Оставить таблицу вычисления величины с точностью до 0 01 можно следующими способами

Практическая работа «Практические приемы вычислений с приближенными данными. Вычисление погрешности при решении практических задач»

Тема: «Практические приемы вычислений с приближенными данными. Вычисление погрешности при решении практических задач»

Специальность: 080110 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

100701 Коммерция (по отраслям)

Цель: студент должен уметь вычислять приближенные значения

№ 1. 1) Площадь океанов равна:

Тихого. ..179 679 тыс. кв км

Атлантического. 93 363 » » »

Индийского . 74 917 » » »

Северного Ледовитого..13 100 » » »

Вычислить общую площадь этих океанов в миллионах квадратных километров, округлив данные в условии числа.

2) Округлить до тысяч следующие числа: 10 834 650; 4 354 160; 4 793 500; 6 381 480. Вычислить погрешность, допущенную при округлении.

3) Округлить до целых единиц следующие дробные числа: 228,7; 142,61; 374,4; 92,5; 93,5; 7 2 / ₃ ; 4 1 / ₅ . Вычислить погрешность, допущенную при округлении.

4) Округлить до десятых долей следующие дробные числа: 12,39; 87,15; 279,68; 156,44; 60,52; 3,25; 1,408. Вычислить погрешность, допущенную при округлении.

№ 2. 1) Вычислить приближённые частные с точностью до целой единицы:

15139 : 25; 78,66 : 0,13; 78,66 : 0,013.

2) Вычислить приближённые частные с точностью до 0,1:

14 : 3; 5,4 : 1,7; 15,4 : 4.

3) Вычислить приближённые частные с точностью до 0,01 :

417 : 35; 17,51 : 6; 2,25 : 0,07; 39,5 :1,3.

№ 3. Сколько квадратных километров площади приходится на одного жителя каждой из указанных частей света, если:

в Азии на 43 883 тыс. кв. км площади приходится 1 535 000 тыс. человек,

в Африке на 30 284 тыс. кв. км площади приходится 224 000 тыс. человек,

в Европе на 10 498 тыс. кв. км площади приходится 569 000 тыс. человек.

Вычисления произвести с точностью до 0,01 кв. км.

№ 4. Древнегреческий учёный Архимед установил, что отношение длины окружности к её диаметру больше числа 3 10 / ₇₁ и меньше 3 1 / ₇ . Вычислить значения этих дробей с точностью до 0,01.

№ 5. Выразить приближённо десятичной дробью число 5 2 / ₇ с тремя верными цифрами. Вычислить абсолютную погрешность полученного приближённого значения.

№ 6. Сравним время на стенных и ручных часах. Пусть стенные часы показывают 2 часа 14 мин. (пополудни). Можно ли считать цифру 4 верной?

Пусть ручные часы в тот же момент показали 2 часа 13 мин. 15 сек. Можно ли считать цифру 5 верной? При решении задачи предполагается, что те и другие часы правильны.

№ 7. 1) На наружном термометре столбик подкрашенного спирта находится между 18 и 19 делениями выше нуля (рис. 41). Ученик записал показания термометра числом 18,5°. Назовите верные цифры, в этом числе. Как записать, что допущенная погрешность не превышает 0,5°?

2) На рисунке 42 изображена шкала курвиметра. При обведении части контура некоторой фигуры черта курвиметра оказалась между 37 и 38 делениями шкалы. Сколько сантиметров прошло колесо курвиметра, если каждое деление шкалы курвиметра соответствует 1 см длины? Ученик записал показание курвиметра 37,5 см. Назовите верные цифры в полученном числе. Как записать, что допущенная погрешность не превышает 0,5 см?

№ 8. На весах взвешено 150 г конфет. Рассмотрите рисунок части шкалы весов (рис. 43). Какой наименьший и наибольший возможен вес данной покупки и какова наибольшая абсолютная погрешность при взвешивании на этих весах?

№ 9. 1) Ученик должен начертить план класса. Рулеткой он измерил длину а и ширину b и нашёл а ≈ 8,50 м и b ≈ 6,20 м. Назовите верные цифры в полученных числах. Как запирать, что возможная погрешность при измерении не превышает 5 см?

2) Измеряя мензуркой (рис. 44) объём жидкости, ученик получил 26 куб. см. Назовите в полученном числе верные цифры. Какую наибольшую погрешность мог допустить ученик при отсчёте на шкале мензурки?

№ 10. 1) Одна из старых русских мер длины—аршин (1 аршин ≈ 71,12 см) выражала приближённо длину шага взрослого человека. Если принять 1 аршин приближённо за 71 см, то какова получится абсолютная погрешность? (Значение 71,12 см при решении задачи примите за точное выражение аршина в метрических мерах.)

2) Одна из старых русских мер веса — пуд — приближённо равна 16,38 кг. Если принять, что 1 пуд ≈ 16,4 кг, то чему равна абсолютная погрешность? (Число 16,38 кг при решении задачи примите за точное выражение пуда в метрических мерах.)

Источник

Урок на тему»Приближенные вычисления»

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА ПРОЦЕНТЫ.

— рассмотреть множество действительных чисел;

— дать определение абсолютной погрешности;

— — дать определение относительной погрешности ;

— сформировать умение записывать бесконечную десятичную дробь в виде обыкновенной;

— воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний;

— воспитывать ответственность за свои действия и поступки;

— вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики.

— формировать навыки познавательного мышления;

— формировать умения и навыки учебного труда.

I. Организационный момент.

Эмоциональный настрой. Сообщение цели и задач.

II. Новая тема: “Целые и рациональные числа. Проценты”:

Действительные числа – это бесконечные десятичные дроби (рациональные и иррациональные числа).

Рациональные числа – бесконечные периодические дроби. Период не может состоят из одних девяток. Если период состоит из одних нулей, дробь может считаться конечной десятичной дробью.

Иррациональные числа – бесконечные непериодические десятичные дроби.

Какие из данных десятичных дробей являются иррациональными числами: 23,5; 2,(5); 3,12131415. ; -0,1010010001.

На числовой прямой постройте точки с координатами 6, -1,5, √2, -√2.

Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным? Приведите пример.

Как видно рациональные числа можно представить в виде обыкновенной дроби p/q. Некоторые из них можно записать в виде конечной десятичной дроби. Например, 2/5 = 0,4; 7/100 = 0,07 и т.д. Но существуют рациональные числа, которых нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Например, 1/3 = 0,333…,17/9 = 1,888… .

Такие бесконечные десятичные дроби называются периодическими. Повторяющиеся числа называются периодом. Для краткости их записывают следующим образом: 0,333. = 0,(3); 1,888. = 1,(8).

Записать числа в виде десятичной дроби.

Разделим уголком число 11 на 3. Получаем бесконечную десятичную дробь с периодом 3.

При делении числа 2215 на 99 получаем бесконечную десятичную дробь с периодом 17.

215/99 = 2,1717. = 2,(17).

При делений числа 594 на 11 получаем целое число 54. Каждое целое число или конечная десятичная дробь можно записать в виде бесконечной десятичной дроби с периодом нуль.

Представить в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь . 0,1515

Обозначим х = 0,1515.

Т.к. период дроби двухзначное число, то умножим обе части равенства на 100.

Получим, 100х = 15,1515. .

Найдём разность выражений:

100х-х = 15,1515. -0,1515. ;

Решая уравнение, получим x = 15/99.

Как видно из таблицы, иррациональные числа – бесконечные десятичные непериодические дроби. Например, √2; и т. д.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Для выполнения алгебраических операций над действительными числами, эти числа заменяем на их приближения. Например, для нахождения суммы √10 и √5 с помощью калькулятора находим значения данных корней, затем округляем до нужной степени, а затем полученные рациональные числа складываем.

√ 10+√5 = 3,1622776. +2,2360679. ≈ 3,2+2,2 = 5,4 ≈ 5.

Вопросы для самоконтроля

Представьте число 7/18 в виде бесконечной десятичной дроби. (Ответ: 0,3(8))

Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 1,1(6). (Ответ: 7/6)

Выполните действия и запишите ответ в виде десятичной дроби: 1/3+1,25. (Ответ: 1,58(3))

ЗАДАНИЕ 1. Записать в виде десятичной дроби, выразить в процентах.

ЗАДАНИЕ 2. Выполните действия:

ЗАДАНИЕ 3. Записать в виде периодической десятичной дроби:

ЗАДАНИЕ 4. Запишите дроби в виде дроби, знаменатель которой есть произведение двух последовательных натуральных чисел, представить полученные дроби в виде разности двух дробей и составить сумму этих дробей.

ЗАДАНИЕ 5. Имеется одна чашка кофе. В первый раз отпила 1/6 часть чашки и долила чашку кипяченой водой. Второй раз отпила 1/3 часть наполненной чашки и опять долила водой до полной чашки. В третий раз отпила 1/2 часть и опять долила водой. В четвертый раз выпила всю чашку. Спрашивается, сколько чашек я выпила?

Давайте вернемся к нашим процентам. Число увеличили сначала на 10%, а потом еще на 10%. На сколько процентов увеличили число за два раза?

ЗАДАНИЕ 6. Хранили 2 т. лука-севка, содержащего 60 % воды. Содержание воды к весне уменьшилось до 56 %.Сколько тонн лука- севка осталось в результате?

ЗАДАНИЕ 7. Найти 25% от 80.

ЗАДАНИЕ 8. Найти сумму 1/4+1/2+3/4

ЗАДАНИЕ 9. Является ли число -12 рациональным

ЗАДАНИЕ 10. Свежие грибы содержат 72% воды, а сушенные 12%. Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы получить 14 кг сушеных грибов?

КолмЕгоров А.Н., Абрамов A.M., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). М., Просвещение, 2014.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. –

М., Просвещение, 2014.

БашмМарков М.И. Математика. М., «Академия», 2014.

Тема урока: «Приближенные вычисления»

-закрепить навыки округления действительных чисел:

-дать понятие приближенного значения величины

– ознакомить учащихся с понятием абсолютной и относительной погрешности

— вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики.

Развивать интерес к математике, самостоятельность, логическое мышление, математическую речь, прививать аккуратность

I. Организационный момент.

Приближенные вычисления»
1.Теоретическая часть.

— физика при демонстрации опытов

2. Практическая часть.
3. Работа по учебнику и у доски.
4. Самостоятельная работа по вариантам.

I. Организационный момент.

Эмоциональный настрой и готовность преподавателя и обучающихся на урок. Сообщение цели и задач.

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближенными значениями различных величин

Часто точное число представляют ограниченным количеством цифр, отбрасывая «лишние» цифры, либо округляя его до определенного разряда. Такое число называют приближенным.

Истинная погрешность приближенного числа, т.е. разность между точным и приближенным числами, при отбрасывании цифр не превышает единицы разряда последней сохраненной цифры, а при отбрасывании с округлением, выполненному по установленным стандартом правилам, половины единицы цифры сохраняемого разряда.

Приближенное число характеризуют числом значащих цифр, к которым относят все цифры, кроме нулей слева.

Цифры в записи приближенного числа называются верными, если погрешность не превышает половины единицы последнего разряда.

К приближенным числам относятся также результаты измерения А, которыми оценивают действительные значения А _д измеряемой величины.

Отчего зависит точность приближенного значения?

Она зависит от многих причин. Если приближенное значение получено при измерении, то его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение. Никакое измерение не может быть выполнено совершенно точно. Даже сами меры заключают в себе погрешность. Изготовить совершенно точные метровые линейки, килограммовую гирю, литровую кружку чрезвычайно трудно и закон допускает при изготовлении некоторую погрешность.

Например, при изготовлении метровой линейки допускается погрешность 1мм. Само измерение тоже вводит неточность, погрешность в гирях, весах. Например на линейке, которой мы пользуемся, нанесены деления через 1мм, т.е. 0,1см, значит точность измерения этой линейкой до 0,1 ( ≤ 0,1). На медицинском термометре деления через 0,10 , значит точность до 0,1 ( ≤ 0,1). На весах деления нанесены через 200г, значит точность до 200 ( ≤ 200).

Округляя десятичную дробь до десятых точность будет до 0,1 ( ≤ 0,1); до сотых – точность до 0,01 ( ≤ 0,01).

Пример. Округлить число 7,40952 последовательно до единиц, десятых долей, сотых долей, тысячных долей.

Округлите до сотых число:

а) 6,113; в) 1,407; д) 2,5013;

б) 0,318; г) 10,275; е) 11,096

2 Погрешности приближений.

В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины. Результатом измерений являются числа. Т.к. измерения производятся не всегда точно, то мы обычно получаем различные приближения. При этом необходимо знать погрешность этого приближения.

Определение . Если число a является приближенным значение некоторой величины, истинное значение которой равно числу x, то модуль разности чисел x и a называется абсолютной погрешностью данного приближения и обозначается ∆х.

Из этого определения следует, что

Абсолютная погрешность приближения не характеризует качество измерений. Например, при измерении длины и диаметра проводника получили результаты: l = 10,0±0,1мм, D = 2,5±0,1мм. Какое из этих измерений точнее?

Для оценки качества измерений или вычислений будем пользоваться понятием относительной погрешности.

Определение . Относительной погрешностью ω приближенного значения a величины х называется отношение абсолютной погрешности ∆x этого приближения к модулю числа х.

Относительную погрешность обычно выражают в процентах. В вышеуказанном примере

Естественно, чем меньше граница относительной погрешности, тем точнее измерение или вычисление.

Часто приходится с этим встречаться в физике при демонстрации опытов, при выполнении лабораторных работ.

Задача. Найдем относительную погрешность при измерении длины листа тетради линейками: одна – с точностью до 0,1см (деления через 0,1см); вторая — с точностью до 1см (деления через 1см).

ℓ 1 = 20,4см ℓ2 = 20,2см

0,! : 20,4 = 0,0049 = 0,49% 1 : 20,2 = 0,0495 = 4,95%

Говорят, относительная погрешность в первом случае до 0,49%(т.е ≤ 0,49%), во втором случае до 4,95% (т.е. ≤ 4,95%).

В первом случае точность измерения выше. Мы говорим не о величине

относительной погрешности, а ее оценке.

На производстве при изготовлении деталей мы пользуемся

штангенциркулем (для измерения глубины; диаметра: наружного и внутреннего).

Абсолютная погрешность при измерении этим прибором составляет точность до 0,1мм. Найдем оценку относительной погрешности при измерении штангенциркулем:

d = 9,86см = 98,6мм

0,1 : │98,6│= 0,1 : 98,6 = 0,001 = 0,1%

Относительная погрешность с точностью до 0,1% (т.е. ≤ 0,1%).

3 Практическая часть

Пример 1 . Приближение числа 3,24 равно 3,2. Вычислить абсолютную и относительную погрешности приближения.

Решение: Абсолютная погрешность равна |3,24-3,2|=0,04. Относительная погрешность равна

Пример 2 (на доске вместе). Известно приближение числа 6,45: а) 6,4; б) 6,5. Вычислите абсолютную и относительную погрешности каждого приближения.

Пример 3. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 — 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 — 1280 = 4.

Пример 4. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200 — 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 или, округленно, 3/197 = 1,5 %.

Пример 5. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая — 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит 50/3600 ≈ 1,4%.

Пример 6. Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого измерения?
Здесь а = 17,9 см; можно принять Δ = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, a значительно уменьшить, предельную погрешность ни удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша ребра могут разниться на бoльшую величину). Относительная погрешность равна 0,1/17,9. Округляя, находим δ = 0,1/18 ≈ 0,6%.

Пример 7. Цилиндрический поршень имеет около 35 мм в диаметре. С какой точностью нужно его измерить микрометром, чтобы предельная относительная погрешность составляла 0,05%?
Решение. По условию, предельная абсолютная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная абсолютная погрешность равна 36*(0,05/100) = 0,0175 (мм) или, усиливая, 0,02 (мм). Можно воспользоваться формулой δ = Δ/a. Подставляя в неё а = 35, δ = 0,0005, имеем 0,0005 = Δ/35. Значит, Δ = 35 • 0,0005 = 0,0175 (мм

4. Самостоятельная работа по вариантам :

Найдите абсолютную погрешность приближения:

числа 2,87 числом 2,9; числом 2,8; числа 0,6595 числом 0,7; числом 0,6

числа числом ; числа числом 0,3;

числа 4,63 числом 4,6; числом 4,7; числа 0,8535 числом 0,8; числом 0,9;

число числом ; число 0,7 числом 0,2

2 Округлите число до единиц и найдите относительную погрешность округления:

3 Радиус Земли равен 6380 км с точностью до 10 км. Оцените относительную погрешность приближённого значения.

3 Наименьшее расстояние от Земли до Луны равно 356400 км с точностью до 100 км. Оцените относительную погрешность приближения.

4. Построить график функции у = х3

4. Построить график функции у = х2

Пользуясь графиком закончить запись:

если х = 1,5, то у ≈

если х = -0,5, то у ≈

Пользуясь графиком закончить запись:

если х = 2,5, то у ≈

если х = -1,5, то у ≈

5. Округлить число 0,356 до десятых и найти:

a) абсолютную погрешность

б) относительную погрешность

5. Округлить число 0,188 до десятых и найти:

a) абсолютную погрешность

б) относительную погрешность

Из практических примеров можно сделать вывод: что точных значений быть не может, производя измерения в обычных условиях.

Пример 1 На предприятии 1284 рабочих и служащих. Округлить количество работающих до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процента

Пример 2. В школе 197 учащихся. Округлить количество учащихся до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах

М., Просвещение, 2014.

БашмМарков М.И. Математика. М., «Академия», 2014.

Источник