Основные формулы интегрирования свойства неопределенного интеграла простейшие способы интегрирования

Содержание

Определение и свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования.
Первообразная.
Понятие неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
Метод замены переменного (метод подстановки).
Методы вычисления неопределенных интегралов
Первообразная и неопределенный интеграл
Основные формулы и методы интегрирования
Таблица интегралов
Правило интегрирования суммы (разности)
Вынесение постоянной за знак интеграла
Замена переменной
Правило интегрирования по частям
Интегрирование дробей (рациональных функций)
Интегрирование иррациональных функций
Дробно-линейная иррациональность
Интегралы от дифференциальных биномов
Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена
Подстановки Эйлера
Тригонометрические и гиперболические подстановки
Прямые методы
Интегрирование трансцендентных (тригонометрических и показательных) функций
Интегрирование рациональных тригонометрических функций от cos x и sin x
Произведение степенных функций от cos x и sin x
Интегрирование по частям
Применение формулы Эйлера

Определение и свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования.

Ранее нами была рассмотрена задача о нахождении мгновенной скорости материальной точки по заданному закону ее движения. Если $s=s(t)$ — путь, пройденный точкой за время $t$ от начала движения, то мгновенная скорость $v$ в момент $t$ равна производной функции $s(t)$, то есть
$$
v=s'(t).\nonumber
$$
В физике встречается обратная задача: по заданной скорости $v=v(t)$ найти закон движения, то есть найти такую функцию $s(t)$ производная которой равна $v(t)$.

Первообразная.

Пусть функции $f(x)$ и $F(x)$ определены на интервале $(a,b)$. Если функция $F(x)$ имеет производную на интервале $(a,b)$ и если для всех $x\in (a,b)$ выполняется равенство
$$
F'(x)=f(x),\label
$$
то функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на интервале $(a,b)$.

Понятие первообразной можно ввести и для других промежутков (полуинтервала — конечного или бесконечного, отрезка).

Дадим определение первообразной на отрезке. Если функции $f(x)$ и $F(x)$ определены на отрезке $[a,b]$, причем функция $F$ дифференцируема на интервале $(a,b)$, непрерывна на отрезке $[a,b]$ и для всех $x\in (a,b)$ выполняется равенство \eqref, то функцию $F(x)$ назовем первообразной для функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$.

Если $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$ на интервале $(a,b)$, то функция $F(x)+C$ при любом значении $C=\operatorname$ также является первообразной для $f(x)$.

Справедливо и обратное утверждение.

Если $F_1(x)$ и $F_2(x)$ — две первообразные для функции $f(x)$ на интервале $(a,b)$, то для всех $x\in (a,b)$ выполняется равенство
$$
F_2(x)=F_1(x)+C,\label
$$
где $C$ — постоянная.

$\circ$ Обозначим $\Phi(x)=F_2(x)-F_1(x)$. По определению первообразной в силу условий теоремы для всех $x\in (a,b)$ выполняются равенства
$$
F_1′(x)=f(x),\quad F_2′(x)=f(x),\nonumber
$$
откуда следует, что функция $\Phi(x)$ дифференцируема на интервале $(a,b)$ и для всех $x\in(a,b)$ имеет место равенство
$$
\Phi'(x)=0.\nonumber
$$
Согласно первому следствию из теоремы Лагранжа $\Phi(x)=C=\operatorname$ для всех $x\in (a,b)$ или $F_2(x)-F_1(x)=C$, то есть справедливо равенство \eqref. $\bullet$

Таким образом, для данной функции $f(x)$ ее первообразная $F(x)$ определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Для того чтобы из совокупности первообразных выделить какую-либо первообразную $F_1(x)$, достаточно указать точку $M_0(x_0,y_0)$, принадлежащую графику функции $y=F(x)$.

Для функции $f(x)=\displaystyle \frac<1>$ найти такую первообразную $F_1(x)$, график которой проходит через точку $(1,2)$.

$\triangle$ Совокупность всех первообразных функции $\displaystyle \frac<1>$ описывается формулой
$$
F(x)=-\frac<1>+C.\nonumber
$$

По условию $F_1(1)=2$, то есть $2=-1+C$, откуда $C=3$. Следовательно, $F_1(x)=3-\displaystyle \frac<1>$. $\blacktriangle$

В дальнейшем (гл. VII, § 36) будет доказано, что первообразная существует для любой функции, непрерывной на отрезке (или интервале).

Понятие неопределенного интеграла.

Совокупность всех первообразных для функции $f(x)$ на некотором промежутке $\Delta$ называют неопределенным интегралом от функции $f$ на этом промежутке, обозначают символом $\displaystyle \int f(x)dx$ и пишут
$$
\int f(x)dx=F(x)+C.\label
$$

Здесь $F(x)$ — какая-нибудь первообразная функции $f$ на промежутке $\Delta$, $C$ — произвольная постоянная. Знак $\displaystyle \int$ называется знаком интеграла, $f$ — подынтегральной функцией, $f(x)dx$ — подынтегральным выражением.

Подынтегральное выражение можно записать в виде $F'(x)$ или в виде $dF(x)$, то есть
$$
f(x)dx=dF(x).\label
$$

Операцию нахождения неопределенного интеграла от данной функции, которая является обратной операции дифференцирования, называют интегрированием. Поэтому любую формулу для производной, то есть формулу вида $F'(x)=f(x)$, можно записать в виде \eqref.

Используя таблицу производных, можно найти интегралы от некоторых элементарных функций. Например, из равенства $(\sin x)’=\cos x$ следует, что $\displaystyle \int\cos x dx=\sin x+C$.

Свойства неопределенного интеграла.

$\circ$ Из равенства \eqref следует, что
$$
d\left(\int f(x)dx\right)=d(F(x) + C) = dF(x),\nonumber
$$
так как $dC = 0$. $\bullet$

Согласно формуле \eqref знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла.

$\circ$ Равенство \eqref следует из равенств \eqref и \eqref. $\bullet$

Соотношение \eqref показывает, что и в случае, когда знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, эти знаки также взаимно уничтожается (если отбросить постоянную $C$).

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют на некотором промежутке первообразные, то для любых $\alpha\in R, \ \beta\in R$ таких, что $\alpha^2+\beta^2\neq 0$, функция $\varphi(x) = \alpha f(x)+\beta g(x)$ также имеет первообразную на этом промежутке, причем
$$
\int\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x).\label
$$

$\circ$ Пусть $F$ и $G$ — первообразные для функций $f$ и $g$ соответственно, тогда $\Phi=\alpha F + \beta G$ — первообразная для функции $\varphi$, так как $(\alpha F(x)+\beta G(x))’=\alpha f(x)+\beta g(x)$. Согласно определению интеграла левая часть \eqref состоит из функций вида $\Phi(x)+C$, а правая часть — из функций вида $\alpha F(x)+\alpha C_1+\beta G(x)+\beta C_2=\Phi(x)+\alpha C_1+\beta C_2$. Так как $\alpha^2+\beta^2\neq 0$, то каждая функция вида $\Phi(x)+C$ принадлежит совокупности функций $\Phi(x)+\alpha C_1+\beta C_2$, и наоборот, то есть по заданному числу $C$ можно найти $C_1$ и $C_2$, а по заданным $C_1$ и $C_2$ — число $C$ такое, чтобы выполнялось равенство $C=\alpha C_1+\beta C_2$. $\bullet$

Таким образом, интегрирование обладает свойством линейности: интеграл от линейной комбинации функций равен соответствующей линейной комбинации интегралов от рассматриваемых функций.

Найти $\displaystyle \int f(x)dx$, если:

$\triangle$ Используя таблицу производных и свойство 3 интеграла, получаем
$$
\int (e^x+x^2)dx=e^x+\frac<3>+C.\nonumber
$$
Так как $(\cos x)’=\sin x, \ \operatornamex)’=\displaystyle \frac<1><1+x^2>$, то
$$
\int \left(-2\sin x+\frac<3><1+x^2>\right)dx=2\cos x+\operatornamex+C.\quad\blacktriangle
$$

Дальнейшее расширение множества функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции, можно получить, если воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции и правилом дифференцирования произведения двух функций.

Метод замены переменного (метод подстановки).

Пусть функция $t=\varphi(x)$ определена и дифференцируема на промежутке $\Delta$ и пусть $\Delta_i=\varphi(\Delta)$ — множество значений функции $\varphi$ на $\Delta$.

Если функция $U(t)$ определена и дифференцируема на $\Delta_i$, причем
$$
U'(t)=u(t),\label
$$
то на промежутке $\Delta$ определена и дифференцируема сложная функция $F(x)=U(\varphi(x))$ и
$$
F'(x)=\left[U(\varphi(x))\right]’=U'(\varphi(x))\varphi'(x)=u(\varphi(x))\varphi'(x).\label
$$

Из равенств \eqref и \eqref следует, что если $U(t)$ — первообразная для функции $u(t)$, то $U(\varphi(x))$ — первообразная для функции $u(\varphi(x))\varphi'(x)$. Это означает, что если
$$
\int u(t) dt = U(t) + C,\label
$$
то
$$
\int u(\varphi(x))\varphi'(x)dx=U(\varphi(x)) + C,\label
$$
или
$$
\int u(\varphi(x))d\varphi(x)= U(\varphi(x)) + C.\label
$$

Формулу \eqref (или формулу \eqref) называют формулой интегрирования заменой переменного. Она получается из формулы \eqref, если вместо $t$ подставить дифференцируемую функцию $\varphi(x)$.

Формула \eqref дает возможность найти интеграл $\displaystyle f(x)dx$, если функция $f(x)$ представляется в виде $f(x) = u(\varphi(x))\varphi'(x)$ и если известна первообразная функции $u(t)$, то есть известен интеграл \eqref.

Отметим важные частные случаи формулы \eqref.

Приведем примеры применения формул \eqref-\eqref.

Источник

Методы вычисления неопределенных интегралов

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная F(x) от функции f(x) – это такая функция, производная которой равна f(x) :
F′(x) = f(x), x ∈ Δ ,
где Δ – промежуток, на котором выполняется данное уравнение.

Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом:
,
где C – постоянная, не зависящая от переменной x .

Основные формулы и методы интегрирования

Таблица интегралов

Конечная цель вычисления неопределенных интегралов — путем преобразований, привести заданный интеграл к выражению, содержащему простейшие или табличные интегралы.
См. Таблица интегралов >>>

Правило интегрирования суммы (разности)

.
Здесь и далее u, v, w – функции от переменной x .

Вынесение постоянной за знак интеграла

Пусть c – постоянная, не зависящая от x . Тогда ее можно вынести за знак интеграла:

Замена переменной

Пусть x – функция от переменной t , x = φ(t) , тогда
.
Или наоборот, t = φ(x) ,
.

С помощью замены переменной можно не только вычислить простые интегралы, но и упростить вычисление более сложных.

Правило интегрирования по частям

Интегрирование дробей (рациональных функций)

Введем обозначение. Пусть P_k(x), Q_m(x), R_n(x) обозначают многочлены степеней k, m, n , соответственно, относительно переменной x .

Рассмотрим интеграл, состоящий из дроби многочленов (так называемая рациональная функция):

Если k ≥ n , то сначала нужно выделить целую часть дроби:
.
Интеграл от многочлена S_k-n(x) вычисляется по таблице интегралов.

Остается интеграл:
, где m .
Для его вычисления, подынтегральное выражение нужно разложить на простейшие дроби.

Для этого нужно найти корни уравнения:
Q_n(x) = 0 .
Используя полученные корни, нужно представить знаменатель в виде произведения сомножителей:
Q_n(x) = s (x-a) n_a (x-b) n_b . (x 2 +ex+f) n_e (x 2 +gx+k) n_g . .
Здесь s – коэффициент при x n , x 2 + ex + f > 0 , x 2 + gx + k > 0 , . .

После этого разложить дробь на простейшие:

Интегрируя, получаем выражение, состоящее из более простых интегралов.
Интегралы вида

приводятся к табличным подстановкой t = x – a .

Рассмотрим интеграл:

Преобразуем числитель:
.
Подставляя в подынтегральное выражение, получаем выражение, в которое входят два интеграла:
,
.
Первый, подстановкой t = x 2 + ex + f приводится к табличному.
Второй, по формуле приведения:

приводится к интегралу

Приведем его знаменатель к сумме квадратов:
.
Тогда подстановкой , интеграл

также приводится к табличному.

Интегрирование иррациональных функций

Введем обозначение. Пусть R( u₁, u₂, . , u_n ) означает рациональную функцию от переменных u₁, u₂, . , u_n . То есть
,
где P, Q – многочлены от переменных u₁, u₂, . , u_n .

Дробно-линейная иррациональность

Рассмотрим интегралы вида:
,
где – рациональные числа, m₁, n₁, . m_s, n_s – целые числа.
Пусть n – общий знаменатель чисел r₁, . r_s .
Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональных функций подстановкой:
.

Интегралы от дифференциальных биномов

Рассмотрим интеграл:
,
где m, n, p – рациональные числа, a, b – действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

1) Если p – целое. Подстановка x = t N , где N – общий знаменатель дробей m и n .
2) Если – целое. Подстановка a x n + b = t M , где M – знаменатель числа p .
3) Если – целое. Подстановка a + b x – n = t M , где M – знаменатель числа p .

Если ни одно из трех чисел не является целым числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элементарных функций.

В ряде случаев, сначала бывает полезным привести интеграл к более удобным значениям m и p . Это можно сделать с помощью формул приведения:
;
.

Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена

Здесь мы рассматриваем интегралы вида:
,

Подстановки Эйлера

Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0 ;
, при c > 0 ;
, где x₁ – корень уравнения a x 2 + b x + c = 0 . Если это уравнение имеет действительные корни.

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Также эти интегралы можно вычислить с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок. В некоторых случаях этот способ вычисления интеграла является самым простым.
См. подробнее: Тригонометрические и гиперболические подстановки >>>

Прямые методы

В большинстве случаев, подстановки Эйлера приводят к более длинным вычислениям, чем прямые методы. С помощью прямых методов интеграл приводится к одному из перечисленных ниже видов.

I тип

Интеграл вида:
,
где P_n(x) – многочлен степени n .

Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:

Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты A_i .

II тип

Интеграл вида:
,
где P_m(x) – многочлен степени m .

Подстановкой t = ( x – α ) –1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n , то у дроби следует выделить целую часть.

III тип

Третий и наиболее сложный тип:
.

Здесь нужно сделать подстановку:
.
После чего интеграл примет вид:
.
Далее, постоянные α, β нужно выбрать такими, чтобы коэффициенты при t обратились в нуль:
B = 0, B₁ = 0 .
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
;
,
которые интегрируются, соответственно подстановками:
z 2 = A₁t 2 + C₁ ;
y 2 = A₁ + C₁ t –2 .

Общий случай

Самый общий интеграл вида:
,
сводится к интегралам трех предыдущих типов. Для этого достаточно, уничтожая иррациональность в знаменателе, преобразовать подынтегральную функцию к виду:
φ(x) + ψ(x)y ,
где φ(x), ψ(x) – рациональные функции от x , . Далее,
,
где ω(x) – рациональная дробь. В последнем интеграле рациональную дробь ω(x) можно преобразовать выделением целой части и разложением на простейшие дроби. После этого получаются интегралы трех рассмотренных типов.
См. подробнее: Интегрирование рациональной функции от квадратного корня из квадратного трехчлена >>>

Интегрирование трансцендентных (тригонометрических и показательных) функций

Заранее отметим, что те методы, которые применимы для тригонометрических функций, также применимы и для гиперболических функций. По этой причине мы не будем рассматривать интегрирование гиперболических функций отдельно.

Интегрирование рациональных тригонометрических функций от cos x и sin x

Рассмотрим интегралы от тригонометрических функций вида:
,
где R – рациональная функция. Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, которые следует преобразовать через синусы и косинусы.

При интегрировании таких функций полезно иметь в виду три правила:
1) если R( cos x, sin x ) умножается на –1 от перемены знака перед одной из величин cos x или sin x , то полезно другую из них обозначить через t .
2) если R( cos x, sin x ) не меняется от перемены знака одновременно перед cos x и sin x , то полезно положить tg x = t или ctg x = t .
3) подстановка во всех случаях приводит к интегралу от рациональной дроби. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям чем предыдущие, если они применимы.

Произведение степенных функций от cos x и sin x

Рассмотрим интегралы вида:

Если m и n – рациональные числа, то одной из подстановок t = sin x или t = cos x интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.

Если m и n – целые числа, то интегралы вычисляются интегрированием по частям. При этом получаются следующие формулы приведения:

Интегрирование по частям

Интегралы, содержащие логарифм или обратные тригонометрические функции:
ln φ , arcsin φ , arctg φ , и т.д., где φ – некоторая алгебраическая функция от x , нередко интегрируются по частям, полагая u = ln φ , u = arcsin φ , u = arctg φ , и т.д.
Подробнее: Примеры решения интегралов по частям, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции >>>

Применение формулы Эйлера

Если подынтегральное выражение линейно относительно одной из функций
cos ax или sin ax , то удобно применить формулу Эйлера:
e iax = cos ax + i sin ax (где i 2 = – 1 ),
заменив эту функцию на e iax и выделив действительную (при замене cos ax ) или мнимую часть (при замене sin ax ) из полученного результата.

Таким способом удобно находить интегралы вида
, ,
где P(x) – многочлен от x .
См. подробнее: Интегрирование произведения многочлена, экспоненты и синуса или косинуса >>>

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 27-09-2014

Источник