Основные способы решения логарифмических уравнений их типы

Урок-лекция по теме: «Виды логарифмических уравнений и методы их решения»

Разделы: Математика

Форма урока: лекция.

Цель урока: рассмотреть виды логарифмических уравнений и методы их решения.

I. Устный опрос по теории логарифмов.

II. Объяснение новой темы.

I. Устный опрос.

1. Дайте определение логарифма числа.
2. Сформулируйте свойство “Логарифм произведения”.
3. Сформулируйте свойство “Логарифм частного”.
4. Запишите формулу “Логарифм степени”.
5. Запишите формулу перехода от одного основания логарифма к другому.
6. Что называется уравнением?
7. Что называется корнем уравнения?
8. Что значит решить уравнение?

Ход урока

I. Рассмотрим равенство log_ab=c.

Это равенство устанавливает связь между тремя числами a,b,c. Сколько уравнений можно составить, используя это равенство?

1) b = x, logax = c	2) a =x, logxb = c	3) c = x
a>0, a =1	x>0, x = 1	logab = x
x = a c	x c = b	a – неизвестное число
x = c \/ — b —

log4x = 3	logx5 = 2	logx5 = 0
x =64;	x 2 = 5	x 0 = 5, нет решения.
x = 5;-5
но (-5)-не корень

Уравнения №1 и №2 называются простейшими логарифмическими уравнениями. Сколько решений имеют эти простейшие уравнения? (Единственное решение при любом с)

II. Рассмотрим другие виды уравнений и способы их решения.

Виды уравнений

Способы решения

Примеры 1)log_a f(x) = g(x)

a>0, a 1, f(x)>0. Функционально-графический. Основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций (чаще всего свойств монотонности). 1) lgx = 1-x

y = lgx- возрастающая на D(y)

y= 1-x — убывающая

Уравнение имеет один корень х = 1

Дома: Сколько корней имеет уравнение:

lg x = sinx (6 корней) 2)log_af(x)=b

a>0, a1. По определению логарифма имеем f(x) = a b . log₃(2x+1)=2 3)log_a f(x) = log_ag(x)a>0,a 1. Уравнение равносильно системе:

Почему достаточно проверить одно неравенство из двух?

Например, можно опустить неравенство g(x)>0, т.к. оно вытекает из равенства f(x)=g(x) и неравенства f(x)>0

Таким образом, для решения уравнения нужно:

1) pешить уравнение f(x)=g(x);

2) из найденных решений отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f(x)>0 ( или g(x)>0; используя более простое из этих двух неравенств), а остальные решения отбросить. log₃(x 2 -3) = log₃2x

log₂(x 2 -3x-5) = log₂ (7-2x) 4) log_a f(x)+log_ag(x)=b

a>0, a1. Воспользуемся формулой log_af(x)+log_ag(x)=log_a(f(x)g(x)). Но это преобразование может привести к появлению посторонних корней. Действительно f(x)g(x)>0, когда f(x) 0 и g(x)>0. Поэтому, уравнение равносильно системе:

I способ:

II Способ.

1. Свести уравнение к виду log_a(f(x)g(x)) = b.
2. Решить уравнение f(x)g(x) = a b .

3) Сделать проверку, подставив найденные значения х в исходное уравнение.

lg(x+4)+lg(2x+3)= lg(1+2x)

log₅(3x-11)+log₅(x-27)= =3+log₅8 5) log_af(x)-log_ag(x)=b

a>0,a 1. I Способ. Воспользоваться равенством log_af(x)-log_ag(x) =log_a(f(x)/g(x)).Уравнение преобразуется к виду log_a(f(x)/g(x))= b.Может ли это преобразование привести к появлению посторонних корней? Решить уравнене f(x)/g(x)= a b и сделать проверку, подставив найденные значения х в исходное уравнение.

II.Способ.Уравнение равносильно системе:

Решить уравнение системы и отобрать те корни, для которых выполняются неравенства.

III.Способ. Перейти от исходного уравнения к виду log_af(x)=b+log_ag(x)

log_af(x)=log_a(a b g(x)).Решить уравнение и сделать проверку lg(x-1)-lg(2x-11)=lg2

Дома: lg(x 2 +19)-lg(x-8)=2 6) log_af(x)+log_bg(x)=c

a>0, a1. При решении уравнения применяется формула log_ab=log_cb/log_ca. Выбор основания должен быть таким, что бы переход к новому основанию не осложнил решения уравненя, но позволил бы избежать потери корней log _2xx=log _8/xx (к основанию 2) log₂x/log₂2x = =log₂x/log₂(8/x); log₂x(log₂(8/x)-log₂2x)=0; x=1 , x=2;-2 — посторонний. Ответ: 1;2

1+log₂(x-1)=log_(x-1)4 7) log 2 _af(x)+log_af(x)=b

a>0, a1. I Способ. Ввести новую переменную log_af(x) = t и свести уравнение к квадратному: t 2 +t=b. Решить это уравнение и сделать проверку.

IIСпособ. Найти область определения уравнения. Решить уравнение с помощью введения новой переменной. Проверить, принадлежат ли найденные значения переменной области определения уравнения. (lgx) 3 -lgx 3 +2=0

5log₃x-9(log₃x) 0,5 -2=0 8) f(x) k(x) =g(x) h(x) Найти ОДЗ уравнения. Логарифмировать обе части уравнения по выгодному основанию. Проверить принадлежность найденных значений переменной ОДЗ уравнения.

Этот способ применяется, когда невозможно уравнять основания степеней.

a>0, a 1 (x+1) lg(x+1) =100(x+1)

ОДЗ: х>-1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10.

lg 2 (x+1)-lg(x+1) –2=0 – квадратное уравнение относительно lg(x+1). Решая его находим x₁=99; x₂= -0,9 .Оба корня удовлетворяют условию

При решении уравнений нужно руководствоваться следующими правилами:

1) решать, находя ОДЗ уравнения, и проверять принадлежность найденных значений переменной ОДЗ уравнения;

2) решать, не учитывая ОДЗ уравнения, но в конце решения сделать проверку по отбору корней;

3) преобразования, допускающие потерю корней, лучше не использовать

1) изучить лекцию;

2) решить уравнения, предложенные в лекции на дом.

Источник

Логарифм. Основные способы решения логарифмических уравнений.

Логарифмическими уравнениями называют уравнения, в котором представлены неизвестные величины под знаком логарифма.

Логарифмические уравнения, так же как и показательные, относятся к трансцендентным.

Самым простым логарифмическим уравнением представлено уравнение следующее непосредственно из формулировки логарифма:

где а и b — заданные числа,

х — неизвестная переменная.

Если а – не отрицательное и не равное единице число, то у такого уравнения существует единственный корень:

При решении более трудных логарифмических уравнений, обыкновенно, приводим их или к решению алгебраических уравнений, или к решению уравнений типа Log_аx=b.

Проанализируем это на нескольких отдельных уравнениях.

Найдем корни уравнения:

Отталкиваясь от формулировки логарифма из вышеприведенного уравнения получаем, что:

решив его имеем х = 2.

х= 2 — решение указанного уравнения.

Для нахождения ответа аналогичных уравнений применяем нижеследующее свойство логарифмов: если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа.

И соответственно имеем, что если только у данного уравнения есть корни, то они будут удовлетворять уравнению:

Осуществим подстановку для проверки при х = 5

Следовательно, х= 5 — корень выбранного уравнения.

При х = -4 левая и правая части данного уравнения не существуют, поскольку x 2 — 17= — 1 2 x — 3log₃x — 10 = 0.

Если log₃x приравнять к у, то уравнение станет квадратным:

решив его получим:

Выполнив проверку видим, что эти две величины будут решением выбранного уравнения.

Отдельные уравнения решаются методом почленного логарифмирования. Так же в случае необходимости применяют формулу для перехода от одного основания логарифмов к другому.

Источник

Виды логарифмических уравнений и способы их решения

Что такое логарифмическое уравнение

Логарифмическое уравнение является таким уравнением, в котором неизвестная величина заключена внутри логарифма.

Самым простым логарифмическим уравнением в теории является:

Логарифм числа b по основанию a представляет собой параметр степени. Если возвести в эту степень основание а, то в результате получится число b.

Логарифм графическим способом обозначают как log a b . Запись нужно читать таким образом: логарифм b по основанию a.

Согласно данному определению, вычисление x = log a b сводится к поиску корней уравнения a x = b . Если при проверке получим неравенство, то корни подобраны неверно.

log 3 27 = 3 , так как 3 3 = 27 .

Примеры логарифмических уравнений:

Область допустимых значений, характерная для логарифмического уравнения:

Существует несколько типов логарифмических уравнений:

Найти корни такого уравнения можно, исходя из определения логарифма, то есть:

• ко второму типу относят логарифмические уравнения в такой форме:

l o g a f ( x ) = l o g a g ( x ) .

В данном случае основания являются одинаковыми, тогда выражения под логарифмом следует приравнять:

f ( x ) = g ( x ) ; f ( x ) > 0 ; g ( x ) > 0 .

• уравнения квадратного вида l o g a 2 x + l o g a x + c = 0 . Здесь для решения необходимо ввести новую переменную и перейти к поиску корней стандартного квадратного уравнения;
• уравнения в форме a x = b . Решение заключается в логарифмировании обеих частей по основанию а.

Как решать, основные методы с примерами

Решать какие-либо логарифмические уравнения следует с помощью приведения заданного уравнения в форму:

l o g a f x = l o g a g x

На втором этапе нужно перейти от уравнения с логарифмами к уравнению, где логарифмы отсутствуют:

1. По определению логарифма: l o g a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b , a > 0 , a ≠ 1 .
2. С помощью свойств логарифма:

l o g a c b = 1 c l o g a b

c · l o g a b = l o g a b c

l o g a b + l o g a c = l o g a b c

l o g a b – l o g a c = l o g a b c

log a n b = 1 n · log a b

log a n b m = m n · log a b

l o g a 1 = 0 , a > 0 , a ≠ 1

l o g a a = 1 ( a > 0 , a ≠ 1 )

1. Ввод новой переменной. Путем замены l o g a x = t можно преобразовать логарифмическое уравнение в простое математическое уравнение по отношению к t.
2. Переход к новому основанию:

log a b = log c b log c a c > 0 ; ≠ 1 .

log a b = 1 log b a , b ≠ 1 .

1. Логарифмирование, когда требуется взять логарифм от правой и левой частей уравнения.

Теорема 1

Когда a > 1 , функция f ( x ) = l o g a x монотонно возрастает при 0 a 1 , тогда функция f ( x ) = l o g a x монотонно убывает.

f x = g x f x ≥ A g x ≤ A ⇔ f x = A g x = A .

Рассмотрим основные способы и алгоритмы на подробных примерах решения задач.

l o g 2 4 — x = 7

Заметим, что в левой части системы имеется выражение, которое содержит логарифм. В правой стороне логарифм отсутствует. В этом случае следует преобразовать правую часть в выражение с логарифмом по основанию 2. Далее требуется исключить сложные логарифмы. Применим правило умножения на 1:

l o g a a = 1 ( a > 0 , a ≠ 1 )

Так как требуется основание 2, следует взять а = 2. Таким образом:

7 = 7 · 1 = 7 · l o g 2 2

Далее требуется вписать 7 в логарифм с помощью правила

c · l o g a b = l o g a b c

7 · l o g 2 2 = l o g 2 2 7 = l o g 2 128

В результате начальное уравнение примет вид:

l o g 2 4 — x = l o g 2 128

Исключим логарифмы для получения простого уравнения:

Ответ нужно проверить:

l o g 2 4 — — 124 = 7

В связи с тем, что 2 7 = 128 , последнее выражение является справедливым, а, в свою очередь, x = — 124 определяется, как корень уравнения.

l o g 5 4 + x = 2

В этом случае также следует прибегнуть к правилу умножения на 1 для числа:

2 = 2 · l o g 5 5 = l o g 5 5 2 = l o g 5 25

Преобразуем начальное уравнение:

l o g 5 4 + x = l o g 5 25

Избавимся от логарифмов:

По результатам проверки запишем ответ:

l o g 5 4 + 21 = 2

Далее попробуем решить логарифмические уравнения с помощью правила «превращения единицы».

l o g 5 7 — x = l o g 5 3 — x + 1

l o g 5 7 — x = l o g 5 3 — x + l o g 5 5

В связи с тем, что в одной части уравнения присутствует сумма логарифмов, которые обладают одним основанием, следует воспользоваться следующей формулой:

l o g a b + l o g a c = l o g a b c

l o g 5 7 — x = l o g 5 5 3 — x

В итоге в левой и правой части получились логарифмы, которые можно убрать:

l o g 5 7 — 2 = l o g 5 3 — 2 + 1

l o g 5 5 = l o g 5 1 + 1

Наличие нуля в правой части объясняется следующим:

l o g a 1 = 0 , a > 0 , a ≠ 1

Логарифмические уравнения можно решать с помощью свойств логарифма

l o g 8 2 8 x — 4 = 4

Воспользуемся свойством логарифма:

c · l o g a b = l o g a b c

Прочитаем свойство слева направо:

l o g 8 2 8 x — 4 = 8 x — 4 l o g 8 2

Далее следует разобраться с числом:

Запишем следующее свойство:

l o g a c b = 1 c l o g a b

Исходя из того, что:

l o g 8 2 = l o g 2 3 2 = 1 3 l o g 2 2 = 1 3 · 1 = 1 3

В результате будет преобразована левая часть уравнения:

l o g 8 2 8 · 2 — 4 = 4

l o g 8 2 12 = 4

l o g 8 2 3 · 4 = 4

Решение логарифмических уравнений с разными основаниями

Рассмотрим пример, когда требуется решить логарифмические уравнения, в которых основания логарифмов отличаются.

Предположим, что имеется уравнение:

l o g 1 3 ( 2 x — 1 ) = l o g 3 1 x + 3

Решать подобные примеры следует путем приведения логарифмов в обеих частях уравнения к общему основанию. Выполним преобразования в левой части:

l o g 1 3 ( 2 x — 1 )

Вспомним свойство логарифма, которое позволяет вынести показатель степени:

log a n b = 1 n · log a b

1 — 1 l o g 3 ( 2 x — 1 ) = — l o g 3 ( 2 x — 1 )

Не получится избавиться от логарифмов, так как имеется знак минус в правой части выражения. Далее применим свойство логарифма:

log a n b m = m n · log a b

— l o g 3 ( 2 x — 1 ) = l o g 3 ( 2 x — 1 ) — 1 = — l o g 3 1 ( 2 x — 1 )

Исходя из того, что основания логарифмов в обеих частях уравнения одинаковые, можно от них избавиться:

l o g 3 1 ( 2 x — 1 ) = l o g 3 1 x + 3

1 2 x — 1 = 1 x + 3

Проверим полученный результат:

l o g 1 3 ( 2 × 4 — 1 ) = l o g 3 1 4 + 3

l o g 1 3 7 = l o g 3 1 7

l o g 1 3 7 = l o g 1 3 7

Решение логарифмических уравнений с переменными основаниями

Другим распространенным типом логарифмических уравнений являются уравнения, основание у которых переменное. Для примера: постоянными основаниями служат 2, 3, 10 и так далее. Но роль основания может играть какая-то функция f ( х ) , к примеру: 2 x + 1 , x 2 , 2 x и так далее. Разберем типичные примеры.

l o g x — 1 25 = 2

Воспользуемся способом умножения единицу:

2 = 2 · l o g x — 1 x — 1 = l o g x — 1 x — 1 2

Преобразуем начальное уравнение:

С помощью правила разности квадратов запишем:

a 2 — b 2 = a — b a + b

x — 1 — 5 x — 1 + 5 = 0

x 1 = 6 , x 2 = — 4

Проверим полученные корни:

l o g 6 — 1 25 = 2

l o g — 4 — 1 25 = 2

x = — 4 нельзя считать решением уравнения из-за невозможности наличия у логарифма отрицательного основания, либо основания, равного 1.

l o g l o g 3 x 3 = 2

Преобразуем правую часть уравнения в логарифм:

2 = 2 · l o g l o g 3 x l o g 3 x = l o g l o g 3 x l o g 3 x 2

Запишем уравнение, которое является равносильным начальному:

Согласно правилу разности квадратов:

l o g 3 x 2 — 3 = l o g 3 x + 3 ( l o g 3 x — 3 ) = 0 )

l o g 3 x + 3 = 0 л и б о l o g 3 x — 3 = 0

l o g 3 x = — 3 л и б о l o g 3 x = 3

С помощью умножения на единицу получим:

l o g 3 x = — 3 l o g 3 3 = l o g 3 3 — 3

Проверим полученные результаты:

l o g l o g 3 3 — 3 3 = 2

l o g — 3 l o g 3 3 3 = 2

— 3 l o g 3 3 = — 3 0

Делаем вывод, что 3 — 3 нельзя использовать в качестве решения.

l o g l o g 3 3 3 3 = 2

l o g 3 l o g 3 3 3 = 2

В связи с тем, что:

Можно сделать вывод:

Исходя из того, что:

l o g 3 1 2 3 = 1 1 2 l o g 3 3 = 2

В результате 3 3 представляет собой корень начального уравнения

Источник