Отношения между элементами одного множества
В процессе обучения дошкольникам часто приходится рассматривать элементы одного множества и устанавливать отношения между ними:
— сравнивать по величине;
— выстраивать сериационный ряд;
В математике изучают взаимосвязи между числами («быть больше», «следовать за», «быть меньше на 1»), в геометрии рассматривают отношения равенства, пересечения, параллельности и др.
Чаще всего мы сталкиваемся с отношениями между двумя объектами, их называют бинарными.
Способы задания отношений:
1. Указывают характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в этом отношении. При этом характеристическое свойство представляет собой предложение с двумя переменными.
2. Перечисляют все пары элементов, взятых из множества и связанных этим отношением.
Например элементы множества X = <1, 2, 3, 4, 5 >связаны отношением «быть больше на 1». В этом случае отношение задано с помощью предложения «число х больше числа у на 1». Это же отношение можно задать, перечислив все пары чисел, связанных данным отношением: <(2;1), (3;2), (4;3), (5; 4) >.
В математике отношения между двумя элементами часто записываются при помощи символов: х>у, а//b, y=3х, с^ l
Способы задания отношений взаимосвязаны – от одного можно переходить к другому, и наоборот. Например, детям предложено задание: «Маша, Катя, Сережа, Валера – дети одних родителей. Назовите, кто кому является братом». Выполняя его, дети должны перейти от задания отношения с помощью характеристического свойства к перечислению пар элементов.
В математике изучают большое разнообразие отношений. Чтобы облегчить решение этой задачи, отношения классифицируют по свойствам.
Пусть R – некоторое отношение на множестве X, a x, y, z — любые его элементы. Если элемент х находится в отношении R с элементом у, то пишут xRy.
1. Рефлексивность: каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой («параллельность», «равенство»).
R рефлексивно х R х
2. Симметричность: если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находится в этом отношении с элементом х («параллельность», «перпендикулярность», «равенство», «быть родственником» ).
3. Антисимметричность: если из того, что х находится в данном отношении с элементом у и х ¹ у, следует, что элемент у в этом отношении с х не находится («больше», «меньше», «длиннее», «короче»).
4. Транзитивность: если из того, что элемент х находится в
данном отношении с элементом у, а элемент у находится в этом
отношении с элементом z, следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом z («больше», «выше», «старше», «равно», «параллельно»).
Одно и то же отношение может обладать несколькими свойствами. Так отношение «равно» — рефлексивно, симметрично, транзитивно, отношение «больше» — антисимметрично и транзитивно.
Если отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности («равенство», «параллельность»).
Если на множестве X задано отношение эквивалентности, то оно определяет разбиение этого множества на классы. И наоборот, любое разбиение множества X на классы определяет на этом множестве отношение эквивалентности.
Это утверждение проявляется, например, при выполнении заданий: «Подбери полоски равные по длине и разложи по группам».
«Разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одного цвета».
Отношения эквивалентности («быть равным по длине», «быть одного цвета») определяют в данном случае разбиение множеств полосок и мячей на классы.
Если отношение транзитивно и антисимметрично, то оно называется отношением порядка («больше», «длиннее», «следовать»).
Эти отношения упорядочивают элементы множества.
Множества с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.
Например, выполняя задания: «Разложи полоски по ширине от самой узкой до самой широкой». «Разложи числовые карточки по порядку», дети упорядочивают элементы множеств полосок и числовых карточек при помощи отношений порядка: «быть шире», «следовать».
Вообще, отношения эквивалентности и порядка играют большую роль в формировании у дошкольников правильных представлений о классификации и упорядочивании множеств. Кроме того, дети встречаются с большим числом других отношений, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.
Задание 22.
На множестве детей группы сада рассматриваются отношения: «быть ниже по росту», «быть старше по возрасту», «жить в одном и том же доме», «родиться в одном и том же месяце». Какие из этих отношений определяют разбиение множества детей на классы, а какие из них упорядочивают данное множество? Можете ли вы назвать другие отношения на множестве детей?
Источник
Тема 5. Отношения на множестве
Понятие отношения между элементами одного множества.
Способы задания отношений.
Свойства бинарных отношений.
Отношение эквивалентности. Отношение порядка.
Основная литература 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34;
Дополнительная литература 1, 10, 14, 74
1. Понятие отношения между элементами одного множества
В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними.
Отношения многообразны. Между понятиями – это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями – отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…», «следует» и др.
Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, т.е отношения между двумя элементами, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю полезно знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.
Чтобы определить общее понятие отношения на множестве, рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = 2, 4, 6, 8 задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества Х можно сказать, какое из них меньше: 2 4, 2 6, 2 8, 4 6, 4 8, 6 8. Но все эти пары есть элементы декартова произведения ХХ, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве Х, можно сказать, что оно является подмножеством множества ХХ.
Определение. Отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения ХХ.
Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только бинарные отношения, то определимся, на множестве Х мы их будем определять следующим образом:
Определение. Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения ХХ.
Условимся отношения обозначать буквами R, S, T, P и др.
Если R – отношения на множестве Х, то, согласно определению, R ХХ. С другой стороны, если задано некоторое подмножество множества ХХ , то оно определяет на множестве Х некоторое отношение R.
Замечание. Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, можно записать так: (х,у) R или х R у. Последняя запись читается : “Элемент х находится в отношении R с элементом у”.
2. Способы задания отношений
По определению отношения R между элементами множества Х есть всякое подмножество декартова произведения Х Х, т.е. множество, элементами которого являются упорядоченные пары. Поэтому способы задания отношений, по существу, такие же, как и способы задания множеств.
Отношение R на множестве Х можно задать, перечислив все пары элементов, взятых из множества Х и связанных этим отношением.
Формы записи при этом могут быть различными. Например, некоторое отношение R на множестве Х = 4, 5, 6, 7, 9можно задать, записав множество пар: (5,4),(6,4),(6,5),(7,4),(7,5),(7,6),(9, 4),(9,5),(9,6),(9,7).То же отношение можно задать при помощи графа.
Отношения на конечном множестве Х можно представлять наглядно, при помощи особых чертежей, состоящих из точек, соединенных стрелками. Такие чертежи называют графами.
Построим граф отношения «меньше», заданного на множестве Х = 2, 4, 6, 8. Для этого элементы множества Х изобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение «меньше» – стрелкой.
На том же множестве Х можно рассмотреть другое отношение – «кратно». Граф этого отношения будет в каждой вершине иметь петлю (стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число кратно самому себе.
2 4
8 6
Чаще отношение R на множестве Х задают, указав характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в отношении R. Это свойство задается при помощи предложения с двумя переменными.
Пример. Пусть заданы рассмотренные выше отношения «меньше» и «кратно», причем использована краткая форма предложений«число х меньше числа у» и «число х кратно числу у». Некоторые такие предложения можно записать используя символы. Например, отношения «меньше» и «кратно» можно было записать в таком виде: «х у», «х
у». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или х – у = 3). Отношение между прямыми плоскости задают, используя символы: х // у, х у.
Для отношения R, заданного на множестве Х, всегда можно задать отношение R -1 , ему обратное. Например, если R – отношение “х меньше у”, то обратным ему будет отношение “ у меньше х”.
Понятием отношения, обратного данному, часто пользуются при начальном обучении математике. Например, чтобы предупредить ошибку в выборе действия, с помощью которого решается задача: «У Пети 7 карандашей, что на 2 меньше, чем у Бори. Сколько карандашей у Бори?» – ее переформулируют: «У Пети 7 карандашей, а у Бори на 2 больше. Сколько карандашей у Бори?». Видим, что переформулировка свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением «больше на 2».
Источник
ТЕМА 5. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ
1. Понятие отношения между элементами одного множества.
2. Способы задания отношений.
3. Свойства бинарных отношений.
4. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.
Основная литература [7, 10, 11, 16, 23, 33, 34];
Дополнительная литература [1, 10, 14, 74]
Понятие отношения между элементами одного множества
В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними.
Отношения многообразны. Между понятиями – это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями – отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…», «следует» и др.
Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, т.е отношения между двумя элементами, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю полезно знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.
Чтобы определить общее понятие отношения на множестве, рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = <2, 4, 6, 8>задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества Х можно сказать, какое из них меньше: 2
Источник
Доклад для начальной школы «Отношения между элементами одного множества»
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение
Новосибирской области
«Черепановский педагогический колледж»
Тема: «Понятие отношения между элементами одного множества».
Выполнила: Савельева Маргарита Алексеевна
Студентка 31 группы
Преподаватель: Быкова Наталья Александровна
г. Черепаново
2021 г.
В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними.
Отношения многообразны. Между понятиями – это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями – отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…», «следует» и др.
Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом.
Множество – это набор предметов (элементов множества ), наделённых определёнными общими свойствами.
Чтобы определить общее понятие отношения на множестве, рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = <2, 4, 6, 8>задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества Х можно сказать, какое из них меньше: 2
В процессе обучения школьникам часто приходится рассматривать элементы одного множества и устанавливать отношения между ними:
— сравнивать по величине;
— выстраивать сериационный ряд;
В математике изучают взаимосвязи между числами («быть больше», «следовать за», «быть меньше на 1»), в геометрии рассматривают отношения равенства, пересечения, параллельности и др.
Чаще всего мы сталкиваемся с отношениями между двумя объектами, их называют бинарными.
Способы задания отношений:
1. Указывают характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в этом отношении. При этом характеристическое свойство представляет собой предложение с двумя переменными.
2. Перечисляют все пары элементов, взятых из множества и связанных этим отношением.
Например элементы множества X = <1, 2, 3, 4, 5 >связаны отношением «быть больше на 1». В этом случае отношение задано с помощью предложения «число х больше числа у на 1». Это же отношение можно задать, перечислив все пары чисел, связанных данным отношением: <(2;1), (3;2), (4;3), (5; 4) >.
Способы задания отношений взаимосвязаны – от одного можно переходить к другому, и наоборот. Например, детям предложено задание: «Маша, Катя, Сережа, Валера – дети одних родителей. Назовите, кто кому является братом». Выполняя его, дети должны перейти от задания отношения с помощью характеристического свойства к перечислению пар элементов.
1 . Рефлексивность: каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой («параллельность», «равенство»).
2. Симметричность : если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находится в этом отношении с элементом х («параллельность», «перпендикулярность», «равенство», «быть родственником» ).
3. Антисимметричность : если из того, что х находится в данном отношении с элементом у и х ¹ у, следует, что элемент у в этом отношении с х не находится («больше», «меньше», «длиннее», «короче»).
4. Транзитивность : если из того, что элемент х находится в
данном отношении с элементом у, а элемент у находится в этом
отношении с элементом z, следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом z («больше», «выше», «старше», «равно», «параллельно»).
Одно и то же отношение может обладать несколькими свойствами. Так отношение «равно» — рефлексивно, симметрично, транзитивно, отношение «больше» — антисимметрично и транзитивно.
Если отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности («равенство», «параллельность»).
Если на множестве X задано отношение эквивалентности, то оно определяет разбиение этого множества на классы. И наоборот, любое разбиение множества X на классы определяет на этом множестве отношение эквивалентности.
Это утверждение проявляется, например, при выполнении заданий: «Подбери полоски равные по длине и разложи по группам».
«Разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одного цвета».
Отношения эквивалентности («быть равным по длине», «быть одного цвета») определяют в данном случае разбиение множеств полосок и мячей на классы.
Если отношение транзитивно и антисимметрично, то оно называется отношением порядка («больше», «длиннее», «следовать»).
На рисунке 1 изображены сестры Анна Ивановна и Вера Ивановна с сыновьями Петей и Юрой. Между этими людьми существуют различные родственные отношения . Рассмотрим некоторые из них.
а) Петя – сын Анны Ивановны. В этом же отношении «быть сыном» находится Юра с Верой Ивановной. В отношении «быть сыном» не находятся Вера Ивановна и Анна Ивановна.
Рис.1. Выпишем все пары элементов, находящихся в отношении «быть сыном». Таких пар две: (Петя; Анна Ивановна) и (Юра; Вера Ивановна).
Эти пары можно представить с помощью особого чертежа, состоящего из точек, соединенных стрелками. Такие чертежи называются графами. Такой граф называют графом отношения «быть сыном» (рис. 2).
б) Анна Ивановна – тетя Юры. В этом же отношении «быть тетей» находятся еще лишь Вера Ивановна и Петя. Граф отношения «быть тетей» показан на рисунке 3.
в) В отношении «быть сестрой или матерью» находятся элементы четырех пар: (А. И.; В. И), (В. И.;А. И.), (А. И.; П.), (В. И.; Ю.), граф этого отношения представлен на рисунке 4.
Таким же образом можно представить графы отношений «быть двоюродным братом», «быть племянником» и др.
Из курса школьной математики известны многочисленные примеры отношений:
— между числами : «равно», «неравно», «меньше», «больше», «кратно», «следует за…», «делится на…» и т. д.;
— между точками прямой : «предшествует», «следует за» и т. д.;
— между прямыми : «параллельны», «пересекаются», «перпендикулярны»;
— между плоскостями : «параллельны», «пересекаются», «перпендикулярны»;
— между геометрическими фигурами: «равно», «подобно», и др.
Таким образом, в математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи между ними, т. е. отношения между этими объектами. Чаще всего в математике рассматривают отношения между двумя объектами, их называют бинарными ; отношения между тремя элементами – тернарными ; отношения между n элементами – n -арными .
Значение этого материала нужно учителю начальных классов и воспитателю дошкольного учреждения для того, чтобы, изучая конкретные отношения в начальной математике понимать их сущность, взаимосвязи, роль в усвоении тех или иных понятий.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Источник
