Параметрический способ описания движения

Три способа описания движения материальной точки. Векторный способ. Определение скорости и ускорения

Теоретическая механика как наука. Три основных раздела ТМ. Кинематика. Основные задачи кинематики.

Теоретическая механика – наука об общих законах механических взаимодействий между материальными телами, а также об общих законах движения тел по отношению друг к другу.

Теоретическая механика, преподаваемая в техническом вузе, содержит три раздела: кинематику, статику и динамику:

Кинематика – часть механики, в которой изучаются зависимости между величинами, характеризующими состояние движения систем, но не рассматриваются причины, вызывающие изменение состояния движения.

Статика – это учение о равновесии совокупности тел некоторой системы отсчета.

Динамика – часть механики, в которой рассматривается влияние сил на состояние движения систем материальных объектов.

Основная задача кинематики заключается в установлении (при помощи тех или иных математических методов) способов задания движения точек или тел и в определении по уравнениям их движений соответствующих кинематических характеристик движения, таких, как траектории, скорости и ускорения движущихся точек, угловые скорости и угловые ускорения вращающихся тел и др.

Три способа описания движения материальной точки. Векторный способ. Определение скорости и ускорения.

Естественный способ. Этим способом пользуются, если из­вестна траектория движения точки. Траекторией называется совокупность точек пространства, через которые проходит движущаяся материальная частица. Это линия, которую она вычерчивает в пространстве.

Координатный способ. Будем задавать положение точки с помощью координат. Если точка движется, то ее координаты изменяются с течением времени. Так как координаты точки зависят от времени, то можно сказать, что они являются функциями времени. В зависимости от формы траектории все движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Если траекторией является прямая линия, движение точки называется прямолинейным, а если кривая — криволинейным.

Математически это принято записывать в виде:

Векторный способ. Положение точки можно задать, как известно, и с помощью радиус-вектора. При движении материальной точки радиус-вектор, определяющий ее положение, с течением времени изменяется, т. е. является функцией времени: r=r(t) (стрелочки над ними нужны). Одна такая функция равняется трем функциям (1.1). Если ввести единичные векторы i, j, k ( i = j = k = 1), направленные соответственно вдоль осей x, y и z то, очевидно, закон движения может быть представлен в виде:

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k.

Преимущество векторной формы записи перед координатной в компактности (вместо трех величин оперируют с одной) и часто в большей наглядности.

Источник

iSopromat.ru

Рассмотрим три существующих способа задания движения материальной точки: координатный, векторный и естественный.

Чтобы иметь возможность определить параметры движения точки необходимо задать закон ее движения.

В зависимости от известных величин и поставленной задачи могут быть использованы следующие способы задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

Векторный

При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.

Координатный

При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:

Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t. Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t.

Естественный

При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t). Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Параметрический способ описания движения

В кинематике существуют три способа аналитического описания движения материальной точки в пространстве. Рассмотрим их, ограничившись случаем движения материальной точки на плоскости, что позволит нам при выборе системы отсчёта задавать лишь две координатные оси.

1. Векторный способ.

В этом способе положение материальной точки `A` задаётся с помощью так называемого радиус-вектора `vecr`, который представляет собой вектор, проведённый из точки `O`, соответствующей началу отсчёта выбранной системы координат, в интересующую нас точку `A` (рис. 1). В процессе движения материальной точки её радиус-вектор может изменяться как по модулю, так и по направлению, являясь функцией времени `vecr=vecr(t)`.

Геометрическое место концов радиус-вектора `vecr(t)` называют траекторией точки `A`.

В известном смысле траектория движения представляет собой след (явный или воображаемый), который «оставляет за собой» точка `A` после прохождения той или иной области пространства. Понятно, что геометрическая форма траектории зависит от выбора системы отсчёта, относительно которой ведётся наблюдение за движением точки.

Пусть в процессе движения по некоторой траектории в выбранной системе отсчёта за промежуток времени `Delta t` тело (точка `A`) переместилось из начального положения `1` с радиус-вектором `vec r_1` в конечное положение `2` с радиус-вектором `vec r_2` (рис. 2). Приращение `Deltavec r` радиус-вектора тела в таком случае равно: `Deltavec r = vec r_2- vec r_1`.

Вектор `Deltavec r`, соединяющий начальное и конечное положения тела, называют перемещением тела.

Отношение `Delta vec r//Delta t` называют средней скоростью (средним вектором скорости) `vec v_»cp»` тела за время `Delta t`:

`vecv_»cp»=(Deltavecr)/(Delta t)` (1)

Вектор `vecv_»cp»` коллинеарен и сонаправлен с вектором `Deltavec r`, так как отличается от последнего лишь скалярным неотрицательным множителем `1//Delta t`.

Предложенное определение средней скорости справедливо для любых значений `Delta t`, кроме `Delta t=0`. Однако ничто не мешает брать промежуток времени `Delta t` сколь угодно малым, но отличным от нуля.
Для точного описания движения вводят понятие мгновенной скорости, то есть скорости в конкретный момент времени `t` или в конкретной точке траектории. С этой целью промежуток времени `Delta t` устремляют к нулю. Вместе с ним будет стремиться к нулю и перемещение `Delta vec r`. При этом отношение `Deltavec r//Delta t` стремится к определённому значению, не зависящему от `Delta t`.

Величина, к которой стремится отношение `Deltavec r//Delta t` при стремлении `Delta t` к нулю, называется мгновенной скоростью`vec v`:

`vec v =(Delta vec r)/(Delta t)` при `Delta t -> 0`.

Теперь заметим, что чем меньше `Delta t`, тем ближе направление `Deltavec r` к направлению касательной к траектории в данной точке. Следовательно, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения тела.

В дальнейшем там, где это не повлечёт недоразумений, мы будем опускать прилагательное «мгновенная» и говорить просто о скорости `vec v` тела (материальной точки).

Движение тела принято характеризовать также ускорением, по которому судят об изменении скорости в процессе движения. Его определяют через отношение приращения вектора скорости `Delta vec v` тела к промежутку времени `Delta t`, в течение которого это приращение произошло.

Ускорением `veca` тела называется величина, к которой стремится отношение `Delta vec v//Delta t` при стремлении к нулю знаменателя `Delta t`:

`vec a =(Delta vec v)/(Delta t)` при `Delta t -> 0` (2)

При уменьшении `Delta t` ориентация вектора`Delta vec v` будет приближаться к определённому направлению, которое принимается за направление вектора ускорения `vec a`. Заметим, что ускорение направлено в сторону малого приращения скорости, а не в сторону самой скорости!

Напомним, что в системе СИ единицами длины, скорости и ускорения являются соответственно метр (м), метр в секунду (`»м»//»с»`) и метр на секунду в квадрате ( `»м»//»с»^2`).

2. Координатный способ.

В этом способе положение материальной точки `A` на плоскости в произвольный момент времени `t` определяется двумя координатами `x` и `y`, которые представляют собой проекции радиус-вектора $$ \overrightarrow$$тела на оси `Ox` и `Oy` соответственно (рис. 3). При движении тела его координаты изменяются со временем, т. е. являются функциями `t`: $$ x=x\left(t\right)$$ и $$ y=y\left(t\right)$$. Если эти функции известны, то они определяют положение тела на плоскости в любой момент времени. В свою очередь, вектор скорости $$ \overrightarrow$$ можно спроецировать на оси координат и определить таким образом скорости $$ _$$ и $$ _$$ изменения координат тела (рис. 4). В самом деле $$ _$$ и $$ _$$ будут равны значениям, к которым стремятся соответственно отношения `Delta x//Delta t` и `Delta y//Delta t` при стремлении к нулю промежутка времени `Delta t`.

3. Естественный (или траекторный) способ.

Этот способ применяют тогда, когда траектория материальной точки известна заранее. На заданной траектории `LM` (рис. 5) выбирают начало отсчёта – неподвижную точку `O`, а положение движущейся материальной точки `A` определяют при помощи так называемой дуговой координаты `l`, которая представляет собой расстояние вдоль траектории от выбранного начала отсчёта `O` до точки `A`. При этом положительное направление отсчёта координаты `l` выбирают произвольно, по соображениям удобства, например так, как показано стрелкой на рис. 5.

Движение тела определено, если известны его траектория, начало отсчёта `O`, положительное направление отсчёта дуговой координаты `l` и зависимость $$ l\left(t\right)$$.

Следующие два важных механических понятия – это пройденный путь и средняя путевая скорость.
По определению, путь `Delta S` — это длина участка траектории, пройденного телом за промежуток времени `Delta t`.

Ясно, что пройденный путь – величина скалярная и неотрицательная, а потому его нельзя сравнивать с перемещением `Delta vec r`, представляющим собой вектор. Сравнивать можно только путь `Delta S` и модуль перемещения `
|Delta vecr|`. Очевидно, что `Delta S >=|Deltavec r|`.

Средней путевой скоростью `v_»cp»` тела называют отношение пути `Delta S` к промежутку времени `Delta t`, в течение которого этот путь был пройден:

`v_»cp»=(Delta S)/(Delta t)` (3)

Определённая ранее средняя скорость `v_»cp»` (см. формулу (1)) и средняя путевая скорость отличаются друг от друга так же, как `Deltavec r` отличается от `Delta S`, но при этом важно понимать, что обе средние скорости имеют смысл только тогда, когда указан промежуток времени усреднения `Delta t`. Само слово «средняя» означает усреднение по времени.

Городской троллейбус утром вышел на маршрут, а через 8часов, проехав в общей сложности `72` км, возвратился в парк и занял своё обычное место на стоянке. Какова средняя скорость `vec v_»cp»` и средняя путевая скорость `v_»cp»` троллейбуса?

Поскольку начальное и конечное положения троллейбуса совпадают, то его перемещение `Delta vecr` равно нулю: `Deltavecr=0`, следовательно, `vecv_»ср»=Deltavecr//Deltat=0` и `|vecv_»ср»|=0`. Но средняя путевая скорость троллейбуса не равна нулю:

`v_»cp»=(Delta S)/(Delta t)=(72 «км»)/(8 «ч»)=9 «км»//»ч»`.

Источник

Механическое движение и его характеристики

теория по физике 🧲 кинематика

Механика — раздел физики, который изучает механическое движение физических тел и взаимодействие между ними.

Основная задача механики — определение положение тела в пространстве в любой момент времени.

Механическое движение — изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение и его виды

По характеру движения точек тела выделяют три вида механического движения:

• Поступательное. Это движение, при котором все точки тела движутся одинаково. Если через тело мысленно провести прямую, то после изменения положения этого тела в пространстве данная прямая останется параллельной самой себе.
• Вращательное. Это движение, при котором все точки тела движутся, описывая окружности.
• Колебательное. Это движение тела, которое повторяется точно или приблизительно через определенные интервалы времени. От вращательного движения его отличает то, что при колебаниях тело перемещается в двух взаимно противоположных направлениях.

По типу линии, вдоль которой движется тело, выделяют два вида движения:

• Прямолинейное — тело движется по прямой линии.
• Криволинейное — тело движется по кривой линии, в том числе замкнутой.

По скорости выделяют два вида движения:

• Равномерное — скорость движущегося тела остается неизменной.
• Неравномерное — скорость движущегося тела с течением времени меняется.

По ускорению выделяют три вида движения:

• Равноускоренное — тело движется неравномерно с постоянным ускорением (положительным). Скорость увеличивается.
• Равнозамедленное — тело движется неравномерно с постоянным замедлением (отрицательным ускорением). Скорость уменьшается.
• Ускоренное — тело движется неравномерно с меняющимся ускорением. Скорость может, как увеличиваться, так и уменьшаться.

Что нужно для описания механического движения?

Для описания механического движения нужно выбрать, относительно какого тела оно будет рассматриваться. Движение одного и того же объекта относительно разных тел неодинаковое. К примеру, идущий человек относительно дерева движется с некоторой скоростью. Но относительно сумки, которую он держит в руках, он находится в состоянии покоя, так как расстояние между ними с течением времени не изменяется.

Решение основной задачи механики — определения положения тела в пространстве в любой момент времени — заключается в вычислении координат его точек. Чтобы вычислить координаты тела, нужно ввести систему координат и связать с ней тело отсчета. Также понадобится прибор для измерения времени. Все это вместе составляет систему отсчета.

Система отсчета — совокупность тела отсчета и связанных с ним системы координат и часов.

Тело отсчета — тело, относительно которого рассматривается движение.

Часы — прибор для отсчета времени. Время измеряется в секундах (с).

При описании движения тела важно учитывать его размеры, так как характер движения его отдельных точек может различаться. Но в рамках некоторых задач размер тела не влияет на результат решения. Тогда его можно считать пренебрежительно малым. Тогда тело рассматривают как движущуюся материальную точку.

Материальная точка — это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях конкретной задачи. Допустимо принимать тело за точку, если оно движется поступательно или его размеры намного меньше расстояний, которые оно проходит.

Виды систем координат

В зависимости от характера движения тела для его описания выбирают одну из трех систем координат:

• Одномерную. Используется, когда положение материальной точки можно задать только одной координатой x — M(x) . В этом случае тело движется прямолинейно.
• Двумерную. Используется, когда положение материальной точки можно задать двумя координатами x и y — M(x,y). Тело в этом случае движения по плоскости.
• Трехмерную. Используется, когда положение материальной точки можно задать тремя координатами x, y и z — M(x,y,z). Тело в этом случае изменяет положение в трехмерном пространстве.

Способы описания механического движения

Описать механическое движение можно двумя способами:

Координатный способ

Указать положение материальной точки в пространстве можно, используя трехмерную систему координат. Если эта точка движется, то ее координаты с течением времени меняются. Так как координаты точки зависят от времени, можно считать, что они являются функциями времени. Математически это записывается так:

Эти уравнения называют кинематическими уравнениями движения точки, записанными в координатной форме.

Векторный способ

Радиус-вектор точки — вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с положением этой точки.

Указать положение точки в трехмерном пространстве также можно с помощью радиус-вектора. При движении точки радиус-вектор со временем изменяется. Он может менять направление и длину. Это значит, что радиус-вектор тоже можно принять за функцию времени. Математически это записывается так:

Эта формула называется кинематическим уравнением движения точки, записанным в векторной форме.

Характеристики механического движения

Движение материальной точки характеризуют три физические величины:

Перемещение

Перемещение (вектор перемещения) — направленный отрезок, начало которого совпадает с начальным положением точки, а конец — с его конечным положением. Обозначается как S .

Перемещение точки определяется как изменение радиус-вектора. Это изменение обозначается как Δ r . С точки зрения геометрии вектор перемещения равен разности радиус-векторов, задающих конечное и начальное положение точки:

Траектория — линия, которую описывает тело во время движения.

Путь — длина траектории. Обозначается буквой s. Единица измерения — метры (м).

Путь есть функция времени:

Модуль перемещения — длина вектора перемещения. Обозначается как |Δ r |. Единица измерения — метры (м).

Модуль перемещения необязательно должен совпадать с длиной пути.

Пример №1. Человек обошел круглое поле диаметром 1 км. Чему равны пройденный путь и перемещение, которое он совершил.

Путь равен длине окружности. Поэтому:

Человек, обойдя круглое поле, вернулся в ту же точку. Поэтому его начальное положение совпадает с конечным. В этом случае человек совершил перемещение, равное нулю.

Пример №2. Точка движется по окружности радиусом 10 м. Чему равен путь, пройденный этой точкой, в момент, когда модуль перемещения равен диаметру окружности?

Диаметр — это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Перемещение равно длине этого отрезка в случае, если один из концов этого отрезка является началом вектора перемещения, а другой — его концом. Траекторией движения в этом случае является дуга, равная половине окружности. А длина траектории есть путь:

Скорость

Скорость — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения тела. Численно она равна отношению перемещения за малый промежуток времени к величине этого промежутка.

В физике скорость обозначается V . Математически скорость определяется формулой:

Скорость характеризуется не только направлением вектора скорости, но и его модулем.

Модуль скорости — расстояние, пройденное точкой за единицу времени. Обозначается буквой V и измеряется в метрах в секунду (м/с).

Математическое определение модуля скорости:

Величина скорости тела в данный момент времени есть первая производная от пройденного пути по времени:

Ускорение

Ускорение — векторная физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости тела. Численно она равна отношению изменения скорости за малый промежуток времени к величине этого промежутка.

В физике ускорение обозначается a . Математически оно определяется формулой:

Модуль ускорения — численное изменение скорости в единицу времени. Обозначается буквой a. Единица измерения — метры в секунду в квадрате (м/с 2 ).

Математическое определение модуля скорости:

v — скорость тела в данный момент времени, v₀— его скорость в начальный момент времени, t — время, в течение которого эта скорость менялась.

Ускорение тела есть первая производная от скорости или вторая производная от пройденного пути по времени:

Проекция вектора перемещения на ось координат

Проекция вектора перемещения на ось — это скалярная величина, численно равная разности конечной и начальной координат.

Проекция вектора на ось OX:

Проекция вектора на ось OY:

Знаки проекций перемещения

• Проекция является положительной, если движение от начала проекции вектора к проекции конца происходит сонаправленно оси координат.
• Проекция является отрицательной, если движение от начала проекции вектора к проекции конца направлено в сторону, противоположную направлению координатной оси.

Внимание!

Проекция вектора перемещения на ось считается нулевой, если вектор расположен перпендикулярно этой оси.

Модуль перемещения — длина вектора перемещения:

Модуль перемещения измеряется в метрах (м).

Вместе с собственными проекциями модуль перемещения образует прямоугольный треугольник. Сам он является гипотенузой этого треугольника. Поэтому для его вычисления можно применить теорему Пифагора. Выглядит это так:

Выразив проекции вектора перемещения через координаты, эта формула примет вид:

Выражение проекций вектора перемещения через угол его наклона по отношению к координатным осям:

Общий вид уравнений координат:

Пример №3. Определить проекции вектора перемещения на ось OX, OY и вычислить его модуль.

Определяем координаты начальной точки вектора:

Определяем координаты конечной точки вектора:

Проекция вектора перемещения на ось OX:

Проекция вектора перемещения на ось OY:

Применяем формулу для вычисления модуля вектора перемещения:

Пример №4. Определить координаты конечной точки B вектора перемещения, если начальная точка A имеет координаты (–5;5). Учесть, что проекция перемещения на OX равна 10, а проекция перемещения на OY равна 5.

Извлекаем известные данные:

Для определения координаты точки В понадобятся формулы:

Выразим из них координаты конечного положения точки:

Точка В имеет координаты (5; 10).

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные в определенной системе отсчета.
2. Записать формулу ускорения.
3. Выразить из формулы ускорения скорость.
4. Найти искомую величину.

Решение

Записываем исходные данные:

• Тело начинает двигаться из состояния покоя. Поэтому его начальная скорость v₀ = 0 м/с.
• Ускорение, с которым тело начинает движение, равно: a = 4 м/с 2 .
• Время движения согласно условию задачи равно: t = 2 c.

Записываем формулу ускорения:

Так как начальная скорость равна 0, эта формула принимает вид :

Отсюда скорость равна:

Подставляем имеющиеся данные и вычисляем:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Источник