Способы отделения корней уравнений
Рассмотрим приближенные методы решения нелинейных уравнений 
на примере уравнения 
.
При использовании некоторых методов в качестве исходных данных необходимо указать отрезок, содержащий только один корень данного уравнения 
Поиск такого отрезка называется отделением корней уравнения. Отделение корней можно проводить двумя способами: графическим и аналитическим.
Графический метод. Действительным корням уравнения соответствуют точки пересечения графика функции 
с осью Ох. Для нахождения отрезка, содержащего только один корень уравнения, достаточно построить график функции и визуально определить на каких отрезках находятся корни. Точность отделения отрезков зависит от точности построения графиков.
Пример 1: Выполнить отделение корней уравнения графическим методом.
Для решения данной задачи требуется построить график функции 
Протабулируем данную функцию. Сначала определимся с областью построения, например, выберем 
, с шагом 0,25 будем вычислять значение функции (см. рис. 2)
Далее с помощью мастера диаграмм, выбрав тип диаграммы точечная, постоим график функции, представленной таблично. (см. рис. 3)
На рисунке 3 видно, что точки пересечения графика функции 
с осью Ох попадают в отрезки 
и 
.
Аналитический метод. В основе данного метода лежат теоремы математического анализа.
Рис. 2. Таблица функции
Рис. 3. График функции
Теорема 1 (Теорема Больцано-Коши). Если непрерывная на отрезке 
функция на концах указанного отрезка принимает значения разных знаков, т.е. 
то на интервале 
она хотя бы один раз обращается в нуль.
Теорема 2.Непрерывная монотонно возрастающая или монотонно убывающая функция имеет единственный нуль на отрезке тогда и только тогда, когда на концах указанного отрезка она принимает значения разных знаков, т.е. 
Пример 2: Выполнить отделение корней уравнения аналитическим методом.
Для решения данной задачи требуется протабулировать функцию на некотором отрезке, например, и определить «соседние» точки, в которых функция принимает значения разных знаков.
Шаг табулирования выбираем произвольно, т.о. заполняем ячейки А1:С2 (рис. 4). Далее в ячейку А5 записываем ссылку на ячейку А1, в ячейку А6 записываем формулу, см. рисунок 5. С помощью маркера автозаполнения в первом столбце производим дальнейшие вычисления.
Заполняем столбец B5:B17, для этого в ячейку B5 записываем формулу вычисления функции и протягиваем ее вниз.
Рис. 4. Вид экрана для аналитического метода отделения корней
Рис. 5. Формула для заполнения ячейки А6
В ячейку С6 вводится комментарий (ячейка С5 остается пустой), он поможет определить отрезки, на концах которых функция принимает значения разных знаков (рис. 6).
В столбцах Dи Eзаписываются формулы для вычисления первой и второй производных данной функции.
Рис. 6. Формула для заполнения ячейки С6
В итоге видим, что найдены два отрезка, содержащие только один корень. Убедитесь в справедливости теоремы 2 для данных отрезков самостоятельно.
Задания для самостоятельного выполнения.
Из таблицы 2 приложения взять исходные данные своего варианта. Вариант определяется по порядковому номеру в списке группы. Выполнить отделение корней для функции своего варианта двумя способами графическим методом и аналитически. Начальные данные и шаг подобрать в зависимости от вида уравнения и области его определения.
Контрольные вопросы
1. Как записать основные математические функции в Excel.
2. Сформулируйте алгоритм графического метода отделения корней.
3. Сформулируйте теорему 1 и теорему 2. В чем их отличия и сходства.
4. Сформулируйте алгоритм аналитического метода отделения корней.
Источник
3.1. Отделение корней нелинейного уравнения
Отделение корней – это определение их наличия, количества и нахождение для каждого их них достаточно малого отрезка [a, b], которому он принадлежит.
На первом этапе определяется число корней, их тип. Определяется интервал, в котором находятся эти корни, или определяются приближенные значения корней.
В инженерных расчетах, как правило, необходимо определять только вещественные корни. Задача отделения вещественных корней решается Аналитическими и Графическими методами.
Аналитические методы основаны на функциональном анализе.
Для алгебраического многочлена n-ой степени (полинома) с действительными коэффициентами вида
Pn(x) = an x n + an-1xn-1 +. +a1x+ a0 = 0, (an >0) (3.2)
Верхняя граница положительных действительных корней 
определяется по формуле Лагранжа (Маклорена):
, (3.3)
Где: k ³ 1 – номер первого из отрицательных коэффициентов полинома;
B – максимальный по модулю отрицательный коэффициент.
Нижнюю границу положительных действительных корней 
можно определить из вспомогательного уравнения
(3.4)
Если для этого уравнения по формуле Лагранжа верхняя граница равна R1, то
= 
(3.5)
Тогда все положительные корни многочлена лежат в интервале
≤x+≤
.
Интервал отрицательных действительных корней многочлена определяется с использованием следующих вспомогательных функций.
и 
.
≤x–≤ 
= 
=
.
Рассмотрим пример отделения корней с использованием этого аналитического метода.
Методом Лагранжа определим границы положительных и отрицательных корней многочлена.
3×8 – 5×7 – 6×3 – x – 9 = 0
K = 1 B = |– 9| an = 3
= 4
9×8 + x7 + 6×5 + 5x – 3 = 0
 |
k = 8 B = 3 an = 9
Отсюда границы положительных корней 0,5 ≤ x+ ≤ 4
3×8 + 5×7 + 6×3 + x – 9 = 0
= 
9×8 – x7 – 6×5 – 5x – 3 = 0
K = 1 B = 6 an = 9
 |
Следовательно, границы отрицательных корней –2 ≤ x– ≤ –0,6
Формула Лагранжа позволяет оценить интервал, в котором находятся все действительные корни, положительные или отрицательные. Поэтому, для определения расположения каждого корня необходимо проводить дополнительные исследования.
Для трансцендентных уравнений не существует общего метода оценки интервала, в котором находятся корни. Для этих уравнений оцениваются значения функции в особых точках: разрыва, экстремума, перегиба и других.
На практике получил большее распространение Графический метод приближённой оценки вещественных корней. Для этих целей строится график функции по вычисленным её значениям.
Графически корни можно отделить 2-мя способами:
1. Построить график функции y = f(x) и определить координаты пересечений с осью абсцисс− это приближенные значения корней уравнения.На графике 3 корня.
Рис. 3.1 Отделение корней на графике f(x).
2. Преобразовать f(x)=0 к виду j(x) = y(x), где j(x) и y(x) – элементарные функции, и определить абсциссу пересечений графиков этих функций.
На графике 2 корня.
Рис. 3.2 Отделение корней по графикам функций j(x) и y(x).
Графический метод решения нелинейных уравнений широко применяется в технических расчётах, где не требуется высокая точность.
Для отделения вещественных корней можно использовать ЭВМ. Алгоритм отделения корней основан на факте Изменения знака функции в окрестности корня. Действительно, если корень вещественный, то график функции пересекает ось абсцисс, а знак функции изменяется на противоположный.
Рассмотрим Схему алгоритма отделения корней нелинейного уравнения на заданном отрезке в области определения функции.
Алгоритм позволяет определить приближённые значения всех действительных корней на отрезке [a, b]. Введя незначительные изменения в алгоритм, его можно использовать для определения приближённого значения максимального или минимального корня.
Приращение неизвестного Δx не следует выбирать слишком большим, чтобы не «проскочить» два корня.
Недостаток метода – использование большого количества машинного времени.
Источник
