Ошибки при изучении способа

Семь ключевых ошибок при обучении

Человек учится постоянно, даже если вы ничего не изучаете активно и целенаправленно. Мы выхватываем крупицы знаний из интернета, готовим разные блюда, скрываем эмоции и многое другое. Но направленное обучение намного сложнее. Что бы вы ни изучали — биологию, математику или игру на гитаре — есть ошибки, которые не зависят от предмета. О них мы бы и хотели поговорить в этой статье. Ведь если вам удастся избежать их, скорость обучения увеличится в несколько раз.

Ошибка первая: запоминать то, что нужно понять

Мнемотехники и простое запоминание действительно могут иногда выручить. Они развивают память, творческое воображение и дисциплину. Но следует разделять то, что нужно запомнить, а что — впитать. Формулы нужно знать, но немаловажно и понимать, что они означают и как применяются в реальной жизни.

Еще одна проблема с запоминанием в том, что этот метод не позволяет искать связи между темами и предметами. Мы лучше впитываем знания, когда видим, как они связаны с информацией, которую мы уже знаем.

Ошибка вторая: нехватка практики

Ходить на курсы — это не практика. Выделять текст, перечитывать заметки — тоже. Практика — это:

• попытка ответить на вопрос без подсказки;
• применение навыка, а не только его изучение;
• получение обратной связи о том, удачной ли была попытка.

Заранее решите, какой процент времени будете выделять на практику, изучая предмет. Например, на физику можно выделить 50%, на иностранный язык — 75%.

Отличным способом проверить себя будет самооценивание. В следующий раз при прочтении книги, которую хотите понять, создайте список вопросов, а не цитат.

Ошибка третья: создавать неправильную среду

Человек, изучающий иностранный язык, может поместить себя в среду, способствующую его изучению: поехать в другую страну или общаться только на этом языке.

Человек, желающий завести свой блог, может прочесть тонну литературы по теме. Но лучше всего сразу начать вести блог и искать обратную связь. Таким образом он поместит себя в среду, в которой сможет и практиковаться, получая сразу опыт, и набираться знаний.

Наблюдайте за теми, кто учится быстро и эффективно. В какую среду они себя поместили?

Ошибка четвертая: быть краткосрочным перфекционистом

Никто не хочет выглядеть дураком. Мы скрываем, что не поняли темы и хотим дать понять окружающим, что во всем разобрались. Поэтому лучше всего демонстрировать те навыки, которые и так давно освоены. Мы ждем, пока будем готовы на свершения, а в это время практикуем то, что и так знаем.

Лучший девиз — ошибайся как можно раньше, ошибайся как можно больше. Совершайте ошибки и не бойтесь показаться дураком. Это означает не относиться к себе серьезно и унять эго.

Трудно сказать наверняка, но, пожалуй, большинство людей в мире хочет добиться большего. И только часть из них действительно это делает. Они поработали со своей психикой, привыкли отделять ошибки от своей личности и обучаются в несколько раз быстрее, чем остальные.

Ошибка пятая: не быть долгосрочным перфекционистом

Перфекционистом в обучении быть похвально. Долгосрочный перфекционист:

• Не ждет подходящего момента, а действует здесь и сейчас.
• Постоянно повышает свои навыки.
• Испытывает неудобство от того, что долгое время топчется на месте.

Краткосрочный перфекционист долго не будет практиковать знания иностранного языка и откажется вступать в диалоги с носителями. Долгосрочный же сделает это при первой возможности: сначала он ошибется несколько раз, но в итоге донесет свою мысль. И этот опыт запомнится на всю жизнь.

Ошибка шестая: учить без ограничений

Некоторые люди принимают странные решения: изучить китайский язык или стать экспертом в программировании. Они говорят, что знают, как это долго, но уверены, что смогут сберечь мотивацию до самого конца. Частый итог? Дело бросается уже через месяц.

Когда мы начинаем изучать что-то очень сложное, то должны понимать, что слово «надо» здесь не работает. Пять лет изучать программирование может лишь тот человек, который действительно увлечен и ничего другого не хочет.

К тому же нужна четкая стратегия. Наверняка, у вас было такое: сегодня вы учите 7 часов, завтра — 8 часов, а послезавтра едва хватает желания минут на 20. Это последствия отсутствия ограничений.

Обучение нужно гармонично вплетаться в вашу жизни, а не подавлять.

Ошибка седьмая: не быть заинтересованным

Многие люди убеждают себя в том, что предмет, который они изучают, скучный. Это неправильно, ведь все зависит от настроя, который вы создаете сами.

Хотите считать учебу скучной, так и случится. Будете проявлять к ней интерес, скорость обучения повысится в несколько раз. Главное — ставить вопросы и ненасытно охотиться за ответами. Любопытство убивает любую скуку, нужно лишь разжечь в себе энтузиазм. Делайте заметки, используйте стикеры и диаграммы, рисуйте ментальные карты и полностью вовлекайте себя в процесс.

Если вы проснулись утром и чувствуете, что не хотите заниматься, выделите несколько минут на то, чтобы повысить уровень мотивации. Подумайте над тем, какие преимущество даст изучение предмета. Обычно хватает пяти-десяти минут для появления интереса.

Источник

Почему ошибки — важнейшая часть учебного процесса, или 7 способов устранения ошибок для вдохновленного обучения

От переводчика

Студенты Хекслета иногда расстраиваются из-за того, что ошибаются при выполнении заданий. Однако ошибки — благо для учебного процесса. Мы перевели для вас статью, где это доказывается. Читайте, совершайте ошибки, идите вперед и только вперед!

Неудача — не негативное явление. По факту, это может быть то, что вам нужно.

Раньше совершение ошибок считалось чем-то плохим. В свое время оно было приравнено к слабости или апатии, а то и хуже — к глупости. Но это было давно, и, к счастью, все изменилось. В наши дни, если для термина «полезная неудача» и есть почетное место, то оно находится в наших классных комнатах. Это отличная новость для учебного процесса и наших учеников.

Существует множество методов, которые помогают нашим ребятам справляться с ошибками в классе. Дело, однако, состоит в том, что

Мы хотим развеять многовековое понимание того, что неудача в обучении — негативное явление с пагубным подтекстом.

Вместо этого мы хотим позволить ученикам осознать, что неудача — лучшая возможность укрепить их уверенность в себе и погрузиться в действенные учебные и обучающие аспекты.

Мы дадим вам несколько цельных стратегий, которые поспособствует принятию студентами данного образа мышления при обучении в школе и вцелом по жизни. Однако, прежде всего, давайте немного почитаем.

Сила неудачи

Пожалуй, одна из наиболее убедительных статей, написанных на тему вдохновляющих ошибок в классе, была написана в 2015 году Хелен Снодграсс. Статья называлась «В моем классе неудача — не вариант, а требование». Мы уже, хотя бы из названия, понимаем, насколько горячо преподаватель относится к идее превратить слово «ошибка» в слово «возможность» или ее синонимы. Она объясняет это так:

Когда ученики впервые пришли в класс этой осенью, многие из них тотчас же заметили большущую цитату на стене над классной доской: «В этом классе неудача — это не вариант. Это требование». это вовсе не означает, что я просто сижу и смотрю, как ученики хватаются за соломинку, когда берутся за реально сложный материал. На деле это означает тщательный отбор заданий, над которыми будут работать учащиеся, где нет одного четкого ответа или всего одного возможного подхода, а затем предоставление им рабочей среды и навыков для работы над заданием и обратной связи про процессу выполнения и проблемах, с которыми они сталкиваются.

В данном отрывке приводится несколько вдохновляющих моментов, касающихся восприятия неудач и ошибок в классе. Во-первых, это косвенный способ персонализации задачи.

В конце концов, большинство студентов, поощряемых к принятию вызовов и сознательно накапливающих запасы прочности к неудачам, с готовностью выстраивают собственный путь нахождения ответов.

Это особенно верно в том случае, когда неудача представляется руководителем как неотъемлемая часть учебного процесса.

Во-вторых, идея полезной неудачи напрямую связана с проблемно-поисковым обучением. Например, когда мы терпим неудачу, обычно возникают такие вопросы:

• Почему мы потерпели неудачу?
• Чего мы не учли?
• Какие вопросы мы не задавали из тех, которые можем задать в следующий раз?
• Где взять другие каналы, по которым мы можем получить больше информации?
• Чьим опытом мы можем руководствоваться?

Это всего лишь несколько примеров, но все они являются частью пути проблемного-поискового обучения. В подобных обязательных действиях такие вопросы идут в неразрывной связи с теми, которые ученики задают непосредственно по сути предмета.

После этого сама идея провала как бы исчезает, и все вопросы просто становятся частью движения вперед для создания значимого опыта обучения.

Кроме того, способность воспринимать неудачи как возможность, а не как конечный результат, является отличительной чертой сильного критического мышления.

Мы хотим дать возможность студентам принять тот факт, что неудача — лучшая возможность укрепить их уверенность в себе и вовлечь их в эффективное обучение.

Наконец, предпринятые усилия приводят к озарениям и разборам полетов, которые, как мы знаем из концепции Solution Fluency (процесс критического мышления и решения проблем — примечание переводчика), является жизненно важной частью всего обучения.

Разбор полетов дает студентам возможность взглянуть на свои собственные результаты и определить, что было сделано хорошо и что можно было бы сделать лучше.

Наш опыт подтверждает, что как только студенты так поступают, они делают предварительную самопроверку и совершенствуют собственные решения и продукты. Когда это происходит, учащиеся действительно берут на себя ответственность за собственное обучение.

Убирая скаффолдинг

Она идет дальше в обсуждении идеи о скаффолдинг-задачах.

Примечание переводчика: скаффолдинг — стратегия обучения или особый тип процесса инструктирования в ситуациях взаимодействия преподавателя и обучаемого по решению проблем или задач. Стратегия имеет два правила:

• помогать новичку в выполнении заданий, с которыми он пока не справляется;
• позволять обучаемому задач в таком объеме, с котором он может справиться самостоятельно.

Базовый показатель скаффолдинга — «угасающая помощь» преподавателя (наставника), когда частота оказания помощи понижается до ситуации, в которой обучаемый становится совершенно самостоятельным и автономным, а в конце обучения она сильно уменьшается или полностью отсутствует.

Хотя это и является необходимой целью обучения, ее аргумент заключается в том, что иногда это делается до такой степени, что убивает ощущение реальности в обучении:

Хотя скаффолдинг отлично подходит для классных занятий, иногда он подразумевает, что весь материал должен быть разбит на маленькие и простые шаги или кусочки информации, которые доступны обучающимся на каждом этапе учебного процесса. Студенты, в итоге, часто получают сообщения в самом начале обучения о том, что если они не сразу понимают, как решить проблему или получить правильный ответ, они не обязаны разбираться и преуспеть в конкретном предмете. Неудивительно, что учащиеся, много лет обучаемые в подобной парадигме мышления, часто реагируют на сложную работу, сразу же обращаясь за помощью к учителю, или же сдаваясь.

Так как же нам эффективно внедрять скаффолдинг и обеспечивать пространство для совершения ошибок как возможности в обучении?

Возможно, это частично решается, как говорит Хелен, за счет осознанного формированием среды упорства и столкновения с неудачами. Мы можем быть там, чтобы помочь ученикам восстановиться после падения так же, как ребенка учат ходить или ездить на велосипеде.

Источник

Ошибки учащихся при изучении математики, их предупреждение и объяснение
методическая разработка по алгебре по теме

В данной работе рассматриваются типичные ошибки, которые допускают учащиеся при выполнении математических заданий. Здесь разобраны причины, способы исправления и предупреждения ошибок, разобраны конкретные ошибки из курса алгебры и начал анализа и способы их объяснения и устранения, указаны ошибки в работах государственной итоговой аттестации учащихся 9 и 11 классов. Рассмотрены ошибки по математике в учебниках и методической литературе. Материал, представленный в работе, может заинтересовать учителей математики.

Скачать:

Вложение	Размер
rabota_issled_oshibki1.docx	66.99 КБ

Предварительный просмотр:

Ошибки учащихся при изучении математики,

их предупреждение и объяснение

Дука Наталья Ивановна

учитель математики МОУ «СОШ №4 г. Ртищево Саратовской обл.» ____________________________

В данной работе рассматриваются типичные ошибки, которые допускают учащиеся при выполнении математических заданий. Здесь разобраны причины, способы исправления и предупреждения ошибок, разобраны конкретные ошибки из курса алгебры и начал анализа и способы их объяснения и устранения, указаны ошибки в работах государственной итоговой аттестации учащихся 9 и 11 классов. Рассмотрены ошибки по математике в учебниках и методической литературе. Материал, представленный в работе, может заинтересовать учителей математики.

В математике приходится учиться, в основном, на собственных ошибках. Если ученик не ошибается, то он не учится. Ошибка – вещь необходимая и полезная.

Цель исследования: рассмотреть методику предупреждения типичных ошибок учащихся в процессе обучения математике.

Объект исследования: процесс обучения математике в основной общеобразовательной школе.

Предмет исследования: процесс возникновения типичных ошибок и средства их предупреждения.

Гипотеза исследования заключается в следующем: если в процессе обучения математике целенаправленно и систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, то это будет способствовать повышению качества математической подготовки учащихся.

Большинство ошибок напрямую не связаны с наличием или отсутствием знаний, хотя доведение некоторых вычислительных операций до автоматизма несколько снижает вероятность их появления.

Необходимо осуществлять процесс обучения правилам с помощью специальной модели с использованием приема, активизирующего рефлексивную деятельность учащихся по предупреждению и исправлению ошибок, которые возникают в результате формального усвоения правил.

Самостоятельная работа учащихся над ошибками обеспечивает более осознанный их анализ и анализ собственных действий по решению конкретной задачи, что оказывает благоприятное влияние на качество получаемых знаний и стимулирует развитие логического мышления.

Пример неосознанного применения алгоритма: получив уравнение sin x = 1,2, ученик автоматически ищет его корни по хорошо известной формуле, не обращая внимания на недопустимые значения sin x.

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Выработке навыков самоконтроля помогает и приём приближённой оценки ожидаемого результата.

Каждый учитель знает, что планомерное и систематическое повторение и есть основной помощник в ликвидации пробелов, а, следовательно, и ошибок.

Некоторые учащиеся считают, что arcsin(sink)= k при любом k и дают такой ответ: arcsin(sin ) = . Это очень грубая ошибка. Аналогичное задание «вычислить arctg(tg130 о )» вызывает у учащихся неверный ответ 130 о .

Иногда ученики используют неверную формулу, не задумываясь над ней.

Например, определяя, является ли число рациональным, ученик пишет: = и получает неверный ответ,

При работе с «многоэтажными дробями» ученики делают много ошибок. Например: . Должна появиться верная запись .

При выполнении преобразований со степенями учащиеся не только допускают ошибки, но просто забывают формулы, например формулу

Пример ошибки на свойство степени: . Если при этом объяснить ученику, что дробь только в показателе степени, он это объяснение забудет и следующий раз опять ошибется. Необходимо в результате записать формулу .

Встречаются ошибки от непонимания. Большинство учащихся, решая впервые неравенство х 2 4, приводят неверное решение х 2.

Выполняя тригонометрические задания, ученик часто «изобретает формулы», например: «sin 2 х = 2 sin x».

Систематические проверки чужих записей формируют у ученика привычку критически относиться к своему решению. Для этого подходят задания типа «найди ошибку в решении». Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся.

Учебный год в 9-х и 11-х классах должен заканчиваться повторением и систематизацией учебного материала. повторение нужно нацелить на закрепление опорных знаний.

В учебнике Л. С. Атанасяна и других «Геометрия 7-9» была приведена некорректно составленная задача № 536: «Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС. Найдите DС, если АВ = 30, АD = 20, ВD = 16 и ∠ ВDС = ∠ С». Треугольник, описанный в условии задачи, не существует.

Объяснение деления с остатком круглых чисел в теме «Деление круглых чисел» ( урок 66) учебника математики для 4 –ого класса (Т. Е. Демидова, С. А. Козлова, А. П. Тонких) дается с ошибкой.

В газете «Математика» предлагается уравнение и к нему ответ:1. Приведенное решение неверное, так как приводит к потере корней.

Вспоминается расхожая истина – умные люди учатся на чужих ошибках. В математике приходится учиться, в основном, на собственных ошибках. Если ученик не ошибается, то он не учится. Ошибка – вещь необходимая и полезная. Нужно лишь правильно относиться к ошибке, правильно ее использовать.

Обидно получать плохие оценки из-за ошибок «на ровном месте». Глупые ошибки – проблема многих учеников: случайная потеря знака, скобки, необоснованное изменение чисел, пропуски переменных и всевозможные ляпы. Сами ученики не могут объяснить, чем вызваны эти ошибки.

Причины ошибок, допускаемых учащимися при изучении математики

Проблема исследования состоит в теоретическом обосновании и разработке такой методики обучения математике, которая создавала бы условия для развития рефлексивной деятельности учащихся, способствующей предупреждению типичных ошибок.

Цель исследования: рассмотреть методику предупреждения типичных ошибок учащихся в процессе обучения математике.

Объект исследования: процесс обучения математике в основной общеобразовательной школе.

Предмет исследования: процесс возникновения типичных ошибок и средства их предупреждения.

Гипотеза исследования заключается в следующем: если в процессе обучения математике целенаправленно и систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, то это будет способствовать повышению качества математической подготовки учащихся.

Большинство ошибок напрямую не связаны с наличием или отсутствием знаний, хотя доведение некоторых вычислительных операций до автоматизма несколько снижает вероятность их появления. Снижает, но не исключает. Можно ли избавиться от таких ошибок? Ученик знает, что нужно решать внимательно, но ничего не может с собой поделать.

Известно, что осознание правила или определяет действия, или, по крайней мере, их контролирует. Знание правила необходимо и для того, чтобы осуществить проверку решения и дать его обоснование. Но большинство учащихся воспринимают курс алгебры как набор несвязанных между собой правил, которые заучиваются (иногда формально) для применения их к решению задач. Поэтому необходимо осуществлять процесс обучения правилам с помощью специальной модели с использованием приема, активизирующего рефлексивную деятельность учащихся по предупреждению и исправлению ошибок, которые возникают в результате формального усвоения правил.

Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся, в результате чего изучение и анализ ошибок становится эффективным средством в развитии познавательного интереса к изучению математики.

Выполняя математические задания, учащиеся допускают типичные ошибки:

• Незнание правил, определений, формул.
• Непонимание правил, определений, формул.
• Неумение применять правила, определения, формулы.
• Неверное применение формул.
• Невнимательное чтение условия и вопроса задания.
• Вычислительные ошибки.
• Не использование свойств фигур при решении геометрических задач.
• Логические ошибки при решении текстовых задач.
• Раскрытие скобок и применение формул сокращенного умножения.

Какие причины ошибок по математике?

• Пропуски занятий приводят к незнанию материала, пробелам в знаниях.
• Поверхностное, невдумчивое восприятие нового материала приводят к непониманию его.
• Недостаточная мозговая деятельность приводит к неумению применять правила, определения и формулы .
• Неряшливый, неаккуратный почерк ученика приводит к досадным ошибкам. Учащиеся не всегда сами понимают, что именно они написали.
• Усталость. Чрезмерная нагрузка и недостаточный сон приводит к снижению внимания, скорости мышления и, как следствие, к многочисленным ошибкам.
• Кратковременное или полное переключение внимания с одной деятельности на другую (учебную или внеучебную) приводит к утрате только что воспринятого материала, приходится все начинать сначала.
• Скорость работы. Низкая скорость выполнения мыслительных операций часто мешает ученику контролировать себя и это может стать еще одной причиной ошибки. «Зависание» с какой-нибудь одной частью задания удаляет из «оперативной памяти» информацию о другой, в которой допускается не вынужденная ошибка. Скорость работы определяется физиологией конкретного школьника и навыками выполнения тех или иных операций.
• Мотивация. Следствие низкой мотивации – потеря внимания и ошибка.

Работа над ошибками

В приемах работы над ошибками отсутствует диагностика причин ошибок. Не уделяется должного внимания работе по формированию рефлексивной деятельности учащихся и ее использованию в работе по предупреждению и исправлению математических ошибок. При отсутствии должной доли самостоятельности при работе над ошибками, совершаемые учеником действия никак не контролируются, допущенные ошибки не замечаются, причины их появления остаются невыясненными, что приводит к их повторению. Напротив, самостоятельная работа учащихся над ошибками обеспечивает более осознанный их анализ и анализ собственных действий по решению конкретной задачи, что оказывает благоприятное влияние на качество получаемых знаний и стимулирует развитие логического мышления. При этом у школьников постепенно развиваются стремление и умение разобраться в задаче, планировать ее решение, продумывать возможные варианты действий и прогнозировать их результаты. Например, ученик многократно применяет к преобразованию алгебраических выражений формулы квадрата суммы и разности двух чисел, но получив задание представить в виде многочлена

( – х – 5) 2 , теряется. Следует предложить учащемуся ответить на вопрос что вызывает затруднение? И как преобразовать выражение, чтобы можно было применить одну из формул в том виде, в каком они предложены в учебнике. Другой пример неосознанного применения алгоритма: получив уравнение

sin x = 1,2, ученик автоматически ищет его корни по хорошо известной формуле, не обращая внимания на недопустимые значения sin x. Полезно предложить ученику представить наглядное решение на тригонометрическом круге.

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Эти навыки состоят из двух частей: а) умения обнаружить ошибку; б) умения её объяснить и исправить. В процессе обучения применяются несколько приёмов самоконтроля, которые помогают обнаружить допущенные ошибки и своевременно их исправить. К ним относятся:

• проверка вычисления и тождественного преобразования путём выполнения обратного действия или преобразования;
• проверка правильности решения задач путём составления и решения задач, обратных к данной;
• оценка результата решения задачи с точки зрения здравого смысла;
• проверка аналитического решения графическим способом.

Выработке навыков самоконтроля помогает и приём приближённой оценки ожидаемого результата. Установление возможных пределов ожидаемого ответа предупреждает недочёты типа описок, пропуска цифр.

Например, рассмотрим задачу: “За неделю завод выпустил 130 холодильников, выполнив месячный план на 25%. Сколько холодильников должен выпустить завод за месяц по плану”.

Ученик написал = 52, ошибка становится очевидной, если перед решением ученик прикинет в уме: “За неделю завод выпустил 130 холодильников. Следовательно, за месяц он выпустит больше. Значит, ответ должен быть больше, чем 130” .

Объяснение и предупреждение ошибок

Свести ошибки к минимуму способствуют следующие профилактические меры.

• Тексты письменных заданий должны быть удобными для восприятия: грамотно сформулированными, хорошо читаемыми.
• Активная устная отработка основных ЗУН, регулярный разбор типичных ошибок.
• При объяснении нового материала предугадать ошибку и подобрать систему заданий на отработку правильного усвоения понятия. Акцентировать внимание на каждом элементе формулы, выполнение разнотипных заданий позволит свести ошибочность к минимуму.
• Подбирать задания, вызывающие интерес, формирующие устойчивое внимание.
• Прочному усвоению (а значит, отсутствию ошибок) способствуют правила, удобные для запоминания, четкие алгоритмы, следуя которым заведомо придешь к намеченной цели.

Каждый учитель знает, что планомерное и систематическое повторение и есть основной помощник в ликвидации пробелов, а, следовательно, и ошибок. В математике, как ни в какой другой науке, особенно сильна взаимосвязь материала. Изучение и понимание последующего невозможно без знания предыдущего, отсюда неизбежность повторения на каждом уроке. При объяснении нового материала следует использовать ряд определений и теорем, которые были изучены ранее.

Например, перед изучением темы «Теоремы сложения» следует повторить следующие теоретические вопросы:

1. Четные и нечетные функции.
2. Изменение тригонометрических функций при возрастании и убывании аргумента.
3. Знаки тригонометрических функций.
4. Таблицы значений тригонометрических функций.

А также выполнить задания:

1. Определите четность и нечетность тригонометрической функции:

а) y = – cos x + x 2 ; б) y = sin 2 x; в) y = .
2. Найдите область определения функции y = x 2 – 6x + 10.

3. При каких значениях x функции y = sin x и y = cos x принимают одинаковые значения?

Перед прохождением темы «Первообразная и интеграл» повторяем все формулы дифференцирования. Затем предлагается самостоятельная работа (на 10–15 мин), на которой ученики получают карточки-задания, в которых «опущены» один–два компонента из формулы дифференцирования и приведены две функции, производные которых необходимо найти. После проверки самостоятельной работы анализируем допущенные ошибки, определяем пробелы в знаниях и проводим работу по их устранению.

Рассмотрим ошибки, допускаемые в курсе алгебры и начал анализа. Задание. Найти точное значение arcsin (sin ).

Некоторые учащиеся считают, что arcsin(sink)= k при любом k и дают такой ответ: arcsin(sin ) = . Это очень грубая ошибка. По определению . Следовательно, число arcsin(sin ) должно принадлежать промежутку , число этому промежутку не принадлежит. Имеем: arcsin (sin ) = arcsin (sin )) = arcsin (sin ) = arcsin =

Аналогичное задание «вычислить arctg(tg130 о )» вызывает у учащихся неверный ответ 130 о . Можно исправить ошибку следующим образом: учитывая, что 90 о 90 о для любого и arctg (tgх) = х при

х arctg (tg130 о ) = arctg (tg180 о 50 о ) = arctg (tg( 50 о )) = 50 о . Существует второй способ решения. Пусть arctg (tg130 о ) = х, получаем tg х = tg (arctg (tg130 о )), откуда tg х = tg 130 о . По условию равенства тангенсов имеем х = 130 о + k, где k Z. Учитывая область определения функции у = arctg х, где х ( 90 О ; 90 О ), при k = 1 х = 130 о 180 о = 50 о .

Рассмотрим еще один пример правильного решения аналогичного задания вычислить arcsin(sin2) при неверном ответе учащихся «2». Решение: arcsin (sink) = k, если , arcsin (sin2) = arcsin (sin( ) = 2, т. к. 2 .

Иногда ученики используют неверную формулу, не задумываясь над ней. Например, определяя, является ли число рациональным, ученик пишет: = и получает неверный ответ, выполняя преобразование иррационального выражения, учащийся получил = х+2. Во-первых, учащиеся забывают, что , во-вторых, опять ошибочная аналогия с формулой = , где Применение «формулы = » в классе обязательно происходит независимо от того, повторяются свойства радикалов на уроках или нет. Ученик проводит аналогию с формулой = , где и не понимает, почему он неправ. Если заставить ученика написать правильно по свойству, то долговременного эффекта не получится. Необходимо, чтобы ученик понял и осознал свою ошибку. Для этой цели пригоден совет: вычислите по тому алгоритму, который только что применили, имеем = и по действиям 2 = 1 и определите, какое решение верное. Ученик задумывается и находит ошибку.

Можно предложить учащимся проверить себя, взяв, например, значение х = 2 но ;

Делаем вывод: преобразование выполнено неверно, формула « = » не существует и

При работе с «многоэтажными дробями» ученики делают много ошибок. Например: . Нужно посоветовать ученику проверить написанное при конкретных значениях переменных. Так, при a = b = 1, c = 2, получим , с другой стороны , тогда 2= В результате ученик должен сделать вывод, что при работе с «трехэтажными дробями» лучше ставить скобки, чем сравнивать длины дробных «черточек»: . И, разумеется, должна появиться верная запись .

При выполнении преобразований со степенями учащиеся не только допускают ошибки, но просто забывают формулы, например формулу

a n a m = a n+m . Полезно учащимся показать, как они могут вспомнить формулу, пользуясь определением степени, например a 3 a 4 =aaa =a 7 =a 3+4 . Применяя определение степени в подобных ситуациях, учащиеся могут вывести любую формулу действий со степенями. Аналогично можно показать ошибки в действиях со степенями.

Ещё пример ошибки: . Если при этом объяснить ученику, что дробь только в показателе степени, он это объяснение забудет и следующий раз опять ошибется. Следует привести конкретный пример с удобным вычислением

= . Здесь же можно предложить другой способ

Необходимо в результате записать формулу .

Встречаются ошибки от непонимания. Большинство учащихся, решая впервые неравенство х 2 4, приводят неверное решение х 2. Полезно в этом случае предложить учащимся проверить число, например. -3, при этом учащиеся убеждаются в неверности ответа. Можно показать три способа решения этого неравенства. 1 способ тот, которым и пользовались учащиеся « », но допустили следующую ошибку « =х». Верное решение Этот способ решения содержит опасный момент – необходимо обратить внимание на возрастание функции у = при х 0, иначе в дальнейшем будут еще ошибки при решении неравенств. Второй способ основан на методе интервалов х 2 4, х 2 ,

(х-2)(х+2) 0, . Третий способ графический.

Выполняя тригонометрические задания, ученик часто «изобретает формулы», например: «sin 2 х = 2 sin x». В этом случае можно поступить двумя способами: подставить х = /6 и получить неверное равенство sin 2sin , /2 = 2 1/2 или вспомнить определение sin х на тригонометрическом круге. Наглядно хорошо видно, что sin 2х 2sinх. Обращение к тригонометрическому кругу всегда полезно повторением определения тригонометрических функций и наглядностью определений.

Не нужно специально исправлять каждое ошибочное утверждение ученика и предупреждать его об ошибках. Лучше поставить это утверждение на обсуждение всего класса и добиться осознанного исправления ошибки. Практика показывает, что систематические проверки чужих записей формируют у ученика привычку критически относиться к своему решению. Для этого подходят задания типа «найди ошибку в решении»:

Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся, в результате чего изучение и анализ ошибок становится эффективным средством в развитии познавательного интереса к изучению математики.

Анализ работ ГИА и ЕГЭ

Анализ работ государственной итоговой аттестации учащихся 11-х классов показал, что типичные ошибки допущены при:

• преобразовании дробно-рациональных выражений, содержащих корень

• исследовании функций на наибольшее и наименьшее значения;
• решении показательных и логарифмических неравенств (отсутствует ссылка на соответствующие свойства функций);
• вычислении площади криволинейной трапеции;
• построении графика функции с модулем;
• изображении тел вращения в геометрической задаче;
• теоретическом обосновании используемых формул и фактов при решении задачи по стереометрии;
• построении множества точек плоскости, удовлетворяющего заданному условию;
• решении задач с параметром.

Для повышения уровня учебных достижений учащихся на ГИА за курс старшей школы рекомендуется обратить внимание на следующие темы и разделы курса алгебры и начал анализа и геометрии:

• комбинация тел;
• углы в пространстве;
• производная и её применение к исследованию функции на отрезке;
• построение ГМТ, удовлетворяющего заданным условиям;
• логарифмические и показательные неравенства;
• тригонометрические функции и их свойства;
• тождественные преобразования дробно-рациональных выражений, содержащих корень n-ой степени.

Учебный год в 9-х и 11-х классах должен заканчиваться повторением и систематизацией учебного материала. повторение нужно нацелить на закрепление опорных знаний, построение и развитие межпредметных связей и осознание взаимосвязи с ранее выученными темами, на подготовку к итоговому оцениванию знаний, установлению формально-логических подходов к построению курса школьной математики, закрепление необходимости обосновывать и доказывать математические факты.

Ошибки в учебниках и методической литературе

В учебнике Л. С. Атанасяна и других «Геометрия 7-9» была приведена задача № 536: «Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС. Найдите DС, если АВ = 30, АD = 20, ВD = 16 и ∠В DС = ∠С».

ВD – биссектриса АВС =

∠В DС = ∠С В DС равнобедренный ВD = DС =

Решим задачу вторым способом.

ВЕ – высота АВС. Пусть DЕ = х. Из прямоугольных треугольников АВЕ и DВЕ получаем:

АВ 2 – АЕ 2 = ВD 2 – DЕ 2 ,

30 2 – (20 + х) 2 = 16 2 – х 2 ,

900 – 400 – 40х – х 2 = 256 – х 2 ,

ВЕ высота и медиана DЕ = СЕ СD = 2х = 12,2. Получили несоответствие с ответом первого способа решения.

Проверим, существует ли треугольник, у которого выполнены условия: ∠В DС = ∠С и ∠АВ D = ∠ DВ С. Найдем величины ∠ DВС, ∠В DС, ∠С.

А D 2 = АВ 2 + ВD 2 – 2 cos ∠AВ D

Тогда ∠АВ D 38,5 о . ∠ DВС = ∠АВ D 38,5 о .

Аналогично cos ∠A DВ =

Тогда ∠А DВ = 180 о – 67,59 о ∠В DС 67,59 о . Из ВDС

∠С = 180 о – 38,05 о – 67,59 о = 74,36 о ,

Отсюда следует, что ∠В DС ∠С и треугольник DВС неравнобедренный.

Значит, задача составлена некорректно: треугольник, описанный в условии задачи, не существует.

Возможны два корректных варианта задачи:

1. Дан треугольник АВС, точка D лежит на стороне ВС. Найдите DС, если АВ = 30, АD = 20, ВD = 16 и ∠В DС = ∠С.

В этом случае В D не является медианой. По второму способу получаем СD = 12,2.

1. Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС. Найдите DС, если АВ = 30. АD = 20, ВD = 16 .

∠В DС ∠С, в этом случае из треугольника DВС по теореме синусов получаем

В действующем учебнике задача № 536 имеет вид:

Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС. а) Найдите АВ, если ВС = 9 см, АD = 7,5 см, DС = 4,5 см. б) Найдите DС, если АВ = 30. АD = 20, ВD = 16 .

Посмотрим объяснение деления с остатком круглых чисел в теме «Деление круглых чисел» ( урок 66) учебника математики для 4 –ого класса (Т. Е. Демидова, С. А. Козлова, А. П. Тонких).

Цитируем: «Прочитай, объясни и проверь записи.

190 : 20 = 190 : 10 : 2 = 9 ( 1 остаток)

190 : 20 = 19 д. : 2 д. = 9 ( 1 остаток)

4700 : 500 = 4700 : 100 : 5 = 9 ( 2 остаток)

4700 : 500 = 47 с. : 5 с. = 9 ( 2 остаток)»

Проверяем 20 ∙ 9 + 1 = 190 – равенство неверное, делаем вывод: ошибка при выполнении деления с остатком. В чем ошибка? Анализируем 1-ое равенство 190 : 20 = 190 : 10 : 2 = 19 : 2, получаем деление числа 19 на число 2 и соответственно остаток от деления 19 на 2, но не от деления 190 на 20, действительно 19 : 2 = 9 ( 1 остаток). В этом случае 19 показывает, сколько десятков содержится в числе 190, поэтому остаток так же получаем в десятках, но не в единицах.

Анализируем 2-ое равенство 190 : 20 = 19 д. : 2 д. здесь мы делим десятки, поэтому остаток также будет в десятках 9 о чем сказано ранее), т, е. получаем 19 д. : 2 д. = 9 (1 д. остаток), проверкой убеждаемся в истинности деления 9 ∙ 2 д. + 1 д. = 19 д. = 190.

Предлагаем верные записи:

190 : 20 = 190 : 10 : 2 = 9 ( 1 д. остаток)

190 : 20 = 19 д. : 2 д. = 9 ( 1 д. остаток)

4700 : 500 = 4700 : 100 : 5 = 9 ( 2 с. остаток)

4700 : 500 = 47 с. : 5 с. = 9 ( 2 с. остаток).

В газете «Математика» предлагается уравнение и к нему ответ:1. Предложено решение уравнения по следующей схеме:

a f(x) b g(x) = a p b p

Приведенное решение неверное, так как приводит к потере корней. данное уравнение следует решать по схеме:

a f(x) b g(x) = a p b p a f(x )– р b q – g(x)

Вернемся к данном уравнению.

Хотя проблемы формирования и развития рефлексивной деятельности в процессе обучения и поиск новых форм работы над математическими ошибками школьников и не являются абсолютно новыми, изучение такого аспекта, как использование рефлексивной деятельности учащихся при работе над типичными ошибками всегда актуальны. В данной работе рассмотрены некоторые типичные ошибки, допускаемые учащимися при изучении математики, их объяснение, меры их предупреждения. Хорошо организованная учителем работа учащихся над типичными ошибками посредством исследовательского приема приводит к улучшению результата обучению математики и развитию рядя показателей логического мышления. К тому же предмет «математика» настолько сложен, что даже методисты допускают ошибки.

1. Далингер В. А. «Анализ типичных ошибок, допускаемых в курсе алгебры и начала анализа» «Математика в школе» 6-98
2. 2-98 Ярский А. С, «Что делать с ошибками»
3. Хэкало С. П. «Корни терять нельзя» 5-98
4. Игнатенко В. З. «Сюрпризы биссектрисы» 5-98

Источник