Основные понятия кинетики способы задания движения точки

Тема 1.6. Основные понятия кинематики

§1. Кинематика точки. Введение в кинематику.

Кинематикой (от греческого «кинема» — движение) называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени.

Механическое движение — это изменение положения тел (или частей тела) относительно друг друга в пространстве с течением времени.

Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета.

Тело отсчета — тело (или группа тел), принимаемое в данном случае за неподвижное, относительно которого рассматривается движение других тел.

Система отсчета — это система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный способ измерения времени (рис. 1).

Рис.1. Система отчета

Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны).

Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем, как трехмерное евклидово пространство.

Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т.е. как функции времени t.

Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).

Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) — значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики точки твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих дан­ное движение.

Положение тела можно определить с помощью радиус-вектора или с помощью координат.

Радиус-вектор точки М — направленный отрезок прямой, соединяющий начало отсчета О с точкой М (рис. 2).

Координата х точки М — это проекция конца радиуса-вектора точки М на ось Ох. Обычно пользуются прямоугольной системой координат Декарта. В этом случае положение точки М на линии, плоскости и в пространстве определяют соответственно одним (х), двумя (х, у) и тремя (х, у, z) числами — координатами (рис. 3).

Рис.2. Радиус-вектор

Рис.3. Координаты точки М

Материальная точка — тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно.

Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движе­нии все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки.

В дальнейшем под словом «тело» будем понимать «материальная точка».

Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета.

В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.

Путь s — скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен: s> 0.Единицы измерения в системе СИ: м (метр).

Перемещение тела за определенный промежуток времени — направленный отрезок прямой, соединяющий начальное (точка М₀) и конечное (точка М) положение тела (см. рис. 2):

где и — радиус-векторы тела в эти моменты времени.Единицы измерения в системе СИ: м (метр).

Проекция перемещения на ось Ох: ∆r_x =∆х = х-х₀, где x₀ и x — координаты тела в начальный и конечный моменты времени.

Модуль перемещения не может быть больше пути: ≤s.

Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется.

Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:

Видео-урок «Механическое движение»

§2. Способы задания движения точки

Для задания движения точки можно применять один из следую­щих трех способов:

1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

1. Векторный способ задания движения точки.

Пусть точка М движется по отношению к некоторой си­стеме отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из на­чала координат О в точку М (рис. 4).

Рис.4. Движение точки М

При движении точки М вектор будет с течением времени изме­няться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу­мента t:

Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

2. Координатный способ задания движе­ния точки.

Положение точки можно непосредственно опре­делять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.4), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви­жения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент вре­мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

3. Естественный способ задания движе­ния точки.

Рис.5. Движение точки М

Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех слу­чаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ явля­ется траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О’, которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицатель­ное направления отсчета (как на координат­ной оси).

Тогда положение точки М на тра­ектории будет однозначно определяться криволинейной коорди­натой s, которая равна расстоянию от точки О’ до точки М, изме­ренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M₁, М₂. . следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться.

Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость s=f(t).

§3. Вектор скорости точки

Одной из основных кинематических характеристик движе­ния точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий.

Скорость — мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной.

Единица измерения скорости – м/с. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 м/с.

Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным.

Для равномерно-прямолинейного движения ∆r=v∆t, где v – постоянный вектор скорости.

Из соотношения видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени.

Источник

1. Кинематика точки. Способы задания движения точки

Движение точки по отношению к избранной системе отсчёта считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени. В кинематике точки рассматриваются три основных способа описания движения точки: векторный, координатный и естественный.

1.1 Векторный способ задания движения точки

а) Положение точкив векторном способе задания движения определяется радиус-вектором , направленным из начала координат (от тела отсчёта) к данной точке (Рис.1).

Задать вектор как функцию времени – это значит уметь находить его модуль и направление в любой момент времени. При движении точки Мвекторбудет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Если каждому значению скалярного аргументаtпоставить в соответствие вектор, то называется векторной функцией скалярного аргумента, который описывает характер движения материальной точки. Это однозначная функция, потому что точкаМв каждое мгновение находится в каком-либо одном месте, она не может быть одновременно в нескольких местах.

Равенство определяет собойзакон движенияматериальной точки в векторном виде и называетсявекторным уравнением движения материальной точки.

Годографом вектораназывается геометрическое место концов вектора в различные моменты времени, начало которых совмещены в одной фиксированной точке, то есть годограф – это кривая. Годографом радиус – вектора является траектория (Рис.1).

Траекториейназывается геометрическое место последовательных положений движущейся точки. Если в интервале времениt₁

Вектор средней скорости параллелен вектору перемещения

направлен в сторону движения точки, и не имеет точки приложения (Рис 3).

Очевидно, что чем меньше будет промежуток времени, для которого вычислена средняя скорость, тем величина будет точнее характеризовать движение точки. Для нахождения скорости точки в фиксированный момент времени уменьшим интервал Δtдо нуля и рассмотрим предел, к которому стремится средняя скорость. Этот предел и будет скоростью движущийся материальной точки в данный момент (мгновенной или истинной скоростью):

_{Производная по времени от функции обозначается точкой над символом этой функции, а вторая производная – двумя точками.}

Следовательно, при векторном способе задания движения точки скоростью называется первая производная радиус — вектора точки повремени.Скорость точки в этом случае характеризует быстроту изменения радиус – вектора с течением времени.

д) Направление скорости

При Δt→0 направление секущейМ₁М₂(Рис. 3) в пределе является направлением касательной. Поэтому:вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к годографу радиус – вектора в данной точке, т.е. по касательной к траектории точки (Рис.4).

При прямолинейном движении точки вектор скорости все время направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь по величине, а при криволинейном движении все время изменяется и направление вектора скорости точки (Рис.5). Единица измерения скорости в системе СИ — [м/с].

Годограф скорости – геометрическое место концов векторов скорости движущейся точки в последовательные моменты времени, начало которых совмещены в одной фиксированной точке.

е) Ускорение – вторая важнейшая характеристика движущейся точки. Только при прямолинейном движении точки ее скорость сохраняет свои численное значение и направление. При неравномерном криволинейном движении скорость точки изменяется и по модулю и по направлению.

Среднее ускорение точки– это отношение изменения скорости точки к тому промежутку времени, за которое оно произошло.Ускорение точки это векторная величина, которая характеризует быстроту изменения модуля и направления вектора скорости точки.

ё) Мгновенное ускорениеилиистинное ускорение точки – это предел, к которому стремится среднее ускорение при Δt→0, то есть:

Ускорением называется первая производная по времени от вектора скорости или вторая производная по времени от радиус – вектора .

Размерность ускорения в системе СИ [м/с 2 ].

ж) Направление ускорения

Вектор среднего ускорения направлен по хорде (секущей) М₁М₂ годографа скорости (Рис.6).

При Δt→0, точкаМ₂стремится к точкеМ₁ и секущая в пределе превращается в касательную к годографу скорости, то естьвектор ускорения направлен по касательной к годографу скорости в данной точке (Рис.7).

При прямолинейном движении точки вектор ускорения направлен вдоль прямой, по которой движется точка.

Векторный способ описания движения применяют, как правило, при доказательстве теорем. При решении задач используют координатный и естественный способы задания движения точки.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник