Основные способы анализа связей переменных

Анализ связи между двумя переменными

Хотя результаты одномерного анализа данных часто имеют самостоятельное значение, большинство исследователей уделяют основное внимание анализу связей между переменными. Самым простым и типичным является случай анализа взаимосвязи (сопряженности) двух переменных. Используемые здесь ме­тоды задают некоторый логический каркас, остающийся почти неизменным и при рассмотрении более сложных моделей, включающих множество перемен­ных. Устойчивый интерес социологов к двумерному и многомерному анализу данных объясняется вполне понятным желанием проверить гипотезы о при­чинной зависимости двух и более переменных. Ведь утверждения о причин­ных взаимосвязях составляют фундамент не только социальной теории, но и социальной политики (по крайней мере, так принято считать). Так как возмож­ности социологов проверять причинные гипотезы с помощью эксперимента, как уже говорилось, ограниченны, основной альтернативой является статистический анализ неэкспериментальных данных.

В общем случае для демонстрации причинно-следственного отношения между двумя переменными, скажем, X и Y, необходимо выполнить следующие требо­вания:

1) показать, что существует эмпирическая взаимосвязь между переменными;

2) исключить возможность обратного влияния Y на Х;

3) убедиться, что взаимосвязь между переменными не может быть объяснена зависимостью этих переменных от какой-то дополнительной переменной (или переменных).

Первым шагом к анализу взаимоотношений двух переменных является их пе­рекрестная классификация, или построение таблицы сопряженности. Речь идет о таблице, содержащей информацию о совместном распределении переменных. Допустим, в результате одномерного анализа данных мы установили, что люди сильно различаются по уровню заботы о своем здоровье: некоторые люди регу­лярно делают физические упражнения, другие — полностью пренебрегают за­рядкой. Мы можем предположить, что причина этих различий — какая-то дру­гая переменная, например, пол, образование, род занятий, доход и т. п.

Пусть мы располагаем совокупностью данных о занятиях физзарядкой и обра­зовании для выборки горожан. Для простоты мы предположим, что обе пере­менные имеют лишь два уровня: высокий и низкий. Так как данные об образо­вании исходно разбиты на большее количество категорий, нам придется их пе­регруппировать, разбив весь диапазон значений на два класса. Предположим, мы выберем в качестве граничного значения 10 лет обучения, так что люди, получившие неполное среднее и среднее образование, попадут в «низкую» гра­дацию, а остальные — в «высокую». (Это, конечно, большое огрубление, но мы используем его из соображений простоты.) Для занятий физическими упраж­нениями мы соответственно воспользуемся двумя категориями — «делают физ­зарядку» и «не делают физзарядку». Таблица 8.3 показывает, как могло бы выг­лядеть совместное распределение этих двух переменных.

Таблица 8.3

Взаимосвязь между уровнем образования и занятиями физкультурой

Занятия физкультурой	Уровень образования	Всего
низкий	высокий
делают зарядку
не делают зарядку
всего

В таблице 8.3 два столбца (для образования) и две строки (для занятий физ­культурой), следовательно, размерность этой таблицы 2×2. Кроме того, име­ются дополнительные крайний столбец и крайняя строка (маргиналы табли­цы), указывающие общее количество наблюдений в данной строке или в столб­це. В правом нижнем углу указана общая сумма, т. е. общее число наблюдений в выборке. Не давшие ответа уже исключены (для реальных данных их число также стоит указать, но не в таблице, а в подтабличной сноске). Заметим здесь, что многие исследователи при построении таких таблиц пользуются неписа­ным правилом: для той переменной, которую полагают независимой, отводит­ся верхняя строка (горизонталь), а зависимую располагают «сбоку», по верти­кали (разумеется, соблюдение этого правила не является обязательным и ниче­го с точки зрения анализа не меняет).

Обычно характер взаимоотношений между переменными в небольшой табли­це можно определить даже «на глазок», сравнивая числа в столбцах или стро­ках. Еще легче это сделать, если вместо абсолютных значений стоят проценты. Чтобы перевести абсолютные частоты, указанные в клетках таблицы, в про­центы, нужно разделить их на маргинальные частоты и умножить на 100. Если делить на маргинал столбца, мы получим процент по столбцу. Например, %, т. е. 19,6% имеющих низкий уровень образования делают зарядку (но не наоборот!). Если делить на маргинал строки, то мы получим другую величину — процент по строке. В частности, можно заметить, что 80% делающих зарядку, составляют люди с высоким уровнем образования Деление на общую численность выборки дает общий процент. Так, всего в выборке 50% людей, делающих зарядку.

Так как вывод о наличии взаимосвязи между переменными требует демонстра­ции различий между подгруппами по уровню зависимой переменной, при ана­лизе таблицы сопряженности можно руководствоваться простыми правилами. Во-первых, нужно определить независимую переменную и, в соответствии с принятым определением, пересчитать абсолютные частоты в проценты. Если независимая переменная расположена по горизонтали таблицы, мы считаем проценты по столбцу; если независимая переменная расположена по вертика­ли, проценты берутся от сумм по строке. Далее сравниваются процентные по­казатели, полученные для подгрупп с разным уровнем независимой перемен­ной, каждый раз внутри одной категории зависимой переменной (например, внутри категории делающих зарядку). Обнаруженные различия свидетельству­ют о существовании взаимосвязи между двумя переменными. (В качестве упражнения примените описанную процедуру к таблице 8.3, чтобы убедиться в наличии связи между уровнем образования и занятиями физкультурой.)

Отметим специально, что элементарная таблица сопряженности размерности 2×2 — это минимально необходимое условие для вывода о наличии взаимосвязи двух переменных. Знания о распределении зависимой переменной недоста­точно. Нельзя, например, утверждать, будто из того, что 75% детей-первенцев имеют интеллект выше среднего, а 25% — средний и более низкий, следует зависимость между порядком рождения и интеллектом. Необходимо проанали­зировать и распределение показателей интеллекта для детей-непервенцев. Ва­рьировать должна не только зависимая, но и независимая переменная.

Для таблиц размерности 2 х 2 и более можно рассчитать специальные показате­ли (статистики), дающие суммарное выражение степени взаимосвязи, ассоциа­ции между двумя переменными. Таких мер связи довольно много. Для случая двух номинальных переменных существуют два основных подхода к подсчету коэффициентов взаимосвязи. Проанализировав их общую логику, мы получим возможность ориентироваться в многообразии конкретных показателей, пред­лагаемых прикладными программами анализа данных. Первый подход базиру­ется на статистике, называемой «хи-квадрат». На ее основе можно рассчитать несколько коэффициентов взаимосвязи. Рассмотрим в качестве примера коэф­фициент «фи» (греч.j), формула для которого была впервые предложена сэром Карлом Пирсоном в 1901 году специально для того, чтобы сделать возможным анализ взаимосвязи между двумя переменными, измеренными на неколичествен­ном уровне.

Источник

Основные способы анализа связей переменных

Анализ взаимосвязей, присущих изучаемым процессам и явлениям, является важнейшей задачей исторических, как впрочем и многих других, исследований. В тех случаях, когда речь идет о явлениях и процессах, обладающих сложной структурой и многообразием свойственных им связей, такой анализ представляет собой сложную задачу. Прежде всего необходимо установить наличие взаимосвязей и их характер. Вслед за этим возникает вопрос о тесноте взаимосвязей и степени воздействия различных факторов (причин) на интересующий исследователя результат. Если черты и свойства изучаемых объектов могут быть измерены и выражены количественно, то анализ взаимосвязей может вестись на основе применения математических методов. Использование этих методов позволяет проверить гипотезу о наличии или отсутствии взаимосвязей между теми или иными признаками, выдвигаемую на основе содержательного анализа. Далее, лишь посредством математических методов можно установить тесноту и характер взаимосвязей или выявить силу (степень) воздействия различных факторов на результат.

Наиболее разработанными в математической статистике методами анализа взаимосвязей являются корреляционный и регрессионный анализ. Но прежде чем переходить к их характеристике, остановимся на вопросе о характере и форме тех взаимосвязей, которые присущи объективным явлениям природы и общества.

Функциональные зависимости. Функциональная зависимость двух количественных признаков или переменных состоит в том, что каждому значению одной переменной всегда соответствует одно определенное значение другой переменной. Например, при строительстве железных дорог на километр пути приходится вполне определенное количество уложенных рельсов. Поэтому рассматривая статистические данные по таким количественным признакам: у— длина уложенного железнодорожного пути (в км), х—количество истраченного на строительстве рельсового проката (в тоннах), мы будем иметь дело с функциональной зависимостью определенного вида. Рассмотрим эту зависимость подробнее на условном примере:

Соотношение между признаками, отображенное в таблице, удобно представить в наглядной графической форме, рассматривая числовые данные как координаты точек в прямоугольной системе координат (рис. 8).

Графическим изображением анализируемой зависимости (полученным путем соединения непрерывной линией точек, соответствующих данным таблицы) служит прямая линия. Такая зависимость называется прямой пропорциональной зависимостью. Ее аналитическим выражением является уравнение y=kx, где k — коэффициент пропорциональности (в нашем случае &=100). Прямая пропорциональная зависимость представляет собой частный случай линейной зависимости, которая характеризуется уравнением

Графическим изображением линейной зависимости также служит прямая линия (рис. 9).

Линейная зависимость является наиболее простой и в определенном смысле универсальной формой связи многих явлений. Ее универсальность состоит в том, что более сложные зависимости часто можно рассматривать «в первом приближении» как линейные. Здесь мы подходим к выяснению роли функциональных зависимостей в анализе стати стических связей. Непосредственно функциональные зависимости в чистом виде редко встречаются в общественных явлениях. Связи обычно носят гораздо более сложный характер. Однако их описание во всей сложности часто затруднительно, да и нецелесообразно. Поэтому их рассматривают как соответствующие тем или иным видам функциональной зависимости. Простейшей формой функциональной связи является линейная зависимость, которая широко используется в регрессионном и особенно в корреляционном анализе. Гипотеза о линейной связи между исследуемыми признаками получила широкое распространение в анализе взаимосвязей. Лишь в том случае, если результаты применения гипотезы о линейной зависимости оказываются неудачными или имеются веские основания против линейной связи, используют более сложные функциональные зависимости.

Отметим наиболее употребительные формы функциональной зависимости, применяемые в статистическом анализе.

В случае если прямая линия не соответствует характеру используемых данных, можно использовать параболу (рис. 10). Аналитическое выражение ее имеет вид:

Наличие в этом уравнении члена a₂x 2 является простейшей формой учета нелинейности.

В том случае, когда мы имеем дело с затуханием роста или падения, удобно использовать гиперболические либо логарифмические зависимости (рис. 11 и 12). Математические выражения для гиперболической и логарифмической зависимостей выглядят так:

Процессы демографического и экономического роста описываются экспоненциальными зависимостями вида:

Графическое изображение этой зависимости (k>0, λ>0) иллюстрируется рис. 13.

Подбор подходящей функциональной зависимости на основе графического и логического анализа является важным этапом исследования взаимосвязей, особенно в тех случаях, когда линейная связь оказалась неприемлемой.

Статистические (корреляционные) зависимости. Функциональная зависимость между признаками предполагает их изолированность, она действует, так сказать, «при про чих равных условиях». В общественной жизни такие ситуации бывают крайне редко. Как правило, воздействие одной переменной (причины) на другую не изолировано от остальных факторов, а происходит, таким образом, что на изучаемую связь прямо или косвенно влияют многие другие факторы. Здесь налицо зависимость особого вида. Для описания и изучения такого рода зависимостей в науке используется понятие статистический, или корреляционной, связи.

В отличие от функциональной зависимости, когда каждому значению одного признака всегда соответствует определенное значение другого, при статистической зависимости одному и тому же значению одного признака могут соответствовать различные значения другого. Это происходит в силу того, что при статистической зависимости связь устанавливается между признаками (двумя, тремя и т. д.), которые изменяются не только в силу взаимодействия между собой, но и под воздействием множества различных неучтенных факторов. В результате множественного воздействия взаимно переплетающихся факторов связь между признаками существует и проявляется не в каждом отдельном случае, как при функциональной связи, а только в тенденции, «в среднем». Поэтому здесь установить наличие взаимосвязи и определить ее количественную меру можно не на основе единичных наблюдений, а лишь применительно к определенной совокупности объектов, т. е. в среднем по отношению к тем или иным массовым объектам или явлениям. Характеризующие эти объекты количественные показатели в источниковедении и в статистике называются массовыми данными.

Задачи анализа статистических связей. Анализ статистической, или корреляционной, связи предполагает выявление формы связи, а также оценку тесноты связи. Первая задача решается методами регрессионного анализа, вторая — методами корреляционного анализа. Регрессионный анализ сводится к описанию статистической связи с помощью подходящей функциональной зависимости. Корреляционный анализ позволяет оценивать тесноту связи посредством специальных показателей, причем выбор их зависит от вида функциональной зависимости, пригодной для адекватного описания рассматриваемой статистической взаимосвязи. Как указывалось, наиболее распространенной в изучении связей является гипотеза о линейной зависимости. Соответствующие ей методы корреляционного и регрессионного анализа наиболее полно разработаны в математической статистике. Прежде чем перейти к изложению этих методов, остановимся на двух общих вопросах, относящихся к корреляционному и регрессионному анализу.

Один из важных вопросов, возникающих в изучении связей,— установление «направления» зависимости. Пусть для простоты рассматривается связь между двумя признаками y и х. Какой из этих признаков следует считать подверженным влиянию, или результативным (зависимой переменной), какой — оказывающим влияние, или факторным (независимой переменной)?

Первостепенное значение в решении этого вопроса имеет содержательный анализ. Положим, мы рассматриваем связь между производительностью труда рабочих и стажем их работы. По-видимому, результативным признаком следует признать производительность труда, а факторным — стаж рабочего. Не всегда «направление» связи проявляется столь очевидно. Тогда при решении вопроса о выборе результативного признака на первый план выступает постановка содержательной проблемы, для исследования которой используется изучение взаимосвязей. Например, устанавливая «направление» связи между такими признаками, как доходность предприятий и их энерговооруженность, мы должны исходить из того, что же мы хотим установить в действительности: влияние внедрения новой техники и технологии на доходность предприятий или же потенциальные возможности предприятий в овладении передовой техникой и технологией. В первом случае результативным признаком естественно считать доходность, во втором — энерговооруженность.

Далее, корреляционный и регрессионный анализ могут применяться и дают вполне корректные результаты при соблюдении определенных условий. Это однородность исходных данных, независимость отдельных значений признака друг от друга и нормальность распределения изучаемых признаков. Некоторые способы проверки однородности, случайности и нормальности распределении данных указаны в гл. 9.

Условия применения корреляционного и регрессионного анализа, а также возникающие на практике нарушения условий и следствия этих нарушений рассмотрены в § 2 и 3 данной главы.

Линейная корреляция

Одной из основных мер связи в корреляционном анализе является линейный коэффициент корреляции.

Парный линейный коэффициент корреляции. С помощью парного линейного коэффициента корреляции измеряется теснота связи между двумя признаками. Линейный коэффициент корреляции чаще всего рассчитывается по формуле

где x_i и y_i — значения признаков х и у соответственно для i-ro объекта, i=1, . n; n — число объектов; и — средние арифметические значения признаков х и у соответственно.

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от —1 до +1. Равенство коэффициента нулю свидетельствует об отсутствии линейной связи. Равенство коэффициента —1 или +1 показывает наличие функциональной связи. Знак «+» указывает на связь прямую (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается аналогичным изменением другого признака), знак «—» — на связь обратную (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается противоположным по направлению изменением другого признака).

Пример 1. Используя данные табл. 1, рассчитаем коэффициент корреляции между доходом крестьянского хозяйства и стоимостью имеющегося в этом хозяйстве скота

Воспользуемся формулой (6.3), а промежуточные расчеты сделаем с помощью рабочей табл. 1, в которую введем необходимые для вычислений графы:

Как оценить полученное значение коэффициента корреляции? Велико оно или мало? О наличии или об отсутствии связи свидетельствует? Для ответа на эти вопросы проводят проверку значимости коэффициента.

Проверка значимости парного линейного коэффициента корреляции. Коэффициенты корреляции, как правило, рассчитываются для выборочных данных. Чтобы распространить полученные частные результаты на генеральную совокупность, приходится допустить некоторую ошибку, которую можно оценить с помощью средней квадратической ошибки. Средняя квадратическая ошибка для парного линейного коэффициента корреляции достаточно большой выборки вычисляется по формуле

где ρ — коэффициент корреляции генеральной совокупности; n — объем выборки.

В математической статистике доказано, что если признаки х и y распределены по нормальному закону, то в достаточно больших выборках коэффициенты корреляции можно считать распределенными нормально со средним значением ρ и средним квадратическим отклонением σ_r (нормальное распределение рассмотрено в гл. 4). Этот факт используется для построения доверительных интервалов коэффициента корреляции в генеральной совокупности, а также для проверки значимости выборочных коэффициентов корреляции, т. е. для проверки того, могло ли данное значение r получиться в выборке из некоррелированной генеральной совокупности (ρ=0) в силу простой случайности.

Очевидно, чем больше отклонение r от ρ, тем менее вероятно, что оно случайно. Так, для нормального распределения вероятность того, что выборочное значение r отличается от ρ больше чем на 3σ_r, меньше 0,01, т. е. величина нормированного отклонения может превысить значение 3 лишь в одном случае из ста. Таким образом, для проверки значимости r, задаваясь значением вероятности Р (например, Р=0,99), находят по табл. 1 приложения крити ческое значение t_кр (в данном случае t_кр=3) и сравнивают с ним фактическое значение t_ф где для ρ=0

Если , т. е. происходит маловероятное событие, предположение о некоррелированности признаков необосновано и коэффициент корреляции считается значимым. Если же , коэффициент корреляции считается незначимым.

Пример 2. Выясним, является ли значимым коэффициент корреляция между доходов крестьянского хозяйства и стоимостью скота в хозяйстве.

В нашем примере, задавшись степенью достоверности Р, равной 0,99 и найдя соответствующее ей в таблице 1 приложения значение t_кр=2.58, проводим сравнение. Поскольку t_ф=0.62/0,18=3,44 заметно превосходит табличное значение 2,58 и вероятность того, что это случайность, мала (0,01), связь между доходом крестьянского хозяйства и стоимостью имеющегося в нем скота следует признать значимой.

Поскольку вычисленный в примере 1 линейный коэффициент корреляции имеет положительный знак, то взаимосвязь между признаками прямая: чем больше скота в хозяйстве, тем больше доход, и чем меньше скота, тем доход меньше.

Заметим, что линейный коэффициент корреляции является показателем взаимной связи между признаками и не дает представления о том, какой из признаков является факторным, а какой — результативным (в формуле (6.3) признаки х и у совершенно равноправны).

Установив существенность взаимной связи между двумя признаками, можно поставить вопрос о тесноте связи. Напомним, что теснота линейной связи измеряется линейным коэффициентом корреляции, но такая оценка верна только для случая, когда расчеты проведены для генеральной совокупности. Для выборочных данных, что обычно имеет место в практике использования корреляционного анализа, необходимо выявить те границы, в пределах которых находится значение коэффициента корреляции генеральной совокупности, т. е. определить для него доверительные интервалы.

Доверительные интервалы для парного линейного коэффициента корреляции. После расчета выборочного коэффициента корреляции (r) и его средней квадратической ошибки (σ_r) устанавливается уровень достоверности выводов или доверительная вероятность. Для больших выборок соответственно выбранной вероятности Р по таблице нормального распределения определяется параметр t. Верхняя граница интервала получается прибавлением к выборочному коэффициенту корреляции t_σr, нижняя граница—вычитанием t_σr. Формула средней квадратической ошибки (6.4) содержит неизвестный на практике генеральный коэффициент корреляции. Обычно в расчетах его заменяют выборочным коэффициентом корреляции.

Пример 3. Определим доверительные интервалы для коэффициента, вычисленного в примере 1.

Полагая доверительную вероятность Р, т. е. вероятность, с которой гарантируются результаты, равной 0,98, находим в табл. 1 приложения соответствующее ей значение t, равное 2,33. Воспользовавшись формулой (6.4), где вместо ρ возьмем выборочный коэффициент корреляции r, равный 0,62, получим значение для средней квадратической ошибки

Поскольку t_σr=2.33*0.11=0.26, верхняя и нижняя границы равны соответственно 0,88 и 0,36. Другими словами, с вероятностью 0,98 линейный коэффициент корреляции генеральной совокупности находится в пределах от 0,36 до 0,88.

Важнейшей предпосылкой использования корреляционного анализа является нормальность распределения признаков в генеральной совокупности. Нормальность распределения или, по крайней мере, близость распределения к нормальному необходима для корректного проведения проверки значимости связи и вычисления доверительных интервалов. Методы проверки нормальности распределения см. в гл. 9.

Проверка значимости парного линейного коэффициента корреляции для случая малой выборки. При пользовании формулами (6,4) — (6.5) необходимо учитывать два ограничения. Во-первых, они верны для коэффициента корреляции генеральной совокупности и замена последнего выборочным коэффициентом корреляции является искусственным приемом. Риск заменить генеральный коэффициент корреляции существенно отличным от него выборочным коэффициентом увеличивается с уменьшением объема выборки п. Во-вторых, при выборках небольшого объема распределение выборочного коэффициента корреляции может значительно отличаться от нормального, а нормальность распределения является важнейшим условием корректного использования доверительных интервалов и проверки значимости коэффициентов.

Таким образом, при малых объемах выборок (практически при n Там же рассмотрены вопросы сравнения двух выборочных коэффициентов корреляции и оценки корреляции в генеральной совокупности. ), т. е. вычисляется фактическое значение t_ф величины t, подчиняющейся распределению Стьюдента:

и сравнивается с табличной или критической величиной t_кр, зависящей от числа k=n—2, где n—объем выборки, и от выбранной степени достоверности Р. Если , то приходят к выводу о наличии связи; если t_ф

Пример 4. В трех первых столбцах табл. 2 приведены данные, позволяющие анализировать зависимость различий в размерах отрезков, установленных реформой 1861 г. и соотношением форм эксплуатации по шести губерниям Черноземного центра. Вычислим линейный коэффициент корреляции между этими признаками и проверим его значимость (у — % отрезков, х — отношение числа оброчных крестьян к числу барщинных).

Рассчитав средние значения признаков ( =15,8, =0,4) и сделав промежуточные расчеты в рабочей таблице, вычислим коэффициент корреляции по формуле (6.3):

Для проверки значимости коэффициента воспользуемся формулой (6.6):

Табличное значение t_кр(k) находим в табл. 2 приложения. Оно расположено на пересечении строки с номером k=n—2 и столбца с удовлетворяющей исследователя степенью достоверности результата. Для нашего примера число степеней свободы k=6—2=4. Положив степень достоверности результата Р равной 0,80, на пересечении 4-й строки и соответствующего 0,90 столбца находим t_кр( k)=2,13.

Поскольку t_ф==2,7>t( k)==2,13, с риском ошибиться в 10 случаях из 100 отбрасываем гипотезу об отсутствии линейной связи, т. е. считаем, что связь между размером отрезков и формой эксплуатации крестьян существует.

Понятие о частной и множественной корреляции. С помощью парного линейного коэффициента корреляции выявляется связь между двумя признаками, один из которых можно рассматривать как результативный, другой — как факторный. Но в действительности на результат воздействуют несколько факторов. В связи с этим возникают два типа задач: задачи измерения комплексного влияния на результативную переменную нескольких переменных и задачи определения тесноты связи между двумя переменными при фиксированных значениях остальных переменных. Задачи первого типа решаются с помощью множественных коэффициентов корреляции, задачи второго типа — с помощью частных коэффициентов корреляции.

Частный, или чистый, коэффициент корреляции между двумя признаками при исключении влияния третьего признака (обозначим его символом r_12.3) рассчитывается по формуле ( Существует алгоритм, позволяющий вычислить частные коэффициенты корреляции при исключенном влиянии двух, трех и т. д. факторов. Этот рекуррентный алгоритм используется в машинном варианте (есть стандартные программы для ЭВМ). )

где индексы при r показывают номера признаков, связь между которыми оценивается.

Частный коэффициент корреляции первого и второго признаков при исключении влияния третьего оценивает тесноту линейной корреляционной связи между первым и вторым признаками при фиксированном значении третьего признака. Другими словами, он оценивает влияние на результативный (первый) признак изменения лишь второго признака.

Оценка влияния на результативный признак изменений третьего признака при постоянных значениях второго признака определяется по формуле

Значения частных коэффициентов корреляции заключаются в тех же пределах от —1 до +1, что и значения парных коэффициентов корреляции, и так же интерпретируются.

Пример 5. На основе данных табл. 1 оценить, какое из направлений хозяйства — скотоводческое или земледельческое — определяет доход в зажиточной группе крестьян.

Для решения этого вопроса в дополнение к рассчитанному в примере 1 коэффициенту r₁₂, показывающему тесноту взаимосвязи между доходом хозяйства и стоимостью скота в нем, вычислим еще два парных коэффициента корреляции: r₁₃—коэффициент связи между доходом, крестьянского хозяйства и уровнем землепользования в нем, r₂₃ — коэффициент связи между землепользованием крестьянского двора и стоимостью всего скота.

Получим r₁₂=0,62, r₁₃=0,52, r₂₃=0,74. Парные коэффициенты корреляции, показывающие тесноту связи между доходом и уровнем землепользования, между доходом и стоимостью скота, почти равны по величине. Отсюда можно сделать вывод о том, что ни та, ни другая формы хозяйствования не имеет преимущественного влияния на доход. Однако взаимосвязь между самими факторными признаками, т. е. между землепользованием и стоимостью скота (r₂₃), оказалась довольно тесной. Наличие же связи между факторными признаками может искажать действительную тесноту связи между результативным и факторными признаками. Расчет частных коэффициентов корреляции позволяет избавляться от этих искажений. Воспользовавшись формулами (6.7) и (6.8), вычислим коэффициенты r_12.3 и r_13.2.

Частный коэффициент корреляции между доходом крестьянского двора и стоимостью скота при постоянном показателе землепользования меньше, чем соответствующий парный коэффициент корреляции (0,41 против 0,62). По-видимому, взаимная зависимость между величиной дохода и стоимостью скота частично опосредствовалась через воздействие уровня землепользования.

Частная корреляция между доходом и землепользованием совсем мала (0,12) при довольно большом значении парного коэффициента (0,52). Это можно объяснить тем, что взаимная зависимость дохода и землепользования в значительной степени были усилена влиянием исключенного здесь фактора — стоимости скота.

Таким образом, частные коэффициенты корреляции позволяют установить тесноту взаимосвязи между двумя признаками при исключении влияния других переменных, но для окончательных выводов необходима проверка уровня значимости частных коэффициентов корреляции.

Значимость частных коэффициентов корреляции зависит не только от величины выборочного коэффициента и объема выборки, но также и от числа введенных в исследование переменных.

Для проверки значимости частных коэффициентов корреляции вычисляют величину по формуле

где r_ij.k — коэффициент корреляции между i и j признаками при исключенном влиянии k-го признака; m—количество исключенных признаков, и сравнивают ее с табличным или критическим значением, соответствующим принятому уровню значимости.

Наличие связи подтверждается, если вычисленное значение t_ф превосходит значение t_кр.

Пример 5 (продолжение). Проверить значимость частных коэффициентов корреляции, рассчитанных выше.

Воспользовавшись формулой (6.9), вычислим величины t_1ф для r_12.3 и t_2ф для r_13.2:

Для того чтобы найти табличные значения t_кр, нужно задаться степенью достоверности выводов и учесть число n—2—m, фигурирующее в формуле (6.9).

Табличное значение t_кр находится по табл. 2 приложения на пересечении строки с номером (n —2—m) и столбца, соответствующего заданной степени достоверности выводов.

В нашем примере в каждом коэффициенте число признаков, от которых мы абстрагируемся, равно 1 и, следовательно, n —2—m=31—2—1==28. Задавшись степенью достоверности, равной 0,90, по табл. 2 приложения находим значение t_кр, равное 1,7.

Поскольку t_1ф>t_кр, подтверждается наличие взаимосвязи между доходом и стоимостью скота. Для второго из рассматриваемых коэффициентов t_2ф

Множественный, или совокупный, коэффициент корреляции для случая трех признаков, один из которых — результативный (с номером 1) и два—факторных (с порядковыми номерами 2 и 3) рассчитывается по формуле ( Для расчетов используется такая формула

пригодная для случаев, когда число признаков, совокупное влияние которых исследуется, превосходит два. Существуют стандартные программы, вычисляющие R_{1(23. P)} )

где подстрочные индексы при r показывают номера признаков, связь между которыми оценивается этим коэффициентом корреляции.

Множественный коэффициент корреляции является показателем тесноты линейной связи между результативным признаком и совокупностью факторных признаков.

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1. Равенство его нулю говорит об отсутствии линейной связи, равенство единице—о функциональной связи. Указаний на то, является ли связь прямой или обратной, коэффициент не дает.

Пример 6. Рассчитать множественный коэффициент корреляции между величиной дохода крестьянского хозяйства и совокупным влиянием на него уровня землепользования и стоимости скота в хозяйстве.

Воспользуемся результатами предыдущих примеров: r₁₂=0.62; r₁₃=0.52; r₂₃=0.74. По формуле (6.10);

т. е. степень тесноты связи между доходом крестьянского хозяйства и совокупностью двух факторных признаков составляет 0,63.

Вопрос о значимости множественного коэффициента корреляции решается с помощью так называемого F-критерия. Величина F_ф, рассчитанная по специальной формуле, сравнивается с табличным (критическим) значением F_кр — распределения Фишера, соответствующим выбранной степени достоверности Р (или уровню значимости α=1—Р). Если F_ф>F_кр, то коэффициент признается значимым на уровне а, так как вероятность того, что F_ф для выборки случайно получилось больше F_кр, мала (меньше α). Для случая двух факторных признаков величина вычисляется по формуле ( Формула расчетной величины F для общего случая m факторных признаков имеет вид

где R_1.23…m+1—множественный коэффициент корреляции; n—число объектов, для которых приводятся значения признаков; m — число факторных признаков. Этот же критерий используется для проверки значимости регрессии, см. (6.20). )

Пример 6 (продолжение). Проверить значимость вычисленного в примере 6 множественного коэффициента корреляции для уровня значимости α=0,05 (P=0,95).

Воспользуемся формулой (6.11):

В табл. 4А приложения (соответствующей α=0,05) во 2-м столбце и 28-й строке (номер столбца определяется по первому числу в квадратной скобке при F, а номер строки—по второму числу) находим критическое значение –распределения. Поскольку при достоверности вывода, равной 0,95, F_кр=3,34, т. е. F_ф>F_кр, совместное влияние на величину дохода уровня землепользования и стоимости скота имеет место.

Коэффициент детерминации. Линейный коэффициент корреляции оценивает тесноту взаимосвязи между признаками и показывает, является ли связь прямой или обратной. Но понятие тесноты взаимосвязи часто может быть недостаточным при содержательном анализе взаимосвязей. В частности, коэффициент корреляции не показывает степень воздействия факторного признака на результативный. Таким показателем является коэффициент детерминации (обозначим его D), для случая линейной связи представляющий собой квадрат парного линейного коэффициента корреляции (D=r 2 ) или квадрат множественного коэффициента корреляции. Его значение определяет долю (в процентах) изменений, обусловленных влиянием факторного признака, в общей изменчивости результативного признака.

Пример 7. Рассчитать по данным примера 4 (табл. 2) коэффициент детерминации.

Коэффициент корреляции равен 0,80. Коэффициент детерминации составляет: D=0,80 2 •100%=64%.

Таким образом, различия в размерах отрезков в губерниях Черноземного центра на 64% определялись различиями в соотношении форм эксплуатации.

Корреляционная таблица. В предыдущем изложении каждый признак был представлен рядом значений. В некоторых случаях удобна другая форма записи исходных данных, в виде корреляционной таблицы.

Корреляционная таблица имеет такое устройство: по строкам располагаются значения одного признака, по столбцам — другого признака. Число, стоящее в клетке на пересечении i-й строки и j-го столбца, показывает, как часто i-e значение первого признака встречается совместно с j-м значением второго признака.

В табл. 3 представлены сведения об уходящих в отставку дворянах (60-е годы XVIII в.). В строках дан возраст ухода в отставку, в столбцах — имущественное обложение уходящих в отставку, характеризуемое числом принадлежащих им крестьян. В клетках представлены числа, показывающие, как часто встречаются соответствующие сочетания количественных значений этих двух признаков.

Корреляционная таблица является удобной формой представления данных. Уже беглое знакомство с ней нередко позволяет судить о тесноте связи (не обязательно линейной) между признаками. Если большие значения одного признака в основном сочетаются с большими значениями другого признака, а малые—с малыми, т. е. числа концентрируются вдоль диагонали таблицы, то можно говорить о наличии прямой связи. Если малые значения одного признака в большинстве случаев встречаются совместно с большими значениями другого признака, т. е. числа сосредоточены вдоль другой диагонали, то имеется обратная связь. При этом, чем больше концентрация частот вдоль одной из диагоналей, тем теснее связь.

Корреляционное отношение. Когда изучаемая совокупность (в виде корреляционной таблицы) разбивается на группы по одному (факторному) признаку х, то для каждой из этих групп можно вычислить соответствующие групповые средние результативного признака . Изменение групповых средних от группы к группе свидетельствует о наличии связи результативного признака с факторным, а примерное равенство групповых средних—об отсутствии связи. Следовательно, чем большую роль в общем изменении результативного признака играет изменение групповых средних (за счет влияния факторного признака), тем сильнее влияние этого признака. Величина (вариация признака у) складывается из изменения групповых средних, обусловленного влиянием факторного признака, т. е. из межгрупповой или факторной вариации (S 2 _факт) и из вариации признака внутри групп, обусловленной другими причинами, — внутригрупповой или остаточной (S 2 _ост). Поэтому отношение

является мерой степени влияния факторного признака на результативный. Значение квадратного корня из этого отношения измеряет «направленную связь» (x&#8594y) в общем виде и носит название корреляционного отношения (η_y/x).

Корреляционное отношение вычисляется по формуле

Величины S_факт 2 и S_y 2 вычисляются по формулам:

где — среднее значение у в i-й группе; — общее среднее; n_i — объем i-й группы; k — количество групп; n — объем совокупности .

Рассмотрим вычисление корреляционного отношения, воспользовавшись данными табл. 3.

Пример 8. В источнике, содержащем данные об уходящих в отставку дворянах, имеются сведения о. причинах ухода в отставку. Как правило, в качестве причины указывалась болезнь. Являлась ли эта причина единственной? Есть основания предположить, что возраст ухода в отставку зависел также от имущественного положения находящихся на военной службе дворян: чем более они были обеспечены, тем с большей легкостью могли оставить службу. Для проверки этого предположения измерим тесноту связи между возрастом уходящих в отставку дворян и их имущественным положением по данным табл. 3.

По признаку имущественного положения совокупность разбита на 4 группы. Рассчитаем средний возраст ухода в отставку для каждой группы

Аналогично вычислим , , . Средние, как мы видим, различны и убывают при переходе из первой во вторую, из второй в третью, из третьей в четвертую группы. Таким образом, средний возраст ухода в отставку уменьшается с ростом материальной обеспеченности, что вполне согласуется с нашей гипотезой о наличии связи между этими признаками.

Наконец, вычислим общую среднюю арифметическую (средний возраст ухода в отставку по всем данным табл. 3). Для расчета этой средней в качестве весов возьмем числа, стоящие в последнем суммарном столбце таблицы;

Далее, воспользовавшись последовательно формулами (6.13), (6.14) и (6 12), рассчитаем корреляционное отношение:

S 2 _факт=(42,2-40,2) 2 +(40,8-40,2) 2 *12+37,7-40,2) 2 *9+(33,3-40,2) 2 *3=294,

S 2 _y=(30-40.2) 2 *12+(40-40.2) 2 *20+(50-40.2) 2 *7+(60-40.2) 2 *3=3098,

Величена корреляционного отношения изменяется в пределах от 0 до 1. Близость ее к нулю говорит об отсутствии связи, близость к единице—о тесной связи.

Корреляционное отношение в отличие от линейного коэффициента корреляции не указывает, является ли связь прямой или обратной. Однако нередко уже по виду исходной таблицы можно решить этот вопрос. Промежуточные расчеты также помогают определить, является связь прямой или обратной: если с ростом факторного группировочного признака растут групповые средние результативного признака, то связь—прямая, если же с увеличением факторного признака значения групповых средних уменьшаются, то связь—обратная.

Как показатель тесноты связи корреляционное отношение имеет более универсальный характер, чем линейный коэффициент корреляции, поскольку его использование не ограничивается случаями линейной связи, а факторный признак может быть не количественным, а ранговым и даже номинальным.

Квадрат корреляционного отношения, выраженный в процентах, и коэффициент детерминации, как он определен выше, имеют одинаковый смысл, только при расчете коэффициента детерминации используется предположение о линейной связи между факторным и результативным признаками, тогда как при вычислении корреляционного отношения вопрос о форме связи не ставится.

Возвращаясь к примеру 8, оценим полученные в нем результаты. Корреляционное отношение, выражающее степень тесноты связи, оказалось равным 0,31, а квадрат корреляционного отношения в процентах (коэффициент детерминации) —9,9%.

Таким образом, возраст ухода в отставку зависит от имущественного положения, но в целом в небольшой степени: колебания имущественного положения только на 9,9% объясняют колебания возраста ухода в отставку. Причем, поскольку с увеличением количества крестьян у владельцев средний возраст ухода в отставку уменьшается, то связь между этими признаками — обратная ( Вопрос оценки значимости корреляционного отношения в выборке рассмотрен в § 4 гл. 9. ).

Линейный коэффициент корреляции, как уже отмечалось, является показателем взаимной связи между признаками, но не указывает, какой из них результативный, а какой — факторный. В этом отношении от него выгодно отличается корреляционное отношение, которое позволяет выявить это соотношение. Для этого вычисляются два корреляционных отношения, сравнение которых и помогает определить правильное распределение «ролей» между признаками.

Коэффициент корреляции и корреляционное отношение являются эффективным средством выявления связи между различными количественными признаками и определения ее тесноты. Коэффициент детерминации дает представление и о степени воздействия одних факторов на другие. Однако решение вопроса о тесноте связи нередко упирается в вопрос о форме связи. Кроме того, знание формы связи дает развернутое представление о влиянии различных факторов на результативный признак, а также возможность прогнозирования изменений результата при тех или иных комбинациях значений факторов.

Выявление формы связи осуществляется с помощью методов регрессионного анализа.

§ 3. Линейная регрессия

Регрессионный анализ позволяет приближенно определить форму связи между результативным и факторными признаками, а также решить вопрос о том, значима ли эта связь. Вид функции, с помощью которой приближенно выражается форма связи, выбирают заранее, исходя из содержательных соображений или визуального анализа данных. Математическое решение задачи основано на методе наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов. Рассмотрим содержание метода на конкретном примере. Пусть имеются данные о сборе хлеба на душу населения по совокупности черноземных губерний. От каких факторов зависит величина этого сбора? Вероятно, определяющее влияние на величину сбора хлеба оказывает величина посева и уровень урожайности. Рассмотрим сначала зависимость величины сбора хлеба на душу населения от размера посева на душу ( столбцы 1 и 2 табл .4 ) Попытаемся представить интересующую нас зависимость с помощью прямой линии. Разумеется, такая линия может дать только приближенное представление о форме реальной статистической связи. Постараемся сделать это приближение наилучшим. Оно будет тем лучше, чем меньше исходные данные будут отличаться от соответствующих точек, лежащих на линии. Степень близости может быть выражена величиной суммы квадратов отклонении, реальных значений от, расположенных на прямой. Использование именно квадратов отклонений (не просто отклонений) позволяет суммировать отклонения различных знаков без их взаимного погашения и дополнительно обеспечивает сравнительно большее внимание, уделяемое большим отклонениям. Именно этот критерий (минимизация суммы квадратов отклонений) положен в основу метода наименьших квадратов.

В вычислительном аспекте метод наименьших квадратов сводится к составлению и решению системы так называемых нормальных уравнений. Исходным этапом для этого является подбор вида функции, отображающей статистическую связь.

Тип функции в каждом конкретном случае можно подобрать путем прикидки на графике исходных данных подходящей, т. е. достаточно хорошо приближающей эти данные, линии. В нашем случае связь между сбором хлеба на душу и величиной посева на душу может быть изображена с помощью прямой линии ( рис. 14 ) и записана в виде

где у—величина сбора хлеба на душу (результативный признак или зависимая переменная); x—величина посева на душу (факторный признак или независимая переменная); a_o и a₁ — параметры уравнения, которые могут быть найдены методом наименьших квадратов.

Для нахождения искомых параметров нужно составить систему уравнений, которая в данном случае будет иметь вид

Полученная система может быть решена известным из школьного курса методом Гаусса. Искомые параметры системы из двух нормальных уравнений можно вычислить и непосредственно с помощью последовательного использования нижеприведенных формул:

где y_i — i-e значение результативного признака; x_i — i-e значение факторного признака; и — средние арифметические результативного и факторного признаков соответственно; n— число значений признака y_i, или, что то же самое, число значений признака x_i.

Пример 9. Найдем уравнение линейной связи между величиной сбора хлеба (у) и размером посева (х) по данным табл. 4. Проделав необходимые вычисления, получим из (6.17):

Таким образом, уравнение связи, или, как принято говорить, уравнение регрессии, выглядит следующим образом:

Интерпретация коэффициента регрессии. Уравнение регрессии не только определяет форму анализируемой связи, но и показывает, в какой степени изменение одного признака сопровождается изменением другого признака.

Коэффициент при х, называемый коэффициентом регрессии, показывает, на какую величину в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на единицу.

В примере 9 коэффициент регрессии получился равным 24,58. Следовательно, с увеличением посева, приходящегося на душу, на одну десятину сбор хлеба на душу населения в среднем увеличивается на 24,58 пуда.

Средняя и предельная ошибки коэффициента регрессии. Поскольку уравнения регрессии рассчитываются, как правило, для выборочных данных, обязательно встают вопросы точности и надежности полученных результатов. Вычисленный коэффициент регрессии, будучи выборочным, с некоторой точностью оценивает соответствующий коэффициент регрессии генеральной совокупности. Представление об этой точности дает средняя ошибка коэффициента регрессии ( ), рассчитываемая по формуле

у_i, — i-e значение результативного признака; ŷ_i — i-e выравненное значение, полученное из уравнения (6.15); x_i—i-e значение факторного признака; σ_x—среднее квадратическое отклонение х; n — число значений х или, что то же самое, значений у; m—число факгорных признаков (независимых переменных).

В формуле (6.18), в частности, формализовано очевидное положение: чем больше фактические значения отклоняются от выравненных, тем большую ошибку следует ожидать; чем меньше число наблюдений, на основе которых строится уравнение, тем больше будет ошибка.

Средняя ошибка коэффициента регрессии является основой для расчета предельной ошибки. Последняя показывает, в каких пределах находится истинное значение коэффициента регрессии при заданной надежности результатов. Предельная ошибка коэффициента регрессии вычисляется аналогично предельной ошибке средней арифметической (см. гл. 5), т. е. как t где t—величина, числовое значение которой определяется в зависимости от принятого уровня надежности.

Пример 10. Найти среднюю и предельную ошибки коэффициента регрессии, полученного в примере 9.

Для расчета прежде всего подсчитаем выравненные значения ŷ_i для чего в уравнение регрессии, полученное в примере 9, подставим конкретные значения x_i:

ŷ_i = 17,6681 +24,5762*0,91 = 40,04 и т. д.

Затем вычислим отклонения фактических значений у_i, от выравненных и их квадраты

Далее, подсчитав средний по черноземным губерниям посев на душу ( =0,98), отклонения фактических значений x_i от этой средней, квадраты отклонений и среднее квадратическое отклонение , получим все необходимые составляющие формул (618) и (619):

Таким образом, средняя ошибка коэффициента регрессии равна 2,89, что составляет 12% от вычисленного коэффициента

Задавшись уровнем надежности, равным 0,95, найдем по табл. 1 приложения соответствующее ему значение t=1,96, рассчитаем предельную ошибку 1,96*2,89=5,66 и пределы коэффициента регрессии для принятого уровня надежности ( В случае малых выборок величина t находится из табл. 2 приложения. ). Нижняя граница коэффициента регрессии равна 24,58-5,66=18,92, а верхняя граница 24,58+5,66=30,24

Средняя квадратическая ошибка линии регрессии. Уравнение регрессии представляет собой функциональную связь, при которой по любому значению х можно однозначно определить значение у. Функциональная связь лишь приближенно отражает связь реальную, причем степень этого приближения может быть различной и зависит она как от свойств исходных данных, так и от выбора вида функции, по которой производится выравнивание.

На рис. 15 представлены два различных случая взаимоотношения между двумя признаками. В обоих случаях предполагаемая связь описывается одним и тем же уравнением, но во втором случае соотношение между признаками х и у достаточно четко выражено и уравнение, по-видимому, довольно хорошо описывает это соотношение, тогда как в первом случае сомнительно само наличие сколько-нибудь закономерного соотношения между признаками. И в том, и в другом случаях, несмотря на их существенное различие, метод наименьших квадратов дает одинаковое уравнение, поскольку этот метод нечувствителен к потенциальным возможностям исходного материала вписаться в ту или иную схему. Кроме того, метод наименьших квадратов применяется для расчета неизвестных параметров заранее выбранного вида функции, и вопрос о выборе наиболее подходящего для конкретных данных вида функции в рамках этого метода не ставится и не решается. Таким образом, при пользовании методом наименьших квадратов открытыми остаются два важных вопроса, а именно: существует ли связь и верен ли выбор вида функции, с помощью которой делается попытка описать форму связи.

Чтобы оценить, насколько точно уравнение регрессии описывает реальные соотношения между переменными, нужно ввести меру рассеяния фактических значений относительно вычисленных с помощью уравнения. Такой мерой служит средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения, вычисляемая по приведенной выше формуле (6.19).

Пример 11. Определить среднюю квадратическую ошибку уравнения, полученного в примере 9.

Промежуточные расчеты примера 10 дают нам среднюю квадратическую ошибку уравнения. Она равна 4,6 пуда.

Этот показатель аналогичен среднему квадратическому отклонению для средней. Подобно тому, как по величине среднего квадратического отклонения можно судить о представительности средней арифметической (см. гл. 5), по величине средней квадратической ошибки регрессионного уравнения можно сделать вывод о том, насколько показательна для соотношения между признаками та связь, которая выявлена уравнением. В каждом конкретном случае фактическая ошибка может оказаться либо больше, либо меньше средней. Средняя квадратическая ошибка уравнения показывает, насколько в среднем мы ошибемся, если будем пользоваться уравнением, и тем самым дает представление о точности уравнения. Чем меньше σ_y.x, тем точнее предсказание линии регрессии, тем лучше уравнение регрессии описывает существующую связь. Показатель σ_y.x позволяет различать случаи, представленные на рис. 15. В случае б) он окажется значительно меньше, чем в случае а). Величина σ_y.x зависит как от выбора функции, так и от степени описываемой связи.

Варьируя виды функций для выравнивания и оценивая результаты с помощью средней квадратической ошибки, можно среди рассматриваемых выбрать лучшую функцию, функцию с наименьшей средней ошибкой. Но существует ли связь? Значимо ли уравнение регрессии, используемое для отображения предполагаемой связи? На эти вопросы отвечает определяемый ниже критерий значи-мости регрессии.

Мерой значимости линии регрессии может служить следующее соотношение:

где ŷ_i—i-e выравненное значение; —средняя арифметическая значений y_i; σ_y.x—средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения, вычисляемая по формуле (6.19); n—число сравниваемых пар значений признаков; m—число факторных признаков.

Действительно, связь тем больше, чем значительнее мера рассеяния признака, обусловленная регрессией, превосходит меру рассеяния отклонений фактических значений от выравненных.

Соотношение (6.20) позволяет решить вопрос о значимости регрессии. Регрессия значима, т. е. между признаками существует линейная связь, если для данного уровня значимости вычисленное значение F_ф[m,n-(m+1)] превышает критическое значение F_кр[m,n-(m+1)], стоящее на пересечении m-го столбца и [n—(m+1)]-й строки специальной таблицы ( см. табл. 4 приложения ).

Пример 12. Выясним, связаны ли сбор хлеба на душу населения и посев на душу населения линейной зависимостью.

Воспользуемся F-критерием значимости регрессии. Подставив в формулу (6.20) данные табл. 4 и результат примера 10, получим

Обращаясь к таблице F-распределения для Р=0,95 (α=1—Р=0,5) и учитывая, что n=23, m =1, в табл. 4А приложения на пересечения 1-го столбца и 21-й строки находим критическое значение F_кр, равное 4,32 при степени надежности Р=0,95. Поскольку вычисленное значение F_ф существенно превосходит по величине F_кр, то обнаруженная линейная связь существенна, т. е. априорная гипотеза о наличии линейной связи подтвердилась. Вывод сделан при степени надежности P=0,95. Между прочим, вывод в данном случае останется прежним, если надежность повысить до Р=0,99 (соответствующее значение F_кр=8,02 по табл. 4Б приложения для уровня значимости α=0,01).

Коэффициент детерминации. С помощью F-критерия мы Установили, что существует линейная зависимость между величиной сбора хлеба и величиной посева на душу. Следовательно, можно утверждать, что величина сбора хлеба, приходящегося на душу, линейно зависит от величины посева на душу. Теперь уместно поставить уточняющий вопрос — в какой степени величина посева на душу определяет величину сбора хлеба на душу? На этот вопрос можно ответить, рассчитав, какая часть вариации результативного признака может быть объяснена влиянием факторного признака.

Оно показывает долю разброса, учитываемого регрессией, в общем разбросе результативного признака и носит название коэффициента детерминации. Этот показатель, равный отношению факторной вариации к полной вариации признака, позволяет судить о том, насколько «удачно» выбран вид функции ( Отметим, что по смыслу коэффициент детерминации в регрессионном анализе соответствует квадрату корреляционного отношения для корреляционной таблицы (см. § 2). ). Проведя расчеты, основанные на одних и тех же исходных данных, для нескольких типов функций, мы можем из них выбрать такую, которая дает наибольшее значение R 2 и, следовательно, в большей степени, чем другие функции, объясняет вариацию результативного признака. Действительно, при расчете R 2 для одних и тех же данных, но разных функций знаменатель выражения (6.21) остается неизменным, а числитель показывает ту часть вариации результативного признака, которая учитывается выбранной функцией. Чем больше R 2 , т. е. чем больше числитель, тем больше изменение факторного признака объясняет изменение результативного признака и тем, следовательно, лучше уравнение регрессии, лучше выбор функции.

Наконец, отметим, что введенный ранее, при изложении методов корреляционного анализа, коэффициент детерминации совпадает с определенным здесь показателем, если выравнивание производится По прямой линии. Но последний показатель (R 2 ) имеет более широкий спектр применения и может использоваться в случае связи, отличной от линейной ( см. § 4 данной главы ).

Пример 13. Рассчитать коэффициент детерминации для уравнения, полученного в примере 9.

Вычислим R 2 , воспользовавшись формулой (6.21) и данными табл. 4:

Итак, уравнение регрессии почти на 78% объясняет колебания сбора хлеба на душу. Это немало, но, По-видимому, можно улучшить модель введением в нее еще одного фактора.

Случай двух независимых переменных. Простейший случай множественной регрессии. В предыдущем изложении регрессионного анализа мы имели дело с двумя признаками — результативным и факторным. Но на результат действует обычно не один фактор, а несколько, что необходимо учитывать для достаточно полного анализа связей.

В математической статистике разработаны методы множественной регрессии ( Регрессия называется множественной, если число независимых переменных, учтенных в ней, больше или равно двум. ), позволяющие анализировать влияние на результативный признак нескольких факторных. К рассмотрению этих методов мы и переходим.

Возвратимся к примеру 9. В нем была определена форма связи между величиной сбора хлеба на душу и размером посева на душу. Введем в анализ еще один фактор — уровень урожайности (см. столбец З табл. 4). Без сомнения, эта переменная влияет на сбор хлеба на душу. Но в какой степени влияет? Насколько обе независимые переменные определяют сбор хлеба на душу в черноземных губерниях? Какая из переменных — посев на душу или урожайность — оказывает определяющее влияние на сбор хлеба? Попытаемся ответить на эти вопросы.

После добавления второй независимой переменной уравнение регрессии будет выглядеть так:

где у—сбор хлеба на душу; х₁—размер посева на душу; x₂—урожай с десятины (в пудах); а₀, а₁, а₂—параметры, подлежащие определению.

Для нахождения числовых значений искомых параметров, как и в случае одной независимой переменной, пользуются методом наименьших квадратов. Он сводится к составлению и решению системы нормальных уравнений, которая имеет вид

Когда система состоит из трех и более нормальных уравнений, решение ее усложняется. Существуют стандартные программы расчета неизвестных параметров регрессионного уравнения на ЭВМ. При ручном счете можно воспользоваться известным из школьного курса методом Гаусса.

Пример 14. По данным табл. 4 описанным способом найдем параметры a₀, а₁, а₂ уравнения (6.22). Получены следующие результаты: a₂=0,3288, a₁=28,7536, a₀=-0,2495.

Таким образом, уравнение множественной регрессии между величиной сбора хлеба на душу населения (у), размером посева на душу (x₁) и уровнем урожайности (х₂) имеет вид:

Интерпретация коэффициентов уравнения множественной регрессии. Коэффициент при х₁ в полученном уравнении отличается от аналогичного коэффициента в уравнении примера 9.

Коэффициент при независимой переменной в уравнении простой регрессии отличается от коэффициента при соответствующей переменной в уравнении множественной регрессии тем, что в последнем элиминировано влияние всех учтенных в данном уравнении признаков.

Коэффициенты уравнения множественной регрессии поэтому называются частными или чистыми коэффициентами регрессии.

Частный коэффициент множественной регрессии при х₁ показывает, что с увеличением посева на душу на 1 дес. и при фиксированной урожайности сбор хлеба на душу населения вырастает в среднем на 28,8 пуда. Частный коэффициент при x₂ показывает, что при фиксированном посеве на душу увеличение урожая на единицу, т. е. на 1 пуд с десятины, вызывает в среднем увеличение сбора хлеба на душу на 0,33 пуда. Отсюда можно сделать вывод, что увеличение сбора хлеба в черноземных губерниях России идет, в основном, за счет расширения посева и в значительно меньшей степени—за счет повышения урожайности, т. е. экстенсивная форма развития зернового хозяйства является господствующей.

Введение переменной х₂ в уравнение позволяет уточнить коэффициент при х₁. Конкретно, коэффициент оказался выше (28,8 против 24,6), когда в изучаемой связи вычленилось влияние урожайности на сбор хлеба.

Однако выводы, полученные в результате анализа коэффициентов регрессии, не являются пока корректными, поскольку, во-первых, не учтена разная масштабность факторов, во-вторых, не выяснен вопрос о значимости коэффициента a₂.

Величина коэффициентов регрессии изменяется в зависимости от единиц измерения, в которых представлены переменные. Если переменные выражены в разном масштабе измерения, то соответствующие им коэффициенты становятся несравнимыми. Для достижения сопоставимости коэффициенты регрессии исходного уравнения стандартизуют, взяв вместо исходных переменных их отношения к собственным средним квадратическим отклонениям. Тогда уравнение (6.22) приобретает вид

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (6.22), определяем стандартизованные частные коэффициенты уравнения, так называемые бета-коэффициенты, по формулам:

где β₁ и β₂—бета-коэффициенты; а₁ и а₂—коэффициенты регрессии исходного уравнения; σ_у, , и — средние квадратические отклонения переменных у, х₁ и х₂ соответственно.

Вычислив бета-коэффициенты для уравнения, полученного в примере 14:

видим, что вывод о преобладании в черноземной полосе россии экстенсивной формы развития хозяйства над интенсивной остается в силе, так как β₁ значительно больше, чем β₂.

Оценка точности уравнения множественной регрессии.

Точность уравнения множественной регрессии, как и в случае уравнения с одной независимой переменной, оценивается средней квадратической ошибкой уравнения. Обозначим ее , где подстрочные индексы указывают, что результативным признаком в уравнении является у, а факторными признаками х₁ и x₂. Для расчета средней квадратической ошибки уравнения множественной регрессии применяется приведенная выше формула (6.19).

Пример 15. Оценим точность полученного в примере 14 уравнения регрессии.

Воспользовавшись формулой (6.19) и данными табл. 4, вычислим среднюю квадратическую ошибку уравнения:

Оценка полезности введения дополнительной переменной. Точность уравнения регрессии тесно связана с вопросом ценности включения дополнительных членов в это уравнение.

Сравним средние квадратические ошибки, рассчитанные для уравнения с одной переменной х₁ (пример 11) и для уравнения с двумя независимыми переменными х₁ и х₂. Включение в уравнение новой переменной (урожайности) уменьшило среднюю квадратическую ошибку почти вдвое.

Можно провести сравнение ошибок с помощью коэффициентов вариации

где σ_f—средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения; —средняя арифметическая результативного признака.

Для уравнения, содержащего одну независимую переменную:

Для уравнения, содержащего две независимые переменные:

Итак, введение независимой переменной «урожайность» уменьшило среднюю квадратическую ошибку до величины порядка 7,95% среднего значения зависимой переменной.

Наконец, по формуле (6.21) рассчитаем коэффициент детерминации

Он показывает, что уравнение регрессии на 81,9% объясняет колебания сбора хлеба на душу населения. Сравнивая полученный результат (81,9%) с величиной R 2 для однофакторного уравнения (77,9%), видим, что включение переменной «урожайность» заметно увеличило точность уравнения.

Таким образом, сравнение средних квадратических ошибок уравнения, коэффициентов вариации, коэффициентов детерминации, рассчитанных до и после введения независимой переменной, позволяет судить о полезности включения этой переменной в уравнение. Однако следует быть осторожными в выводах при подобных сравнениях, поскольку увеличение R 2 или уменьшение σ и V_σ не всегда имеют приписываемый им здесь смысл. Так, увеличение R 2 может объясняться тем фактом, что число рассматриваемых параметров в уравнении приближается к числу объектов наблюдения. Скажем, весьма сомнительными будут ссылки на увеличение R 2 или уменьшение σ, если в уравнение вводится третья или четвертая независимая переменная и уравнение строится на данных по шести, семи объектам.

Полезность включения дополнительного фактора можно оценить с помощью F-критерия.

Частный F-критерий показывает степень влияния дополнительной независимой переменной на результативный признак и может использоваться при решении вопроса о добавлении в уравнение или исключении из него этой независимой переменной.

Разброс признака, объясняемый уравнением регрессии (6.22), можно разложить на два вида: 1) разброс признака, обусловленный независимой переменной х₁, и 2) разброс признака, обусловленный независимой переменной x₂, когда х₁ уже включена в уравнение. Первой составляющей соответствует разброс признака, объясняемый уравнением (6.15), включающим только переменную х₁. Разность между разбросом признака, обусловленным уравнением (6.22), и разбросом признака, обусловленным уравнением (6.15), определит ту часть разброса, которая объясняется дополнительной независимой переменной x₂. Отношение указанной разности к разбросу признака, регрессией не объясняемому, представляет собой значение частного критерия. Частный F-критерий называется также последовательным, если статистические характеристики строятся при последовательном добавлении переменных в регрессионное уравнение.

Пример 16. Оценить полезность включения в уравнение регрессии дополнительной переменной «урожайность» (по данным и результатам примеров 12 и 15).

Разброс признака, объясняемый уравнением множественной регрессии и рассчитываемый как сумма квадратов разностей выравненных значений и их средней, равен 1623,8815. Разброс признака, объясняемый уравнением простой регрессии, составляет 1545,1331.

Разброс признака, регрессией не объясняемый, определяется квадратом средней квадратической ошибки уравнения и равен 10,9948 (см. пример 15).

Воспользовавшись этими характеристиками, рассчитаем частный F-критерий

С уровнем надежности 0,95 (α=0,05) табличное значение F (1,20), т. е. значение, стоящее на пересечении 1-го столбца и 20-й строки табл. 4А приложения, равно 4,35. Рассчитанное значение F_ф значительно превосходит табличное, и, следовательно, включение в уравнение переменной «урожайность» имеет смысл.

Таким образом, выводы, сделанные ранее относительно коэффициентов регрессии, вполне правомерны.

Важным условием применения к обработке данных метода множественной регрессии является отсутствие сколько-нибудь значительной взаимосвязи между факторными признаками. При практическом использовании метода множественной регрессии, прежде чем включать факторы в уравнение, необходимо убедиться в том, что они независимы.

Если один из факторов зависит линейно от другого, то система нормальных уравнений, используемая для нахождения параметров уравнения, не разрешима. Содержательно этот факт можно толковать так: если факторы х₁ и x₂ связаны между собой, то они действуют на результативный признак у практически как один фактор, т. е. сливаются воедино и их влияние на изменение у разделить невозможно. Когда между независимыми переменными уравнения множественной регрессии имеется линейная связь, следствием которой является неразрешимость системы нормальных уравнений, то говорят о наличии мультиколлинеарности.

На практике вопрос о наличии или об отсутствии мультиколлинеарности решается с помощью показателей взаимосвязи. В случае двух факторных признаков используется парный коэффициент корреляции между ними: если этот коэффициент по абсолютной величине превышает 0,8, то признаки относят к числу мультиколлинеарных. Если число факторных признаков больше двух, то рассчитываются множественные коэффициенты корреляции. Фактор признается мультиколлинеарным, если множественный коэффициент корреляции, характеризующий совместное влияние на этот фактор остальных факторных признаков, превзойдет по величине коэффициент множественной корреляции между результативным признаком и совокупностью всех независимых переменных.

Самый естественный способ устранения мультиколлинеарности — исключение одного из двух линейно связанных факторных признаков. Этот способ прост, но не всегда приемлем, так как подлежащий исключению фактор может оказывать на зависимую переменную особое влияние. В такой ситуации применяются более сложные методы избавления от мультиколлинеарности ( См.: Мот Ж. Статистические предвидения и решения на предприятии. М., 1966; Ковалева Л. Н. Многофакторное прогнозирование на основе рядов динамики. М., 1980. ).

Выбор «наилучшего» уравнения регрессии. Эта проблема связана с двойственным отношением к вопросу о включении в регрессионное уравнение независимых переменных. С одной стороны, естественно стремление учесть все возможные влияния на результативный признак и, следовательно, включить в модель полный набор выявленных переменных. С другой стороны, возрастает сложность расчетов и затраты, связанные с получением максимума информации, могут оказаться неоправданными. Нельзя забывать и о том, что для построения уравнения регрессии число объектов должно в несколько раз превышать число независимых переменных. Эти противоречивые требования приводят к необходимости компромисса, результатом которого и является «наилучшее» уравнение регрессии. Существует несколько методов, приводящих к цели: метод всех возможных регрессий, метод исключения, метод включения, шаговый регрессионный и ступенчатый регрессионный методы.

Метод всех возможных регрессий заключается в переборе и сравнении всех потенциально возможных уравнений. В качестве критерия сравнения используется коэффициент детерминации R 2 . «Наилучшим» признается уравнение с наибольшей величиной R 2 . Метод весьма трудоемок и предполагает использование вычислительных машин.

Методы исключения и включения являются усовершенствованными вариантами предыдущего метода. В методе исключения в качестве исходного рассматривается регрессионное уравнение, включающее все возможные переменные. Рассчитывается частный F-критерий для каждой из переменных, как будто бы она была последней переменной, введенной в регрессионное уравнение. Минимальная величина частного F-критерия (F_min) сравнивается с критической величиной (F_кр), основанной на заданном исследователем уровне значимости. Если F_min>F_кр, то уравнение остается без изменения. Если F_{min кр}, то переменная, для которой рассчитывался этот частный F-критерий, исключается. Производится перерасчет уравнения регрессии для оставшихся переменных, и процедура повторяется для нового уравнения регрессии. Исключение из рассмотрения уравнений с незначимыми переменными уменьшает объем вычислений, что является достоинством этого метода по сравнению с предыдущим.

Метод включения состоит в том, что в уравнение включаются переменные по степени их важности до тех пор, пока уравнение не станет достаточно «хорошим». Степень важности определяется линейным коэффициентом корреляции, показывающим тесноту связи между анализируемой независимой переменной и результативным признаком: чем теснее связь, тем больше информации о результирующем признаке содержит данный факторный признак и тем важнее, следовательно, введение этого признака в уравнение.

Процедура начинается с отбора факторного признака, наиболее тесно связанного с результативным признаком, т. е. такого факторного признака, которому соответствует максимальный по величине парный линейный коэффициент корреляции. Далее строится линейное уравнение регрессии, содержащее отобранную независимую переменную. Выбор следующих переменных осуществляется с помощью частных коэффициентов корреляции, в которых исключается влияние вошедших в модель факторов. Для каждой введенной переменной рассчитывается частный F-критерий, по величине которого судят о том, значим ли вклад этой переменной. Как только величина частного F-критерия, относящаяся к очередной переменной, оказывается незначимой, т. е. эффект от введения этой переменной становится малозаметным, процесс включения переменных заканчивается. Метод включения связан с меньшим объемом вычислений, чем предыдущие методы. Но при введении новой переменной нередко значимость включенных ранее переменных изменяется. Метод включения этого не учитывает, что является его недостатком. Модификацией метода включения, исправляющей этот недостаток, является шаговый регрессионный метод.

Шаговый регрессионный метод кроме процедуры метода включения содержит анализ переменных, включенных в уравнение на предыдущей стадии. Потребность в таком анализе возникает в связи с тем, что переменная, обоснованно введенная в уравнение на ранней стадии, может оказаться лишней из-за взаимосвязи ее с переменными, позднее включенными в уравнение. Анализ заключается в расчете на каждом этапе частных F-критериев для каждой переменной уравнения и сравнении их с величиной F_кр, точкой F-распределения, соответствующей заданному исследователем уровню значимости. Частный F-критерий показывает вклад переменной в вариацию результативного признака в предположении, что она вошла в модель последней, а сравнение его с F_кр позволяет судить о значимости рассматриваемой переменной с учетом влияния позднее включенных факторов. Незначимые переменные из уравнения исключаются.

Рассмотренные методы предполагают довольно большой объем вычислений и практически неосуществимы без ЭВМ. Для реализации ступенчатого регрессионного метода вполне достаточно малой вычислительной техники.

Ступенчатый регрессионный метод включает в себя такую последовательность действий. Сначала выбирается наиболее тесно связанная с результативным признаком переменная и составляется уравнение регрессии. Затем находят разности фактических и выравненных значений и эти разности (остатки) рассматриваются как значения результативной переменной. Для остатков подбирается одна из оставшихся независимых переменных и т. д. На каждой стадии проверяется значимость регрессии. Как только обнаружится незначимость, процесс прекращается и окончательное уравнение получается суммированием уравнений, полученных на каждой стадии за исключением последней.

Ступенчатый регрессионный метод менее точен, чем предыдущие, но не столь громоздок. Он оказывается полезным в случаях, когда необходимо внести содержательные правки в уравнение. Так, для изучения факторов, влияющих на цены угля в Санкт-Петербурге в конце XIX— начале XX в., было получено уравнение множественной регрессии. В него вошли следующие переменные: цены угля в Лондоне, добыча угля в России и экспорт из России. Здесь не обосновано появление в модели такого фактора, как добыча угля, поскольку Санкт-Петербург работал исключительно на импортном угле. Модели легко придать экономический смысл, если независимую переменную «добыча» заменить независимой переменной «импорт». Формально такая замена возможна, поскольку между импортом и добычей существует тесная связь. Пользуясь ступенчатым методом, исследователь может совершить эту замену, если предпочтет содержательно интерпретируемый фактор.

§ 4. Нелинейная регрессия и нелинейная корреляция

Построение уравнений нелинейной регрессии. До сих пор мы, в основном, изучали связи, предполагая их линейность. Но не всегда связь между признаками может быть достаточно хорошо представлена линейной функцией. Иногда для описания существующей связи более пригодными, а порой и единственно возможными являются более сложные нелинейные функции. Ограничимся рассмотрением наиболее простых из них.

Одним из простейших видов нелинейной зависимости является парабола, которая в общем виде может быть представлена функцией (6.2):

Неизвестные параметры а₀, а₁, а₂ находятся в результате решения следующей системы уравнений:

Дает ли преимущества описание связи с помощью параболы по сравнению с описанием, построенным по гипотезе линейности? Ответ на этот вопрос можно получить, рассчитав последовательный F-критерий, как это делалось в случае множественной регрессии (см. пример 16).

На практике для изучения связей используются полиномы более высоких порядков (3-го и 4-го порядков). Составление системы, ее решение, а также решение вопроса о полезности повышения порядка функции для этих случаев аналогичны описанным. При этом никаких принципиально новых моментов не возникает, но существенно увеличивается объем расчетов.

Кроме класса парабол для анализа нелинейных связей можно применять и другие виды функций. Для расчета неизвестных параметров этих функций рекомендуется использовать метод наименьших квадратов, как наиболее мощный и широко применяемый.

Однако метод наименьших квадратов не универсален, поскольку он может использоваться только при условии, что выбранные для выравнивания функции линейны по отношению к своим параметрам. Не все функции удовлетворяют этому условию, но большинство применяемых на практике с помощью специальных преобразований могут быть приведены к стандартной форме функции с линейными параметрами.

Рассмотрим некоторые простейшие способы приведения функций с нелинейными параметрами к виду, который позволяет применять к ним метод наименьших квадратов.

Функция не является линейной относительно своих параметров.

Прологарифмировав обе части приведенного равенства

получим функцию, линейную относительно своих новых параметров:

Кроме логарифмирования для приведения функций к нужному виду используют обратные величины.

с помощью следующих переобозначений:

может быть приведена к виду

Подобные преобразования расширяют возможности использования метода наименьших квадратов, увеличивая число функций, к которым этот метод применим.

Измерение тесноты связи при криволинейной зависимости. Рассмотренные ранее линейные коэффициенты корреляции оценивают тесноту взаимосвязи при линейной связи между признаками. При наличии криволинейной связи указанные меры связи не всегда приемлемы. Разберем подобную ситуацию на примере.

Пример 17. В 1-м и 2-м столбцах табл. 5 приведены значения результативного признака у и факторного признака х (данные условные). Поставив вопрос о тесноте связи между ними, рассчитаем парный линейный коэффициент корреляции по формуле (6.3). Он оказался равным нулю, что свидетельствует об отсутствии линейной связи. Тем не менее связь между признаками существует, более того, она является функциональной и имеет вид

Для измерения тесноты связи при криволинейной зависимости используется индекс корреляции, вычисляемый по формуле

где у_i—i-e значение результативного признака; ŷ_i—i-e выравненное значение этого признака; —среднее арифметическое значение результативного признака.

Числитель формулы (6.27) характеризует разброс выравненных значений результативного признака. Поскольку изменения выравненных, т. е. вычисленных по уравнению регрессии, значений признака происходят только в результате изменения факторного признака х. то числитель измеряет разброс результативного признака, обусловленный влиянием на него факторного признака. Знаменатель же измеряет разброс признака-результата, который определен влиянием на него всех факторов, в том числе и учтенного. Таким образом, индекс корреляции оценивает участие данного факторного признака в общем действии всего комплекса факторов, вызывающих колеблемость результативного признака, тем самым определяя тесноту зависимости признака у от признака х. При этом, если признак х не вызывает никаких изменений признака у, то числитель и, следовательно, индекс корреляции равны 0. Если же линия регрессии полностью совпадает с фактическими данными, т. е. признаки связаны функционально, как в примере 17, то индекс корреляции равен 1. В случае линейной зависимости между х и у индекс корреляции численно равен линейному коэффициенту корреляции г. Квадрат индекса корреляции совпадает с введенным ранее (6.21) коэффициентом детерминации. Если же вопрос о форме связи не ставится, то роль коэффициента детерминации играет квадрат корреляционного отношения η 2 _y/x (6.12).

Таковы основные принципы и условия, методика и техника применения корреляционного и регрессионного анализа. Их подробное рассмотрение обусловлено тем, что они являются высокоэффективными и потому очень широко применяемыми методами анализа взаимосвязей в объективном мире природы и общества. Корреляционный и регрессионный анализ широко и успешно применяются и в исторических исследованиях (см. раздел III).

Источник