Решение текстовых задач арифметическим способом
Разделы: Математика
Обучение решению текстовых задач играет важную роль в формировании математических знаний. Текстовые задачи дают большой простор для развития мышления учащихся. Обучение решению задач – это не только обучение технике получения правильных ответов в некоторых типичных ситуациях, сколько обучение творческому подходу к поиску решения, накопление опыта мыслительной деятельности и демонстрация учащимися возможностей математики в решении разнообразных задач. Однако при решении текстовых задач в 5-6 классах чаще всего используется уравнение. Но мышление пятиклассников еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений. Арифметический способ решения задач имеют ряд преимуществ по сравнению с алгебраическим потому, что результат каждого шага по действиям нагляднее и конкретнее, не выходит за рамки опыта пятиклассников. Школьники лучше и быстрее решают задачи по действиям, чем с помощью уравнений. Детское мышление конкретно, и развивать его надо на конкретных предметах и величинах, затем постепенно переходить к оперированию абстрактными образами.
Работа над задачей предусматривает внимательное прочтение текста условия, вникания в смысл каждого слова. Приведу примеры задач, которые легко и просто можно решить арифметическим способом.
Задача 1. Для приготовления варенья на две части малины берут три части сахара. Сколько килограммов сахара нужно взять на 2 кг 600 г малины?
При решении задачи на “части” надо приучить наглядно представлять условие задачи, т.е. лучше опираться на рисунок.
- 2600:2=1300 (г) — приходится на одну часть варенья;
- 1300*3= 3900 (г) — сахара нужно взять.
Задача 2. На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?
1) 1+3=4 (части) — приходится на все книги;
2) 120:4=30 (книг) — приходится на одну часть ( книги на второй полке);
3) 30*3=90 (книг)- стояло на первой полке.
Задача 3. В клетке сидят фазаны и кролики. Всего в ней 27 голов и 74 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов в клетке.
Представим, что на крышку клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Тогда все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до нее. Тогда:
- 27*2=54 (ноги) — будут стоять на полу;
- 74-54=20 (ног) — будут наверху;
- 20:2=10 (кроликов);
- 27-10=17 (фазанов).
Задача 4. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, а в кино – 21, а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?
Для анализа условия и выбора плана решения можно использовать “круги Эйлера”.
- 30-5=25 (человек) – ходили или в кино, или на экскурсию,
- 25-23=2 (человек) – ходили только в кино;
- 21-2=19 ( человек) – ходили и в кино, и на экскурсию.
Задача 5. Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2кг 400г. Сколько весит один гусенок?
- 2500+2400=2900 (г) – весят семь утят и семь гусят;
- 4900:7=700 (г) – вес одного утенка и одного гусенка;
- 700*3=2100 (г) – вес 3 утят и 3 гусят;
- 2500-2100=400 (г) – вес гусенка.
Задача 6. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?
Представим, что со всех больших пирамид мы сняли по два кольца. Тогда:
1) 20*5=100 (колец) – осталось;
2) 128-100-28 (колец) – мы сняли;
3) 28:2=14 (больших пирамид).
Задача 7. Арбуз массой 20кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Определите массу арбуза.
Для удобства решение будет сопровождаться иллюстрацией прямоугольников.
| 99% вода | 1% сухое вещество |
| 98% вода | 2% сухое вещество |
При этом желательно рисовать прямоугольники “сухого вещества” равными, потому что масса “сухого вещества” в арбузе остается неизменной.
1) 20:100=0,2 (кг) – масса “сухого вещества”;
2) 0,2:2=0,1 (кг) – приходится на 1% усохшего арбуза;
3) 0,1*100=10 (кг) – масса арбуза.
Задача 8. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сестер? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?
- 38-28=10 (лет) – Любе;
- 23-10=13 (лет) – Наде;
- 28-13=15 (лет) – Вере.
Арифметический способ решения текстовых задач учит ребенка действовать осознанно, логически правильно, потому что при решении таким способом усиливается внимание к вопросу “почему” и имеется большой развивающий потенциал. Это способствует развитию учащихся, формированию у них интереса к решению задач и к самой науке математике.
Чтобы сделать обучение посильным, увлекательным и поучительным, надо очень внимательно отнестись к выбору текстовых задач, рассматривать различные способы их решения, выбирая оптимальные из них, развивать логическое мышление, что в дальнейшем необходимо при решении геометрических задач.
Научиться решать задачи школьники смогут, лишь решая их. “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”,- пишет Д.Пойа в книге “ Математическое открытие”.
Источник
Лекция 2. Арифметический метод решения текстовых задач
1. Общие замечания к решению задач арифметическим методом.
2. Задачи на нахождение неизвестных по результатам действий.
3. Задачи на пропорциональное деление.
4. Задачи на проценты и части.
5. Задачи, решаемые обратным ходом.
1. Арифметический метод – это основной метод решения текстовых задач в начальной школе. Находит он свое применение и в среднем звене общеобразовательной школы. Этот метод позволяет глубже понять и оценить всю важность и значимость каждого этапа работы над задачей.
В некоторых случаях решение задачи арифметическим методом значительно проще, чем другими методами.
Подкупая своей простотой и доступностью, арифметический метод вместе с тем достаточно сложен, и овладение приемами решения задач этим методом требует серьезной и кропотливой работы. Большое разнообразие видов задач не позволяет сформировать универсального подхода к анализу задач, поиску пути их решения: задачи, даже объединенные в одну группу, имеют совершенно разные способы решения.
2.К задачам на нахождение неизвестных по их разности и отношению относятся задачи, в которых по известным разности и частному двух значений некоторой величины требуется найти эти значения.
Алгебраическая модель:
Ответ находится по формулам: х = ак/(к – 1), у = а/(к – 1).
Пример.В плацкартных вагонах скорого поезда на 432 пассажира больше, чем в купейных. Сколько пассажиров находится в плацкартных и купейных вагонах отдельно, если в купейных вагонах пассажиров в 4 раза меньше, чем в плацкартных?
Решение. Графическая модель задачи представлена на рис. 4.
Число пассажиров в купейных вагонах примем за 1 часть. Тогда можно найти, сколько частей приходится на число пассажиров в плацкартных вагонах, а затем, сколько частей приходится на 432 пассажира. После этого можно определить число пассажиров, составляющих 1 часть (находящихся в купейных вагонах). Зная, что в плацкартных вагонах пассажиров в 4 раза больше, найдем их число.
Запишем решение по действиям с пояснениями.
1) 1 × 4 = 4 (ч.) – приходится на пассажиров в плацкартных вагонах;
2) 4 – 1 = 3 (ч.) – приходится на разность между числом пассажиров в плацкартных и купейных вагонах;
3) 432 : 3 = 144 (п.) – в купейных вагонах;
4) 144 × 4 = 576 (п.) – в плацкартных вагонах.
Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом, а именно:
3) 432 : 3 = 144 (п.);
4) 144 + 432 = 576 (п.).
Ответ: в купейных вагонах 144 пассажира, в плацкартных – 576.
К задачам на нахождение неизвестных по двум остаткам или двум разностям, относятся задачи, в которых рассматриваются две прямо или обратно пропорциональные величины, такие, что известны два значения одной величины и разность соответствующих значений другой величины, а требуется найти сами значения этой величины.
Ответы находятся по формулам:
Пример.Два поезда прошли с одинаковой скоростью – один 837 км, другой 248 км, причем первый был в пути на 19 ч. больше второго. Сколько часов был в пути каждый поезд?
Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 5.
Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько часов был в пути тот или другой поезд, надо знать пройденное им расстояние и скорость. Расстояние дано в условии. Чтобы узнать скорость, надо знать расстояние и время, за которое это расстояние пройдено. В условии сказано, что первый поезд шел на 19 ч. дольше, а пройденное им за это время расстояние можно найти. Он шел лишних 19 ч. – очевидно, за это время прошел и лишнее расстояние.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1) 837 – 248 = 589 (км) – на столько километров больше прошел первый поезд;
2) 589 : 19 = 31 (км/ч) – скорость первого поезда;
3) 837 : 31 = 27 (ч.) – был в пути первый поезд;
4) 248 : 31 = 8 (ч.) – был в пути второй поезд.
Проверим решение задачи установлением соответствия между данными и числами, полученными при решении задачи.
Узнав, сколько времени был в пути каждый поезд, найдем, на сколько часов больше был в пути первый поезд, чем второй: 27 – 8 = 19 (ч.). Это число совпадает с данным в условии. Следовательно, задача решена верно.
Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом. Все четыре вопроса и первые три действия остаются те же.
Ответ: первый поезд был в пути 31ч., второй поезд – 8 ч.
Задачи на нахождение трех неизвестных по трем суммам этих неизвестных, взятых попарно:
Алгебраическая модель: 
Ответ находится по формулам:
Пример.Английский и немецкий языки изучают 116 школьников, немецкий и испанский языки изучают 46 школьников, а английский и испанский языки изучают 90 школьников. Сколько школьников изучают английский, немецкий и испанский языки отдельно, если известно, что каждый школьник изучает только один язык?
Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 6.
Сколько школьников изучает каждый из языков?
Графическая модель задачи показывает: если сложить численности школьников, данные в условии (116 + 90 + 46), то получим удвоенное число школьников, изучающих английский, немецкий и испанский языки. Разделив его на два, найдем общее число школьников. Чтобы найти число школьников, изучающих английский язык, достаточно из этого числа вычесть число школьников, изучающих немецкий и испанский языки. Аналогично находим остальные искомые числа.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1) 116 + 90 + 46 = 252 (шк.) – удвоенное число школьников, изучающих языки;
2) 252 : 2 = 126 (шк.) – изучают языки;
3) 126 – 46 = 80 (шк.) – изучают английский язык;
4) 126 – 90 = 36 (шк.) – изучают немецкий язык;
5) 126 – 116 = 10 (шк.) – изучают испанский язык.
Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом.
1) 116 – 46 = 70 (шк.) – на столько больше школьников изучают английский язык, чем испанский;
2) 90 + 70 = 160 (шк.) – удвоенное число школьников, изучающих английский язык;
3) 160 : 2 = 80 (шк.) – изучают английский язык;
4) 90 – 80 = 10 (шк.) – изучают испанский язык;
5) 116 – 80 = 36 (шк.) – изучают немецкий язык.
Ответ: английский язык изучают 80 школьников, немецкий язык – 36 школьников, испанский язык – 10 школьников.
3. К задачам на пропорциональное деление относятся задачи, в которых данное значение некоторой величины требуется разделить на части пропорционально заданным числам. В некоторых из них части представлены явно, а в других эти части надо суметь выделить, приняв одно из значений этой величины за одну часть и определив, сколько таких частей приходится на другие ее значения.
Выделяют пять видов задач на пропорциональное деление.
1) Задачи на деление числа на части, прямо пропорциональные ряду целых или дробных чисел
К задачам данного типа относятся задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х1, х2, х3, . хn прямо пропорционально числам а1, а2, а3, . аn.
Ответ находится по формулам:
Пример.Туристическая фирма располагает четырьмя базами отдыха, которые имеют корпуса одинаковой вместимости. На территории 1-й базы отдыха расположены 6 корпусов, 2-й – 4 корпуса, 3-й – 5 корпусов, 4-й – 7 корпусов. Сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, если на всех 4 базах может разместиться 2112 человек?
Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 7.
Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе и сколько корпусов расположено на территории каждой базы. Число корпусов на каждой базе дано в условии. Чтобы узнать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться на всех 4 базах (это дано в условии) и сколько корпусов расположено на территории всех 4 баз. Последнее можно определить, зная из условия, сколько корпусов расположено на территории каждой базы.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1) 6 + 4 + 5 + 7 = 22 (к.) – расположено на территории 4 баз;
2) 2112 : 22 = 96 (ч.) – может разместиться в одном корпусе;
3) 96 × 6 = 576 (ч.) – может разместиться на первой базе;
4) 96 × 4 = 384 (ч.) – может разместиться на второй базе;
5) 96 × 5 = 480 (ч.) – может разместиться на третьей базе;
6) 96 × 7 = 672 (ч.) – может разместиться на четвертой базе.
Проверка. Подсчитываем, сколько отдыхающих может разместиться на 4 базах: 576 + 384 + 480 + 672 = 2 112 (ч.). Расхождения с условием задачи нет. Задача решена правильно.
Ответ: на первой базе может разместиться 576 отдыхающих, на второй – 384 отдыхающих, на третьей – 480 отдыхающих, на четвертой – 672 отдыхающих.
2) Задачи на деление числа на части, обратно пропорциональные ряду целых или дробных чисел
К ним относятся задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части x1i,x2,x3i, . х„ обратно пропорционально числам а1ь а2, а3. аn.
или
Ответ находится по формулам:
Пример.За четыре месяца доход зверофермы от продажи пушнины составил 1 925 000 р., причем по месяцам полученные деньги распределились обратно пропорционально числам 2, 3, 5, 4. Каков доход фермы в каждом месяце отдельно?
Решение. Для определения названных в условии доходов дан общий доход за четыре месяца, то есть сумма четырех искомых чисел, а также отношения между искомыми числами. Искомые доходы обратно пропорциональны числам 2, 3, 5, 4.
Обозначим 
искомые доходы соответственно через х,, х2, х3, х4. Тогда кратко задачу можно записать так, как показано на рисунке 8.
Зная число частей, приходящихся на каждое из искомых чисел, найдем число частей, заключающихся в их сумме. По данному общему доходу за четыре месяца, то есть по сумме искомых чисел и по числу частей, содержащихся в этой сумме, узнаем величину одной части, а потом искомые доходы.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1. Искомые доходы обратно пропорциональны числам 2, 3, 5, 4, а значит, прямо пропорциональны числам, обратным данным, то есть имеют место отношения 
. Данные отношения в дробных числах заменим отношениями целых чисел:
2. Зная, что х содержит 30 равных частей, х2 – 20, х3 – 12, х4 –15, найдем, сколько частей содержится в их сумме:
30 + 20 + 12+ 15 = 77 (ч.).
3. Сколько рублей приходится на одну часть?
1 925 000 : 77 = 25 000 (р.).
4. Каков доход фермы в первом месяце?
25 000 • 30 = 750 000 (р.).
5. Каков доход фермы во втором месяце?
25 000 • 20 = 500 000 (р.).
6. Каков доход фермы в третьем месяце?
25 000– 12 = 300 000 (р.).
7. Каков доход фермы в четвертом месяце?
25 000– 15 = 375 000 (р.).
Ответ: в первом месяце доход фермы составил 750 000 р., во втором – 500 000 р., в третьем – 300 000 р., в четвертом – 375 000 р.
3) Задачи на деление числа на части, когда даны отдельные отношения для каждой пары искомых чисел
К задачам этого типа относят те задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х1, х2, х3, . х„, когда дан ряд отношений для искомых чисел, взятых попарно. Алгебраическая модель:
Ввиду громоздкости формул для решения задачи в общем виде рассмотрим частный случай, когда п = 4. Алгебраическая модель:
или
Пример.В трех городах 168 000 жителей. Числа жителей первого и второго городов находятся в отношении 
, а второго и третьего городов – в отношении 
. Сколько жителей в каждом городе?
Решение. Обозначим 
искомые численности жителей соответственно через х1, х2, х3. Тогда кратко задачу можно записать так, как показано на рисунке 9.
Для определения численности жителей даны числа жителей в трех городах, то есть сумма трех искомых чисел, а также отдельные отношения между искомыми числами. Заменив эти отношения рядом отношений, выразим численности жителей трех городов в равных частях. Зная число частей, приходящихся на каждое из искомых чисел, найдем число частей, заключающихся в их сумме. По данной общей численности жителей в трех городах, то есть по сумме искомых чисел и по числу частей, содержащихся в этой сумме, узнаем величину одной части, а потом искомые численности жителей.
Запишем решение по действиям с пояснениями.
1. Заменяем отношение дробных чисел отношением целых чисел:
Числу жителей второго города ставим в соответствие число 15 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 5).
Изменяем соответствующим образом получившиеся отношения:
Из отдельных отношений составляем ряд отношений:
2. 20 + 15 + 21 = 56 (ч.) – стольким равным частям соответствует число 168 000;
3. 168 000 : 56 = 3 000 (ж.) – приходится на одну часть;
4. 3 000 • 20 = 60 000 (ж.) – в первом городе;
5. 3 000 • 15 = 45 000 (ж.) – во втором городе;
6. 3 000 • 21 = 63 000 (ж.) – в третьем городе.
Ответ: 60 000 жителей; 45 000 жителей; 63 000 жителей.
4) Задачи на деление числа на части пропорционально двум, трем и так далее рядам чисел
К задачам этого типа относятся задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х1, х2, х3. хn пропорционально двум, трем, . N рядам чисел.
Ввиду громоздкости формул для решения задачи в общем виде рассмотрим частный случай, когда п = 3 и N = 2. Пусть х1 х2, х3 прямо пропорциональны числам а1, а2, а3 и обратно пропорциональны числам b1,b2, b3.
Значит, 
(см. пункт 1 данного параграфа),
где 
Пример.Двое рабочих получили 1 800 р. Один работал 3 дня по 8 ч., другой 6 дней по 6 ч. Сколько заработал каждый, если за 1 ч. работы они получали поровну?
Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 10.
Чтобы узнать, сколько получил каждый рабочий, надо знать, сколько рублей платили за 1 ч. работы и сколько часов работал каждый рабочий. Чтобы узнать, сколько рублей платили за 1 ч. работы, надо знать, сколько заплатили за всю работу (дано в условии) и сколько часов работали оба рабочих вместе. Чтобы узнать общее число часов работы, надо знать, сколько часов работал каждый, а для этого необходимо знать, сколько дней работал каждый и по сколько часов в день. Эти данные в условии имеются.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1) 8 × 3 = 24 (ч.) – работал первый рабочий;
2) 6 × 6 = 36 (ч.) – работал второй рабочий;
3) 24 + 36 = 60 (ч.) – работали оба рабочих вместе;
4) 1800 : 60 = 30 (р.) – получали рабочие за 1 ч работы;
5) 30 × 24 = 720 (р.) – заработал первый рабочий;
6) 30 × 36 = 1080 (р.) – заработал второй рабочий. Ответ: 720 р.; 1080 р.
5) Задачи на нахождение нескольких чисел по данным их отношениям и сумме или разности (сумме или разности некоторых из них)
Пример.На оборудование детской площадки, теплицы и спортивного зала администрацией школы было израсходовано 49 000 р. Оборудование детской площадки обошлось вдвое дешевле, чем теплицы, а теплицы – в 3 раза дешевле, чем спортивного зала и детской площадки вместе. Сколько денег было израсходовано на оборудование каждого из указанных объектов?
Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 11.
| На детскую площадку в 2 раза меньше, чем на теплицу. |  49 000 р. |
| На теплицу в 3 раза меньше, чем на детскую площадку и спортивный зал вместе. | |
| Сколько денег израсходовано на оборудование каждого объекта? |
Рис. 11
Чтобы узнать количество денег, израсходованных на оборудование каждого объекта, надо знать, сколько частей всех израсходованных денег приходилось на оборудование каждого объекта и сколько рублей приходилось на каждую часть. Число частей израсходованных денег на оборудование каждого объекта определяется из условия задачи. Определив число частей на оборудование каждого объекта в отдельности, а затем найдя их сумму, вычислим величину одной части (в рублях).
Запишем решение по действиям с пояснениями.
1. Принимаем за 1 часть количество денег, израсходованных на оборудование детской площадки. По условию на оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше, то есть 1 × 2 = 2 (ч.); на оборудование детской площадки и спортивного зала вместе израсходовано в 3 раза больше, чем на теплицу, то есть 2 × 3 = 6 (ч.), следовательно, на оборудование спортивного зала израсходовали 6 – 1 = 5 (ч.).
2. На оборудование детской площадки израсходована 1 часть, теплицы – 2 части, спортивного зала – 5 частей. Весь расход составлял 1 + 2 + + 5 = 8 (ч.).
3. 8 частей составляют 49 000 р., одна часть меньше этой суммы в 8 раз: 49 000 : 8 = 6 125 (р.). Следовательно, на оборудование детской площадки израсходовали 6 125 р.
4. На оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше: 6 125 × 2 = 12 250 (р.).
5. На оборудование спортивного зала израсходовано 5 частей: 6 125 × 5 = 30 625 (р.).
Ответ: 6 125 р.; 12 250 р.; 30 625 р.
6) Задачи на исключение одного из неизвестных
К задачам этой группы относятся задачи, в которых даны суммы двух произведений, имеющих два повторяющихся сомножителя, и требуется найти значения этих сомножителей. Алгебраическая модель
Ответ находится по формулам:
Эти задачи решаются способом уравнивания данных, способом уравнивания данных и искомых, способом замены данных, а также так называемым способом «на предположение».
Пример.На швейной фабрике на 24 пальто и 45 костюмов израсходовали 204 м ткани, а на 24 пальто и 30 костюмов – 162 м. Сколько ткани расходуется на один костюм и сколько – на одно пальто?
Решение. Решим задачу способом уравнивания данных. Краткая запись задачи:
24 пальто и 45 костюмов – 204 м,
24 пальто и 30 костюмов – 162 м.
Сколько м ткани расходуется на одно пальто и на один костюм?
В условии задачи даны две партии ткани. В первой партии 204 м, во второй – 162 м. Ткани во второй партии меньше, потому что меньше сшито костюмов. Число пальто в первом и во втором случае одинаково. Очевидно, лишние 42 м ткани (204 – 162) в первой партии пошли на пошив 15 лишних костюмов (45 – 30). Зная, что 42 м идет на пошив 15 костюмов, можно узнать, сколько метров ткани идет на 1 костюм. Чтобы узнать, сколько метров идет на пальто, надо знать, сколько метров идет на все 24 пальто. В условии дано, что 162 м идет на 24 пальто и на 30 костюмов, но мы уже знаем, сколько метров идет на 1 костюм, следовательно, можем подсчитать, сколько метров пойдет на 30 костюмов, а потом узнаем, сколько ткани израсходовано на 24 пальто. Зная, сколько метров идет на 24 пальто, определим, сколько метров идет на 1 пальто.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1) 204 – 162 = 42 (м) = 4 200 (см) – на столько метров больше израсходовано ткани в первый раз;
2) 45 – 30 = 15 (к.) – столько лишних костюмов сшито в первый раз;
3) 4200 : 15 = 280 (см) – ткани идет на 1 костюм;
4) 280 × 30 = 8 400 (см) – ткани идет на 30 костюмов;
5) 16 200 – 8 400 = 7 800 (см) – ткани идет на 24 пальто;
6) 7 800 : 24 = 325 (см) – ткани идет на 1 пальто.
7) Ответ: 2 м 80 см расходуется на пошив 1 костюма; 3 м 25 см расходуется на пошив 1 пальто.
Пример.За 14 кубометров березовых и 6 кубометров сосновых дров уплачено 3760 р. В другой раз при тех же ценах за 37 кубометров березовых и 18 кубометров сосновых дров уплачено 10280 р. Сколько стоит кубометр тех и других дров?
Решение. Решим задачу способом уравнивания данных и искомых.
Краткая запись задачи (а):
а) 14 м 3 березовые и 6 м 3 сосновые – 3760 р.,
37 м 3 березовые и 18 м 3 сосновые – 10280 р.,
Сколько стоит 1 м 3 тех и других видов?
В условии задачи даны две покупки. Второй раз уплачено больше, потому что больше куплено березовых и сосновых дров. Надо изменить условие задачи так, чтобы количество каких-нибудь дров в обеих покупках было одинаково. Тогда разница в стоимости будет зависеть только от разницы в количестве одного какого-нибудь сорта дров. В данной задаче легко выравнять количество сосновых дров, увеличив в первой покупке все данные в 3 раза. Умножаем на 3 все числовые данные первой строчки: 14 × 3 = 42 (м 3 );
6 × 3 = 18 (м 3 ); 3 760 × 3 = 11280 р. Получили задачу, краткая запись которой показана (б):
б) 42 м 3 березовые и 18 м 3 сосновые – 11280 р.,
37 м 3 березовые и 18 м 3 сосновые – 10280 р.,
Сколько стоит 1 м 3 тех и других дров?
Дальше задача решается так же, как и предыдущая: на исключение неизвестных при помощи вычитания.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1) 18 : 6 = 3 (раз) – во столько раз во второй покупке сосновых дров больше, чем в первой;
2) 14 × 3 = 42 (м 3 ) – купили бы березовых дров в первый раз;
3) 6 × 3 = 18 (м 3 ) – купили бы сосновых дров в первый раз;
4) 3760 × 3 = 11 280 (р.) – заплатили бы за первую покупку;
5) 11280 – 10280 = 1 000 (р.) – на столько рублей заплатили бы больше за первую покупку, чем за вторую;
6) 42 – 37 = 5 (м 3 ) – купили бы березовых дров больше в первый раз, чем во второй;
7) 1 000 : 5 = 200 (р.) – стоит 1 кубометр березовых дров;
8) 200 × 37 = 7400 (р.) – стоят 37 кубометров березовых дров;
9) 10280 – 7400 = 2880(р.) – стоят 18 кубометров сосновых дров;
10) 2 880 : 18 = 160 (р.) – стоит 1 кубометр сосновых дров.
Ответ: 200 р.; 160 р.
Пример.В 12 одинаковых мешках и 9 одинаковых ящиках хранится 645 кг моркови. В мешке вмещается моркови на 10 кг больше, чем в ящике. Сколько моркови хранится в одном мешке и одном ящике?
Решение. Решим задачу способом замены данных. Графическая модель задачи представлена на рисунке 12.
По условию задачи мешок вмещает на 10 кг моркови больше, чем ящик. Следовательно, если мы будем знать, сколько килограммов моркови вмещает ящик, то легко найдем, сколько килограммов моркови вмещает мешок. 645 кг моркови хранятся в мешках и ящиках. Каждый мешок вмещает моркови на 10 кг больше, чем ящик. При замене одного мешка ящиком масса хранящейся моркови становится меньше на 10 кг. Таким образом, если бы вместо 12 мешков взяли 12 ящиков, то масса хранящейся моркови стала бы меньше на 10 × 12 кг.
Дальше можно узнать, сколько весила бы вся морковь, если бы вместо 12 мешков взяли 12 ящиков. Зная число ящиков (9 +12 = 21) и их вместимость, можно узнать, сколько килограммов моркови вмещает один ящик; а зная, сколько килограммов моркови вмещает ящик, найдем, сколько килограммов моркови вмещает мешок.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1. 10 × 12 = 120 (кг) – на столько килограммов моркови хранится меньше в 12 ящиках, чем в 12 мешках;
2. 645 – 120 = 525 (кг) – столько весила бы вся морковь, если бы вместо 12 мешков взяли 12 ящиков;
3. 12 + 9 = 21 (ящ.) – было бы взято ящиков;
4. 525 : 21 = 25 (кг) – моркови вмещает один ящик;
5. 25 + 10 кг = 35 (кг) – моркови вмещает один мешок.
Ответ: 35 кг, 25 кг.
Примечание. Мы заменили мешки ящиками. Можно заменить ящики мешками. Тогда масса всей хранящейся моркови будет больше на 10 × 9 кг. План и решение задачи будут аналогичны вышеприведенным.
Пример.С двух участков общей площадью в 51 га собрано 2 221 т картофеля. С каждого гектара одного участка собирали по 486 ц, а с каждого гектара второго участка собирали по 325 ц картофеля. Определите площадь каждого участка.
Решение. Решим задачу способом «на предположение». Краткая запись задачи представлена на рисунке 13.
1-й уч.– по 486 ц с 1га 2-й уч. – по 325 ц с 1 гa   Определите площадь каждого участка. |
Предположим, что с каждого гектара второго участка собирали столько же картофеля, сколько и с первого, то есть по 486 ц, тогда с 51 га было бы собрано 486 × 51 ц. На самом деле картофеля собрано меньше: (486 × 51 – 22 210) ц, потому что с каждого гектара второго участка собирали не 486 ц, а 325 ц, то есть на 161 ц меньше. Очевидно, сколько раз 161 ц содержится в (486 × 51 – 22210) ц, столько гектаров и было во втором участке. Запишем решение по действиям с пояснениями:
1) 486 × 51 = 24 786 (ц) – был бы урожай картофеля с обоих участков, если бы с каждого гектара второго участка собирали столько же, сколько и с первого, то есть по 486 ц;
2) 24 786 – 22 210 = 2 576 (ц) – разница между предполагаемым урожаем и действительным урожаем;
3) 486 – 325 = 161 (ц) – на столько центнеров с каждого гектара второго участка собирали картофеля меньше, чем с одного гектара первого участка;
4) 2 576 : 161 = 16 раз (га) – площадь второго участка;
5) 51 – 16 = 35 (га) – площадь первого участка.
Проверка. Подсчитываем урожай с каждого участка отдельно, а потом весь урожай с обоих участков. Должно получиться 2 221 т. Задачу можно решить, предполагая, что с каждого гектара обоих участков собирали по 325 ц. Составление плана решения и само решение задачи по существу будут те же.
Ответ: 35 га; 16 га.
4. Нахождение процентов (части) от данного числа
К задачам этого вида относятся задачи, в которых требуется найти р процентов (т/п часть) от числа А. Алгебраическая модель:
Пример.В телевизионной игре некто выиграл 12 000 р. Две пятых этой суммы он истратил на покупку бытовой техники, четвертую часть положил в банк, остальные деньги потратил на турпоездку с семьей во время летнего отпуска. Сколько стоила эта поездка?
Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 14.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать: 1) весь выигрыш; 2) деньги, израсходованные на бытовую технику; 3) деньги, положенные в банк.
| 2/5 – |  покупка бытовой техники техники; | |
| 1/4 – | в банк; | 12 000 р. |
| остальные – турпоездка. Сколько стоила поездка? |
Весь выигрыш известен из условия задачи, остальные величины надо определить. На бытовую технику израсходовано 2/5 части выигрыша. Можно начать решение задачи с определения этой части выигрыша (все данные имеются). Затем надо определить количество денег, положенных в банк: 1/4 выигрыша. Чтобы найти искомую стоимость, надо из общего количества денег вычесть деньги, затраченные на покупку бытовой техники, и деньги, положенные в банк.
Запишем решение задачи по действиям с пояснениями:
1. (12 000 : 5) × 2 = 4 800 (р.) – израсходовано на покупку бытовой техники;
2. 12 000 : 4 = 3 000 (р.) – положено в банк;
3. 4 800 + 3 000 = 7 800 (р.) – израсходовано на покупку бытовой техники и положено в банк;
4. 12 000 – 7 800 = 4 200 (р.) – осталось на турпоездку.
Ответ: поездка стоила 4 200 р.
Пример.Совхоз имеет 1 400 га земли; 32% ее занято рожью, 35% – пшеницей, 22% – овсом, остальное – клевером.
Сколько гектаров земли под рожью, пшеницей, овсом и клевером отдельно?
Решение. Краткая запись задачи:
Пшеница – 35% 1400 га
Сколько гектаров занято каждой культурой?
Площадь всего участка составляет 100%. Чтобы узнать, сколько гектаров занято каждой культурой, надо знать, сколько процентов площади занято каждой культурой и сколько гектаров приходится на 1%. Сначала найдем 1% от 1 400 га. Затем находим, сколько гектаров занято каждой культурой.
Оформим решение задачи по действиям с записью пояснений в вопросительной форме.
1. Сколько гектаров составляет 1 % всей земли?
1 400: 100 = 14 (га).
2. Сколько гектаров земли занято рожью?
3. Сколько гектаров занято пшеницей?
4. Сколько гектаров занято овсом?
5. Сколько всего гектаров занято рожью, пшеницей и овсом?
448 + 490 + 308 = 1 246 (га).
6. Сколько гектаров земли занято клевером?
1400 – 1 246 = 154 (га).
Задачу можно проверить, решив ее другим способом. Первые четыре вопроса и четыре действия остаются те же.
5. Сколько процентов земли занято рожью, пшеницей и овсом?
6. Сколько процентов земли занято клевером?
7. Сколько гектаров земли занято клевером?
Ответ: рожью занято 448 гектаров, пшеницей – 490 гектаров, овсом – 308 гектаров, клевером – 154 гектара.
Нахождение числа по данной величине его процента (части)
К задачам этого вида относятся задачи, в которых требуется найти число, если р процентов (т/п часть) его составляют а.
или 
Пример.Молоко пропускали через сепаратор и из полученных сливок сбивали масло. Масса масла, сбитого из сливок, составляет 16% массы сливок, а все сливки – 20% массы молока. Сколько литров молока нужно взять, чтобы получить 73 кг 800 г масла, если 1 л молока весит 1 025 г?
Решение. Краткая запись задачи:
Масла 73 кг 800 г;
Масло составляет 16% массы сливок; Сливки составляют 20 % массы молока;
1 л молока весит 1025 г.
Сколько литров молока надо взять?
73 кг 800 г масла получили из сливок. Масса масла составляет 16% массы сливок, а масса сливок равна 100%. По массе масла определим массу сливок, из которых сбито масло. Масса сливок, в свою очередь, составляет 20% массы молока, а масса молока равна 100%. Зная массу сливок, определим массу молока, из которого приготовлено 73 кг 800 г масла. Зная массу1 л молока и массу всего молока, найдем, сколько литров молока надо взять для приготовления 73 кг 800 г масла, то есть ответим на вопрос задачи. Оформим решение по действиям с записью пояснений в вопросительной форме.
1. Сколько весят сливки, необходимые для приготовления 73 кг 800 г масла?
73 кг 800 г = 73800 (г).
(73800 : 16) × 100 = 461250 (г).
2. Сколько весит молоко?
(461250 : 20) × 100 = 2306 250 (г).
3. Сколько литров молока нужно взять?
2306250 : 1025 = 2250 (л).
Ответ: требуется взять 2 250 л молока.
Пример.Из имеющихся денег 
израсходовали на покупку продуктов, 
– на билеты в театр, на остальные деньги купили газеты и 4 журнала. Продукты стоили на 
р. дороже газет и журналов. Сколько было денег и сколько стоили продукты?
Решение. Краткая запись задачи:
Продукты – 1/3 всего заработка;
Билеты – 2/5 всего заработка;
Газеты и журналы – остальное;
Продукты дороже газет и журналов на 
р.
Сколько было денег и сколько стоили продукты?
Все деньги представляют собой сумму трех слагаемых: часть имеющихся денег израсходована на продукты, часть – на билеты и остальная часть – на газеты и журналы. Первые два слагаемых известны, третье неизвестно. Но оно составляет разность между всеми деньгами и суммой этих слагаемых. Зная части имеющихся денег, израсходованных на продукты, газеты и журналы, найдем разность между ними в частях всех денег, которая в то же время равна р. По данной величине дроби найдем всю сумму, то есть получим ответ на первый вопрос задачи. Зная всю сумму, найдем ее часть, израсходованную на продукты, то есть получим ответ на второй вопрос задачи.
Оформим решение по действиям с записью пояснений в вопросительной форме.
1. Какая часть денег израсходована на продукты и билеты в театр?
2. Какая часть денег израсходована на газеты и журналы?
3. На какую часть денег расход на продукты больше расхода на газеты и журналы?
4. Какова вся сумма денег?
5. Сколько стоят продукты?
Ответ: всего было 117 р.; продукты стоили 39 р.
Нахождение процентного отношения двух чисел
Кзадачам этого вида относятся задачи, в которых требуется определить, сколько процентов составляет число В от числа А. Алгебраическая модель:
Примечание. Задачи этой группы могут рассматриваться как задачи на пропорциональные величины и поэтому могут решаться всеми способами решения задач на простое тройное правило.
Пример.В школе обучается 320 мальчиков и 350 девочек. На занятиях присутствуют 304 мальчика и 336 девочек. Сколько присутствует в школе (в процентах): а) мальчиков; б) девочек; в) всех учащихся? г) сколько процентов составляет число отсутствующих учащихся от числа присутствующих?
1) 
– мальчиков присутствует в школе;
2) 
– девочек присутствует в школе;
3) 320 + 350 = 670 (уч.) – всего учащихся в школе;
4) 304 + 336 = 640 (уч.)– присутствуют в школе;
5) 
– всех учащихся присутствует в школе;
6) 670 – 640 = 30 (уч.) – отсутствуют в школе;
Источник
