Научно-исследовательская работа «Способы решения логических задач»
«Способы решения логических задач»
Выполнила ученица 6 класса
МОБУ СОШ с. Тюрюшля муниципального района
Стерлитамакский район Республики Башкортостан
Руководитель учитель математики Великая Альфира Явдатовна
1. Логика и его основоположники 4
2. Способы решения логических задач 5
2.1. Решение логических задач методом рассуждений 5
2.2. Решение логических задач методом графа 6
2.3. Решение логических задач методом таблиц 7
2.4. Решение логических задач с помощью кругов Эйлера 8
2.5. Решение логических задач методом математического бильярда 10
3. Сравнительный анализ методов 11
Список литературы 14
Логика – это необходимый инструмент, освобождающий от лишних, ненужных запоминаний, помогающий найти в массе информации то ценное, что нужно человеку. Логика нужна любому специалисту, будь он математик, медик или биолог.
Без логики – это слепая работа». (П. Анохин)
Во всем, что связано с математикой, очень важное место занимает логика – наука о правилах и способах рассуждений.
Назначение логических задач – тренировка умения мыслить логически.
Наша жизнь непрерывное решение больших и маленьких логических проблем. Без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно, жить трудновато. Есть люди, для которых решение логической задачи — увлекательная, но несложная задача. Их мозг как луч прожектора сразу освещает все хитроумные построения, и к правильному ответу он приходит необычайно быстро. Замечательно, что при этом они не могут объяснить, как они пришли к решению. «Ну это же очевидно, ясно», — говорят они. «Ведь если . » — и они начинают легко распутывать клубок противоречивых высказываний. «Действительно, все ясно», — говорит слушатель, огорченный тем, что он сам не увидел очевидного рассуждения. Такое же ощущение часто возникает при чтении детективов. Если бы Шерлок Холмс основывался только на прописных истинах, он бы не смог раскрыть ни одного преступления. Однако его умение мыслить является прекрасным примером для подражания людям, которые стремятся к жизненному успеху. Если человек способен самостоятельно провести анализ ситуации и сделать соответствующие выводы, то он всегда сможет найти из неё выход. Логика учит человека мыслить четко, лаконично, правильно. Один из самых мощных инструментов развития мышления и интеллекта – логические задачи. Поэтому я выбрала эту тему.
Цель исследования — знакомство с разными видами логических задач и методами их решения, а главное научиться решать их.
Для достижения поставленной цели, я выделила следующие задачи:
изучить литературу с целью ознакомления с разными видами логических задач;
познакомиться с основными способами решения логических задач;
научиться применять данные методы к решению задач;
выявить преимущества и недостатки каждого метода;
выяснить, какие способы более эффективны;
подготовить подборку наиболее интересных задач, решаемые определенными методами и их решения.
Объект исследования – логические задачи.
Предмет исследования — разнообразные методы решения логических задач.
Методы исследования : теоретический, анализ, сравнение.
Основным источником материалов для моей работы явился интернет.
1. Логика и его основоположники
Логика — очень древняя, важная и непростая наука.
Слово «логика» греческого происхождения. Логика как наука основана Аристотелем (384-320 гг до н.э.), который был необыкновенной фигурой в целой плеяде блестящих греческих ученых. Аристотель не был математиком в полном смысле этого слова, его логика является скорее частью философии, но эта часть — основа всех наук. В своем выдающемся произведении «Аналитики» Аристотель создал и проверил около 20 схем рассуждений. Процитируем самое известное рассуждение: «Сократ — человек; все люди смертны; значит Сократ смертен». Галилей говорил, что если бы ему пришлось начать снова свое будущее, то он последовал бы совету Платона и «принялся бы сперва за математику как науку, требующую точности и принимающую за верное то, что вытекает как следствие из доказанного».
Основоположником математической логики считают немецкого математика и философа Готфрида Вильгельма Лейбница. Готфрид Лейбниц в начале 18 века сделал попытку создать формальную логическую систему, введя законы сочетания высказываний. Он высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам: «Можно придумать некий алфавит человеческих мыслей, и с помощью комбинации букв этого алфавита и анализа слов, из них составленных, все может быть открыто и разрешимо». Говоря простым языком, можно найти специальные методы решения логических задач . И он был прав.
2. Способы решения логических задач
Логические задачи — это задачи, решаемые путем рассуждений. Они составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. К классу логических задач относятся также задачи на переливание и взвешивание. Среди других «крепостей царства смекалки» логические задачи стоят особняком. С одной стороны, они отличаются от обычных задач – загадок тем, что в них никакой игры слов. С другой стороны, они отличаются от большинства математических задач тем, что для их решения нужна в основном сообразительность, а не запас каких-то специальных знаний. Каждая из таких задач – математическая миниатюра, побуждающая к самостоятельному исследованию.
В ходе работы я изучил несколько основных методов решения логических задач: метод рассуждений, метод графов, метод таблиц, метод кругов Эйлера и метод математического бильярда.
Остановимся отдельно на каждом из методов, иллюстрируя их примерами решения конкретных задач.
2.1. Решение логических задач методом рассуждений
Многие логические задачи решаются методом «здравых рассуждений». Процесс решения представляет собой анализ всевозможных ситуаций, выбор подходящих и отбрасывание ненужных. В результате решения мы находим выход из создавшегося, затруднительного положения. В методике рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи, краткие записи, умение выбирать информацию, умение пользоваться правилом перебора.
Способ рассуждений – самый простой способ. Он подходит абсолютно для всех задач. Чтобы решать этим способом, нужно просто логически рассуждать и последовательно использовать условия задачи. В конце рассуждений мы придем к определенному выводу, являющемуся ответом к решаемой задаче. По сути, этот метод сводится к использованию следующего приема: мы делаем некоторые допущение и смотрим, что при этом получается, т.е. не противоречит ли наше предположение условиям задачи.
Идея метода: в ходе решения используются рассуждения, последовательно учитывающие все условия задачи, которые постепенно приводят к выводу и правильному ответу.
Задача. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
Решение. Имеются три утверждения.
1. Вадим изучает китайский.
2. Сергей не изучает китайский.
3. Михаил не изучает арабский.
Верно одно из этих утверждений, два ложных. Нужно определить, какой язык изучает каждый из молодых людей. Допустим, что верно первое утверждение: Вадим изучает китайский. Тогда ложно второе, т.е. Сергей изучает китайский. Это противоречит условию задачи, что они изучают разные языки. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что Сергей не изучает китайский, Вадим не изучает китайский, Михаил изучает арабский. Получили противоречие: никто не изучает китайский. Остается считать верным третье утверждение, тогда первое и второе – ложные. Сергей изучает китайский, Михаил — японский, Вадим – арабский. Все условия задачи выполняются, противоречий нет. Методом таких рассуждений мы легко нашли ответ к задаче.
Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.
2.2. Решение логических задач методом графов
При решении логических задач обычно бывает достаточно трудно держать в памяти многочисленные факты, данные в условии, устанавливать связь между ними, высказывать гипотезы, делать частные выводы и пользоваться ими. Возникает проблема: как установить логические связи между разрозненными фактами и как оформить решение задачи в виде единой целой. На помощь могут прийти графы.
Рассмотрим следующие три задачи:
1. Кто играет в Ляпкина-Тяпкина?
В школьном драмкружке решили ставить гоголевского «Ревизора». И тут разгорелся жаркий спор. Все началось с Ляпкина-Тяпкина.
— Ляпкиным-Тяпкиным буду я! – решительно заявил Гена.
— Нет, я буду Ляпкиным-Тяпкиным, — возразил Дима. – С раннего детства мечтал воплотить этот образ на сцене.
— Ну, хорошо, согласен уступить эту роль, если мне дадут сыграть Хлестакова, — проявил великодушие Гена.
— А мне – Осипа, — не уступил ему в великодушии Дима.
— Хочу быть Земляникой или Городничим, — сказал Вова.
— Нет, Городничим буду я, — хором закричали Алик и Боря. – Или Хлестаковым, — добавили они одновременно.
Удастся ли распределить роли так, чтобы исполнители были довольны?
2. Сварливые соседи.
Жители пяти домов поссорились друг с другом и, чтобы не встречаться у колодцев, решили поделить их (колодцы) так, чтобы хозяин каждого дома ходил к «своему» колодцу по «своей» тропинке. Удастся ли им это сделать?
3. Первенство класса.
В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей. Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводится по круговой системе – каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной и Еленой; Борис, как уже говорилось, с Андреем и еще с Галиной; Виктор – с Галиной, Дмитрием и Еленой; Галина – с Андреем и Борисом; Дмитрий – с Виктором и Елена – с Андреем и Виктором. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?
Изобразим данные задачи в виде графов. Граф – множество точек, изображенных на плоскости, некоторые пары из которых соединены отрезками. Точки называют вершинами графов, а отрезки – ребрами графов. Выделяя из словесных рассуждений главное – объекты и отношения между ними, графы представляют изучаемые факты в наглядной форме. При этом объекты будем изображать точками, а соответствия между ними — отрезками, Сплошными –два объекта, соответствующие друг другу, штриховыми отрезками будем объединять два элемента, не соответствующие друг другу. Способ графов состоит в переборе возможных вариантов развития событий и окончательном выборе единственно верного решения.
Рассмотрим пример использования графов при решении логической задачи.
Задача. Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш?
Решение. Обозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с учетом задачи имеем граф 1 (рис. 1). Далее достраиваем граф по следующему правилу: поскольку в короб может лежать ровно один карандаш, то из каждой точки должны выходить одна сплошная линия и три пунктирные.
1.Зеленый карандаш лежит в синей коробке. Зеленый соединяем с синей сплошной линией.
2.Красный не лежит в желтой. Проводим пунктирную линию.
Получаем, что красный лежит в зеленой. Проведем сплошную линию.
3.Из рисунка видно, что желтый может лежать в красной коробке. Других вариантов для него нет. Проведем сплошную линию.
4.Синему остается желтая коробка.
Получается граф 2 (рис. 2), дающий решение задачи.
Если мы построим графы для 1-3 задач, получатся те же самые графы. Возникает вопрос: так ли уж нужны были графы? Разве нельзя прийти к решению чисто логическим путем? Да, можно. Но графы придали условиям наглядность, упростили решение и выявили сходство задач, превратив три задачи в одну, а это не так уж мало.
2.3. Решение логических задач методом таблиц
Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Трудно удержать в памяти все звенья логических рассуждений. Испытанный способ их решения – составление таблиц, называемых логическими квадратами. Элементы первого множества записываем в строках, элементы второго – в столбцы. После формирования шапки таблицы заполняются связи между объектами и их свойствами: плюсами отмечаются свойства присущие объекту, а минусами – свойства не характерные для объекта. Начертив таблицу, нужно разместить в ней известные запреты исходя из условия задачи. В каждой строке и в каждом столбце может стоять только один знак соответствия (например «+»). Если в строке (столбце) все «места», кроме одного, заняты элементарным запретом (знак несоответствия, например «-»), то на свободное место нужно поставить знак «+», если в строке (или столбце) уже есть знак «+», то остальные места должны быть заняты знаком «-». Далее ответ получается автоматически, но этот «автоматизм» можно перевести на язык логических рассуждений. Такой «перевод» и интересен, и помогает увидеть, откуда берется решение.
Задача. «Город мастеров». В нашем городе живут 5 друзей: Иванов, Петров, Сидорчук, Веселов и Гришин. У них разные профессии: маляр, мельник, парикмахер, почтальон, плотник. Но я точно знаю, что Петров и Гришин никогда не держали в руках малярной кисти, а Иванов и Гришин давно собираются посетить мельницу, где работает их товарищ. Петров и Иванов живут в одном доме с почтальоном. Иванов и Петров каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром, а Гришин и Веселов по субботам встречаются в парикмахерской, где работает их друг. Почтальон же предпочитает бриться дома. Помогите мне установить профессию каждого из друзей.
Решение. Решая задачу, мы заведомо знаем, что у каждого товарища одна фамилия и одна профессия (и у всех разные).
Правило 1: В каждой строке и в каждом столбце таблицы может стоять только один знак соответствия (например «+»).
Правило 2: Если в строке (или столбце) все «места», кроме одного, заняты элементарным запретом (знак несоответствия, например «-»), то на свободное место нужно поставить знак «+»; если в строке (или столбце) уже есть знак «+», то остальные места должны быть заняты знаком «-».
Трудно удержать в памяти все условия задачи при рассуждении, поэтому применяем метод таблиц.
Строим таблицу из 5 строк и из 5 столбцов. Фамилии записываем в строки, профессии – в столбцы. Начертив таблицу (таблица 1.), разместим в ней известные запреты «-», исходя из условия задачи:
1.Петров и Гришин никогда не держали малярной кисти, значит Петров и Гришин не маляры;
2.Иванов и Гришин собираются посетить мельницу, где работает их товарищ, значит Иванов и Гришин не мельники.
3.Петров и Иванов живут в одном доме с почтальоном, значит Петров и Иванов не почтальоны.
4.Иванов и Петров каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром, значит Иванов и Петров не плотники и не маляры.
5.Гришин и Веселов по субботам встречаются в парикмахерской, где работает их друг, значит Гришин и Веселов не парикмахеры.
6.Почтальон предпочитает бриться дома, он не ходит в парикмахерскую значит почтальон не Гришин и не Веселов.
Все условия задачи внесены. Смотрим внимательно на таблицу.
1. В столбце «плотник» осталась одна пустая клетка. Ставим знак «+».
2. В столбце «Почтальон» осталась одна пустая клетка, Ставим «+»
3.Ставим «-» в строке «Сидорчук»
4.В столбце «маляр» осталась одна пустая клетка, ставим «+»
5.В строке «Веселов» ставим в пустые клетки «-»
6.В строке «Петров» одна пустая клетка, ставим «+»
Далее ответ получается автоматически из таблицы.
В ходе рассуждения все в голове удержать сложно, а с помощью таблицы легко и просто.
Источник
