Основные способы установления корреляционной зависимости между признаками

Основные формы корреляционной связи между признаками

Выявлению формы связи между признаками предшествует определение причинной зависимости между ними. Это наиболее важный и ответственный момент для правильного использования корреляционного метода. По каждому изучаемому явлению предварительно необходимо установить, какие логические причины лежат в основе связи между признаками-факторами и признаками-результатами.

Выявление формы связи между признаками сводится к выбору математического уравнения, которое могло бы наиболее полно и точно отразить характер взаимосвязи между изучаемыми признаками. Любая форма корреляционной связи между признаками, выступая как внешнее проявление причинно-следственной зависимости в экономических явлениях, естественно, отражает и общий характер внутреннего содержания этой взаимосвязи. Поэтому установление формы связи между признаками –– важный этап изучения корреляционной зависимости.

Влияние одного или нескольких факторов на результативный признак приводит к формированию различных по содержанию и форме корреляционных зависимостей. В экономических явлениях могут иметь место самые разнообразные формы корреляционной связи, так как с возрастанием факторного признака возможно не только более-менее равномерное увеличение или убывание признака-результата, но и неравномерное, непропорциональное его изменение. В связи с этим различают близкую к прямолинейной и криволинейную формы простой (парной) корреляционной связи.

Для ориентировочного выявления эмпирической формы корреляционной зависимости могут применяться различные статистические приемы, среди которых наиболее распространенный, наглядный и доступный – графический способ. На координатной диаграмме, где по оси абсцисс откладывают значения признака-фактора, а по оси ординат – значения признака-результата, изображают поле корреляции (рис.11.1), которое представляет собой совокупность точек, размещенных на плоскости в системе координат.

Рис. 11.1. Поле корреляции, характеризующее взаимосвязь годовой производительности и оплаты труда в организациях АПК

Эмпирическую форму корреляционной связи обычно выявляют по направленности основной массы точек, сосредоточенных в поле корреляции. Наглядным естественным примером корреляционного поля может служить Млечный путь, где наблюдается повышенная концентрация звезд. Вытянутость этого пути с востока на запад указывает на форму, близкую к прямолинейной.

Прямолинейная простая (парная) корреляционная зависимость характеризуется возрастанием или убыванием на более-менее определенную величину результативных признаков при непрерывном возрастании факторных признаков. При прямой, близкой к прямолинейной, корреляционной связи увеличение фактора сопровождается повышением результата, при обратной – рост факторного признака вызывает снижение результативного. Графическое изображение прямой и обратной корреляционной связи показано на рис.11.2 и 11.3.

Рис. 11.2. Взаимосвязь валового сбора и посевной площади картофеля в крестьянских (фермерских) хозяйствах (корреляционная прямая зависимость)

Рис. 11.3. Взаимосвязь урожайности и продолжительности уборки зерновых культур в сельскохозяйственных организациях (корреляционная обратная зависимость)

Основная масса точек на этих рисунках ограничена прямоугольниками и проведены эмпирические прямые линии регрессии, предназначенные для лучшего понимания не только формы, но и содержания прямолинейной (прямой и обратной) корреляционной зависимости. На рис.11.2 наглядно видно, что рост фактора вызывает почти прямолинейное повышение результата, а на рис.11.3 –– увеличение факторного признака сопровождается близким к прямолинейному снижением результативного признака.

Криволинейные парные корреляционные связи в экономических явлениях могут выражаться в разнообразные формах: гиперболической, параболической, экспоненциальной, синусоидальной и т.д. Для наглядного представления о некоторых формах корреляционной зависимости приведено их графическое изображение (рис. 11.4 – 11.6).

Рис. 11.4. Взаимосвязь трудоёмкости и урожайности сахарной свеклы в сельскохозяйственных организациях (корреляционная гиперболическая зависимость)

Рис. 11.5. Взаимосвязь годового удоя и числа лактаций коров в сельскохозяйственных организациях (корреляционная параболическая зависимость)

Рис. 11.6. Взаимосвязь коммерческих цен и темпов роста инфляции

(корреляционная экспоненциальная зависимость)

На рис. 11.4 видно, это рост признака-фактора на начальной стадии приводит к резкому падению, а в дальнейшем – замедленному снижению признака-результата. Это характерная особенность гиперболической формы корреляционной связи. В отличие от предыдущей формы зависимости, на рис. 11.5 показана более сложная, параболическая корреляционная связь, где изменение результативного признака можно условно разделить на три стадии: на начальной наблюдается довольно быстрое повышение, далее признак-результат достигает апогея и, наконец, этот же признак претерпевает существенный спад.

Выявление и установление формы корреляционной зависимости –– одна из важнейших задач корреляционно-регрессионного метода. Во-первых, значение конкретной формы связи способствует поиску наиболее точного способа измерения тесноты связи между факторным и результативным признаками; во-вторых, это облегчает выбор корреляционного уравнения регрессии, которое в наибольшей мере соответствует содержанию и характеру корреляционной зависимости.

Множественная корреляция, т.е. статистическая зависимость результативного признака от нескольких признаков-факторов, по форме не отличается от парной корреляционной связи. Вместе с тем выявление формы множественной связи в значительной мере затруднено. Поэтому решению множественного корреляционного комплекса обычно предшествует разработка соответствующих вопросов по однофакторным корреляционным моделям.

Источник

Способы изучения корреляционных взаимосвязей

Корреляционная (стохастическая) связь – это неполная, вероятностная зависимость между показателями, которая проявляется только в массе наблюдений. Различают парную и множественную корреляцию.

Парная корреляция – это связь между двумя показателями, один из которых является факторным, а другой результативным. Множественная корреляция возникает от взаимодействия нескольких факторов с результативным показателем.

Для изучения стохастических соотношений используются следующие способы экономического анализа: сравнение параллельных и динамических рядов, аналитические группировки, графики. Однако они позволяют выявить только общий характер и направление связи. Для определения степени влияния каждого фактора на уровень результативного показателя применяются способы корреляционного, дисперсионного, компонентного, современного многомерного факторного анализа и т. д.

Наиболее широкое применение в экономических исследованиях нашли приемы корреляционного и регрессионного анализа, которые позволяют количественно выразить взаимосвязь между показателями.

Регрессионный анализ предназначен для выбора формы связей, типа модели, определения расчетных значений зависимой переменной (результирующего признака).

Применение корреляционного анализа позволяет решить следующие задачи:

1. Определить изменение результативного показателя под воздействием одного или нескольких факторов (в абсолютном измерении), т. е. выяснить, на сколько единиц изменяется величина результативного показателя при изменении факторного на единицу.

2. Установить относительную степень зависимости результативного показателя от каждого фактора.

Необходимые условия применения корреляционного анализа:

1. Наличие достаточно большого количества наблюдений о величине исследуемых факторных и результативных показателей (в динамике или за текущий год по совокупности однородных объектов).
2. Исследуемые факторы должны иметь количественное измерение и отражение в тех или иных источниках информации.

При использовании способов парной корреляции связь между корреляционным фактором и результативным показателем характеризуется прежде всего коэффициентом корреляции, который может изменяться от нуля до единицы. Чем ближе он к единице, тем более тесная связь между анализируемыми показателями. Коэффициент корреляции с плюсом указывает на прямую связь, с минусом – на обратную:

где р – число наблюдений; у – результативный показатель; x – факторный показатель.

Далее корреляционый анализ дополняется регрессионным анализом. Зависимость исследуемого показателя от одного фактора в простейшем виде можно представить формулой у = а + bx. Для определения параметров (а и b) этого уравнения используется метод наименьших квадратов, решается такая система уравнений:

Размер влияния фактора на результат оценивается по параметру b (коэффициент регрессии), что показывает, на сколько единиц изменяется хозяйственный результат при изменении размера фактора на единицу.

При измерении тесноты связи при криволинейной зависимости используется универсальное корреляционное отношение:

Множественный корреляционный анализ более сложен, он состоит из нескольких этапов:

1. Определение наиболее существенных факторов.
2. Сбор и оценка исходной информации.
3. Изучение характера и моделирование связи между факторами и результативным показателем (подбор математического уравнения, наиболее точно выражающего сущность связи).
4. Расчет показателей связи.
5. Статистическая оценка результатов корреляционного анализа.

Источник

Корреляция — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Понятие о корреляции:

Марксистская философия учит, что каждое явление природы и общества не возникает само по себе, отдельно от других, а находится в связи с другими явлениями, причем каждое из них представляет собой единство составляющих его частей и свойств. Для того чтобы познать какое-либо явление, необходимо изучить его не только во всех сложных взаимоотношениях с окружающими явлениями-факторами, но также во взаимосвязи всех его сторон.

Если всеобщая связь и взаимозависимость явлений составляют один из наиболее общих законов, то основной задачей науки является изучение этой взаимосвязи.

В математической статистике взаимосвязь явлений изучается методом корреляции. Термин корреляция происходит от английского слова correlation — соотношение, соответствие. Особенность изучения связи явлений методом корреляции состоит в том, что нельзя изолировать влияние посторонних факторов либо потому, что эти факторы неизвестны, либо потому, что их изоляция невозможна. Поэтому метод корреляции применяется для того, чтобы при сложном взаимодействии посторонних влияний выяснить, какова была бы зависимость между результатом фактором, если бы посторонние факторы не изменялись и своим изменением не искажали основную зависимость. При этом небольшое число наблюдений не дает возможности обнаружить закономерность связи.

Первая задача корреляции заключается в выявлении на основе наблюдения над большим количеством фактов того, как изменяется в среднем результативный признак в связи с изменением данного фактора. Это изменение предполагает условие неизменности ряда других факторов, хотя искажающее влияние этих других факторов на самом деле имеет место. Вторая задача заключается в определении степени влияния искажающих факторов.

Первая задача решается нахождением уравнения связи.

Вторая задача решается при помощи различных показателей тесноты связи.

Такими показателями являются меры тесноты связи, найденные разными исследователями, а также коэффициент корреляции и корреляционное отношение.

Результативный и факториальный признаки

При изучении влияния одних признаков явлений на другие из цепи признаков, характеризующих данное явление, выделяются два признака — факториальный и результативный. Необходимо установить, какой из признаков является факториальным и какой результативным. В этом помогает прежде всего логический анализ.

Пример. Себестоимость промышленной продукции отдельного предприятия зависит от многих факторов, в том числе от объема продукции на данном предприятии. Себестоимость продукции выступает в этом случае как результативный признак, а объем продукции — как факториальный.

Другой пример. Чтобы судить о преимуществах крупных предприятий перед мелкими, рассмотрим, как увеличивается производительность труда рабочих крупных предприятий, и выявим зависимость производительности труда от увеличения размеров предприятия.

Таблица!

Группировка магазинов Министерства торговли по числу рабочих мест на 1 января 1960 г.1

Группы магазинов по числу рабочих мест Число магазинов Товарооборот в расчете на одного работника за квартал (в тыс. руб.)

Всего 68 375 117

Из них

с числом рабочих мест:

• с 1 19 893 109
• с 2 18 030 108
• с 3—4 16 508 108
• с 5—7 8 321 111
• с 8—10 2 868 118
• с 11 — 15 1 559 122
• с 16 и более 1 196 139
• J

Группировка показывает прямую зависимость производительности труда торговых работников, выражающуюся в товарообороте, приходящегося на одного работника, от размера магазина. Признак группировки — число рабочих мест — является факториальным, товарооборот — результативным признаком.

От размеров производства зависит также производительность оборудования, о чем свидетельствует следующая таблица:

Из таблицы ясно видна связь между размерами печей и их производительностью. Эта связь прямая: чем крупнее печь, тем она производительнее.

Однако зависимость результативного признака (суточного съема стали) от факториального носит не обязательный характер. Если в общей массе мы наблюдаем эту связь, то в отдельных группах бывают и отступления от общей закономерности. Такие отступления—характерная особенность статистической связи вообще, о которой будет рассказано ниже.

Группировки позволяют выявить и зависимость нескольких результативных признаков от одного факториального. Рассмотрим табл. 3.

В этой таблице мы видим зависимость двух результативных признаков: товарооборота на одного работника и товарных запасов—от размеров магазинов. Зависимость товарооборота от размеров магазина прямая, а зависимость товарных остатков от размеров магазина — обратная. В первом случае она растет с ростом размеров магазина, во втором уменьшается. Однако то и другое благоприятно.

Графическое изображение связи

Графическое изображение изучаемых явлений позволяет не только установить наличие или отсутствие связи между ними, но и изучить характер этой связи, иначе говоря изучить форму связи и ее тесноту.

Имея перед собой числовые характеристики факториального и результативного признаков одного и того же явления, можно каждую пару чисел изобразить в виде точки на плоскости. Для этого на плоскости берем две взаимно перпендикулярные линии и образуем систему координат. В этой системе по оси абсцисс откладываем значения факториального признака, а по оси ординат— значения результативного признака. Каждая пара чисел дает при этом точку на плоскости координатного поля.

Возьмем, например, группировку магазинов по числу рабочих мест, данную на стр. 239, и будем откладывать число рабочих мест по горизонтальной оси (оси Ох), а товарооборот в расчете на одного работника — по вертикальной оси (оси Оу). Будем иметь ряд точек, соединив которые получим ломаную линию, которая называется ломаной регрессии (см. график 1).

Как видно из графика, с ростом числа рабочих мест в магазине растет и товарооборот, приходящийся на одного работника, что говорит о связи между этими признаками, причем связи прямой. График подчеркивает эту зависимость ходом ломаной линии из нижнего угла в верхний правый угол.

Такого же рода зависимость будем наблюдать на графике 2, изучая связь между величиной мартеновских печей по площади пода и среднесуточным съемом стали с 1 пода. Как и в предыдущем примере, факториальный признак — величину площади пода — будем откладывать на оси абсцисс, а результативный — среднесуточный съем стали с 1 пода — на оси ординат.

Здесь также ясно выраженная прямая зависимость между результативным и факториальным признаками.

По-другому будет выглядеть график зависимости товарных запасов от размера товарооборота магазина.

Здесь мы наблюдаем ярко выраженную обратную связь между признаками: падение товарных запасов сопровождается ростом размера магазина по товарообороту.

Графический метод наглядно иллюстрирует зависимость, выявленную группировкой. Недостаток графического метода изучения связи заключается в том, что он позволяет выявить связь лишь между двумя признаками.

Функциональные и статистические связи

До сих пор говорилось о связях между явлениями и их признаками без объяснения формы и степени этих связей. В приведенных примерах связи носят логически обоснованный характер, но числовое выражение этих связей говорит о том, что они проявляются не всегда одинаково. В определенных случаях имеются отступления от наблюдаемых общих закономерностей. В приведенной на стр. 240 таблице о среднесуточном съеме стали с 1 пода печи наблюдается зависимость съема стали от размера печи по площади пода, но эта зависимость за 1955 г. искажена показателями 5-й группы, где съем стали значительно ниже, чем в 4-й группе. Если бы рассматривалась при этом каждая печь в отдельности, то это несоответствие установленному правилу зависимости проявлялось бы неоднократно. Но средние величины съема стали, вычисленные на основании данных довольно большого числа печей в группе, говорят о явно выраженной зависимости. Связи между явлениями, или их признаками. проявляющиеся в изменении в зависимости от одного признака характеристик распределения (из которых главная — средняя) другого признака, называются связями статистическими.

Статистические связи характеризуются тем, что в них результативный признак не полностью определяется влиянием признака факториального. Это влияние проявляется лишь в среднем, а в отдельных случаях получаются результаты, даже противоречащие установленной связи.

В отличие от статистических связей связи функциональные характеризуются тем, что при таких связях факториальный признак полностью определяет величину результативного признака.

Функциональные связи почти не встречаются в явлениях общественной жизни, отличающихся сложностью и многообразием существующих и проявляющихся взаимосвязей. Но во многих явлениях в основе статистических связей лежат функциональные связи. Связь функциональная может показывать зависимость между результативным признаком и несколькими аргументами. Так, площадь прямоугольника зависит от длины его двух сторон, путь, проходимый телом, зависит от скорости его движения и времени движения и т. д.

Уравнение связи

Наблюдая статистическую связь между двумя признаками, математическая статистика стремится придать этой связи форму функциональной, т. е. связи, выражаемой при помощи математической функции.

На помощь приходит ее графическое изображение при отыскании нужной функции связи. При этом необходимо стремиться найти такую функцию, которая давала бы наименьшее отклонение от полученных при наблюдении значений их признаков, которая выражала бы основную зависимость, проявляющуюся в эмпирическом материале. Уравнение этой функции будет уравнением связи между результативным и факториальным признаками.

Уравнение связи находится с помощью способа наименьших квадратов, который требует, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений от значений, получаемых на основании уравнения связи, была минимальной.

Применение способа наименьших квадратов позволяет находить параметры уравнения связи при помощи решения системы так называемых нормальных уравнений, различных для связи каждого вида.

Чтобы отметить, что зависимость между двумя признаками выражается в среднем, значения результативного признака, найденные по уравнению связи, обозначаются

Зная уравнение связи, можно вычислить заранее среднее значение результативного признака, когда значение факториального признака известно. Таким образом, уравнение связи является методом обобщения наблюдаемых статистических связей, методом их изучения.

Применение той или иной функции в качестве уравнения связи разграничивает связи по их форме: линейную связь и криволинейную связь (параболическую, гиперболическую и др.).

Рассмотрим уравнения связи для зависимостей от одного признака при разных формах связи (линейной, криволинейной параболической, гиперболической) и для множественной связи.

Линейная зависимость

Уравнение связи как уравнение прямой применяется в случае равномерного нарастания результативного признака с увеличением признака факториального. Такая зависимость будет зависимостью линейной (прямолинейной).

Параметры уравнения прямой линии находятся путем решения системы нормальных уравнений, получаемых по способу наименьших квадратов:

где n — число полученных при наблюдении пар взаимосвязанных величин; — сумма значений факториального признака;

— сумма квадратов значений факториального признака;

— сумма значений результативного признака; — сумма произведений значений факториального признака на значения результативного признака.

Примером расчета параметров уравнения и средних значений результативного признака может служить следующая таблица, являющаяся результатом группировки по факториальному признаку и подсчета средних по результативному признаку.

Группировка предприятий по стоимости основных средств и подсчет сумм необходимы для уравнения связи.

Из таблицы находим: 132,0. Строим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Поделив каждый член в обоих уравнениях на коэффициенты при получим:

Вычтем из второго уравнения первое: Подставив значения в первое уравнение найдем

Уравнение связи примет вид: Подставив в это уравнение соответствующие х, получим значения результативного признака, отражающие среднюю зависимость у от х в виде корреляционной зависимости.

Заметим, что суммы, исчисленные по уравнению и фактические, равны между собой. Изображение фактических и вычисленных значений на графике 4 показывает, что уравнение связи отображает наблюденную зависимость в среднем.

Параболическая зависимость

Параболическая зависимость, выражаемая уравнением параболы 2-го порядка имеет место при ускоренном возрастании или убывании результативного признака в сочетании с равномерным возрастанием факториального признака.

Параметры уравнения параболы вычисляются путем решения системы 3 нормальных уравнений:

Возьмем для примера зависимость месячного выпуска продукции (у) от величины стоимости основных средств (х). Оба показателя округлены до миллионов рублей. Расчеты необходимых сумм приведем в таблице 5.

По данным таблицы, составляем систему уравнений:

После деления всех уравнений на коэффициенты при получим:

Вычтя из второго уравнения первое и из третьего второе, получим два новых уравнения с двумя неизвестными:

Полученные уравнения снова разделим на коэффициенты при

Следовательно,

Запишем уравнение параболы, выражающей связь между х и у.

Графическое сопоставление опытных данных и данных расчета (см. график 5) показывает почти полное совпадение хода обеих линий, что говорит о хорошем воспроизведении опытных данных расчетными средними значениями результативного признака.

В практике изучения связи между признаками, кроме параболы 2-го порядка, применяются параболы и более высоких порядков. Чем выше порядок параболы, тем точнее он воспроизводит опытные данные.

Если уравнение связи представляет собой параболу 3-го порядка то система нормальных уравнений примет вид:

Имея соответствующие хну, можем составить Дополнительную расчетную таблицу по следующей схеме:

которая используется для нахождения нужных сумм. Решив систему 4 уравнений, найдем параметры и, следовательно, уравнение связи.

Уравнение гиперболы

Обратная связь указывает на убывание результативного признака при возрастании факториального. Такова линейная связь при отрицательном значении В ряде других случаев обратная связь может быть выражена уравнением гиперболы

Параметры уравнения гиперболы находятся из системы нормальных уравнений:

где — сумма величин, обратных значениям факториального признака, а — сумма их квадратов.

Примером расчета обратной связи по гиперболе может служить следующая таблица:

Составив по данным таблицы систему уравнений и разделив каждый член обоих уравнений на коэффициенты при а, получим:

Находим вычитанием из второго уравнения первого величину

Подставив вместо его значение, получим

Запишем уравнение связи в общем виде затем, подставив каждое значение х в уравнение, находим по любой строке таблицы. Строим ломаную по парам х и у и кривую по х и . Ломаная и кривая очень близки друг к другу.

Корреляционная таблица

При большом объеме наблюдений, когда число взаимосвязанных пар велико, парные данные легко могут быть расположены в корреляционной таблице, являющейся наиболее удобной формой представления значительного количества пар чисел.

В корреляционной таблице один признак располагается в строках, а другой — в колонка таблицы. Число, расположенное в клетке на пересечении графы и колонки, показывает, как часто встречается данное значение результативного признака в сочетании с данным значением факториального признака.

Для простоты расчета возьмем небольшое число наблюдений на 20 предприятиях за средней месячной выработкой продукции на одного рабочего (тыс. руб. — у) и за стоимостью основных производственных средств (млн. руб. — х).

В обычной парной таблице эти сведения располагаются так:

Сведем эти данные в корреляционную таблицу.

Итоги строк у показывают частоту признака итоги граф х — частоту признака Числа, стоящие в клетках корреляционной таблицы, являются частотами, относящимися к обоим признакам и обозначаются

Корреляционная таблица даже при поверхностном знакомстве дает общее представление о прямой и обратной связи. Если частоты расположены по диагонали вниз направо, то связь между признаками прямая (при увеличивающихся значениях признака в строках и графах). Если же частоты расположены по диагонали вверх направо, то связь обратная.

Для предварительного суждения о связи по корреляционной таблице можно для каждого столбца рассчитать средние значения Так, в первом столбце х = 9,9, а имеет лишь одно значение, равное 0,8. Найдем среднее значение для второго столбца. Оно будет равно:

Следовательно, при Выпишем все значения х и соответствующие им

Зависимость, выраженная в таблице, более ярко и убедительно выступит в «ломаной регрессии», когда каждую пару чисел нанесем на график (см. график 7).

По корреляционной таблице можно вести расчеты параметров уравнения связи, как уравнения прямой, так и уравнений параболы и гиперболы. При этом необходимо учитывать, что сочетание каждой пары значений может встречаться не один, а несколько раз. Сами значения хну необходимо взвешивать, т. е. умножать на соответствующие частоты. Для самого признака х частота будет обозначаться для признака Частоту сочетаний обозначим

Ввиду сказанного мы можем систему нормальных уравнений написать так, чтобы были учтены веса. Тогда для линейной зависимости система нормальных уравнений примет вид:

где N — число произведенных наблюдений (число пар). В приведенной корреляционной таблице N = 20. будет суммой произведений соответствующих х на их частоты. В данной таблице эта сумма составит:

9,9 +10,0 • 4 +10,1 • 4 + 10,2 • 4 +10,3 • 1 +10,4 • 3 +10,5 • 3 = 204.

—сумма произведений у на соответствующие частоты. В нашем примере она равна:

включает сумму произведений всех х на у и на для тех клеток корреляционной таблицы, в которых записаны частоты. Рассчитаем суммы произведений для 1-й и 2-й строки

• Для 1 -и строки:
• Для 2-й строки:

Нетрудно заметить, что в каждой строке у повторяется столько раз, сколько раз мы его суммируем, а, следовательно, у можно вынести за скобку.

• Для 1-й строки: 0,8 (9,9 • 1 +10,0 • 2) =23,92.
• Для 2-й строки:

Следовательно, сумма произведений может быть записана при постоянном у, как Заметим, что сумма произведений может быть записана и рассчитана как произведение

Продолжим расчет для последующих строк.

• Для 3-й строки
• Для 4-й строки
• Для 5-й строки
• Для 6-й строки

Общая сумма по всем строкам

Система нормальных уравнений может быть записана по результатам подсчета в таком виде:

Для расчета параметров уравнения линейной связи делим каждое из уравнений на коэффициенты при

Уравнение связи определяет среднюю зависимость выработки рабочего от стоимости основных средств. Вычислительная работа облегчается, если в самой корреляционной таблице путем записи дополнительных граф и строк производить нужные подсчеты для решения системы уравнений.

Число наблюдений N может быть подсчитано и по столбцу как его сумма. Она равна итогу по строке Для определения необходимо ввести новую строку Итог этой строки и дает искомую сумму.

Следующая дополнительная строка представляет возможность определить Далее, и может быть определена на основе расчета двух дополнительных граф:

В корреляционной таблице (см. табл. 8) в последних строках дается расчет для построения ломаной регрессии — для построения прямой (см. график 7).

Корреляционная таблица позволяет вычислять уравнение связи для любой формы: прямой, параболы, гиперболы и др. Однако в подобной таблице видна зависимость результативного признака лишь от одного факториального.

Зависимость результативного признака от двух или более факториальных признаков носит название множественной связи.

Множественная связь

Исследование зависимости результативного признака от двух или нескольких факториальных признаков возможно при помощи уравнения множественной связи.

В простейшем уравнении множественной связи предполагается, что зависимость между признаками линейная. Сначала рассмотрим линейную зависимость результативного признака (у) от двух факториальных (х, z). Уравнение связи в этом случае выразится формулой Параметры этого уравнения находятся при решении системы нормальных уравнений, получаемых для способа наименьших квадратов

где п — число одновременных наблюдений по трем признакам;

—суммы соответствующих значений по этим признакам.

Все расчеты удобно сосредоточить в специальной таблице, как это делается в приводимом ниже примере.

Рассмотрим зависимость средней урожайности ячменя (у) на равных участках от количества внесенных минеральных удобрений (х) и количества выпавших в период цветения осадков (z).

Средняя урожайность исчислялась по участкам с равным количеством внесенных удобрений и с равным количеством выпавших осадков.

Пользуясь данными таблицы, составляем систему трех уравнений:

Поделив все члены уравнений на коэффициенты при получим:

Вычитая из второго уравнения сначала первое, а затем третье, получим 2 уравнения с двумя неизвестными:

Делим каждый член обоих уравнений на коэффициенты при

Уравнение связи, определяющее зависимость результативного признака (у) от двух факториальных

Вычислив по этому уравнению при соответствующих х и z величины замечаем, что суммы опытных данных (y) и расчетных данных совпадают, а отдельные значения их мало отличаются друг от друга.

Найдем уравнение связи между урожайностью пшеницы на Безенчукской опытной станции и тремя факторами (х, z, v).

Статистические данные, полученные в результате наблюдения, и расчеты представлены в табл. 10, откуда возьмем необходимые данные для составления системы нормальных уравнений:

Следовательно,, корреляционное уравнение будет:

Расширив число факториальных признаков, можно найти уравнение множественной связи для 4, 5, 6 и т. д. признаков. При этом необходимо брать только такие признаки, которые оказывают существенное влияние на величину результативного признака, ибо учет несущественных, второстепенных признаков лишь увеличивает расчетную работу при нахождении уравнения связи, а не приближает к более полному изучению связи.

Если число факториальных признаков возрастает, возрастает и число членов уравнения связи. Так, для трех факториальных признаков линейное уравнение связи будет записано формулой:

где параметры уравнения находятся путем решения системы четырех нормальных уравнений:

Построив соответствующую таблицу, получим в ней необходимые суммарные данные для приведенной системы уравнений (см. табл. 10).

Мерой существенности влияния того или иного факториального признака на результативный являются показатели тесноты связи.

В настоящем издании мы рассмотрим эмпирические меры тесноты связи, полученные разными исследователями, и меры тесноты связи, основанные на измерении вариации.

Эмпирические меры тесноты связи

Эмпирические меры тесноты связи позволяют оценить степень связи между явлениями или факторами, находящимися в зависимости один от другого. Эмпирические меры получены различными исследователями, занимавшимися статистической обработкой фактического материала. Они получены ранее, чем был открыт метод корреляции. Практическое пользование эмпирическими показателями довольно удобно.

К эмпирическим мерам тесноты относятся:

• а) коэффициент ассоциации:
• б) коэффициенты взаимной напряженности;
• в) коэффициент Фехнера;
• Г) коэффициент корреляции рангов;

Рассмотрим каждый из них.

а) Коэффициент ассоциации. Коэффициент ассоциации как мера тесноты связи применяется для изучения связи двух качественных признаков, состоящих только из двух групп. Для его вычисления строится четырехклеточная таблица корреляции, которая выражает связь между двумя явлениями, каждое из которых, в свою очередь, должно быть альтернативным, т. е. состоящим только из двух видов, качественно отличных друг от друга. Например, при изучении зависимости урожая от количества внесенных в почву удобрений выделяем по урожайности и по количеству внесенных удобрений лишь по две группы. При этом условии можно построить следующую четырехклеточную таблицу.

Числа, стоящие на пересечении строк и граф — a,b,c,d, показывают, сколько участков встречается с тем и другим количеством удобрений, внесенным в почву, с той и другой урожайностью.

Мера тесноты связи — коэффициент ассоциации — исчисляется по формуле:

Заполнив клетки конкретными числовыми данными, получим следующую четырехклеточную таблицу, где числа, стоящие в клетках, — гектары посевов.

Коэффициент ассоциации равен:
что говорит о достаточно тесной прямой связи между урожайностью и степенью удобрения почв.

Коэффициент ассоциации может иметь и отрицательные значения, когда ad

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник