Основания арифметики изложенные новым способом

Love Soft

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Навигация

Загрузки всякие

Связь

Содержание

1B. Аксиоматический подход

Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Функция (отображение)

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Другими словами, функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины.

Аксиомы поля

Множество, на котором определены 2 операции, которые удовлетворяют следующим свойствам, называется полем.

При этом имеют место следующие свойства.

Аксиомы порядка

Между элементами $\mathbb$ определено отношение $\leqslant$, то есть для любой упорядоченной пары элементов $a,b$ из $\mathbb$ установлено, выполняется соотношение $a \leqslant b$ или нет. При этом имеют место следующие свойства.

Аксиомы этой группы показывают, что множество $\mathbb$ является линейно упорядоченным множеством.

Множества, удовлетворяющие аксиомам первой и второй группы, называются упорядоченными полями (википедия).

Аксиомы непрерывности

Каковы бы ни были непустые множества $A \subset \mathbb$ и $B \subset \mathbb$, такие что для любых двух элементов $a \in A$ и $b \in B$ выполняется неравенство $a \leqslant b$, существует такое число $c \in \mathbb$, что для всех $a, b$ и имеет место соотношение $a \leqslant c \leqslant b$

Последняя группа, состоящая из одной аксиомы, утверждает, что множество вещественных чисел обладает свойством непрерывности, которое также называют полнотой.

Примеры. Теорема 1. Между любыми двумя рациональными числами всегда найдётся еще хотя бы одно рациональное число.

Говорят, что множество рациональных чисел всюду плотно на прямой.

Доказательство. Пусть $a$ и $b$ — рациональные числа. Рассмотрим число $\frac<2>$ — оно тоже рационально и находится между ними.

Иначе говоря, не существует двух соседних рациональных чисел.

Повторяя это рассуждение, приходим, что между любыми двумя (неравными) рациональными числами бесконечно много других рациональных чисел.

Теорема 2. Между двумя рациональными числами есть иррациональное число.

Доказательство. Пусть натуральное число $n$ такое, что число $\frac <\sqrt2>n$ меньше половины расстояния между рациональными числами, например, возьмем $n>2\sqrt2/(b-a)$. Тогда при некотором ненулевом целом $m$ число $m \cdot \frac <\sqrt2>n$ попадёт в промежуток между ними (по аксиоме Архимеда).

Теорема 3. Между иррациональными числами есть иррациональное число.

Доказательство такое же.

Теорема 4. Между двумя иррациональными числами есть рациональное число.

Доказательство такое же, но вместо корня из 2 взять 1.

Сам факт существования иррациональных чисел ниоткуда априори не следует, он доказывается лишь конструктивно – явным построением какого-либо примера.

Если мы бросим на числовую прямую специальную иголку толщиной в одну точку, то с вероятностью 1 она воткнётся в иррациональное число!

Множество вещественных чисел

Определение. Множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное поле.

Этих аксиом достаточно, чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел.

Другие способы построения

Существуют и другие способы построения системы вещественных чисел:

Во всех этих подходах в результате мы получаем некоторое множество объектов (вещественных чисел), обладающих определёнными свойствами: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Более того, коль скоро установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены.

В математике важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними.

Существуют и другие способы аксиоматизации вещественных чисел. Например, вместо аксиомы непрерывности можно использовать любое другое эквивалентное ей условие, или группу условий. Например, в системе аксиом, предложенной Гильбертом, используются следующие два условия:

Таким образом, можно дать следующее эквивалентное определение: Множество вещественных чисел есть максимальное архимедово упорядоченное поле.

В качестве другого примера аксиоматизации вещественных чисел можно привести аксиоматику Тарского, состоящую всего из 8 аксиом.

Единственность

С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Итак, мы ввели множество R, которое будем называть множеством действительных чисел. Естественно поставить вопрос о существовании такого множества. Другими словами, не является ли совокупность сформулированных выше аксиом противоречивой? Ответ на этот вопрос может дать один из названных выше конструктивных способов определения множества действительных чисел. Каждый такой способ предполагает построение множества и определения операций на нем, обладающих свойствами, перечисленными в аксиомах. Поэтому такое множество существует.

Другой важный вопрос – является ли такое множество единственным?

Можно показать, что между любыми двумя множествами R и R’, обладающими перечисленными выше свойствами, можно установить взаимно однозначное соответствие таким образом, что если x соответствует x’, y соответствует y’, то из условия x []

Источник

Куда движется математика?

Непротиворечивость арифметики

В этом разделе речь пойдет об огромном значении того факта, что доказательства простых высказываний могут иметь невероятную длину. Гёдель нас научил, что доказать внутреннюю непротиворечивость арфметики Пеано невозможно, однако все считают элементарную арифметику непротиворечивой de facto и как ни в чем не бывало ею пользуются.

Платоновские настроения, царящие в среде математиков, просто не дают им усомниться в безгрешности арифметики Пеано. Вслед за Кронекером многие стали считать, что натуральные числа открыты им путем прямого прозрения и, следовательно, существуют. А раз натуральные числа существуют и подчиняются аксиомам Пеано, следовательно аксиоматика Пеано есть данность, и ее надо считать априори непротиворечивой. При этом часто ссылаются на ожидаемые или замышляемые улучшенные модели аксиом Пеано, однако ожидания и замыслы сами по себе ничего не решают.

Если мы обратимся к истории, мы увидим множество примеров всеобщей уверенности в ошибочных постулатах, включая математические. Веками евклидова геометрия считалась адекватно описывающей свойства пространства, пока Риман, а затем Эйнштейн не доказали обратное. Статус аксиомы выбора, или аксиомы Цермело, сегодня ни у кого сомнений не вызывает, хотя в начале XX века ее приемлемость была предметом бурных споров. Сам Цермело со временем признал, что главная причина для принятия аксиомы выбора — это то, что без нее математики не смогли бы доказать целый ряд результатов, необходимых им в работе; см. [19, с. 56]. И все эти сомнения отнюдь не разрешены — они просто забыты большинством научного сообщества. Наконец, отметим, что уверенность Гильберта в возможности позитивного решения всех без исключения математических задач разделялась подавляющим большинством его современников и была поколеблена лишь Гёделем.

А ведь логически не исключена возможность того, что арифметика Пеано внутренне противоречива. Никаких свидетельств в пользу этого нет, и я вовсе не утверждаю, что вероятность этого высока — и всё же такая возможность сохраняется. Чтобы разобраться с этим, рассмотрим пример из теории групп. Возьмем следующий набор аксиом:

(1) Существует множество элементов G , подчиняющееся аксиомам группы.

(2) Группа G конечна, но не изоморфна никаким из известных простых конечных групп.

(3) Группа G — простая. Иными словами, если N — подмножество G с определенным набором свойств (со свойствами нормальной невырожденной подгруппы), то N = G.

Эти аксиомы можно сравнить с арифметикой Пеано. Третья аксиома аналогична по форме аксиоме индукции (или схеме аксиом в логике первого порядка) в том плане, что, взяв произвольный объект с определенными свойствами, она признает его равным G (при этом мы допускаем свободный переход туда и обратно между подмножествами и предикатами). Хотя мы полагаем группу G конечной, ее размер не задан, и значит нельзя просто перечислить все объекты этого типа, даже если на это будет отведено бесконечно много времени. Единственный способ понять работу этой системы аксиом — через доказательства на ее основе.

Тот факт, что аксиоматика, столь близкая к арифметике Пеано, может потребовать столь длинного доказательства своей противоречивости (если она действительно противоречива, как полагают многие специалисты по теории групп), заставляет усомниться и в непротиворечивости самой арифметики Пеано. Самое короткое доказательство противоречивости аксиом Пеано может занимать миллиард страниц, и мы никогда его не увидим. А раз мы никогда не столкнемся с противоречием, то какая нам разница, противоречива аксиоматика или нет? Мы можем и дальше доказывать теоремы и вскрывать интересные взаимосвязи между понятиями, даже не подозревая об ужасной истине!

Такая ситуация отнюдь не означает, что все наши усилия бесполезны. Имеется множество примеров в прошлом, когда выявленные противоречия в системах аксиом или неточности в доказательствах теорем успешно устранялись. В знаменитой книге Имре Лакатоша приводится пример замечательной способности математиков реагировать на контрпримеры, когда раз за разом исправлялись ошибки в формулировке теоремы Эйлера [17]. Самое известное противоречие было выявлено в формулировке, приведенной в «Основах математики» Фреге, для которой нашел парадокс Бертран Рассел. Двадцать лет потребовалось на устранение этой проблемы путем привлечения аксиоматики теории множеств и аксиомы выбора; при этом формулировка теоремы потеряла свою изначальную изящность. Интересные математические находки (в математическом анализе, по крайней мере) обычно весьма живучи, терпимы к изменениям в аксиоматике и излечимы от технических ошибок в доказательствах, хотя иногда и требуют расширения и уточнения условий теоремы.

Источник

Основания арифметики изложенные новым способом

Если мы зададим вопрос, что такое число один, или что обозначает знак 1, то большей частью получим ответ: Наверное, какую-то одну вещь. И если затем мы укажем на то, что предложение

«(die) Число один есть (ein) вещь»

не является определением, поскольку с одной его стороны стоит определённый артикль, а с другой — неопределённый, что это предложение означает только то, что число один относится к вещам, но не то, какой вещью оно является, нам, вероятно, предложат выбрать для себя какую-нибудь вещь, которая называлась бы одной. Но если каждый в праве понимать под этим именем то, что ему хочется, тогда одно и то же предложение об один означало бы различное для разных людей; у таких предложений не было бы общего содержания. Некоторые, вероятно, отклонят вопрос ссылкой на то, что значение буквы а в арифметике тоже нельзя указать; и если говорят: а означает число, то в этом можно найти те же самые изъяны, как и в определении: один есть число. При ссылке на а отвод вопроса совершенно оправдан: она не означает определённого, заданного числа, но служит для того, чтобы выразить общность предложений. Если вместо а в а + а – а = а подставить любое, но всюду одно и то же число, то всегда получится истинное равенство. Буква а используется в этом смысле. Но с один дело обстоит существенно иначе. Можем ли мы в равенстве 1 + 1 = 2 вместо 1 в обоих случаях подставить один и тот же предмет, скажем, Луну? Напротив, кажется, что вместо первой 1 мы должны поставить нечто другое, чем вместо второй. В чём же дело, что здесь должно происходить как раз то, что в том случае было бы ошибкой. Чтобы выразить отношения между разными числами, арифметика не обходится одной буквой а, но должна использовать ещё и другие (b, c и т.д.). Таким образом, следовало бы полагать, что знака 1, если он сходным образом служит для придания общности предложениям, также могло бы не хватать. Но разве число один не выглядит как определённый предмет с заданными свойствами, например, оставаться неизменным при умножении на само себя? В этом смысле нельзя задать свойства а, поскольку то, что высказывается об а, есть общее свойство чисел, тогда как 1 1=1 ничего не высказывает ни о Луне, ни о Солнце, ни о Сахаре, ни о Тенерифском пике, ибо, что могло бы быть смыслом такого высказывания?

На такие вопросы, пожалуй, и большинство математиков не готовы дать удовлетворительного ответа. Не постыдно ли науке так и пребывать в неясности о её первейшем и, по-видимому, таком просто предмете? Ещё менее можно сказать, что такое число. Когда понятие, которое лежит в основании обширной науки, преподносит затруднения, неотложная цель, пожалуй, всё-таки состоит в его более тщательном исследовании и преодолении этих затруднений; пока осмотр основания всего строения арифметики всё ещё остаётся недостаточным, особенно трудно здесь, быть может, удастся придти к полной ясности относительно отрицательных, дробных и комплексных чисел.

Многие, правда, сочтут, что это не стоит труда. Ведь с этим понятием, как они полагают, достаточно иметь дело в элементарных руководствах и на этом успокоится на всю жизнь. Кто поверит, что в таком простом деле всё ещё можно чему-то научиться! Ибо понятие положительного целого числа так свободно от всяких затруднений, что и ребёнок может обращаться с ним научно исчерпывающе и что каждый без дальнейших размышлений и без знакомства с тем, что думали другие, точно знает в нём толк. Так что часто недостаёт того первого предварительного условия обучения: знание незнания. В результате всё ещё довольствуются грубым пониманием, хотя уже Гербарт учил правильнее[1] . Печально и обескураживающе, что знание, которое уже было достигнуто, всегда, таким образом, находится под угрозой опять пропасть, что так много работы кажется напрасной, поскольку человек в воображаемом богатстве уверен в ненужности усвоения её результатов. Я хорошо вижу, что также и данная работа подвержена такой опасности. Мне противна та грубость понимания, когда счёт называется комбинаторным, механическим мышлением[2] . Я сомневаюсь, что такое мышление вообще существует. Комбинаторное воображение, наконец, даже может быть утрачено, но для счёта это не имеет значения. По существу мышление всюду одинаково; ведь различные виды мышления не принимаются в расчёт сообразно предметам. Различия заключаются только в большей или меньшей чистоте и независимости от психологических влияний и от внешней помощи мышлению такой, как язык, знаки чисел и т.п.; затем, кое-что ещё зависит от тонкостей в строении понятия, но как раз во внимании к этому математику не могут превзойти ни наука, ни сама философия.

Из данного сочинения можно усмотреть, что даже кажущийся собственно математическим вывод от n к n + 1 покоится на общих логических законах, что нет нужды в особых законах комбинаторного мышления. Можно, конечно, употреблять числовые знаки механически, как можно говорить подобно попугаю; но всё-таки едва ли так можно назвать мышление. Употреблять числовые знаки механически возможно только после того, как посредством действительного мышления математический знаковый язык разовьётся так, что он, как говорят, мыслит за нас. Последнее не доказывает, что числа образуются особым механическим способом, скажем, как куча песка образуется из гранул кварца. Я думаю, в интересах математиков противиться такому воззрению, которое удобно для того, чтобы принизить главный предмет их науки, а с тем и её саму. Но даже у математиков находятся вполне сходные изречения. Напротив, за понятием числа должно признать более тонкую структуру, чем у большинства понятий других наук, хотя оно и является простейшим арифметическим понятием.

Чтобы опровергнуть то заблуждение, что при ссылке на положительные целые числа собственно вовсе нет противоречий, но царит совершенное согласие, мне кажется подойдёт обсуждение мнений философов и математиков о вопросах, подлежащих здесь рассмотрению. Будет видно, как мало оказывается согласия, так что встречаются прямо противоположные изречения. Одни, например, говорят: «Единицы равны друг другу»; другие считают их за различные; для своих утверждений и те, и другие имеют основания, которые нельзя отклонить на скорую руку. Этим я стараюсь пробудить потребность в более тщательном исследовании. Одновременно я хочу посредством предварительного освещения явных воззрений других расчистить поле для своего собственного понимания, с тем, чтобы сразу убедить, что эти другие пути не ведут к цели, и что моё мнение не является равноправным среди многих; и я надеюсь, таким образом, окончательно решить вопрос, по крайней мере, в главном.

Конечно, благодаря этому мои пояснения, пожалуй, станут более философскими, чем может показаться уместным многим математикам; но основательное исследование понятия числа всегда должно проходить несколько философски. Для философии и математики эта задача является общей.

Если совместная работа этих наук, несмотря на множество атак с обеих сторон, не является столь успешной, как хотелось бы и как, пожалуй, могло бы быть, то это, как мне кажется, зависит от преобладания в философии психологических способов рассмотрения, проникающих даже в логику. С данной тенденцией математика вовсе не имеет точек соприкосновения, и этим легко объясняется антипатия многих математиков к философскому рассмотрению. Когда, например, Штриккер[3] называет представления чисел моторными, зависящими от мускульных ощущений, то в этом математики не могут опознать свои числа и не знают, как приниматься за такое предложение. Арифметика, основанная на мускульных ощущениях, конечно, оказалась бы вполне чувственной, но в результате также и столь же расплывчатой, как и это основание. Нет, арифметика вовсе не должна работать с ощущениями. И столь же мало с внутренними образами, сливающимися из следов более ранних чувственных впечатлений. Переменчивость и неопределённость, характеризующие все эти образования, находятся в сильном контрасте с определённостью и устойчивостью математических понятий и предметов. Можно ведь и с пользой рассматривать представления и их изменения при математическом мышлении; но психология не должна воображать, что она может внести какой-то вклад в обоснование арифметики. Для математиков как таковых эти внутренние образы, их происхождение и изменение безразличны. Сам Штриккер говорит, что при слове «сто» он не представляет себе ничего более, кроме знака 100. Другие могут представлять себе букву С или что-то ещё. Не следует ли отсюда, что эти внутренние образы в нашем случае для существа дела совершенно безразличны и случайны, так же случайны, как и то, что чёрная доска и кусок мела вообще не заслуживают называться представлением числа сто? Всё же в таких представлениях не следует видеть существо дела! Не следует принимать описание того, как возникает представление, за определение, не следует принимать указание на душевные и телесные условия, приводящие предложение к сознанию, за доказательство, и не следует смешивать процесс, в котором предложение становится мыслимым, с его истинностью! Необходимо, как кажется, помнить, что предложение, когда я его более не мыслю, перестаёт быть истинным столь же мало, как уничтожается Солнце, когда я закрываю глаза. Иначе мы пришли бы к тому, что при доказательстве теоремы Пифагора нужно учитывать фосфорное содержание нашего мозга и что астроном не распространяет свои заключения на давным-давно прошедшие времена, опасаясь возражения типа: «Ты вот считаешь, что 2 ? 2 = 4; но ведь представление числа имеет развитие, историю! Можно сомневаться в том, было ли оно в те далёкие времена. Откуда ты знаешь, что в том прошлом это предложение уже имело место? Разве не могли существа, жившие в те времена, придерживаться предложения 2 ? 2 = 5, из которого предложение 2 ? 2 = 4 развилось лишь посредством естественного отбора в борьбе за существование и которому в свою очередь, может быть, назначено тем же самым способом развиться в 2 ? 2 = 3?» Est modus in rebus, sunt certi denique fines![4] Исторический способ рассмотрения, прислушивающийся к становлению вещи и из становления старающийся познать её сущность, определённо во многом оправдан; но он также имеет и свои границы. Если все вещи не были бы прочными и вечными, а находились в постоянном потоке, то мир перестал бы быть познаваемым и всё перепуталось. Кажется, думают, что в отдельной душе понятия возникают также как листья на деревьях, и полагают, что их сущность можно познать, исследуя их возникновение, и ищут их объяснение психологически в природе человеческой души. Но такое понимание переводит всё в субъективное и, если следовать ему до конца, упраздняет истину. То, что называют историей понятия, является, пожалуй, историей или нашего познания понятия, или значений слов. Познать понятие в его чистоте, освободить его от чуждых наслоений, скрывающих его от духовного взора, впервые удаётся посредством значительной духовной работы, которая может продолжаться в течение столетий. Ну и что же следует сказать на то, когда кто-нибудь вместо того, чтобы продолжать эту работу, если она выглядит ещё незаконченной, считает её за ничто, идёт в детскую или переносит себя на мыслимые древнейшими ступени развития человечества, чтобы там, подобно Дж.С.Миллю, открывать арифметику пряников и булыжников! Не хватает только того, чтобы приписать приятным вкусовым качествам пироженного особое значение для понятия числа. Это прямо противоположно разумным методам и в любом случае нематематично настолько, насколько возможно. Ничего удивительного, что математики не желают знать об этом! Вместо того чтобы искать особую чистоту понятий там, где поблизости предполагается их источник, всё видится расплывчатым и неразличимым, как в тумане. Всё обстоит так, как если кто-нибудь, чтобы разузнать об Америке, хотел бы вернуться в ситуацию Колумба, когда тот увидел первый сомнительный отблеск своей предполагаемой Индии. Конечно, такое сравнение ничего не доказывает; но оно, надеюсь, поясняет моё мнение. Ведь может быть и так, что история открытий во многих случаях является полезной как подготовка для дальнейших исследований; но она не может занять их место.

Что касается математиков, борьба с подобными мнениями, пожалуй, вряд ли необходима; но ведь по возможности я хочу излагаемые спорные вопросы привести к разрешению также и для философов, и вынужден в некоторой степени связываться с психологией, хотя и только для того, чтобы предотвратить её вторжение в математику.

Впрочем, даже в учебниках по математике случаются психологические обороты. Когда чувствуют обязанность, но не могут, дать определение, то хотят, по крайней мере, описать способ, которым приходят к соответствующим предметам или понятиям. Этот случай легко узнать по тому, что в последующем к таким объяснениям больше не прибегают. Для учебных целей введение этих приспособлений даже вполне уместно; только их всегда нужно чётко отличать от определений. На то, что даже математики могут спутать основание доказательства с внутренними или внешними условиями проведения доказательства, забавный пример доставляет Э.Шрёдер[5] , предлагая под названием «Особая аксиома» следующее: «Задуманный принцип можно, пожалуй, назвать аксиомой неотъемлемости знаков. Она даёт нам уверенность в том, что при всех наших переходах и выводах знаки закрепляются в нашей памяти — а ещё прочнее на бумаге», и т.д. Насколько сильно математика должна протестовать против такой помощи со стороны психологии, настолько мало она может отрицать свою тесную связь с логикой. Да, в той мере, в которой признаётся, что каждое исследование об обязательности доказательства или оправдании определения должно быть логическим, я согласен с воззрением тех, кто считает невозможным резкое разделение. Но от таких вопросов математика вовсе и не отказывается, ведь только благодаря ответам на них достигается необходимая уверенность.

Разумеется, в этом направлении я также иду далее обычного. Большинство математиков при исследованиях подобного рода довольствуются удовлетворением непосредственных потребностей. Если определение пригодно для использования в доказательстве, если нигде не наталкиваются на противоречие, если можно познать связи между вещами, которые кажутся далёкими друг от друга, и если, благодаря этому, получается более высокая упорядоченность и закономерность, то имеют обыкновение принимать определение за достаточное и гарантированное и мало спрашивают о его логическом оправдании. Подобное поведение, во всяком случае, имеет то благо, что не легко совершенно промахнуться мимо цели. Я тоже считаю, что определения должны оправдываться продуктивностью, возможностью проводить с их помощью доказательство. Но, пожалуй, следует принять во внимание, что строгость доказательства остаётся видимостью, даже при отсутствии пробелов в цепи заключений, если определения только задним числом оправдывают тем, что не столкнулись с противоречием. В сущности, так всегда достигают только уверенности, основанной на опыте, и должны собственно быть готовы, в конце концов, всё же встретить противоречие, которое приводит всё здание к обвалу. Поэтому, я полагаю, к общим логическим основаниям нужно обратиться в несколько большей степени, чем считает необходимым большинство математиков.

В этом исследовании как основных я придерживаюсь следующих правил:

• строго отделять психологическое от логического, субъективное от объективного;
• о значении слова нужно спрашивать не в его обособленности, а в контексте предложения;
• не терять из виду различие между понятием и предметом.

Чтобы следовать первому правилу, я всегда буду употреблять слово «представление» в психологическом смысле и отличать представление от понятий и предметов. Если же остаётся незамеченным второе основное правило, за значение слов почти вынужденно принимаются внутренние образы или действия отдельной души, а это грешит также и против первого правила. Что касается третьего пункта, то это только видимость, если считают, что понятие, не изменяя его, можно сделать предметом. Отсюда, непрочной оказывается распространённая формальная теория дробей, отрицательных чисел и т.д. Задуманное мной изменение я могу в этом сочинении только наметить. Во всех таких случаях, как и в случае положительных целых чисел, всё зависит от установления смысла равенства.

Я думаю, мои результаты, по крайней мере, по существу, найдут согласие тех математиков, которые возьмутся за труд принять во внимание мои доводы. Мне кажется, они носятся в воздухе, и отдельные из них, а может быть уже все, или, по крайней мере, подобные им, высказывались; но в такой связи друг с другом они всё ещё могут оказаться новыми. Меня иногда удивляло, что взгляды, в одном пункте подходившие к моему пониманию так близко, столь сильно отклонялись в другом.

У философов же приём будет различаться сообразно точкам зрения; самый скверный будет, пожалуй, у тех эмпириков, которые за изначальный способ вывода хотят признавать только индукцию, и даже её не как способ вывода, но как привычку. Может быть, по данному поводу те или другие подвергнут основания своей теории познания обновлённой проверке. Тем же, кто мои определения может объявить за неестественные, я предлагаю обдумать то, что вопрос здесь не о естественности, но касается сути дела и логически свободен от возражений.

Я лелею надежду, что при непредубеждённой проверке даже философы найдут в этом сочинении кое-что полезное.

§1. После того, как в течение долгого времени математика отдалялась от евклидовой строгости, сейчас она возвращается к ней, и даже стремится её превзойти. В арифметике, уже вследствие индийского происхождения её многих методов и понятий, образ мыслей традиционно был слабее, чем в геометрии, преимущественно развиваемой греками. Появление анализа более высокого порядка только способствовало этому; ибо, с одной стороны, строгой трактовке данного учения противостояли значительные, почти непреодолимые затруднения, а, с другой стороны, казалось, что их преодоление мало вознаграждало за прилагаемые к этому усилия. Однако дальнейшее развитие преподавало всё яснее, что в математике не достаточна лишь моральная уверенность, поддержанная многими успешными применениями. Доказательство теперь требуется для многого такого, что прежде считалось само собой разумеющимся. Благодаря этому, во многих случаях впервые были установлены границы приемлемого. Обнаружилась необходимость в более точном определении понятий функции, непрерывности, предела, бесконечности. Более тщательной проверке своих полномочий должны были подвергнуться отрицательные и иррациональные числа.

Таким образом, всюду обнаруживается стремление строго доказать, точно провести границы приемлемого, и для достижения этого, точно схватить понятие.

§2. В том, что идёт ниже, следование этому пути должно привести к понятию числа[6] и к простейшим предложениям, относящимся к позитивным целым числам и образующим основание всей арифметики. Конечно, числовые формулы, типа 5 + 7 = 12, и законы, типа закона ассоциативности сложения, так часто подтверждались бесчисленными применениями в каждодневном использовании, что почти нелепым могло бы выглядеть желание посеять сомнения потребностью в доказательстве. Но к сущности математики относится то, что она всюду, где возможно доказательство, предпочитает последнее оправданию посредством индукции. Евклид доказывает многое из того, с чем и без этого с ним согласился бы каждый. Между тем, некоторые остаются неудовлетворёнными и евклидовой строгостью, когда переходят к исследованиям, связанным с аксиомой о параллельных.

Таким образом, в правильном направлении уже много раз двигались те, кто, прежде всего, чувствовал потребность в большей строгости, и эта потребность всегда расширялась и крепла.

Доказательство как раз имеет целью не только поставить истинность предложений вне всяких сомнений, но также и просмотреть зависимость истин друг от друга. Убедившись в непоколебимости каменной глыбы в тщетных попытках её передвинуть, можно далее задаться вопросом, что же её так надёжно удерживает? При дальнейшем продолжении таких исследований всё сводится к немногим первичным истинам; и это упрощение само по себе уже является целью, достойной, чтобы её добиваться. Может быть, подтвердится также надежда, что приводя к сознанию то, с чем люди в простейших случаях обращались инстинктивно, можно получить общие способы образования понятий или обоснований, которые применимы также и в запутанных случаях, и этим выделить общезначимое.

§3. К таким исследованиям меня также побуждают философские мотивы. Вопросы об априорной или апостериорной, синтетической или аналитической природе арифметических истин ждёт здесь своего ответа. Ибо, даже если сами эти понятия и принадлежат философии, я всё же думаю, что решение не может воспоследовать без помощи математики. Разумеется, это зависит от смысла, приданного каждому из этих вопросов.

Нередко случается так, что сперва получают содержание предложения, и затем проводят его строгое доказательство другим, более трудным способом, посредством которого часто условия пригодности могут быть также изучены более точно. Таким образом, вопрос о том, как мы приходим к содержанию суждения, в общем, нужно отделять от вопроса, каким образом мы оправдываем наше утверждение.

Эти различения априорного и апостериорного, синтетического и аналитического, по моему[7] мнению, относятся к пониманию не содержания суждений, но оправдания вынесения суждения. Ведь там, где это оправдание отсутствует, пропадает также и возможность данных подразделений. Разве априорная ошибка не такой же вздор, как, скажем, голубое понятие? Когда предложение называют апостериорными или аналитическими в моём смысле, судят не о психологических, физиологических и физических обстоятельствах, которые делают возможным образование содержания предложения в сознании, а так же не о том, как другой, возможно ошибочно, приходит к тому, что он считает его истинным, но о том, на чём в самых глубинных основаниях покоится оправдание признания за истинное.

Благодаря этому, если речь идёт о математической истине, вопрос переводится из области психологии в область математики. Теперь это зависит от того, чтобы найти доказательство и свести математическую истину к первичным истинам. Если на этом пути наталкиваются только на общие логические законы и определения, то обладают аналитической истиной, причём предполагается, что при рассмотрении указаны также и предложения, от которых возможно зависит допустимость определения. Но если невозможно провести доказательство без использования истин, не имеющих общей логической природы, но относящихся к особой области науки, то предложение является синтетическим. Для того чтобы истина была апостериорной, требуется, чтобы её доказательство не удавалось без ссылки на факты; т.е. на недоказуемые истины, не обладающие всеобщностью, которые содержат высказывание об определённых предметах. Если, наоборот, возможно провести доказательство всецело из общих законов, которые сами не способны и не нуждаются в доказательстве, то истина является априорной[8] .

§4. Исходя из таких философских вопросов, мы приходим к тем же самым требованиям, которые независимо от этого вырастают в области самой математики: доказать с наибольшей строгостью, если только возможно, основные предложения арифметики; ибо, только если тщательно устранять каждый пробел в цепи выводов, можно с уверенностью сказать, на какие первичные истины опирается доказательство; и только когда последние известны, можно ответить на эти вопросы.

Итак, если пытаются следовать данным требованиям, то очень скоро приходят к предложениям, доказательство для которых невозможно до тех пор, пока входящие в них понятия не удаётся разложить на более простые или подвести под более общие. В данном случае это относится ко всем числам, которые должны быть либо определены, либо признаны за неопределяемые. Это и должно быть задачей данной книги[9] . От её выполнения зависит решение относительно природы арифметических законов.

Рассмотрению самого этого вопроса, я предпосылаю кое-что, что может дать указание, каков может быть на него ответ. А именно, если с других точек зрения обоснованно окажется, что принципы арифметики являются аналитическими, то это также говорит об их доказуемости и об определимости понятия числа. Противоположный эффект дал бы основания в пользу апостериорности этих истин. Поэтому предварительному освещению должен, прежде всего, подвергнуться этот спорный пункт.

I. Мнения отдельных авторов о природе арифметических предложений

Доказуемы ли числовые формулы?

§5. Числовые формулы, типа 2 + 3 = 5, которые имеют дело с определёнными числами, необходимо отличать от общих законов, имеющих силу для всех целых чисел.

Первые отдельными философами[10] считались недоказуемыми и непосредственно ясными, как аксиомы. Кант[11] толковал их как недоказуемые и синтетические, но опасался называть аксиомами, поскольку они не являются общими и поскольку их число бесконечно. Ханкель[12] оправданно называет предположение о бесконечной множественности недоказуемых первичных истин неуместным и парадоксальным. В самом деле, оно противоречит потребности разума в наглядности первых основоположений. А разве непосредственно очевидно, что

135664 + 37863 = 173527?

Нет! И как раз это приводит Канта к синтетической природе таких предложений. Но ещё больше это говорит против их недоказуемости; ибо, как можно было бы усмотреть их иначе, нежели через посредство доказательства, ведь они не являются непосредственно очевидными? Кант хочет призвать на помощь созерцание пальцев или точек, из-за чего попадает в опасность, что эти предложения, согласно его мнению, могут показаться эмпирическими, поскольку созерцание 37863 пальцев, во всяком случае, всё же не чисто. Также и выражение «созерцание», по-видимому, не оправдано, ведь уже 10 пальцев в своём расположении друг за другом могут вызывать различные созерцания. Разве мы вообще можем обладать созерцанием 135664 пальцев или точек? Если можем, да к тому же обладаем созерцанием 37863 пальцев и ещё 173527, тогда оправданность нашего равенства, если оно не является доказуемым, должна быть точас же очевидной, по крайней мере, для пальцев; но это не так.

Кант , очевидно, подразумевал только малые числа. Формулы, которые для них непосредственно очевидны через созерцание, затем были бы доказуемы для больших чисел. Сомнительно, однако, проводить принципиальное различие между малыми и большими числами, в особенности нельзя указать строгую границу. Если же числовые формулы были бы доказуемы, скажем, с 10, то оправдан вопрос: почему не с 5, не с 2, не с 1?

§6. Другие же философы и математики утверждали доказуемость числовых формул. Лейбниц[13] говорит:

««Два и два – четыре » – это совсем не непосредственная истина, если под четырьмя понимать три и один. Её можно, следовательно, доказать и вот каким образом.

• 2 – это 1 и 1,
• 3 – это 2 и 1,
• 4 – это 3 и 1.

Аксиома : « При подстановке равных величин равенство сохраняется ».

2 и 2 – это 2 и 1 и 1 (по определению 1),

2 и 1 и 1 – это 3 и 1 (по определению 2),

3 и 1 – это 4 (по определению 3), следовательно (по аксиоме) 2 и 2 = 4.»

Это доказательство на первый взгляд построено всецело из определений и приведённой аксиомы. Последнюю также можно преобразовать в определение, как сам Лейбниц и поступает в другом месте[14] . Кажется, что об 1, 2, 3, 4 не нужно знать более того, что содержится в определениях. Однако при более тщательном рассмотрении обнаруживается пробел, который скрыт пропуском скобок. А именно, при большей точности нужно записать:

(2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4.

Здесь пропадает предложение

2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1,

которое является особым случаем

a + (b + c) = (a + b) + c.

Если предполагается данный закон, то легко видеть, что так можно доказать каждую формулу сложения. Каждое число тогда определяется из предшествующего. В самом деле, я не вижу, каким более подходящим, чем лейбницевский, способом нам могло бы быть дано, скажем, число 437986. А так прийти к нему всё же в наших силах, даже не обладая никаким его представлением. Посредством таких определений бесконечное множество чисел сводится к однёрке и увеличению на один, и каждая из бесконечно многих числовых формул может быть доказана из нескольких общих предложений.

Такого же мнения придерживаются Г.Грассман и Г.Ханкель. Первый хочет получить закон

а + (b + 1) = (a + b) + 1

посредством определения, говоря[15] :

«Если a и b являются произвольными членами основного ряда, то под суммой a + b понимается тот член основного ряда, для которого имеет силу формула

a + (b + e) = a + b + e».

При этом е должно обозначать положительную единицу. Против данного объяснения можно возразить двояко. Прежде всего, сумма объясняется через саму себя. Если ещё не известно, что должно обозначать a + b, выражение a + (b + e) также не понятно. Но это возражение, пожалуй, можно устранить, сказав (конечно, противореча дословному тексту) что хотят объяснить не сумму, но сложение. Тогда всегда ещё можно возразить, что a + b — это пустой знак, если в основном ряду нет никакого члена или нескольких членов требуемого вида. То, что этого не случается, Грассман просто предполагает без доказательства, так что строгость всего лишь иллюзорна.

§7. Можно подумать, что числовые формулы являются синтетическим или аналитическими, апостериорными или априорными смотря по тому, какими являются общие законы, от которых зависит их доказательство. Однако этому противостоит мнение Джона Стюарта Милля. Правда вначале кажется, что он, как и Лейбниц, хочет основать науку на определениях[16] , поскольку объясняет отдельные числа также как он; но его предрассудок, что все науки являются эмпирическими, тотчас портит правильную мысль. А именно, он поучает нас[17] , что это определения не в логическом смысле, что они не только устанавливают значение выражения, но вместе с тем также утверждают наблюдаемый факт. Чем же во всём мире мог бы быть наблюдаемый или, как также говорит Милль, физический факт, который утверждается в определении числа 777864? Из всего обилия физических фактов, открывающихся перед нами, Милль называет один единственный, который может утверждаться в определении числа 3. Согласно ему он состоит в том, что имеется объединение предметов, которое, пока последние формируют смысл впечатления от о о о, может быть разъединено на две части, типа следующих: оо о. Всё-таки, как хорошо, что не всё в мире склёпано и сколочено; тогда мы не смогли бы взяться за такое разъединение, и 2 + 1 не было бы 3! Как жаль, что Милль не изобразил также физический факт, лежащий в основании чисел 0 и 1!

Милль продолжает: « Р аз такое предложение доказано, мы называем все такие сочетания « тремя » »[18] . Отсюда узнаётся, что собственно неверно, когда часы бьют три, говорить о трёх ударах, или называть сладкое, кислое и горькое тремя вкусовыми ощущениями; так же не одобряется и выражение «три способа решения уравнения»; поскольку об этом никогда не получить такого чувственного впечатления, как от о о о.

Теперь Милль говорит: «Вычисления вытекают не из самого определения, а из предполагаемой им арифметической теоремы о существовании группы предметов, которая производит на чувство такое впечатление»[19] . Но где же в приведённом выше доказательстве Лейбниц должен сослаться на упомянутый факт? Милль упускает возможность удостоверить пробел, хотя он даёт вполне соответствующее лейбницевскому доказательство предложения 5 + 2 = 7[21] . Действительно, имеющийся в наличие пробел, заключающийся в пропуске скобок, он не замечает так же, как и Лейбниц.

Если определение каждого отдельного числа действительно утверждает особый физический факт, то нельзя было бы в достаточной мере восхищаться человеком, который проводит вычисления с девятизначными числами, из-за физического характера его знания. Возможно, мнение Милля всё же не доходит до того, что все эти факты должны наблюдаться в отдельности, но достаточно посредством индукции вывести общий закон, в который все они были бы включены. Но при попытке сформулировать такой закон оказывается, что это невозможно. Недостаточно сказать: Существует большая совокупность вещей, которую можно разложить; ибо этим не говорится, что существует совокупность такого размера и вида, которая требуется, скажем, для определения числа 1000000, а также не указывается точнее способ разделения. Миллевское понимание с необходимостью должно вести к требованию, чтобы для каждого числа наблюдался особый факт, поскольку в общем законе было бы потеряно как раз то своеобразие числа 1000000, которое необходимо принадлежит его определению. В самом деле, согласно Миллю нельзя установить 1000000 = 999999 + 1, если не наблюдается именно своеобразный способ разделения совокупности вещей, который отличается от способа, подобающего для какого-либо другого числа.

§8.Милль, видимо, считает, что определения 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1 и т.д. нельзя образовать до тех пор, пока не наблюдались упомянутые им факты. В самом деле, 3 нельзя определить как (2 + 1), если (2 + 1) вовсе не придан смысл. Но спрашивается, разве необходимо для этого наблюдать указанную совокупность и её разделения? Тогда было бы загадочно число 0; потому что до сих пор, пожалуй, никто не видел и не трогал 0 булыжников. Милль, конечно, объяснил бы 0 как нечто бессмысленное, только как манеру речи; вычисления с 0 были бы лишь игрой с пустыми знаками, и остаётся только удивляться, каким образом при этом может получаться что-то разумное. Но если эти вычисления имеют серьёзное значение, то и сам знак 0 не может быть совершенно бессмысленным. Оказывается, возможно, чтобы 2 + 1 сходным с 0 образом, всё-таки могло иметь смысл даже тогда, когда не наблюдается упоминаемый Миллем факт. В самом деле, разве кто захочет утверждать, что наблюдает тот факт, который, согласно Миллю, содержится в определении 18-значного числа, и разве кто захочет отрицать, что такой числовой знак всё же имеет смысл?

Может быть, имеется в виду, что физические факты используются только для малых чисел, скажем, до 10, в то время как остальные могут составляться из них. Но если 11 можно построить из 10 и 1 лишь посредством определения, без того чтобы наблюдать соответствующую совокупность, то нет основания, по которому нельзя было бы таким же образом составить 2 из 1 и 1. Если вычисления с числом 11 не следуют из характерного для него факта, то, как получается, что вычисления с 2 должны зависеть от наблюдения определённой совокупности и её своеобразного разделения?

Быть может, зададут вопрос, как может существовать арифметика, если посредством чувств мы можем различить вовсе ни одной или только три вещи. Для нашего знания арифметических предложений и их применений такое состояние, конечно, было бы чем-то сомнительным; ну а как же для их истинности? Если предложение называют эмпирическим, потому что мы должны делать наблюдения, для того чтобы нам стало известно его содержание, то слово « эмпирический » используется не в том смысле, в котором оно противоположно « a priori » . Тогда высказывается психологическое утверждение, которое относится только к содержанию предложения; является ли оно истинным тем самым не рассматривается. В этом смысле все истории Мюнхгаузена также являются эмпирическими; ибо, для того чтобы их можно было выдумать, конечно, необходимо делать различные наблюдения.

Являются ли законы арифметики индуктивными истинами?

§9. Прежние соображения делают правдоподобным то, что числовые формулы выводимы единственно из определений отдельных чисел при помощи нескольких общих законов, что эти определения не утверждают наблюдаемые факты и не предполагают их для своей законности. Это зависит также от познания природы указанных законов.

Милль[22] хочет использовать для своего (упомянутого выше) доказательства формулы 5 + 2 = 7 предложение «Всё, что слагается из частей, слагается из частей этих частей». Его он принимает за характерное выражение предложения, прежде известного в форме «Суммы равных равны». Он называет его индуктивной истинной и законом природы высшего порядка. На недостаточность его экспозиции указывает то, что он совершенно не привлекает это предложение в том пункте доказательства, где оно, согласно его мнению, необходимо; всё-таки кажется, что его индуктивная истина должна заменить аксиому Лейбница: «Если подставить равное, равенство сохраняется». Однако для того чтобы арифметическую истину можно было назвать законом природы, Милль вкладывает в неё смысл, которого она не имеет. Он считает[23] , например, что равенство 1 = 1 может быть ложным, поскольку один фунт не всегда имеет именно тот вес, который имеет другой фунт. Но предложение 1 = 1 вовсе даже не стремится этого утверждать.

Милль понимает знак + так, чтобы благодаря этому выразить отношение частей физического тела или частей кучи к целому; но не в этом смысл данного знака. 5 + 2 = 7 не означает, что если в 5 мер жидкости влить 2 меры жидкости, то получится 7 мер жидкости, но последнее есть применение первого предложения, которое допустимо только тогда, когда вследствие, скажем, химической реакции не наступает изменения объёма. Милль всегда смешивает применение, которое можно найти арифметическому предложению и которое часто бывает физическим и предполагает наблюдаемый факт, с самим чисто математическим предложением. Знак плюса может, правда, во многих применениях, по-видимому, соответствовать образованию кучи; но не в этом его значение; потому что при других применениях (если, например, заниматься подсчётом событий) о кучах, агломератах, отношении физического тела к своим частям не может быть и речи. Правда, здесь тоже можно говорить о частях; однако тогда это слово используется не в физическом или геометрическом, но в логическом смысле, как когда тираноубийство называют частью убийства вообще. Здесь имеется логическая субординация. Так и сложение, в общем, тоже не соответствует физическому отношению. Следовательно, общие законы сложения также не являются законами природы.

§10. Но возможно они всё-таки могут быть индуктивными истинами. Как же за это взяться? Из каких фактов необходимо исходить, чтобы подняться к общему? Пожалуй, таковыми могут быть только числовые формулы. Этим мы, конечно, опять утрачиваем преимущества, которые приобрели посредством определения отдельных чисел, и должны найти другой способ обоснования числовых формул. Но даже если сейчас мы и не принимаем во внимание это вовсе не лёгкое сомнение, то всё равно находим почву для индукции неблагоприятной; потому что здесь отсутствует то однообразие, которое в ином случае могло бы придать этой процедуре большую надёжность. Уже Лейбниц[24] на утверждение Филалета:

«Различные модусы чисел могут отличаться друг от друга лишь по величине, поэтому они простые модусы, подобно модусам протяжения» , мог ответить:

«Это можно сказать времени и о прямой линии, но ни в коем случае не о фигурах и тем более не о числах, которые не только не отличаются друг от друга по величине, но, кроме того, и не сходны между собой; чётное число можно разделить поровну на две части, а нечётное нельзя. Три и шесть – треугольные числа, четыре и девять – квадраты, восемь – куб и т.п. Сказанное относится к числам ещё больше, чем к фигурам, так как две неравные фигуры могут быть совершенно подобны друг другу, чего нельзя никогда сказать о двух числах» .

Мы уже привыкли именно к тому, что числа во многих отношениях трактуются как однородные; но это происходит только постольку, поскольку мы знаем множество общих предложений, которые имеют силу для всех чисел. Здесь мы должны, однако, встать на точку зрения, с которой ещё ничего не оценивалось. В самом деле, было бы трудно найти пример для индуктивного вывода, соответствующий нашему случаю. Обычно мы часто устанавливаем предложение, что каждое место в пространстве и каждая временная точка в себе и для себя аналогична любой другой. При тех же самых условиях результат должен получаться столь же хорошо в другом месте и в другое время. Здесь это не применимо, поскольку числа внепространственны и вневременны. Позиция в ряду чисел не равноценна месту в пространстве.

Числа также ведут себя совершенно иначе, нежели, скажем, представители вида животных, так как числа по природе вещей имеют определённый порядок, каждое образуется собственным способом и обладает своеобразием, особенно заметным у 0, 1 и 2. Кроме того, если посредством индукции обосновывается предложение, относящееся к виду, обыкновенно уже имеется весь ряд с общими свойствами, уже единственно по определению понятия вида. Здесь же трудно найти даже единственное общее свойство, которое сперва само не доказывалось бы.

Наш случай легче всего можно сравнить со следующим. Пусть замечено, что с глубиной температура в буровой скважине регулярно увеличивается, причём до сих пор встречались совершенно разные слои горных пород. Очевидно, тогда, основываясь на наблюдениях за этой скважиной, никто не сделает вывода о состоянии более глубоких слоёв, и должно оставаться открытым, будет ли регулярность распределения температуры сохранятся далее. Хотя под понятие «то, что встречается при продолжении бурения» подпадает как то, что наблюдалось до сих пор, так и то, что залегает более глубоко, здесь, однако, это мало может пригодиться. В случае чисел нам так же мало может пригодиться то, что все они подпадают под понятие «то, что получается посредством увеличения на один». Различие между двумя случаями можно найти в том, что слои лишь встречаются, но числа посредством увеличения на единицу прямо-таки создаются и определяются во всём своём существе. Последнее может означать только то, что все свойства числа (например, 8) можно вывести из способа, которым оно возникает посредством увеличения на 1. Этим, в сущности, даётся то, что свойства числа вытекают из его определения, и открывается возможность доказать общие законы чисел из одинакового для них всех способа возникновения, в то время как особые свойства отдельных чисел выводятся из особого способа, которым они образуются с помощью продолжающегося увеличения на один. Таким же образом можно делать выводы именно из того, что у земного слоя определяется уже единственно посредством глубины, на которой он встречается, т.е. из обстоятельств его расположения, не нуждаясь в индукции; но то, что этим не определяется, нельзя узнать также и из индукции.

Вероятно, саму процедуру индукции можно оправдать только с помощью общих предложений арифметики, если под ней не понимать простую привычку. Последняя совершенно не обладает ручающейся за истину силой. В то время как научная процедура согласно объективным стандартам то находит обоснованной высокую вероятность в одном единственном примере, то считает не имеющими цены тысячи событий, привычка определяется числом и силой впечатлений и субъективными обстоятельствами, которые не имеют никакого права оказывать влияние на суждение. Индукция должна опираться на учение о вероятности, поскольку она может сделать предложение не более чем вероятным. Однако не видно, как это учение можно развить, не предполагая арифметических законов.

§11.Лейбниц[25] , наоборот, считал, что необходимые истины, которые обнаруживаются только в арифметике, должны иметь принципы, доказательство которых не зависит от примеров и, следовательно, от показаний чувств, хотя никому и не приходит на ум мыслить об этом без чувств. «Вся арифметика врождена и заключается в нас потенциальным образом» . То, как он понимает выражение « врождена » , поясняет другое место[26] : «Я не могу признать также, будто всё то, что мы узнаём, не врождено. Истины о числах находятся в нас, и тем не менее мы узнаём их, либо извлекая эти истины из их источника, когда мы узнаём их путём рационального доказательства (что показывает, что они врождены), либо …».

Являются законы арифметики априорно синтетическими или же аналитическими?

§12. Если взять антитезу аналитического и синтетического, получается четыре комбинации; однако, одна из них, а именно, аналитическое a posteriori, отпадает. Если вместе с Миллем решить в пользу a posteriori, то выбора не остаётся; но нам всё ещё остаётся взвесить лишь две возможности синтетическое a priori и аналитическое.

В пользу первого решает Кант. В этом случае, пожалуй, не остаётся ничего иного, как призвать чистое созерцание в качестве последнего основания познания, несмотря на то, что тут трудно сказать, является ли оно пространственным или временным, или же, кроме того, может быть каким-то ещё. Бауман[27] соглашается с Кантом, хотя и на несколько ином основании. Согласно Липшицу[28] предложения, которые утверждают независимость чисел от способа вычисления, также вытекают из внутреннего созерцания. Ханкель[29] основывает учение о действительных числах на трёх принципах, которым он приписывает характеристику notiones communes[30]: «Посредством экспликации они становятся совершенно очевидными, имеющими силу для всего обладающего величиной согласно чистому созерцанию величины и могут, без утраты своей характеристики, быть преобразованы в определения тем, что говорят: Под сложением величин понимается операция, удовлетворяющая этим предложениям». В последнем утверждении содержится неясность. Пожалуй, определение можно дать, но оно не может составить замены этим принципам, поскольку при применении речь всегда бы шла о том, есть ли числовые величины и является ли то, что мы имеем обыкновение называть сложением, сложением в смысле данного определения? И при ответе необходимо уже знать эти предложения о числах. Далее, неприязнь вызывает выражение «чистое созерцание величины». Если задуматься над всем тем, что называется величинами (числа, протяжённости, площади, объёмы, угол, кривизна, массы, скорости, силы, освещённость, электрическое напряжение и т.д.), то, пожалуй, понятно, как их можно подчинить понятию величины; но выражение «созерцание величины» (и уж совсем «чистое созерцание величины) нельзя признать соответствующим. Раз уж я не могу согласиться с созерцанием 1000000, ещё меньше я могу согласиться с созерцанием числа вообще или, вовсе, величины вообще. На внутреннее созерцание легко сослаться, когда нельзя указать на другое основание. Но всё же при этом не нужно совершенно терять из виду смысл слова «созерцание».

Кант определяет в Логике (ed.Hartenstein, VIII, S.88): «Созерцание есть единичное представление ( repraesentatio singularis ); понятие есть общее ( repraesentatio per notas communes) или рефлективное представление ( repraesentatio discursiva )»[31] .

Здесь в выражение вовсе не входит отношение к чувственности, которое, однако, примысливается в Трансцендентальной эстетике и без которого созерцание не может служить для априорно синтетических суждений в качестве принципа познания. В Критике чистого разума (ed.Hartenstein III, S.55) обозначено: «Всякое мышление должно … иметь отношение к созерцаниям, стало быть, у нас – к чувственности, потому что ни один предмет не может быть нам дан иным способом»[32] .

Смысл нашего слова в Логике, таким образом, шире, чем в Трансцендентальной эстетике. В логическом смысле можно, пожалуй, назвать 1000000 созерцанием; поскольку оно не является общим понятием. Но взятое в этом смысле, созерцание не может служить основанием арифметических законов.

§13. В общем, было бы хорошо, не переоценивать родство с геометрией. Против этого я уже приводил цитату из Лейбница. Геометрическая точка, рассмотренная сама по себе, совершенно не отличается от какой-нибудь другой; то же самое имеет силу для прямых и плоскостей. Они различаются, лишь когда несколько точек, прямых или плоскостей схвачены в созерцании одновременно. Если в геометрии общие предложения приобретаются созерцанием, то отсюда ясно, что созерцаемые точки, прямые и плоскости собственно вовсе не являются особенными и поэтому могут считаться представителями всего своего рода. У чисел дело обстоит по иному; каждое из них имеет свои особенности. О том, каким образом определённое число может представлять другие, и где предъявляет свои права его своеобразие, нельзя сказать безоговорочно.

§14. Сравнение истин при ссылке на область, где они господствуют, также говорит против эмпирической и синтетической природы арифметических законов.

Предложения опыта имеют силу для физической или психологической действительности, геометрические истины господствуют в области пространственно созерцаемого, неважно будет ли оно только действительным или же продуктом силы воображения. Самый сумасшедший лихорадочный бред, самые смелые творения сказаний и поэтов, где животные говорят, где светила могут спокойно останавливаться, где из камня получается человек, а из человека дерево, где учат тому, как самого себя вытащить из болота за собственный чуб, всё ещё, поскольку остаются наглядными, связаны с аксиомами геометрии. Понятийное мышление может освободиться от этого только определённым способом, если, скажем, принять четырёхмерное пространство или положительное искривление. Такое рассмотрение вовсе не бесполезно, оно полностью покидает поле созерцания. Если же при этом последнее призывается на помощь, то оно всё-таки всегда является созерцанием евклидова пространства, единственного пространства, образом которого мы обладаем. Только тогда созерцание не таково, каково оно есть, но символизирует нечто иное; например, прямой или плоскостью называют то, что всё-таки созерцается как искривлённое. Для понятийного же мышления можно принять противоположное той или иной геометрической аксиоме, без того чтобы, если следствия выводятся из таких конфликтующих с созерцанием предпосылок, запутаться в противоречиях с самим собой. Эта возможность показывает, что геометрические аксиомы независимы друг от друга и от первичных логических законов, а являются синтетическими. Можно ли сказать то же самое об основоположениях науки о числах? Не смешается ли всё, если захотелось бы отрицать одну из них? Было ли бы тогда ещё возможно мышление? Не лежит ли основание арифметики глубже, нежели основа всего опытного знания, даже глубже, чем основание геометрии? Арифметические истины господствуют над областью исчислимого. Это основание является всеобъемлющем; так как ему принадлежит не только действительное, не только созерцаемое, но и всё мыслимое. Разве не должны тогда законы чисел находится в теснейшей связи с законами мысли?

§15. Нетрудно предвидеть, что изречения Лейбница можно истолковать в пользу аналитической природы законов чисел, ведь для него a priori совпадает с аналитическим. Так, он говорит[33] , что алгебра заимствует свои преимущества у более высокого искусства, а именно, подлинной логики. В другом месте[34] он сравнивает необходимые и случайные истины с соизмеримыми и несоизмеримыми величинами и подразумевает, что в случае необходимых истин возможно доказательство или сведение к тождествам. Эти мнения всё же теряют вес вследствие того, что Лейбниц склонен считать все истины доказуемыми[35] : «. Каждая истина извлекает своё априорное доказательство из понятия терминов, хотя не всегда в наших силах прийти к этому анализу». Правда, сравнение с соизмеримостью и несоизмеримостью опять устанавливает непреодолимый, по крайней мере, для нас, барьер между случайными и необходимыми истинами.

Весьма решительно в пользу аналитической природы законов чисел высказывается У.Стенли Джевонс[36] : «Число есть только логическое различение и алгебра есть в высшей степени развитая логика» .

§16. Но и эта точка зрения также имеет свои затруднения. Может ли высоко возвышающееся, разветвлённое и всё же постоянно растущее древо науки о числах укоренятся в голых тождествах? И каким образом пустые формы логики приходят к тому, что из них получается такое содержание?

Милль считает[37] : «Учение о том, что мы можем открывать факты и разоблачать сокровенные процессы в природе посредством искусного пользования словами, до такой степени противна здравому смыслу, что для того, чтобы поверить ему, надо сделать некоторые успехи в философии» .

Верно, если бы при искусных манипуляциях не мыслили. Здесь Милль выступает против формализма, который едва ли кто-нибудь защищает. Те, кто использует слова или математические знаки, претендуют на то, что они нечто обозначают, и никто не ждёт, что из пустых знаков вытекает нечто, наполненное смыслом. Однако возможно, что математик осуществляет длиннейшие вычисления без того, чтобы понимать под своими знаками нечто чувственно зримое, созерцаемое. Из-за этого знаки всё же не являются бессмысленными; от них самих всё же отличают их содержание, даже если, быть может, оно схватываемо только посредством знаков. Известно, что для одного и того же можно установить другие знаки. Нужно знать, как логически обращаться с символизированным в знаках содержанием, и как должен совершаться переход к явлениям, когда хотят применения в физике. Однако в таком применении нельзя видеть собственный смысл предложений. При этом всегда пропадает большая часть общности, и привходит нечто особенное, что при ином применении заменяется на другое.

§17. Вопреки всяческому умалению дедукции всё же нельзя отрицать, что законов, обоснованных посредством индукции, недостаточно. Из них должны выводится новые предложения, которые ни в одном из них в отдельности не содержатся. То, что они уже определённым способом находятся в них всех вместе взятых, не освобождает от работы вытащить их оттуда и установить сами по себе. С этим открывается следующая возможность. Вместо того чтобы привязывать ряд выводов непосредственно к факту, можно, оставляя последний вопрос открытым, адаптировать его содержание в качестве условия. Благодаря тому, что все факты таким образом заменяются в ряду мыслей на условия, вывод получают в такой форме, что результат становится зависимым от ряда условий. Такая истина была бы обоснована посредством одного мышления или, по выражению Милля, посредством искусного пользования словами. Нет ничего невозможного в том, чтобы законы чисел относились к такой разновидности. Тогда, несмотря на то, что они не обязательно открывались бы посредством одного мышления, они были бы аналитическими суждениями; ибо здесь рассматривается не способ поиска, но разновидность оснований доказательства; или, как говорит Лейбниц[38] , «Ведь здесь речь идёт не об истории наших открытий, которая различна у разных людей, но о естественной связи и естественном порядке истин, который всегда одинаков». Тогда в конце наблюдение решило бы, выполнено ли условие, содержащееся в обоснованных таким образом законах. В конце концов, так попадают именно туда, куда пришли бы с помощью непосредственной привязки ряда выводов к наблюдаемым фактам. Однако указанная здесь разновидность образа действия во многих случаях предпочтительнее, поскольку она приводит к общему предложению, которое не обязательно применимо только к непосредственно имеющимся в наличие фактам. Тогда истины арифметики относились бы к истинам логики подобно тому, как теоремы относятся к аксиомам геометрии. Последние конденсированно содержали бы в себе весь ряд выводов для будущего употребления, и их польза состояла бы в том, что больше не нужно было бы делать выводы порознь, но можно было бы сразу же выразить результат всего ряда[39] . Тогда, ввиду сильного развития арифметических теорий и их многократного применения, не удержалось бы широко распространённое пренебрежение аналитическими суждениями и сказка о непродуктивности чистой логики.

Если же не здесь впервые выраженную точку зрения можно провести в частностях так строго, чтобы не оставалось ни малейшего сомнения, то этот результат, как мне кажется, был бы вполне значим.

[1] Herbart, S ammtliche Werke, herausgegeb. von Hartenstein, Bd.X, 1 Thl. Umriss p adagogischer Vorlesungen §252, Anm.2: «Двойка означает не две вещи, но удвоение» и т.д.

[2] K.Fischer, System der Logik und Metaphysik oder Wissenschaftslehre, z. Aufl. §94.

[3] Stricker, Studien uber Association der Vorstellungen. Wien 1883.

[4] [«Мера должна быть во всём и всему, наконец, есть пределы! » (Гораций) ]

[5] E.Schroder, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.

[6] [Фреге использует здесь термин Anzahl. Мы переводим его как число и далее не отличаем от Zahl по двум причинам: во-первых, Anzahl – термин, употребимый для кардинального числа, тогда как Zahl – для числа вообще, но у Фреге в основном речь идёт только о кардинальных числах; во-вторых, на протяжении всего текста эти два термина практически не различаются и используются как синонимы. Там, где в редких случаях такое различие всё же обнаруживается, мы переводим Anzahl как кардинальное число. ]

[7] Этим я в действительности не вкладываю новый смысл, но только трактую то, что имели в виду другие авторы, особенно Кант.

[8] Если вообще признаются общие истины, то должно также добавить, что существуют и такие первичные законы, потому что из сугубо единичных фактов не следует ничего, разве что только на основании законов. Сама индукция основывается на общем предложении, что данный метод может мотивировать истину или же видимость истины закона. При отрицании этого индукция становится не более чем психологической иллюзией, способом, которым люди приходят к убеждению в истинности предложения без того, чтобы благодаря этому данное убеждение было как-нибудь обосновано.

[9] Итак, в нижеследующем, если нет никаких оговорок, речь не идёт о каких-то других числах, кроме положительных целых чисел, отвечающих на вопрос «сколько?».

[10] Гоббс, Локк, Ньютон. Ср. Bauman n, die Lehren von Zeit, Raum und Mathematik, S.241-242, S.365ff., S.475. [Ньютон И. Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе.– М.: изд.АНСССР, 1948.– С.17.; Локк Дж. Сочинения в трёх томах, т.1.– М.: Мысль, 1985.– С.74-76. ]

[11] Kritik der reinen Vernunft herausgeg. v. Hartenstein. III. S.157. [Кант И. Собрание сочинений в восьми томах, т.3.– М.: Чоро, 1994.– С.175. (В переводе Н.Лосского.) ]

[12] H.Hankel, Vorlesungen uber die complexen Zahlen und ihren Functionen.

[13] Nouveaux Essais, IV. §10. Erdm.S.363. [Лейбниц Г. Сочинение в четырёх томах, т.2.– М.: Мысль, 1983.– С.422. ]

[14] Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm. S.94. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.3.– М.: Мысль,1984.– С.632. ]

[15] H.Grassmann, Lehrbuch der Mathematik f ur h ohere Lehranstalten. I Theil: Arithmetik, Steettin 1860, S.4.

[16]Милль Дж.Ст. Система логики силлогистической и индуктивной.– М.: изд. Г.А.Лемана, 1914.– Кн.III, Гл. xxiv, §5. [На протяжении всей работы Фреге ссылается на немецкий перевод: System der deductiven und inductiven Logik, ubersetzt von J.Schiel; в нашем переводе цитаты будут приводиться по указанному русскому изданию.]

[17] Там же, Кн. II, Гл. vi, §2.

[18] Там же, Кн. II, Гл. vi, §2, С.230.

[19] Там же, Кн. II, Гл. vi, §2, С.230.

[20] Там же, Кн. III, Гл. xxiv, §5.

[21] Там же, Кн. III, Гл. xxiv, § 5, С.558.

[22] Там же, Кн. II, Гл. vi, §3.

[23] Baumann, O p. cit., II., S.39; Erdm. S.243. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.2…, С.156. ]

[24] Baumann , O p. cit., Bd. II. S.13-14; Erdm. S.195, S.208-209. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.2… С.78. ]

[25] Baumann , O p. cit., Bd. II., S.38; Erdm. S.212. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.2 … С.87. ]

[26] O p. cit., Bd.II, S.669.

[27] Lipschitz, Lehrbuch der Analysis, Bd.I., S.1.

[28] Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme, S.54-55.

[29] [Общих понятий – лат. ]

[30] [Кант И. Собрание сочинений в восьми томах, т.8.– М.: Чоро, 1994.– С.346. ]

[31 [Кант И. Собрание сочинений в восьми томах, т.3 … С.62. ]

[32] Baumann , O p. cit., Bd.II., S.56; Erdm. S.424.

[33] Baumann , O p. cit., Bd.II., S.57; Erdm. S.83. [Лейбниц Г. Сочинения в четырёх томах, т.3. … С.496. ]

[34] Baumann , O p. cit., Bd.II., S.57; Pertz, II., S.55.

[35]Джевонс Ст. Основы науки.– С.-Пб.: изд. Л.Ф.Пантелеева, 1881.– С.152. [Фреге на всём протяжении текста цитирует второе английское издание книги Ст.Джевонса: The principles of science, London 1879, в нашем переводе все цитаты будут приводится по указанному русскому изданию. ]

[36] Там же, Кн.II, Гл. vi, §2, С.227.

[37] Nouveaux Essais, IV, §9; Erdm. S.360. [Лейбниц Г. Сочинение в четырёх томах, т.2 … С.420. ]

[38] Поразительно, что уже Милль (Там же, Кн.II, Гл.vi, §4), по-видимому, выражает эту точку зрения. Присущий ему здравый смысл время от времени пробивается через его предубеждение в пользу эмпирического. Однако последнее всегда всё вновь запутывает, смешивая у него физическое применение арифметики с самой арифметикой. Ему, видимо, неизвестно, что гипотетическое суждение может быть истинным тогда, когда условие истинным не является.

Источник