Основные способы задания соответствий

Понятие соответствия. Способы задания соответствий

Первоначально алгеброй называли учение о решении уравнений. За много столетий своего развития алгебра превратилась в науку, которая изучает операции и отношения на различных множествах. Поэтому не случайно уже в начальной школе дети знакомятся с такими алгебраическими понятиями, как выражение (числовое и с переменными), числовое равенство, числовое неравенство, уравнение. Они изучают различные свойства арифметических действий над числами, которые позволяют рационально выполнять вычисления. И, конечно, в начальном курсе математики происходит их знакомство с различными зависимостями, отношениями, но чтобы использовать их в целях развития мыслительной деятельности детей, учитель должен овладеть некоторыми общими понятиями современной алгебры — понятием соответствия, отношения, алгебраической операции и др. Кроме того, усваивая математический язык, используемый в алгебре, учитель сможет глубже понять сущность математического моделирования реальных явлений и процессов.

Изучая окружающий нас мир, математика рассматривает не только его объекты, но и главным образом связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями, отношениями, функциями. Например, при вычислении длин предметов устанавливаются соответствия между предметами и числами, которые являются значениями их длин; при решении задач на движение устанавливается зависимость между пройденным расстоянием и временем, если скорость движения постоянна.

Конкретные зависимости, соответствия, отношения между объектами в математике изучались с момента ее возникновения. Но вопрос о том, что общее имеют самые разные соответствия, какова сущность любого соответствия, был поставлен в конце XIX — начале XX века, и ответ на него был найден в рамках теории множеств.

В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике изучения этих взаимосвязей.

Рассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

В первом случае мы устанавливаем соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выясняем, какое число соответствует каждой из данных фигур, характеризуя ее площадь. В третьем ищем число, которое является решением уравнения.

Что общее имеют эти соответствия?

Видим, что во всех случаях мы имеем два множества: в первом — это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений), во втором — это множество из трех геометрических фигур и множество N натуральных чисел; в третьем — это множество из трех уравнений и множество N натуральных чисел.

Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между элементами этих множеств. Ее можно представить наглядно, при помощи графов (рис. 1).

Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии:

Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами X и Y можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары — это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение. Соответствием между элементами множество X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.

Соответствия принято обозначать буквами Р, S, T, R и др. Если S — соответствие между элементами множеств X и Y, то, согласно определению, S Х х Y.

Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множествами. Поскольку соответствие — это подмножество, то его можно задавать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Так, соответствие между множествами X = <1, 2, 4, 6>и Y = <3, 5>можно задать:

1) при помощи предложения с двумя переменными: а -1 , то S -1 = <(2,4), (3,5), (6,8)>.

Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: xSy. Запись xSy можно рассматривать как обобщение записей конкретных соответствий: х = 2у; х > 3у+1 и др.

Воспользуемся введенной записью для определения понятия соответствия, обратного данному.

Определение. Пусть S — соответствие между элементами множеств X и Y. Соответствие S -1 между элементами множеств Y и X называется обратным данному, если yS -x тогда и только тогда, когда xSy.

Соответствия S и S -1 называют взаимно обратными. Выясним особенности их графиков.

Построим график соответствия S = <(4, 2), (5, 3), (8, 6)>(рис. 5а). При построении графика соответствия S -1 = <(2, 4), (3, 5), (6, 8)>мы должны первую компоненту выбирать из множества Y = <2, 3, 6>, а вторую — из множества X = <4, 5, 8, 10>. В результате график соответствия S -1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S -1 ,

условились первую компоненту пары соответствия S -1 считать абсциссой, а вторую — ординатой. Например, если (5, 3) S, то (3, 5) S -1 . Точки с координатами (5, 3) и (3, 5), а в общем случае (х, у) и (у, х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S -1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Чтобы построить график соответствия S -1 , достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графика S относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Дата добавления: 2017-02-13 ; просмотров: 11742 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Тема 3. Понятие соответствия Содержание

Понятие соответствия между множествами.

Способы задания соответствий.

Соответствие обратное данному.

Взаимно однозначное соответствие.

Равномощные множества. Счетные множества.

Основная литература 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34;

Дополнительная литература 1, 10, 14, 74

1. Понятие соответствия между множествами

В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике этих взаимосвязей.

Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

Пример 1. а) (17 – 1) : 4; б) (12 + 18) : (6-6); в) 27 + 6. Пример 2. 1) 2+х =6; 2) х-7=4; 3) 2х=8.

В первом примере мы установили соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выяснили, какое число является решением уравнения.

Все эти соответствия имеют общее – во обоих случаях мы имеем два множества: в первом – это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором – это множество из трех уравнений и множество N натуральных чисел.

Связь (соответствие) между этими множества можно представить наглядно, при помощи графов.

N 1 N 2

Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары – это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами R, P, F, T и др.

2. Способы задания соответствий

Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества.

Пример. Соответствие между множествами Х = 1, 2, 4, 6 и У = 3, 5 можно задать: 1) при помощи предложения с двумя переменными: а  в при условии, что а  Х, в  У; 2) перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения ХУ: (1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(4,5). К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа и графика.

у

Х У

3. Соответствие обратное данному

Пример. Пусть S – соответствие «больше на 2» между множествами Х = 4, 5, 8, 10 и У = 2, 3, 6. Тогда S = (4,2), (5,3), (8,6) и его граф будет как на рисунке.

Соответствие обратное данному, — это соответствие «меньше на 2». Оно рассматривается между множествами У и Х, и чтобы его представить наглядно, достаточно на графе соответствия S направление стрелок поменять на противоположное (См. рисунок).

Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: х S у.

Определение. Пусть S – соответствие между множествами Х и У. Соответствие S -1 между множествами У и Х называется обратным данному, если у S -1 х тогда и только тогда, когда х S у. Соответствия S и S -1 называют взаимно обратными.

Выясним особенности их графиков. Построим график соответствия S = (4,2), (5,3), (8,6)

у

у

При построении графика соответствия S -1 = (2,4), (3,5), (6,8) мы должны первую компоненту выбирать из множества У = 2,3,6, а вторую – из множества Х = 4, 5, 8, 10. В результате график соответствия S -1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S -1 , условились первую компоненту пары соответствия S -1 считать абсциссой, а вторую – ординатой. Например, если (5,3)  S, то (3,5)  S -1 . Точки с координатами (5,3) и (3,5), а в общем случае (х,у) и (у,х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S -1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Чтобы построить график соответствия S -1 , достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графика S относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Источник

Понятие соответствия между множествами

В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике этих взаимосвязей.

Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

Пример 1. а) (17 – 1) : 4; б) (12 + 18) : (6-6); в) 2´7 + 6. Пример 2. 1) 2+х =6; 2) х-7=4; 3) 2х=8.

В первом примере мы установили соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выяснили, какое число является решением уравнения.

Все эти соответствия имеют общее – во обоих случаях мы имеем два множества: в первом – это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором – это множество из трех уравнений и множество Nнатуральных чисел.

Связь (соответствие) между этими множества можно представить наглядно, при помощи графов.

а· б· в·

·4 ·20

1· 2· 3·

·4 ·11

N 1 N2

Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары – это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.Соответствия принято обозначать буквами R, P, F, T и др.

2. Способы задания соответствий

Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либоперечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества.

Пример. Соответствие между множествами Х = <1, 2, 4, 6>и У = <3, 5>можно задать: 1) при помощи предложения с двумя переменными: а -1 между множествами У и Х называется обратным данному, если у S -1 х тогда и только тогда, когда х S у. Соответствия S и S -1 называют взаимно обратными.

Выясним особенности их графиков. Построим график соответствия S =

Источник

Понятие соответствия. Способы задания соответствий

Рассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

I. Найти значение выражения:	II. Найти площадь фигуры:	III. Решить уравнение:
в1) (17 – 1) : 4	F1	y1) 2+x = 6
в2) (12 + 18) : (6-6);	F2	y2) x – 7 = 4
в3) 2×7+6	F3 Рис.66	y3) 2x = 8

В первом случае мы устанавливаем соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выясняем, какое число соответствует каждой из данных фигур, характеризуя ее площадь. В третьем ищем число, которое является решением уравнения.

Что общее имеют эти соответствия?

Видим, что во всех случаях мы имеем два множества: в первом — это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором — это множество из трех геометрических фигур и множество N натуральных чисел; в третьем — это множество из трех уравнений и множество N натуральных чисел.

Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно, при помощи графов (рис. 67).

Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии:

Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами X и Y можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары — это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение.Соответствием между множествами X и Y назы­вается всякое подмножество декартова произведения этих множеств.

Соответствия принято обозначать буквами Р, S, Т, R и др. Если S-соответствие между элементами множеств X и Y, то, согласно определению, S ÌХ ´ Y.

Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множествами. Поскольку соответствие — это подмножество, то его можно задавать как любое множество,т.е. либоперечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либоуказав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Так, соответствие между множествами X = <1, 2, 4, 6>и Y = <3, 5>можно задать:

3)при помощи предложения с двумя переменными: а -1 , то S -1 = <(2,4), (3,5), (6,8)>.

а) б)

Рис. 70

Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: хSу. Запись хSу можно рассматривать как обобщение записей конкретных соответствий: х = 2у; х > 3у+1 и др.

Воспользуемся введенной записью для определения понятия соответствия, обратного данному.

Определение. Пусть S — соответствие между множествами Х иY. Соответствие S -1 между множествами Y и X называется обратным данному, если у S -1 х тогда и только тогда, когда хSу.

Соответствия S и S называют взаимно обратными. Выясним особенности их графиков.

Построим график соответствия S = <(4, 2), (5, 3), (8, 6)>(рис. 71, а). При построении графика соответствия S -1 = <(2, 4), (3, 5), (6, 8)>мы должны первую компоненту выбирать из множества Y = <2, 3, 6>, а вторую — из множества Х= <4, 5, 8, 10>. В результате график соответствия S -1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S -1 , условились первую компоненту пары соответствия S -1 считать абсциссой, а вторую — ординатой. Например, если (5, 3) Î S, то (3, 5) Î S -1 . Точки с координатами (5, 3) и (3, 5), а в общем случае (х, у) и (у, х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S -1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Чтобы построить график соответствия S -1 , достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графика S относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Упражнения

5. Вычислив длины заданных отрезков, учащийся записал: АВ — 7 см, СD = 12 см, КL = 15 см, ХY — 12 см. Соответствие между какими множествами он установил? Задайте это соответствие при помощи предложения с двумя переменными и графа.

6.Даны множества: X — <2, 5), Y = <3, 6>. Перечислите элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какое из подмножеств задает соответствие: а) «больше»; б) «меньше»; в) «меньше на 1»; г) «меньше в 3 раза»?

3. Соответствие «число х в два раза больше числа у» рассматривается между множествами X и Y. Каким будет его график, если:

4. Между множествами X = <0, 1, 2, 3, 4, 5>и Y = Z задано соответствие «х — у = 3», причем х е X, у е Y. Какая фигура на рисунке 72 является графиком этого соответствия?

10. Графиком соответствия Р, заданного между множествами X и Y, являются все точки прямоугольника АВСБ (рис. 73). Назовите координаты трех точек, принадлежащих этому графику и задайте множества Х и Y.

11. Множества X = <1, 3, 4, 6>и Y = <0, 1>находятся в соответствии S = <(1, 1), (3, 0), (3, 1), (4, 0), (4, 1) (6, 1)>. Задайте соответствиеS -1 , обратное соответствию Y, и постройте на одном чертеже их графики.

12. Между множеством X — углов треугольника AВС и множеством Y — его сторон задано соответствие Т — «угол х лежит против стороны у». Задайте соответствие Т -1 , обратное соответствию Т, при помощи: а) предложения с двумя переменными; б) графа.

13. Даны графики соответствий Р и Q (рис. 74). Можно ли утверждать, что соответствия Р и Q взаимно обратные?

14.Постройте графики соответствий, обратных данным (рис. 75).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник