Основные способы преобразования графиков 11 класс никольский видеоурок

основные способы преобразования графиков функций
презентация к уроку по алгебре (11 класс)

У рок изучения нового материала ,включающий элементы исследовательской деятельности учащихся

Форма проведения урока

Темы интегрируемых предметов

Построение графиков в программе Microsoft Office Excel

Общее количество часов

Содержание и компоненты интеграции:

Межпредметная интеграции: алгебра и информатика

1. овладение опытом исследовательской деятельности при нахождении нового для учащихся вида преобразования графиков, закрепление умений преобразовывать графики функций элементарными способами — симметрия, сдвиг, сжатие-растяжение;
2. Формирование ИКТ-грамотности: применение возможностей программы Microsoft Office Excel для построения и исследования графиков элементарных функций, а также для решения некоторых математических задач

1. Развитие мыслительной деятельности. Формирование умений оценивать и интегрировать информацию: анализировать и сравнивать графики функций, обобщать и применять полученные знания к преобразованию графиков различных элементарных функций
2. Развитие познавательной активности
3. Развитие памяти, внимания, самостоятельности при работе на компьютере

1. Формирование познавательного интереса путем описания математических объектов автоматическими средствами представления данных
2. Воспитание аккуратности, терпения, усидчивости
3. Воспитание понятия красоты и гармонии в науке

Проектирование образовательных результатов

Учащиеся должны знать основные способы преобразования графиков функций;

• строить графики элементарных функций
• применять способы преобразования графиков функций
• применять возможности компьютерной программы Microsoft Office Excel для построения графиков функций

Информационно-образовательная среда урока

1. Персональные компьютеры на каждого ученика (при нехватке компьютеров учащиеся могут выполнять практические задания в парах).
2. Мультимедийный проектор.
3. Презентация «Основные способы преобразования графиков функций».
4. Карточки –задания для практической работы для учащихся.

Целесообразность использования ИКТ на конкретном этапе урока

Одним из важнейших моментов математического образования является его практическая направленность. Ученики должны понимать, как они могут использовать полученные знания, умения и навыки,

Исследовательская деятельность учащихся

Скачать:

Вложение	Размер
основные способы преобразования графиков функций	714.5 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Основные способы преобразования графиков функций

— учиться иметь и высказывать собственное мнение; — развивать умение учиться самостоятельно — узнать что-то новое о графиках; мне это интересно; — узнать что-то новое, потому что мне это пригодится в дальнейшей учебе; — отрабатывать умение выполнять известные мне математические операции. цели для выбора :

Элементарные функции Основными элементарными функциями называются следующие функции : степенная функция показательная функция логарифмическая функция , тригонометрические функции 09.04.19

В чистом виде основные элементарные функции встречаются, к сожалению, не так часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных элементарных при помощи добавления констант и коэффициентов. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат).

функция представляет собой квадратичную параболу , сжатую втрое относительно оси ординат, симметрично отображенную относительно оси абсцисс, сдвинутую против направления этой оси на 2/3 единицы и сдвинутую по направлению оси ординат на 2 единицы.

Давайте разберемся в этих геометрических преобразованиях графика функции пошагово на конкретных примерах .

Практическая работа – сдвигом вдоль оси Oy на ______( a) единиц (вверх, если a >0, и вниз, если a 0 ,и влево, если b 0, и вниз, если a 0, и вниз, если a 0 , ивлево, если b 0, и вниз, если a 0 , ивлево, если b 0, и вниз, если a 0 , ивлево, если b 0, и вниз, если a 0 , ивлево, если b 0, и вниз, если a 0 , И влево, если b 0, и вниз, если a 0 , ивлево, если b 0, и вниз, если a 0 , ивлево, если b Мне нравится

Источник

Урок алгебры по теме «Основные способы преобразования графиков функций». 11-й класс

Класс: 11

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (346 кБ)

По учебнику Никольского С.М., Потапова М.К. и др. «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс».

Тип урока: обобщающий интегрированный (математика + информатика) урок-практикум, включающий элементы исследовательской деятельности учащихся

Цели урока:

1. Обобщение и закрепление знаний, умений и навыков, полученных при изучении данной темы.
2. Формирование ИКТ-грамотности:
   • применение возможностей программы Microsoft Office Excel для построения и исследования графиков элементарных функций, а также для решения некоторых математических задач
   • формирование умений и навыков работы в электронных таблицах (автозаполнение, построение формул, построение графиков функций)

1. Развитие мыслительной деятельности. Формирование умений оценивать и интегрировать информацию: анализировать и сравнивать графики функций, обобщать и применять полученные знания к преобразованию графиков различных элементарных функций
2. Развитие познавательной активности
3. Развитие памяти, внимания, самостоятельности при работе на компьютере

1. Формирование познавательного интереса путем описания математических объектов автоматическими средствами представления данных
2. Воспитание аккуратности, терпения, усидчивости
3. Воспитание понятия красоты и гармонии в науке

Ожидаемый результат:

Учащиеся должны знать основные способы преобразования графиков функций;

• строить графики элементарных функций
• применять способы преобразования графиков функций
• применять возможности компьютерной программы Microsoft Office Excel для построения графиков функций и решения задач, связанных с построением графиков функций

Оборудование:

1. Персональные компьютеры на каждого ученика (при нехватке компьютеров учащиеся могут выполнять практические задания в парах).
2. Мультимедийный проектор.
3. Презентация «Основные способы преобразования графиков функций».

Ход урока

I. Организационный момент, проверка готовности к уроку

II. Актуализация знаний

Учитель сообщает учащимся тему и цель урока. Основная задача урока — закрепление навыков использования теоретических знаний, приобретённых учащимися по данной теме, при решении практических задач с помощью электронных таблиц.

Для актуализации знаний демонстрируется презентация «Основные способы преобразования графиков функций». Учащиеся с места комментируют слайды презентации.

III. Практическая часть (самостоятельная работа)

Учащиеся получают карточки-задания для практической работы (слайд 13 презентации).

Работа выполняется на компьютере с помощью программы Microsoft Office Excel. Каждому ученику необходимо построить не менее трёх графиков (на выбор или в соответствии с заданием на карточке, выданной учителем) так, чтобы на рисунке отражались все этапы построения графика (аналогично примерам, рассмотренным в презентации). На слайдах 14-20 презентации показаны графики, которые должны получиться у учащихся (конечный график выделен бирюзовым цветом).

Пример. Построить график функции у = 1/2 sin (3x) – 2.

Чтобы все этапы построения графика отображались на рисунке (для наглядности происходящих с функцией преобразований), ученик должен заполнить таблицу по следующему образцу:

А	B	C	D	E
1	х	у1	у2	у3	у4
2	-8	=SIN(A2)	=SIN(3*A2)	=0,5*C2	=D2-2

Интервал для значений х можно выбрать, например, от -8 до 8 с шагом 0,2.

Выполнив автозаполнение и выделив всю получившуюся таблицу, ученик создаёт диаграмму (тип диаграммы – точечная, со значениями соединенными сглаживающими линиями):

Рис. 1

На этом рисунке график исходной функции у = sin x изображён линией синего цвета, график функции у = 1/2 sin (3x) – 2 изображён линией бирюзового цвета.

Если кто-то из учеников быстрее других справится с заданием, он может построить ещё один график из предложенного списка или помочь кому-то из одноклассников.

IV. Демонстрация практических приложений полученных знаний, умений и навыков

Одним из важнейших моментов математического образования является его практическая направленность. Ученики должны понимать, как они могут использовать полученные знания, умения и навыки, какие практические задачи они смогут решить с их помощью.

На этом этапе урока ученики рассматривают некоторые возможности применения полученных знаний и умений по данной теме.

• Математическое моделирование

В качестве домашнего задания к уроку несколько учащихся класса должны были разработать электронные шаблоны построения графиков элементарных функций:

Рис. 2

При составлении электронной таблицы для выполнения данного задания необходимо воспользоваться абсолютной адресацией с указанием адресов тех ячеек, в которые будут вводиться значения входящих в формулу функции параметров. Таким образом, с помощью одного шаблона можно будет построить целое семейство графиков функций, а также проследить за преобразованиями, происходящими с функцией при изменении значения того или иного параметра.

Пример. Создать шаблон для построения графика функции y = а(х-m) 2 + b

Составляем таблицу, используя абсолютную адресацию:

А	B	C	D	E	F
1	x	y	y1	Значения параметров
2	-5	=A2^2	=$F$2*(A2-$F$3)^2+$F$4	a =
3	-4,8	=A3^2	=$F$2*(A3-$F$3)^2+$F$4	m =
4	-4,6	=A4^2	=$F$2*(A4-$F$3)^2+$F$4	b =

При значениях а = 3, m = 2, b = -3 получается диаграмма:

Рис. 3

где линией синего цвета показан график основной функции у = х 2 , а линией розового цвета график функции у = 3(х – 2) 2 – 3.

Ученики, выполнившие это задание дома, представляют с помощью мультимедийного проектора результаты своей работы. Набор электронных шаблонов, созданных учащимися, может быть оформлен в одну электронную книгу в качестве пособия по построению графиков функций, которое может пополнить школьную методическую копилку. (См. Приложение 1, листы 1-6)

• Использование графиков функций при решении некоторых задач

Ученики другой части класса в качестве домашнего задания к уроку готовили примеры, показывающие использование графиков функций при решении следующих задач:

• решение уравнений;
• решение систем уравнений;
• решение задач с параметром.

Задача 1. Решить уравнение 2х 2 — 23х + 65 = 0

Задача 2. Найти наименьший положительный корень уравнения

Рис. 4

Задача 3. Решить систему уравнений

Рис. 5

Задача 4. Сколько корней может иметь уравнение 2х 3 -3х 2 -12х = а при различных значениях параметра а?

Учащиеся, выполнявшие это задание, также демонстрируют классу результаты своей работы. (См. Приложение 2, листы1-4)

Источник

Конспект к уроку «Основные способы преобразования графиков»11 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Ново-Девяткинская СОШ №1»

«Основные способы преобразования графиков функций»

(для учащихся 11 класса)

Тип урока: комбинированный урок

Бабаченко Наталья Алексеевна

Тема урока: «Основные способы преобразования графиков функций».

Цель урока — организация продуктивной деятельности школьников, направленной на достижение ими:

1. Предметных результатов :

закрепление умений преобразовывать графики функций элементарными способами — симметрия, сдвиг, сжатие-растяжение; понимание значимости умения построить график для исследования свойств функции; отработка умения оперировать математическими терминами, уверенно их употреблять в письменной и устной работе;

умение читать, различать и строить графики функций и по графику определять свойства функций;

овладение опытом исследовательской деятельности при нахождении нового для учащихся вида преобразования графиков.

2. Метапредметных результатов :

освоение способов деятельности:

исследование несложных практических ситуаций, выдвижение предложений, понимание необходимости их проверки на практике;

умение мотивированно отказаться от образца, искать оригинальное решение;

умение классифицировать объекты по определённым признакам;

умение вступать в речевое общение, принимать и понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнение;

умение перефразировать мысль (объяснить «иными» словами);

поиск и устранение причин возникших трудностей; оценивание своих учебных достижений.

3. Личностных результатов:

стимулировать способность иметь собственное мнение;

умение учиться самостоятельно;

умение хорошо говорить и легко выражать свои мысли;

учиться применять полученные знания и навыки к решению новых проблем;

умение уверенно и легко выполнять математические операции.

Используемая литература и оборудование .

Алгебра и начала анализа.10-11 кл.:Учеб.-метод. пособие/ М.И.Башмаков и др. – М.:Дрофа,2001.

Устные занятия по математике в ст. классах/ пособие для учителя, Кононов А.Я. – М.: АО «Столетие»,1997

УМК: Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /С.М.Никольский и др. – М.:Просвещение,2007.

Пособие для учителя «Рабочие программы В.Зыкина»

Компьютер + интерактивная доска+мультимедиапроектор+МФУ.

1.Организационный момент (1 мин.)

Учитель : Добрый день, ребята! Мне приятно снова видеть Вас! Надеюсь вместе с вами, что скоро наступит «бабье лето» , у всех хорошее настроение, и мы готовы приступить к работе. Поприветствуем наших гостей.

Тема нашего урока « Основные способы преобразования графиков » .

Сегодня в течение урока вы будете заполнять лист самоконтроля, в котором будут отражены результаты вашей работы. В конце урока вы подсчитаете количество заработанных вами баллов и выставите себе отметку за урок.

2.Постановка цели. (3 мин.)

Учитель: Сегодняшний урок мне хочется начать с отрывка из одной известной сказки.

« В нескольких шагах от неё сидел Чеширский Кот.

Скажите, пожалуйста, куда мне отсюда идти?

— Это во многом зависит от того, куда ты хочешь прийти, — ответил Кот.

— Да мне почти все равно, — начала Алиса.

— Тогда все равно, куда идти, — сказал Кот.

— Лишь бы попасть куда-нибудь, — пояснила Алиса.

Не беспокойся, куда-нибудь ты обязательно попадешь, — сказал Кот, — конечно, если не остановишься на полпути .

Учитель : Ребята, как называется сказка, кто её написал?

Учащиеся: Это отрывок из сказки «Алиса в стране чудес». Её написал Льюис К э р р ол л .

Учитель: Так что же хотел сказать Алисе Кот?

Учащиеся: Перед тем, как что-то делать, надо поставить цель.

Учитель: Каждый из вас сегодня поставит перед собой личную цель. Выберите из предложенных и з апишите ее на листе самоконтроля. Обратите внимание, что все эти цели важны, но вы должны выбрать одну цель, по которой в конце урока вы сможете судить о пользе вашей деятельности на уроке.

Представлены цели для выбора:

— учиться иметь и высказывать собственное мнение;

— развивать умение учиться самостоятельно

— узнать что-то новое о графиках; мне это интересно;

— узнать что-то новое, потому что мне это пригодится в дальнейшей учебе;

— отрабатывать умение выполнять известные мне математические операции.

(учащиеся выбирают одну цель из представленного им списка целей и в лист самоконтроля записывают ее.)

3. Актуализация знаний учащихся. Фронтальный опрос. (4-5 мин.)

Учитель : На дом было задано вспомнить все известные вам способы преобразования графиков функций, воспользовавшись учебником п.1.6. Качество выполнения вами д/з мы сейчас проверим фронтальным опросом.

Назовите номера лишних рисунков, на которых изображены графики функций. Почему вы считаете их лишними? Дайте определение функции.

Пользуясь графиком, назовите свойства функции по предложенному плану.

Используется демонстрационный материал из «Рабочие программы В.Зыкина» — 10 кл. ДМ -14

(Отметим, что график функции лишь иллюстрирует свойства функции, но не доказывает их. Это одно из элементарных средств исследования функции.)

Назовите исходную функцию и способ преобразования, которым получен данный график.

Математический диктант.(5-6 мин.)

Учитель: Ответы на математический диктант прошу записать в лист самоконтроля под соответствующим номером. Будьте внимательны. Исправления не допускаются и будут считаться ошибкой.

Какое наименьшее значение принимает функция y=x²-2x+1? (0)

Какой знак имеет функция y=cos2? (отрицательный)

При каких значениях x функция y= x²-5x-6 обращается в нуль? ( 6; -1)

Найдите область определения функции (x≠πk, k ϵZ )

Преобразования графиков. (по уровням)

Вариант А1 Вариант Б1

Взаимопроверка математического диктанта по предложенным правильным ответам.

Выставление в лист самоконтроля заработанных баллов.

Исследовательская работа по добыванию нового материала.

Учитель: Постройте график функции x=2y . Чем отличается эта функция от ранее изученных? Какая переменная является зависимой? Назовите функцию.

Как можно выполнить построение, используя наши умения и навыки?

Учащиеся: 1) преобразовать формулу в вид

2) строить по точкам, используя таблицу: y – аргумент; x — функция.

Учитель: Предлагаю разделиться и по вариантам проверить оба предложенных способа. 1 вариант преобразует формулу и построит получившуюся функцию.

2 вариант будет строить по таблице. Будьте внимательны при построении точек по координатам.

Учитель: Ребята, посмотрите в тетрадь к соседу. Сделайте вывод о полученном результате.

Учащиеся: Получилась одна и та же линейная функция. Результат не зависит от способа построения.

Учитель: Постройте на этой же координатной плоскости график похожей функции y=2x.

Сравните формулы, чем похожи? Чем отличаются?

Учащиеся: похожи на линейную функцию, отличаются тем, что аргумент и функцию «поменяли местами».

Учитель: Постройте график функции x=2 y . Теперь 1 вариант строит по этой формуле, используя таблицу значений аргумента и функции, а 2 вариант преобразует формулу в привычный вид, где функция – это y . Какую формулу вы получили?

Учитель: Сверьтесь с соседом и убедитесь, что получили одинаковые графики.

Постройте на этой же координатной плоскости график функции y =2 x

Сравните формулы, чем похожи? Чем отличаются?

Учащиеся: похожи на показательную функцию, отличаются тем, что аргумент и функцию «поменяли местами».

Учитель: Ребята, мы уже встречались с математическими объектами, которые отличались друг от друга порядком расположения «составляющих».

Например, числа 2/9 и 9/2. Что общего у них с парами наших графиков.

Как называются такие числа?

Учащиеся: Числитель и знаменатель меняются местами. Это взаимно обратные числа.

( Хорошо бы еще вспомнить из геометрии свойства и признаки, например, равнобедренного треугольника или параллельных прямых)

Такие функции мы назовем обратными.

7 . Закрепление нового материала.

Посмотрите на графики, построенные нами и найдите способ преобразования, которым можно из одной функции получить ей обратную.

Учитель: Графики обратных функций симметричны относительно прямой y = x

Учитель: Итак, мы узнали еще один способ преобразования, которым можно получить график неявно заданной функции. Это симметричное отображение относительно прямой y=x .

Давайте потренируемся в узнавании таких функций и попытаемся по графику задать функцию формулой.

Решение, а) На рисунке 20, а изображена парабола у = ах 2 , проходящая через точку (1; 2). Так как 2 = а • 1 2 при а = 2, то это парабола у = 2х 2 .

б) На рисунке 20, б изображена парабола у = ах 2 , проходящая через точку (1; —2). Так как — 2 = а • 1 2 при а = -2, то это парабола у =-2х 2 .

в) На рисунке 20, в изображена парабола х = ay 2 ,

проходящая через точку (2; 1). Так как 2 = а • 1 2 при а = 2, то это парабола х = 2у 2 .

г ) На рисунке 20, г изображена парабола у = ах 2 , проходящая через точку (-2; 1). Так как -2 = а • 1 2 при а = -2, то это парабола x=-2y 2

д) На рисунке 20, д изображена парабола у = а (х — 1) 2 + 1, так как ее вершина (х ₀ ; у ₀ ) имеет координаты (1; 1). Парабола проходит через точку (0; 3), поэтому из равенства 3 = а (0 — 1) 2 + 1 следует, что а = 2. Итак, это парабола y =2(х-1) 2 + 1.

е) На рисунке 20, е изображена парабола у = а (х — 1) 2 + 2, так как ее вершина (х ₀ ; у ₀ ) имеет координаты (1; 2). Парабола проходит через точку (0; 0), поэтому из равенства 0 = а (0 — 1) 2 + 2 следует, что а = -2. Итак, это парабола у = -2 (х — 1 ) 2 + 2.

8. Закрепление нового материала. Самостоятельная работа.

Выполните необходимые преобразования и задайте формулой функцию изображенного на рисунке графика.

1) Построить симметрию

2) Задать формулой получившийся график

3) Сделать замену в формуле и получить формулу данной функции

9. Проверка самостоятельной работы.

10.Подведение итогов урока.

1. Фронтальная работа

2. Математический диктант

3. Исследовательская работа

4. Самостоятельная работа

ИТОГ МОЕЙ РАБОТЫ

Менее 4 баллов – «2»

Сейчас вы оцените свою работу на уроке. Внесите в лист самоконтроля заработанные вами баллы. Подведите итог и выставьте отметку согласно шкале перевода баллов в отметку.

Что нового вы узнали на уроке?

Посмотрите на свою личную цель на листе самоконтроля и скажите, достигли ли вы ее?

11. Домашнее задание.

Используйте изученные способы преобразования графиков для построения.

Источник