Основные способы вычисления пределов функции

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

а) $$ \lim \limits_ \frac<1> = \infty $$

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1

Вычислить а) $ \lim_ \frac<1> $; б)$ \lim_ \frac<1> $

Решение

Ответ

$$ \text \lim \limits_ \frac<1> = \infty \text< б)>\lim \limits_ \frac<1> = 0 $$

Внимание «чайникам» 🙂 Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними — это не так страшно как кажется 🙂

Пример 2

$$ \lim \limits_ \frac $$

Решение

Ответ

$$ \lim \limits_ \frac = 2 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac<0> <0>\bigg ] $

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела.

Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её 🙂

Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

Пример 3

Решить $ \lim \limits_ \frac $

Решение

Ответ

$$ \lim \limits_ \frac = -2 $$

Бесконечность получилась в результате — это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.

Пример 4

$$ \lim \limits_\frac

Решение

Ответ

$$ \lim \limits_\frac

= \infty $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac<\infty> <\infty>\bigg ] $

Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное — возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем.

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

Пример 5

Вычислить $ \lim \limits_ \frac $

Решение

Ответ

$$ \lim \limits_ \frac = \infty $$

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем.

Пример 6

$$ \lim \limits_\frac

Решение

Ответ

$$ \lim \limits_\frac

= 1 $$

Алгоритм вычисления лимитов

Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: «ноль делить на ноль» или «бесконечность делить на бесконечность» и переходим к следующим пунктам инструкции.
Чтобы устранить неопределенность «ноль делить на ноль» нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
Если неопределенность «бесконечность делить на бесконечность», тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Источник

Предел функции: основные понятия и определения

В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.

Понятие предела

В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞ . Его следует понимать как бесконечно большое + ∞ или бесконечно малое — ∞ число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем в виду сразу оба этих ее смысла, однако запись вида + ∞ или — ∞ не стоит заменять просто на ∞ .

Запись предела функции имеет вид lim x → x 0 f ( x ) . В нижней части мы пишем основной аргумент x , а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению x 0 он будет стремиться. Если значение x 0 является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение x 0 стремится к бесконечности (не важно, ∞ , + ∞ или — ∞ ), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.

Предел бывает конечным и бесконечным. Если он равен конкретному действительному числу, т.е. lim x → x 0 f ( x ) = A , то его называют конечным пределом, если же lim x → x 0 f ( x ) = ∞ , lim x → x 0 f ( x ) = + ∞ или lim x → x 0 f ( x ) = — ∞ , то бесконечным.

Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.

Что такое предел функции

В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.

Число A является пределом функции f ( x ) при x → ∞ , если последовательность ее значений будет сходиться к A для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной).

Запись предела функции выглядит так: lim x → ∞ f ( x ) = A .

При x → ∞ предел функции f ( x ) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).

Запись выглядит как lim x → ∞ f ( x ) = ∞ .

Докажите равенство lim x → ∞ 1 x 2 = 0 с помощью основного определения предела для x → ∞ .

Решение

Начнем с записи последовательности значений функции 1 x 2 для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента x = 1 , 2 , 3 , . . . , n , . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .

Мы видим, что значения будут постепенно уменьшаться, стремясь к 0 . См. на картинке:

Далее мы запишем то же самое, но для бесконечно большой отрицательной последовательности.

x = — 1 , — 2 , — 3 , . . . , — n , . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 — n 2 > . . .

Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:

Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.

Вычислите предел lim x → ∞ e 1 10 x .

Решение

Начнем, как и раньше, с записи последовательностей значений f ( x ) = e 1 10 x для бесконечно большой положительной последовательности аргументов. Например, x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .

e 1 10 ; e 4 10 ; e 9 10 ; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10 ; . . . = = 1 , 10 ; 1 , 49 ; 2 , 45 ; 4 , 95 ; 12 , 18 ; . . . ; 22026 , 46 ; . . .

Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f ( x ) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Переходим к записи значений бесконечно большой отрицательной последовательности, например, x = — 1 , — 4 , — 9 , — 16 , — 25 , . . . , — 10 2 , . . . → — ∞ .

e — 1 10 ; e — 4 10 ; e — 9 10 ; e — 16 10 ; e — 25 10 ; . . . ; e — 100 10 ; . . . = = 0 , 90 ; 0 , 67 ; 0 , 40 ; 0 , 20 ; 0 , 08 ; . . . ; 0 , 000045 ; . . . x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → ∞

Поскольку она тоже стремится к нулю, то f ( x ) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .

Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными – отрицательных.

Ответ: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , п р и x → + ∞ 0 , п р и x → — ∞ .

Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.

Число B является пределом функции f ( x ) слева при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются меньше a ( x n a ).

Такой предел на письме обозначается как lim x → a — 0 f ( x ) = B .

Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.

Число B является пределом функции f ( x ) справа при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются больше a ( x n > a ).

Этот предел мы записываем как lim x → a + 0 f ( x ) = B .

Мы можем найти предел функции f ( x ) в некоторой точке тогда, когда для нее существуют равные пределы с левой и правой стороны, т.е. lim x → a f ( x ) = lim x → a — 0 f ( x ) = lim x → a + 0 f ( x ) = B . В случае бесконечности обоих пределов предел функции в исходной точке также будет бесконечен.

Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.

Докажите, что существует конечный предел функции f ( x ) = 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 в точке x 0 = 2 и вычислите его значение.

Решение

Для того чтобы решить задачу, нам потребуется вспомнить определение предела функции в точке. Для начала докажем, что у исходной функции имеется предел слева. Запишем последовательность значений фукнции, которая будет сходиться к x 0 = 2 , если x n 2 :

f ( — 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1 ) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 , 667 ; 2 , 667 ; 0 , 167 ; — 0 , 958 ; — 1 , 489 ; — 1 , 747 ; — 1 , 874 ; . . . ; — 1 , 998 ; . . . → — 2

Поскольку приведенная последовательность сводится к — 2 , мы можем записать, что lim x → 2 — 0 1 6 x — 8 2 — 8 = — 2 .

Далее докажем наличие предела справа: запишем аргументы в последовательности, которая будет сходиться к x 0 = 2 , если x n > 2 :

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:

f ( 6 ) ; f ( 4 ) ; f ( 3 ) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024 ; . . . = = — 7 , 333 ; — 5 , 333 ; — 3 , 833 ; — 2 , 958 ; — 2 , 489 ; — 2 , 247 ; — 2 , 124 ; . . . , — 2 , 001 , . . . → — 2

Данная последовательность также сходится к — 2 , значит, lim x → 2 + 0 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Мы получили, что пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции f ( x ) = 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 в точке x 0 = 2 существует, и lim x → 2 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Вы можете увидеть ход решения на иллюстрации (зеленые точки– последовательность значений, сходящаяся к x n 2 , синие – к x n > 2 ).

Ответ: Пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции существует, и lim x → 2 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.

Источник

Вычисление пределов функций

Раскрытие неопределенностей.

При вычислении пределов часто встречается случай, когда требуется найти $\displaystyle \lim_\frac$, где $f$ и $g$ — бесконечно малые функции при $x\rightarrow a$, то есть $\displaystyle \lim_f(x)=\lim_g(x)=0$.

В этом случае вычисление предела называют раскрытием неопределенности вида $\displaystyle \frac<0><0>$. Чтобы найти такой предел, обычно преобразуют дробь $\displaystyle \frac$, выделяя в числителе и знаменателе множитель вида $(x-a)^$.

если в некоторой окрестности точки $x=a$ функции $f$ и $g$ представляются в виде
$$
f(x)=(x-a)^f_<1>(x),\quad g(x)=(x-a)^g_<1>(x),\nonumber
$$
где $k\in\mathbb$, а функции $f_<1>,\ g_<1>$ непрерывны в точке $a$, то
$$
\frac=\frac\ при\ x\neq a,\nonumber
$$
откуда следует, что $\displaystyle \lim_\frac=\frac$, если $g_<1>(a)\neq 0$.

Аналогично, если $f$ и $g$ — бесконечно большие функции при $x\rightarrow a$, то есть $\displaystyle \lim_f(x)=\infty$, $\displaystyle\lim_g(x)=\infty$, то говорят, что их частное $\displaystyle \frac$ и разность $f(x)-g(x)$ представляют собой при $x\rightarrow a$ неопределенности вида $\displaystyle \frac<\infty><\infty>$ и $\infty — \infty$ соответственно. Для раскрытия неопределенностей таких типов обычно преобразуют частное или разность так, чтобы к полученной функции были применимы свойства пределов.

Найти $\displaystyle \lim_F(x)$, если:

1. $\triangle$ Разложив числитель и знаменатель на множители, получим $F(x)=\displaystyle \frac<(2x+3)(x-1)><(x-1)(x^2+x-1)>$, откуда $\displaystyle \lim_F(x)=\lim_\frac<2x+3>+x-1>=5$.
2. Умножив числитель и знаменатель на функцию $\varphi(x)=\sqrt+5\sqrt$ и используя формулу $x^<3>-64=(x-4)\psi(x)$, где $\psi(x)=x^<2>+4x+16$, получим
  $$
  \lim_F(x)=\lim_\frac<(x-4)\psi(x)\varphi(x)>=\lim_\frac<-24><\psi(x)\varphi(x)>=-\frac<24><\varphi(4)\psi(4)>=-\frac<1><20>.\nonumber
  $$
3. Так как $F(x)=\displaystyle\frac<\sin>\frac<1-\cos>\frac<1><\cos>$, где $1-\cos=2\sin^2<\frac<2>>$, то, используя первый замечательный предел $\displaystyle \lim_\frac<\sin>=1$ и непрерывность косинуса, получаем
  $$
  \lim_F(x)=\lim_\frac<\sin>\left(\frac<\sin\left(<\displaystyle\frac x2>\right)><\displaystyle\frac x2>\right)^2\frac<1><2\cos>=\frac<1><2>.\nonumber
  $$
4. Преобразуем $F(x)$, умножив и разделив эту функцию на $\varphi=\sqrt+\sqrt$. Получим $F(x)=\displaystyle \frac<2x><\varphi(x)>$, откуда, разделив числитель и знаменатель на $x$, находим
  $$
  F(x)=\frac<2><\sqrt<1+\frac<1>+\frac<1>>>+\sqrt<1-\frac<1>+\frac<1>>>>.\nonumber
  $$
  Используя непрерывность функции $\sqrt$ при $t=1$, получаем
  $$
  \lim_F(x)=\frac<2><1+1>=1.\quad\blacktriangle\nonumber
  $$

Замена переменного при вычислении предела.

Если существуют
$$
\lim_\varphi(x)=b,\quad\lim_f(y)=A,\nonumber
$$
причем для всех $x$ из некоторой проколотой окрестности точки $a$ выполняется условие $\varphi(x)\neq b$, то в точке $a$ существует предел сложной функции $f(\varphi(x))$ и справедливо равенство
$$
\lim_f(\varphi(x))=\lim_f(y).\label
$$

$\circ$ Согласно определению предела функции $\varphi$ и $f$ определены соответственно в $\dot_\delta(a)$ и $\dot_\varepsilon(b)$, где $\delta>0,\ \varepsilon>0$, причем для $x\in\dot_\delta(a)$ выполняется условие $\varphi(x)\in\dot_<\varepsilon>(b)$. Поэтому на множестве $\dot_\delta(a)$ определена сложная функция $f(\varphi(x))$. Пусть $\\>$ — произвольная последовательность такая, что $\displaystyle \lim_x_=a$ и $x_\in\dot_\delta(a),\ n\in\mathbb$. Обозначим $y_=\varphi(x_n)$, тогда по определению предела функции $\displaystyle \lim_y_n=b$, где $y_\in\dot_<\varepsilon>(b)$. Так как существуют $\displaystyle \lim_f(y)=A$, то
$$
\lim_f(\varphi(x_))=\lim_f(y_)=A.\nonumber
$$
это означает, что $\displaystyle \lim_f(\varphi(x))=A$, то есть справедливо равенство \eqref. $\bullet$

$\triangle$ Пусть $y=\arcsin$; тогда $x=\sin$, и поэтому
$$
\frac<\arcsin>=\frac<\sin>,\nonumber
$$
причем $\\Leftrightarrow \$. Следовательно,
$$
\lim_\frac<\arcsin>=\lim_\frac<\sin>.\nonumber
$$
Используя первый замечательный предел $\displaystyle \lim_\frac<\sin>=1$ получаем соотношение \eqref.
Если $y=\operatornamex$, то $x=\operatornamey$, причем $\\Leftrightarrow\$. Так как
$$
\lim_\frac<\operatornamex>=\lim_\frac<\operatornamey>,\nonumber
$$
где
$$
\lim_\frac<\operatornamey>=\lim_\frac<\sin>\cos=1,\nonumber
$$
то справедливо утверждение \eqref. $\blacktriangle$

Второй замечательный предел.

Функция $\displaystyle \varphi(x)=\left(1+\frac<1>\right)^$ имеет при $x\rightarrow\infty$ предел, равный $e$, то есть
$$
\lim_\left(1+\frac<1>\right)^=e.\label
$$

$\circ$Докажем сначала теорему для случая, когда $x\rightarrow +\infty$. Ранее было доказано, что
$$
a_=\left(1+\frac<1>\right)^n\rightarrow e\;при\;n\rightarrow\infty.\label
$$

Обозначим
$$
y_n=\left(1+\frac<1>\right)^,\quad z_=\left(1+\frac<1>\right)^.\label
$$
Так как
$$
y_n=a_n\left(1+\frac<1>\right),\quad z_n=a_\left(1+\frac<1>\right)^<-1>,\label
$$
то из \eqref и \eqref следует, что
$$
\lim_y_n=\lim_z_n=e,\label
$$
а из \eqref, пользуясь определением предела, получаем, что
$$
\forall\varepsilon>0\ \exists N_<\varepsilon>:\ \forall n\geq N_<\varepsilon>\rightarrow y_n\in U_\varepsilon(e),\quad z_n\in U_\varepsilon(e)\label
$$
Пусть $x$ — произвольное вещественное число такое, что $x\geq N_<\epsilon>$, и пусть $n=[x]$. Тогда
$$
N_<\varepsilon>\leq n\leq x\; 0\ \exists N_<\varepsilon>:\ \forall x\geq N_<\varepsilon>\rightarrow e-\varepsilon Следствие

$\circ$ Для доказательства утверждения \eqref достаточно воспользоваться соотношением \eqref и теоремой 1. $\bullet$

$\circ$ Для доказательств утверждения \eqref следует воспользоваться равенством $(1+\alpha(x))^<1>>=[(1+\alpha(x))^<1>]^<<\alpha(x)>/<\beta(x)>>$ и соотношением \eqref. $\bullet$

$\triangle$ Так как $\displaystyle \left(\frac<3x^2+4><3x^2-5>\right)^=\frac<\left(1+\frac<4><3x^2>\right)^><\left(1-\frac<5><3x^2>\right)^>$, то, используя соотношение \eqref, находим, что искомый предел равен $e^<4>=e^3$. $\blacktriangle$

Некоторые важные пределы.

$\triangle$ Функция $y=a^x-1$ непрерывна и строго монотонна на $\mathbb$ (возрастает при $a>1$ и убывает при \(0 Пример 7.

$\triangle$ Рассмотрим функцию $y=(1+x)^<\alpha>-1=e^<\alpha\ln(1+x)>-1$. На множестве $(-1,+\infty)$ существует обратная к ней функция $x=x(y)$, причем $y\rightarrow 0$ при $x\rightarrow 0$. Из равенства $(1+x)^<\alpha>=1+y$ следует, что $\alpha\ln(1+x)=\ln(1+y)$. Поэтому $\displaystyle \frac<(1+x)^\alpha-1>=\frac=\frac<\ln(1+y)>\frac<\alpha\ln(1+x)>$, откуда, используя равенство \eqref, получаем соотношение \eqref. $\blacktriangle$

Сравнение функций.

Эквивалентные функции.

Если в некоторой проколотой окрестности точки $x_<0>$ определены функции $f,\;g,\;h$ такие, что
$$
f(x)=g(x)h(x),\quad \lim_h(x)=1,\label
$$
то функции $f$ и $g$ называют эквивалентными (асимптотически равными) при $x\rightarrow x_0$ и пишут
$$
f(x)\sim g(x)\;при\;x\rightarrow x_0,\nonumber
$$
или, короче, $f\sim g$ при $x\rightarrow x_0$.

$\sin x\sim x$ при $x\rightarrow x_0$, так как $\sin x=\displaystyle x\frac<\sin x>$, а $\displaystyle \lim_\frac<\sin x>=1$;
$\frac>+1>\sim x^2$ при $x\rightarrow \infty$, так как $\displaystyle \frac>+1>=x^2\frac$, а $\displaystyle \lim_\frac=\lim_\frac<1><1+\frac<1>>=1$.

Отметим, что функции $f$ и $g$, не имеющие нулей в проколотой окрестности точки $x_0$, эквивалентны при $x\rightarrow x_0$ тогда и только тогда, когда
$$
\lim_\frac=\lim_>\frac=1.\nonumber
$$

Понятие эквивалентности обычно используют в тех случаях, когда обе функции $f$ и $g$ являются либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при $x\rightarrow x_0$.

Можно составить следующее представление функций, эквивалентных при $x\rightarrow 0$:
\begin
\sin x\sim x\nonumber\\
\operatornamex\sim x\nonumber\\
\arcsin x\sim x\nonumber\\
\operatornamex\sim x\nonumber\\
e^-1\sim x\nonumber\\
\operatornamex\sim x\nonumber\\
\ln(1+x)\sim x\nonumber\\
(1+x)^<\alpha>-1\sim\alpha x\nonumber
\end

Эти соотношения остаются в силе при $x\rightarrow x_0$, если заменить в них $x$ на функцию $\alpha(x)$ такую, что $\alpha(x)\rightarrow 0$ при $x\rightarrow x_0$ Например,
\begin
\sin x^<2>\sim x^<2>\;при\;x\rightarrow 0,\nonumber\\
\operatorname(x-1)^3\sim (x-1)^3\;при\;x\rightarrow 1.\nonumber
\end

Доказать, что при $x\rightarrow 0$:

$\triangle$ Пользуясь тем, что $1-\cos x=2\displaystyle \sin^<2>\frac<2>$ и $\displaystyle \sin\frac<2>\sim\frac<2>$ при $x\rightarrow 0$, получаем $1-\cos x\sim\displaystyle\frac><2>$ при $x\rightarrow 0$.
Так как $\operatornamex-1=2\displaystyle\operatorname^<2>\frac<2>$ и $\operatorname\displaystyle \frac<2>\sim\frac<2>$ при $x\rightarrow 0$, то $\operatornamex-1\sim \displaystyle \frac><2>$ при $x\rightarrow 0$. $\blacktriangle$

Замена функций эквивалентными при вычислении пределов.

Если $f\sim f_1$ и $g\sim g_<1>$ при $x\rightarrow x_0$, то из существования предела функции $\displaystyle \frac$ при $x\rightarrow x_0$ следует существование предела функции $\displaystyle \frac$ при $x\rightarrow x_0$ и справедливость равенства
$$
\lim_>\frac=\lim_>\frac(x)>(x)>.\label
$$

$\circ$ По условию $f\sim f_<1>$ и $g\sim g_<1>$ при $x\rightarrow x_0$. Это означает, что $f(x)=f_1(x)h(x)$ и $g(x)=g_<1>(x)h_<1>(x)$, где $\displaystyle \lim_>h(x)=1$ и $\displaystyle \lim_>h_<1>(x)=1$.

Так как существует $\displaystyle \lim_>\frac(x)>(x)>$ и $h_<1>(x)\rightarrow 1$ при $x\rightarrow x_0$, то найдется такая проколотая окрестность точки $x_0$, в которой определены функции $f_<1>,g_<1>,h_<1>$ причем $g_<1>(x)\neq 0$ и $h_<1>(x)\neq 0$, откуда следует, что в этой окрестности определена функция $g(x)=g_<1>(x)h_<1>(x)$ такая, что $g(x)\neq 0$.

Следовательно, в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$ определена функция $\displaystyle \frac$ и
$$
\frac=\frac\frac.\nonumber
$$
Так как существует $\displaystyle \lim_>\frac(x)>(x)>$, а $\displaystyle \lim_>h(x)=1,\;\lim_>h_<1>(x)=1$, то существует $\displaystyle \lim_>\frac$ и справедливо равенство \eqref. $\bullet$

$\triangle$ Так как $\arcsin x\sim x$, $e^-1\sim x$, $\cos x-\cos3x=2\sin x\sin 2x$, $\sin x\sim x$, $\sin 2x\sim 2x$, то $\arcsin x(e^-1)\sim x^2$, $\cos x-\cos 3x\sim 4x^2$ при $x\rightarrow 0$. Отсюда по теореме 3 следует, что искомый предел равен 1/4. $\blacktriangle$

Понятие бесконечно малой функции по сравнению с другой.

Если в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$ определены функции $f,\ g,\ \alpha$ такие, что
$$
f(x)=g(x)\alpha(x),\quad\lim_>\alpha(x)=0,\label
$$
то функцию $f$ называют бесконечно малой по сравнению с функцией $g$ при $x\rightarrow x_0$ и пишут
$$
f(x)=o(g(x)),\quad x\rightarrow x_<0>,\label
$$
или, короче, $f=o(g),\ x\rightarrow x_0$.

Эта запись читается так: «$f$ есть о малое от $g$ при $x$ стремящемся к $x_0$». В частности, запись $f(x)=o(1),\;x\rightarrow x_0$, означает, что $f(x)$ является бесконечно малой функцией при $x\rightarrow x_0$. Если $g(x)\neq 0$ в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$, то соотношение \eqref можно записать в виде
$$
\lim_>\frac=0\nonumber
$$
или в виде
$$
\lim_>\frac=0.\nonumber
$$

Следует иметь в виду, что функции $f$ и $g$, о которых идет речь в записи \eqref, не обязательно являются бесконечно малыми при $x\rightarrow x_0$. Например, если $x\rightarrow\infty$, то $x^2=o(x^4)$, а функции $x^2$ и $x^4$ являются бесконечно большими при $x\rightarrow\infty$.

В случае когда функция $g$ в записи \eqref является бесконечно малой, говорят, что при $x\rightarrow x_0$ функция $f$ — бесконечно малая более высокого порядка, чем $g$. Например, при $x\rightarrow 0$ функции $\displaystyle x^2,\ \cos x\operatorname^<2>x,\ \operatorname^<3>x\sin\frac<1>$ — бесконечно малые более высокого порядка чем $x$. Поэтому справедливы равенства
$$
x^2=o(x),\;\cos x\operatorname^2x=o(x),\;\operatorname^<3>x\sin\frac<1>=o(x),\quad x\rightarrow 0.\nonumber
$$

Символ $o(x)$ в этих равенствах служит для обозначения множества или, как принято говорить, класса функций, бесконечно малых более высокого порядка, чем $x$ при $x\rightarrow 0$. Поэтому правильнее было бы вместо, например, равенства $x^<2>=o(x),\ x\rightarrow 0$ писать $x^<2>\in o(x),\ x\rightarrow 0$. Однако вторая запись неудобна для применения при выполнении операций над функциями.

Из сказанного следует, что равенство вида \eqref не является равенством в обычном смысле. Такое равенство в соответствии с определением записи \eqref следует читать только слева направо, поскольку правая часть обозначает класс функций, бесконечно малых по сравнению c $g(x)$ при $x\rightarrow x_0$, а $f(x)$ — какая-либо функция этого класса.

Отметим некоторые важные свойства символа $o(g)$: считая, что $x\rightarrow x_0$, а равенства, содержащие этот символ, читаются слева направо (здесь C — постоянная):

$o(Cg)=o(g)$
$Co(g)=o(g)$
$o(g)+o(g)=o(g)$
$o(o(g))=o(g)$
$o(g+o(g))=o(g)$
$o(g^)o(g^)=o(g^),\ n\in\mathbb,\quad m\in\mathbb$
$g^o(g)=o(g^),\ n\in\mathbb$
$(o(g))^=o(g^),\ n\in\mathbb$
$\displaystyle\frac)>=o(g^),\ n\in\mathbb,\ g\neq 0\ в\ \dot_<\delta>(x_<0>)$

Докажем первое из этих свойств.

$\circ$ Надо показать, что любая функция, принадлежащая классу функций $o(Cg)$, принадлежит и классу функций $o(g)$, то есть если $f=o(Cg)$, то $f=o(g),\;x\rightarrow x_0$.

По определению запись $f=o(Cg)$ означает, что $f(x)=Cg(x)\alpha(x)$, где $\alpha(x)\rightarrow 0$ при $x\rightarrow x_0$. Но тогда
$$
f(x)=g(x)C\alpha(x)=g(x)=\alpha_1(x),\nonumber
$$
где $\alpha_1(x)\rightarrow 0$ при $x\rightarrow x_0$, то есть $f=o(g),\;x\rightarrow x_0$. $\bullet$

Наряду с символом $o(g)$ в математике употребляют символ $O(g)$.

Запись
$$
f(x)=O(g(x)),\quad x\rightarrow x_0,\label
$$
означает, что в некоторой проколотой окрестности $\dot_\delta(x_0)$ точки $x_0$ определены функции $f,g,\varphi$ такие, что
$$
f(x)=g(x)\varphi(x),\label
$$
где, $\varphi(x)$ — функция, ограниченная на $\dot_<\delta>(x_<0>)$, то есть
$$
\exists C>0:\forall x\in\dot_<\delta>(x_<0>)\rightarrow|\varphi(x)|\leq C.\nonumber
$$

Соотношение \eqref читается так: «$f(x)$ есть О большое от $g(x)$ при $x$, стремящемся к $x_<0>$».

Например,
\begin
x^<2>+2x^<3>=O(x^<2>),\;x\rightarrow 0;\nonumber\\
x^<2>+2x^<3>=O(x^<3>),\;x\rightarrow\infty.\nonumber
\end
Аналогично запись
$$
f(x)=O(g(x)),\quad x\in E,\nonumber
$$
означает, что на множестве $E$ справедливо равенство \eqref, где $\varphi$ — функция, ограниченная на множестве. Отсюда следует, что
$$
|f(x)|\leq C|g(x)|,\quad x\in E.\nonumber
$$
В частности, если $f(x)=O(1),\ x\in E$, то функция $f$ ограничена на множестве $E$. Например, можно записать, что $\cos x^<2>=O(1),\;x\in\mathbb$

Критерий эквивалентности функций.

Для того чтобы функции $f(x)$ и $g(x)$ были эквивалентными при $x\rightarrow x_<0>$, необходимо и достаточно, чтобы
$$
f(x)=g(x)+o(g(x)),\quad x\rightarrow x_<0>.\label
$$

$\circ$ Пусть $f\sim g$ при $x\rightarrow x_<0>$; тогда выполняются условия \eqref, м поэтому $f(x)-g(x)=g(x)(h(x)-1)=g(x)\alpha(x)$, где $\alpha(x)=h(x)-1\rightarrow 0$ при $x\rightarrow x_<0>$. Отсюда по определению символа $o(g)$ следует, что $f-g=o(g),\;x\rightarrow x_<0>$, то есть справедливо равенство \eqref.

Обратно: из равенства \eqref следует, что $f\sim g$ при $x\rightarrow x_<0>$. Действительно, если выполняется равенство \eqref, то $f(x)=g(x)+g(x)\alpha(x)$, где $\alpha(x)\rightarrow 0$ при $x\rightarrow x_<0>$, откуда $f(x)=g(x)h(x)$, где $h(x)=1+\alpha(x)\rightarrow 1$ при $x\rightarrow x_<0>$, то есть $f(x)\sim g(x)$ при $x\rightarrow x_<0>$. $\bullet$

Данная теорема позволяет приведенную выше таблицу эквивалентных функций записать в виде
\begin
\sin x=x+o(x),\quad x\rightarrow 0\nonumber\\
\operatornamex=x+o(x),\quad x\rightarrow 0\nonumber\\
\arcsin x=x+o(x),\quad x\rightarrow 0\nonumber\\
\operatornamex=x+o(x),\quad x\rightarrow 0\nonumber\\
e^-1=x+o(x),\quad x\rightarrow 0\nonumber\\
\operatornamex=x+o(x),\quad x\rightarrow 0\nonumber\\
\ln(1+x)=x+o(x),\quad x\rightarrow 0\nonumber\\
(1+x)^<\alpha>-1=\alpha x+o(x),\quad x\rightarrow 0\nonumber
\end

С помощью этой таблицы можно вычислять пределы функций.

$\triangle$ Так как $e^-1=x+o(x)$, $\displaystyle \sqrt[3]<1+x>-1=\frac<1><3>x+o(x)$, $\operatornamex=x+o(x)$, $\arcsin x=x+o(x)$, то
$$
e^-\sqrt[3]<1+x>=\frac<2><3>x+o(x),\nonumber
$$
$$
2\operatornamex-\arcsin x=x+o(x)\;при\;x\rightarrow 0.\nonumber
$$
Поэтому
$$
\frac-\sqrt[3]<1+x>><2\operatornamex-\arcsin x>=\frac<\frac<2><3>x+o(x)>=\frac<\frac<2><3>+\frac><1+\frac>,\nonumber
$$
где $\displaystyle \frac=o(1)\rightarrow 0$ при $x\rightarrow 0$. Следовательно, искомый предел равен $\displaystyle \frac<2><3>.\quad\blacktriangle$

Источник