t = 2. Два параметра х₁ и х₂ — отметки вновь определяемых пунктов.

Параметрические уравнения связи составим по формуле:

— параметрические уравнения связи.

Определим приближенные значения параметров:

x₁ = х 0 ₁ + δх₁ и x₂ = x 0 ₂ + δx₂ подставим в систему параметрических уравнений связи.

Переходим к параметрическим уравнениям поправок:

Свободные члены l_i = F_i(x₁ 0 , x₂ 0 , . x_t 0 ) — y_i, (i = 1, 2, . n) выразим в сантиметрах или в миллиметрах для того, чтобы порядок коэффициентов и свободных членов был одинаков.

Переходим к системе нормальных уравнений:

Коэффициенты и свободные члены параметрических уравнений поправок поместим в табл. 10.

Таблица параметрических уравнений поправок

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решение системы нормальных уравнений с определением элементов обратной матрицы выполним в схеме Гаусса (табл. 10).

Решение нормальных уравнений

Контроль δх_j: Контроль Q_ij: 2 · 0,364 + 0,273 — 1 = 0,001;

2 · 0,700 — 1,400 = 0. 2 · 0,273 + 0,455 — 1 = 0,001.

Вычислим значение параметров:

Вычислим уравненные результаты измерений, делаем контроль уравнивания (табл. 12).

Уравненные превышения. Контроль уравнивания

№ п/п	hi + vi	F(x1, x2)	№ п/п	hi + vi	F(x1, x2)
5,0160	НА — х1	5,0160	10,0040	НВ — х2	10,0040
10,0120	х2 — х1	10,0120	-10,0120	х1 — х2	-10,0120

Сделаем оценку точности результатов измерений по материалам уравнивания:

— средняя квадратическая ошибка единицы веса (превышения по ходу в 4 км).

— средняя квадратическая ошибка на 1 км хода.

Оценку точности параметров и функции параметров выполним с использованием элементов обратной матрицы

по формулам (38) и (37):

— обратный вес первого параметра.

см — средняя квадратическая ошибка первого параметра.

— обратный вес второго параметра.

см — средняя квадратическая ошибка второго параметра.

— весовая функция — второе уравненное превышение.

— коэффициенты функции.

— обратный вес функции.

см — средняя квадратическая ошибка функции.

Источник

Уравнивание нивелирных сетей (Глава 2 дипломного проекта)

Страницы работы

Содержание работы

2. УРАВНИВАНИЕ НИВЕЛИРНЫХ СЕТЕЙ

2.1. Параметрический способ

Будем уравнивать нивелирную сеть по методу наименьших квадратов (МНК). Если результаты измерений неравноточны и известны их веса р_i, то принцип наименьших квадратов имеет вид

(17)

Введем вектор поправок к измеренным величинам и диагональную матрицу весов результатов измерений

(18)

Тогда выражение (17) примет вид

(19)

Существует два основных способа уравнивания – параметрический и коррелатный способы. Главная разница между этими способами заключается в различии типов исходных уравнений, решаемых на основе принципа наименьших квадратов.

Параметрический способ уравнивания заключается в том, что уравненные значения измеренных величин получаются из решения по методу наименьших квадратов уравнений, связывающих уравненные величины с системой функционально независимых аргументов, именуемых параметрами.

Рассмотрим порядок уравнивания параметрическим способом. Пусть независимо измерены n величин и при этом получены результаты y₁, y₂, … , y_n с весами p₁, p₂, … , p_n, соответственно. Надо произвести параметрическое уравнивание результатов измерений, в итоге которого должны быть получены значения независимых параметров x₁, x₂, … , x_tи уравненные значения измеренных величин y₁, y₂, …, y_n.

(20)

Здесь v_i– поправки к результатам измерений.

Выбирают независимые параметры ,количество которых должно быть равно числу необходимых измерений t:

Представляют каждое уравненное значение измеренной величины как функцию искомых параметров

с весом (21)

Выражения (21) называют параметрическими уравнениями связи. Искомые величины в них являются параметры x. Важную роль играет выбор независимых параметров. При выборе нужно учитывать, чтобы функции параметров уравнений были по возможности более простыми.

В ряде случаев эти уравнения имеют нелинейный вид относительно искомых параметров x_j, что затрудняет их непосредственное решение по методу наименьших квадратов. В связи с этим, уравнения (21) приводят к линейному виду, что называется линеаризацией. Для выполнения линеаризации вводят приближенные значения параметров – . Тогда окончательные их значения будут равны

(22)

Здесь dx_j — поправки, определяемые из уравнивания.

Подставляя в (21) вместо x_j их значения из (22) получаем выражения

(23)

Полагая, что поправки dx_j достаточно малы, по сравнению с x_j, разлагаем эти выражения в ряд Тейлора и ограничиваемся членами первого порядка малости

(24)

Частные производные здесь вычисляются при значениях аргументов .

Тогда выражения (24) примут вид

(26)

Это параметрические уравнения связи, представленные в линейном виде, которые называются параметрическими уравнениями поправок. Коэффициентами этих уравнений являются частные производные функций по соответствующим параметрам. Свободными членами этих уравнений являются разности между функциями приближенных значений параметров и результатами измерений.

Введем матрицу коэффициентов параметрических уравнений поправок Аnt, вектор свободных членов Ln1 и вектор неизвестных Хt1

(27)

Принимая во внимание эти обозначения, а также обозначения (18) , представляем систему параметрических уравнений поправок (26) в виде матричного уравнения

(28)

Решение матричного уравнения (28) подчиним условию наименьших квадратов

которое, в соответствии с (28), представим так

. (29)

и введем обозначения

(30)

(31)

Тогда выражение (29) примет вид

Здесь учтено, что

Выражение представляет собой скаляр, а потому

Принимая это во внимание, можем написать окончательно

(32)

Транспонируя левую в правую части равенства (30), убеждаемся, что

(33)

то есть матрица Ntt симметричная.

Для определения вектора Xt1, удовлетворяющего условию наименьших квадратов, произведем дифференцирование выражения (32) по этому вектору и приравняем полученный результат нулевому вектору.

Пользуясь правилами дифференцирования по вектору, получаем

или, после транспонирования и деления на 2,

Источник