Основные способы преобразования графиков сжатие растяжение

Растяжение и сжатие графиков функций

Список функций, изученных в 7 и 8 классе

Растяжение и сжатие графика по оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), y_2 = f(px) $$

где $p \gt 1$, произвольный положительный множитель.

$ y_2 = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2 $

$y_2 = y_1 при x_2 = \frac<1> <2>x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OX

$ y_2 = y_1 при x_2 = \frac<1> <2>x_1 $

График сжимается в 2 раза по оси OX

$y_2=y_1 при x_2 = \frac<1> <2>x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OX

Теперь сравним пары функций с делением на p:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f \left( \frac

\right), \quad p \gt 1 $$

$ y_2 = f \left(\frac<2>\right) = \left(\frac<2>\right)^2 = \frac <4>$

$y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OX

$y_2 = f \left(\frac<2>\right) = \frac<4> = \frac<8>$

$ y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OX

$y_2=y_1 при x_2 = 2x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OX

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(px), \quad p \gt 1 $$

график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f \Biggl(\frac

\Biggr), \quad p \gt 1 $$

график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Растяжение и сжатие графика по оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = Af(x) $$

где $A \gt 1$, произвольный положительный множитель.

$y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OY

$ y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OY

$y_2 = 2f(x) = 2\sqrt$

$y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OY

Теперь сравним пары функций с делением на A:

$y_2 = \frac<1><2>y_1 при x_2 = x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OY

$ y_2 = \frac<1><2>y_1 при x_2 = x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OY

$y_2 = \frac<1><2>y_1 при x_2 = x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OY

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = Af(x), \quad A \gt 1 $$

график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Примеры

Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

По сравнению с графиком $y = \sqrt$:

• график функции $y = \sqrt<3x>$ сжимается в 3 раза по оси OX(←)
• график функции $y = \sqrt<\frac<3>>$ растягивается в 3 раза по оси OX(→)
• график функции $y = 3\sqrt$ растягивается в 3 раза по оси OY(↑)

Пример 2*. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

$$ y = f(x), y = f(2x), y = f \Biggl(\frac<2>\Biggr), y = 2f(x) $$

Исходная функция $y = f(x) = x^2+3x+2$

$$ y = f(2x) = (2x)^2+3 \cdot (2x)+2 = 4x^2+6x+2 $$

$$ y = f\Biggl(\frac<2>\Biggr) = \Biggl(\frac<2>\Biggr)^2+3 \cdot \Biggl(\frac<2>\Biggr) +2 = \frac<4>+ \frac<3> <2>x+2 $$

По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2+3x+2$:

• график функции y = f(2x) сжимается в 2 раза по оси OX(→)
• график функции $y = f \left(\frac<2>\right)$ растягивается в 2 раза по оси OX(←)
• график функции y = 2f(x) растягивается в 2 раза по оси OY(↑)

Источник

Преобразования графиков функций с примерами решения и образцами выполнения

Параллельный перенос, сжатие и растяжение графиков. Построение графиков с модулями.

Графики многих функций можно получить из ранее рассмотренных с помощью элементарных геометрических преобразований: параллельного переноса, сжатия, растяжения, симметричного отображения. Рассмотрим некоторые из этих преобразований. Для каждого из элементарных преобразований предлагается два способа построения графика: с помощью преобразования графика и с помощью преобразования системы координат. Обучающийся должен выбрать тот, который кажется ему проще и овладеть им. В каждом случае считается известным график функции у = f(х).

Параллельный перенос графиков

График функции у = /(x) + Ь получается из графика функции у = f(х) с помощью его переноса на вектор b = (0; b). Действительно, в этом случае ко всем ординатам графика у = f(х) прибавляется величина b, что означает сдвиг графика вдоль оси Оу. Если b > 0, то график функции у = f(х) переносится вверх параллельно оси Oy на b, если b 0 — вниз, если b Рис. 49. Построение графика функции у = f(x) + b

Пример:

График функции у = x² — 1 (рис. 50) смещен на 1 вниз параллельно оси Oy относительно графика функции у = х².

Рис. 50. Построение графика функции у = x² — 1

График функции у = f(x+a) получается с помощью переноса графика функции у = f(x) на вектор а = (—а;0). Действительно, перейдя к новым координатам X = х + α, Y = у параллельным переносом вдоль оси Ox на —а, заметим, что относительно новых координат получится исходный график функции Y = f(X). Если а > 0, то старые координаты получаются из новых сдвигом направо вдоль оси Ox на α, т.к. х = X — а. Если же сдвигать график, а не систему координат, то его нужно двигать в противоположном направлении — налево. Итак, если а > 0, то график функции у = f(x) переносится налево параллельно оси Ox на а, если а 0 — вправо, если α Рис. 51. Построение графика функции у = f(x + а) Рис. 52. Построение графика функции у = (х — 2)²

Сжатие и растяжение графиков

График функции у = kf(x), где к ∈ R, получается с помощью ’’растяжения” графика функции у = f(x) в к раз в направлении от оси Ох. ’’Растяжение” здесь понимается как умножение на к ординат всех точек графика у = f(x)∙ При k > 1 это будет действительно растяжение в к раз от оси Ox вдоль оси Оу. При 0 0 можно исправить значения по оси Оу, умножив их на k. При k Рис. 53. Построение графика функции у = — 3 sin х

При k > 1 график функции у = f(x) сжимается в k раз к оси Oy вдоль оси Ох; при 0 0 можно исправить значения по оси Ох, поделив их на k. При k Рис. 54. Построение трафика функции у = ln(-х)

Пользуясь изложенными методами, приведем последовательность преобразований при построении графика функции у = f(kx + b), если дан график функции у = f(x):

• нарисовать график функции у = f(x);
• получить график функции у = f(x + b), сдвинув исходный на вектор b = (-b; 0), как описано в п. 5.1;
• получить график функции у = f(kx + b), “сжав” предыдущий в к раз к оси Оу, как описано выше.

Пример:

Написать последовательность преобразований и построить график функции у = .

Решение:

• нарисуем график функции у = √х;
• о получим график функции у = , сдвинув исходный на 4 единицы влево вдоль оси Ох;
• о получим график функции у = , сжав предыдущий в 5 раз к оси Oy и затем отобразив симметрично относительно оси Оу.

Построение графика показано на рис. 55

Замечание:

Теперь понятно, что если функция у = f(x) периодическая с периодом Т, то функция у = К ∙ f(kx + b) + а тоже периодическая с периодом T₁ = . (п. 3.5 лекции 3). Действительно, график последней функции получается из исходного сдвигом вдоль оси Ох, что не меняет период, последующим “сжатием“ вдоль оси Ох, что “уменьшает» период в |k| раз (период T делится на |k|), и окончательным умножением всех ординат на К с последующим прибавлением а, что также не изменяет получившийся период T₁ =

Построение графиков с модулями

График функции у = ∣f(x)∣ получается из графика функции у = f(x) следующим образом (рис. 56)

• все части графика функции у = f(x), лежащие ниже оси Ох, следует отобразить вверх симметрично относительно этой оси;
• оставшиеся внизу части исходного графика следует стереть.

Действительно, по определению модуля действительного числа имеем:
(5.1)

Таким образом, те участки исходного графика, которые лежат не ниже оси Ox (f(x) ≥ 0), менять не нужно, а для тех участков, которые лежат ниже оси Ох, нужно построить функцию у = —f(x). В соответствии с п. 5.2 это получается симметричным отображением исходного графика относительно оси Ох. Заметим, что полученный график лежит не ниже оси Ох, что естественно, т.к. |f(x)| ≥ 0 для ∀x ∈ D(f).

Рис. 55. Построение графика функции у = Рис. 56. Построение графика функции у = |f(x)|

Пример:

Построение графика функции у = |х² — 1| показано на рис. 57.

График функции у = f (|x|) получается из графика функции у = f(х) следующим образом (рис. 58):

• все части графика функции у = f(x), лежащие слева от оси Оу, следует стереть;
• о оставшуюся часть графика следует отобразить налево симметрично относительно оси Оу.

Действительно, по определению модуля действительного числа имеем:
(5.2)

Рис. 57. Построение графика функции у = |x² — 1|

Таким образом, не нужно изменять те участки исходного графика, для которых х ≥ 0, а для х Рис. 58. Построение графика функции у = f(|x|)

Пример:

Построение графика функции у = (|x| — 2)² показано на рис. 59

Элементарными методами можно строить эскизы графиков более сложных функций.

Пример:

Построить эскиз графика у =

Решение:

Построение графика показано на рис. 60. Заметим, что график отсутствует там, где sin х Рис. 59. Построение графика функции у = (∣x∣ — 2)²

Кроме того, так как √u > и при 0 Рис. 60. Построение графика функции у = √sinx

Построение графиков функций с примерами

Пример:

C помощью элементарных преобразований постройте график функции: у = x² — х — 2.

Решение:

Выделим полный квадрат из правой части уравнения функции: у = x² — х — 2 ⇔ y = x²-x+ ⇔ у = . График этой функции получается следующей последовательностью элементарных преобразований (рис. 61):
1) y =x²
2) у =. Сдвиг вправо вдоль Ox на .
3) у = . Сдвиг вниз вдоль Oy на .

Рис. 61. Построение графика функции у = x² — х — 2

Пример:

Используя сложение, деление функций, постройте график функции: у = х + .

Решение:

В одних осях координат нарисуем графики следующих функций (рис. 62):
1) у = х,
2) y=,
3) y = x + .

Рис. 62. Построение графика функции у = х +

Пример:

Постройте график сложной функции у = sin² х.

Решение:

В одних осях координат нарисуем графики функций:

1) y = sin x,
2) y = sin² х.

Учитывая, что квадрат числа меньшего единицы, меньше исходного числа, получим график (рис. 63)

Рис. 63. Построение графика функции у = sin² х

Пример:

Постройте график функции в полярной системе координат: r = (прямая линия).

Решение:

Вычислим значения г для некоторых значений ∈ (0; π) — см. таблицу.

	0
r	∞	2			∞

Рис. 64. График функции r =

Соединив плавной линией найденные точки, получим линию вдоль оси Ох, проходящую через точку (0;1). Докажем что эта линия — прямая (рис. 64). Действительно: из Δ ОAВ ⇒ cos = = ⇒ r = .

Пример:

Постройте линию, описываемую уравнением, у =

Решение:

Сначала построим график функции у = (рис. 65). Затем, пользуясь определением |x| (2.1), строим график (рис. 66) функции у =

Наконец, строим линию описываемую уравнением у = (рис. 67):

Рис. 65. График функции у = Рис. 66. График функции у = Рис. 67. График функции у =

Пример:

Постройте линию, описываемую уравнением у =

Решение:

Для построения графика данного примера сначала постройте график функции у =. Затем, в соответствии с определением |х|, сотрите ту часть графика, которая расположена слева от оси Оу, а оставшуюся справа часть, отразите симметрично оси Оу.

Рис. 68. График функции у =

Пример:

Постройте линию, описываемую уравнением у = |х² — х -2|.

Решение:

Для построения графика данного примера сначала постройте график функции у = х² — х — 2. Затем отразите симметрично оси Ox ту часть графика, которая осталась снизу от оси Ох. Затем сотрите ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости.

Рис. 69. График функции у = |х² — х — 2|

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник