VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Действия
Содержание
Определитель
Определение
Определитель (или детерминант 1) ) определяется для произвольной квадратной матрицы $ A^<> $, и представляет из себя полином от всех ее элементов. Обозначается — либо $ \det (A)_<> $, либо $ \det A_<> $, либо — в развернутом виде 2) — $$ \left| \begin a_ <11>& a_ <12>& \dots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \dots & a_ <2n>\\ \dots & & & \dots \\ a_ & a_ & \dots & a_ \end \right| $$ (матрица ограничивается вертикальными чертами 3) ). Имея в виду порядок матрицы $ A_<> $, о ее определителе говорят как об определителе порядка $ n_<> $.
Области использования понятия определителя:
1. (исторически первоначальная) с помощью этой функции устанавливаются условия существования и единственности решения системы линейных уравнений от нескольких переменных; более того, эта функция позволяет компактно записать решение;
2. эта функция позволяет анализировать свойства отображений (функций) одного многомерного множества в другое, см. ☞ ЗДЕСЬ;
3. определитель имеет также ряд геометрических приложений.
Введем теперь определитель произвольного порядка $ n_<> $.
Упорядоченная пара различных натуральных чисел $ (a,b)_<> $ образует инверсию (или нарушение порядка), если $ a>b_<> $. Будем обозначать число инверсий в паре $ (a,b)_<> $ через $ \operatorname(a,b)_<> $. Таким образом $$\operatorname(a,b)=\left\< \begin 1 \ npu \ a>b \\ 0 \ npu \ a ☞ ЗДЕСЬ), что половина слагаемых в сумме будет иметь положительный знак, а другая половина — отрицательный.
В разложение определителя пятого порядка входит произведение $ a_<32>a_<54>a_ <21>$ * * . Заполните места, обозначенные * * , и укажите знак произведения.
Входит ли в разложение определителя 7-го порядка произведение $ a_<71>a_<17>a_<26>a_<62>a_<53>a_<35>a_<44>^<> $? Если входит, то с каким знаком?
Пользуясь только определением, вычислить определитель
Теорема. Если $ (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n) $ и $ (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n) $ — произвольные перестановки чисел $ \ < 1,2,\dots,n\>$, то в разложение определителя обязательно встретится слагаемое
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Последний результат дает основание для альтернативного определения определителя — симметричного относительно его строк и столбцов.
Определитель матрицы есть сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, и такому произведению приписывается знак согласно теореме.
Элементарные свойства определителя
Определитель порядка $ n_<> $, как функция своих элементов, является однородным полиномом степени $ n_<> $, этот полином неприводим над любым из множеств $ \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_<> $ или $ \mathbb C_<> $. В разложении определителя всегда присутствует произведение элементов его главной диагонали: $$ a_<11>a_<22>\times \dots \times a_ $$ (со знаком $ +_<> $), оно называется главным членом определителя. Относительно каждого своего элемента $ a_^<> $ определитель будет линейной функцией; о подобной функции иногда говорят как о полилинейной. Теперь изложим свойства определителя как функции элементов его некоторой фиксированной строки (или фиксированного столбца).
1. Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании: $ \det A_<> = \det A^ <\top>$.
2. Определитель матрицы меняет знак при перестановке местами двух строк (столбцов): $$ \det [A_<[1]>,\dots,A_<[j]>,\dots,A_<[k]>,\dots,A_<[n]>]=- \det [A_<[1]>,\dots,A_<[k]>,\dots,A_<[j]>,\dots,A_<[n]>] \, . $$
3. Определитель матрицы равен нулю если она имеет две одинаковые строки (два одинаковых столбца).
4. Общий множитель строки (столбца) матрицы можно вынести за знак определителя: $$ \det [A_<[1]>,\dots,cA_<[j]>,\dots,A_<[n]>]= c\det [A_<[1]>,\dots,A_<[j]>,\dots,A_<[n]>] . $$
5. Сложение двух определителей, различающихся только по одной строке (столбцу), можно производить путем сложения этих строк (столбцов): $$ \det [A_<[1]>,\dots,A_ <[j]>+ \tilde_<[j]>,\dots,A_<[n]>]= $$ $$ =\det [A_<[1]>,\dots,A_<[j]>,\dots,A_<[n]>]+\det [A_<[1]>,\dots,\tilde_<[j]>,\dots,A_<[n]>] . $$
6. Определитель матрицы не меняется если к любой строке прибавить любую другую строку, домноженную на произвольную постоянную. Аналогичное утверждение справедливо для столбцов: $$ \det [A_<[1]>,\dots,A_<[j]>,\dots, A_<[k]>,\dots,A_<[n]>]= \det [A_<[1]>,\dots,A_ <[j]>+ c\cdot A_<[k]>,\dots, A_<[k]>,\dots,A_<[n]>] \ . $$
Доказательства свойств ☞ ЗДЕСЬ.
Миноры и алгебраические дополнения
Определитель $ (n-1)_<> $-го порядка, получающийся вычеркиванием из $$ \det A = \left| \begin a_ <11>& \dots & a_ <1,k-1>& a_ <1k>& a_ <1,k+1>& \dots & a_ <1n>\\ \dots &&&\dots&&& \dots \\ a_ & \dots & a_ & a_ & a_ & \dots & a_ \\ a_ & \dots & a_ & a_ & a_ & \dots & a_ \\ a_ & \dots & a_ & a_ & a_ & \dots & a_ \\ \dots &&&\dots&&& \dots \\ a_ & \dots & a_ & a_ & a_ & \dots & a_ \end \right| $$ $ j_<> $-й строки и $ k_<> $-го столбца называется минором 4) $ (n-1)_<> $-го порядка этого определителя, соответствующим элементу $ a_^<> $. Будем обозначать его $ M_^<> $: $$ M_ = A\left( \begin 1 & 2 & \dots & j-1, & j+1 & \dots & n \\ 1 & 2 & \dots & k-1, & k+1 & \dots & n \end \right) = $$ $$ =\left| \begin a_ <11>& \dots & a_ <1,k-1>& a_ <1,k+1>& \dots & a_ <1n>\\ \dots &&&&& \dots \\ a_ & \dots & a_ & a_ & \dots & a_ \\ a_ & \dots & a_ & a_ & \dots & a_ \\ \dots &&&&& \dots \\ a_ & \dots & a_ & a_ & \dots & a_ \end \right| \ . $$ Величина $$ A_ = (-1)^M_ $$ называется алгебраическим дополнением элемента $ a_^<> $ в $ \det A_<> $.
Пусть $ (\alpha_1,\dots,\alpha_n) $ при $ \alpha_ <1>1 $ строк с номерами $ \alpha_<1>,\alpha_2, \dots,\alpha_k $ и $ k $ столбцов с номерами $ \beta_<1>,\beta_2,\dots ,\beta_ $. Элементы $ a_ <\alpha_<_j>\beta_<_<\ell>>> $, стоящие в этих строках и столбцах, образуют определитель $ k_<> $-го порядка: $$ M= A\left( \begin \alpha_1 & \dots & \alpha_k \\ \beta_1 & \dots & \beta_k \end \right) =\left| \begin a_ <\alpha_1 \beta_1>& \dots & a_ <\alpha_1 \beta_k>\\ \dots & & \dots \\ a_ <\alpha_k \beta_1>& \dots & a_ <\alpha_k \beta_k>\end \right|. $$ Он называется минором порядка k матрицы $ A_<> $.
Главным минором порядка $ k_<> $ квадратной матрицы $ A_<> $ называется определитель $$ A_k=A\left( \begin 1 & \dots & k \\ 1 & \dots & k \end \right)=\left| \begin a_ <11>& a_ <12>& \dots & a_ <1k>\\ a_ <21>& a_ <22>& \dots & a_ <2k>\\ \dots & & & \dots \\ a_ & a_ & \dots & a_ \end \right| $$ т.е. определитель, образованный элементами первых $ k_<> $ строк и первых $ k_<> $ столбцов матрицы.
Теорема. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) определителя на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, справедливы следующие формулы разложения определителя по $ \mathbf j $-й строке (или по элементам $ \mathbf j $-й строки):
$$ \det A = a_A_ + a_A_+ \dots + a_A_ = \sum_<\ell=1>^n a_ A_ $$ и разложения определителя по $ k_<> $-му столбцу: $$ \det A = a_<1k>A_ <1k>+ a_<2k>A_<2k>+ \dots + a_A_ = \sum_<\ell=1>^n a_ <\ell k>A_ <\ell k>$$ для любых $ \ \subset \ <1,2,\dots,n \>$.
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Пример. Разложение определителя третьего порядка по первому столбцу:
$$ \left| \begin a_ <11>& a_ <12>& a_<13>\\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>\\ a_ <31>& a_ <32>& a_ <33>\end \right| =a_ <11>\left| \begin a_ <22>& a_ <23>\\ a_ <32>& a_ <33>\end \right| — a_ <21>\left| \begin a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <32>& a_ <33>\end \right|+ a_ <31>\left| \begin a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <22>& a_ <23>\end \right| $$ по второму столбцу: $$ =-a_ <12>\left| \begin a_ <21>& a_ <23>\\ a_ <31>& a_ <33>\end \right| + a_ <22>\left| \begin a_ <11>& a_ <13>\\ a_ <31>& a_ <33>\end \right|- a_ <32>\left| \begin a_ <11>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right| = $$ и по третьему столбцу: $$ = a_ <13>\left| \begin a_ <21>& a_ <22>\\ a_ <31>& a_ <32>\end \right| — a_ <23>\left| \begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <31>& a_ <32>\end \right|+ a_ <33>\left| \begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right| . $$
Пример. Вычислить $$ \left| \begin 4&7& 1 &5 \\ 3 & 4 & 0 &-6 \\ -11 & 8 & 2 & 9\\ -12 & -10 &0 & 8 \end \right| , $$ разложив определитель по третьей строке.
Решение. В формуле берем $ j=3 $: $$ -11 (-1)^ <3+1>\left| \begin 7& 1 &5 \\ 4 & 0 &-6 \\ -10 &0 & 8 \end \right| + 8 (-1)^ <3+2>\left| \begin 4& 1 &5 \\ 3 & 0 &-6 \\ -12 & 0 & 8 \end \right| + $$ $$ + 2 (-1)^ <3+3>\left| \begin 4&7& 5 \\ 3 & 4 & -6 \\ -12 & -10 & 8 \end \right| + 9 (-1)^ <3+4>\left| \begin 4&7& 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ -12 & -10 &0 \end \right|= $$ и используем формулу вычисления определителя третьего порядка: $$ =-11\cdot 28 — 8 \cdot 48 + 3 \cdot 314 — 9 \cdot 18 = -226 \ . $$ Заметим, что тот же самый результат можно было бы получить, сэкономив на вычислении определителей третьего порядка, если бы мы разложили исходный определитель по третьему столбцу: $$ 1\cdot \left| \begin 3 & 4 & -6 \\ -11 & 8 & 9\\ -12 & -10 & 8 \end \right| — 0 \cdot (\dots) + 2 \cdot \left| \begin 4&7& 5 \\ 3 & 4 & -6 \\ -12 & -10 & 8 \end \right| — 0 \cdot (\dots) =1 \cdot (-854) + 2 \cdot 314 = -226 \ . $$ Наличие нулевых элементов «облегчает жизнь» вычислителю… ♦
Для этого в нашем распоряжении имеется такое средство, как преобразования строк или столбцов. В самом деле, на основании общего свойства 6 определителя, к любой его строке можно прибавить любую другую строку, домноженную на произвольное число — определитель от этого не изменится; аналогичное свойство справедливо и для столбцов. Но тогда мы можем упомянутые множители подбирать так, чтобы добиться появления как можно большего количества нулей в отдельной строке (или столбце).
Пример. Вычислить
$$ \left| \begin 2 & 2 & 1 & 3 & 4\\ 3 &1 &2 &3 &1\\ 4 & -1 &2 &4 &-2\\ 1 &-1 &1 &1 & 2\\ 4 & -1 & 2 &5 & 6 \end \right| \ . $$
Решение. Будем добиваться появления нулей во втором столбце. С этой целью прибавим вторую строку к третьей, четвертой и пятой, а также вычтем, домножив предварительно на $ 2_<> $, из первой: $$ =\left| \begin -4 & 0 & -3 & -3 & 2\\ 3 &1 &2 &3 &1\\ 7 & 0 &4 &7 &-1\\ 4 & 0 &3 &4 & 3\\ 7 & 0 & 4 &8 & 7 \end \right|= $$ раскладываем по второму столбцу: $$ =\left| \begin -4 & -3 & -3 & 2\\ 7 & 4 &7 &-1\\ 4 & 3 &4 & 3\\ 7 & 4 &8 & 7 \end \right|= $$ и вот уже порядок понизился. Вычитаем из третьего столбца первый: $$ =\left| \begin -4 & -3 & 1 & 2\\ 7 & 4 &0 &-1\\ 4 & 3 &0 & 3\\ 7 & 4 &1 & 7 \end \right|= $$ теперь имеет смысл увеличить число нулевых элементов в третьем столбце — вычитаем из четвертой строки первую: $$ =\left| \begin -4 & -3 & 1 & 2\\ 7 & 4 &0 &-1\\ 4 & 3 &0 & 3\\ 11 & 7 &0 & 5 \end \right|= $$ Раскладываем по третьему столбцу: $$ =\left| \begin 7 & 4 &-1\\ 4 & 3 & 3\\ 11 & 7 & 5 \end \right|= $$ Можно было бы применить теперь формулу разложения определителя третьего порядка, но можно и продолжить упрощения — вычтем из третьей строки первую и вторую: $$ =\left| \begin 7 & 4 &-1\\ 4 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 3 \end \right|= $$ и разложим по третьей строке: $$ =3\left| \begin 7 & 4 \\ 4 & 3 \\ \end \right|=3(21-16)=15 \ . $$ ♦
Систематическое развитие идеи, использованной при решении последнего примера, приводит к основному методу вычисления определителя — методу Гаусса.
Следующий результат имеет исключительно теоретическое значение: используется для доказательства некоторых результатов.
Теорема. Сумма произведений элементов $ j_<> $-го ряда $ \det A $ на алгебраические дополнения элементов $ k_<> $-го ряда равна 0 если $ j\ne k $ и равна $ \det A $ если $ j=k_<> $:
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Теорема Лапласа
Пусть $ (\alpha_1,\dots,\alpha_n) $ при $ \alpha_ <1>вычеркиваются строки и столбцы с указанными номерами, то получившийся определитель $ (n-k)_<> $-го порядка $$ A\left( \begin \alpha_ & \dots & \alpha_n \\ \beta_ & \dots & \beta_n \end \right) $$ называется минором, дополнительным минору $ M_<> $ в $ \det A_<> $. Число $$ \tilde= (-1)^ <\alpha_1 + \dots + \alpha_k + \beta_1 + \dots + \beta_k>A\left( \begin \alpha_ & \dots & \alpha_n \\ \beta_ & \dots & \beta_n \end \right) $$ называется алгебраическим дополнением минора $ M_<> $ в $ \det A_<> $.
Теорема [Лаплас]. Выделим в $ \det A_<> $ произвольные строки с номерами $ \alpha_1 ♦
Имеет место равенство
$$ \left| \begin a_ <11>& \dots & a_ <1k>& 0 & \dots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ & \dots & a_ & 0 & \dots & 0 \\ a_ & \dots & a_ & a_ & \dots & a_ \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ & \dots & a_ & a_ & \dots & a_ \end \right|= $$ $$ =\left| \begin a_ <11>& \dots & a_ <1k>\\ \vdots & & \vdots \\ a_ & \dots & a_ \end \right| \cdot \left| \begin a_ & \dots & a_ \\ \vdots & & \vdots \\ a_ & \dots & a_ \end \right| \, . $$
Пусть $ A_<1>,\dots,A_k $ — квадратные матрицы (не обязательно одинаковых порядков). Тогда
$$ \det \left( \begin A_1 & <\mathbb O>& \dots & <\mathbb O>\\ \ast & A_2 & & <\mathbb O>\\ \vdots & & \ddots & \\ \ast & \ast & \dots & A_k \end \right)= \det A_1 \times \dots \times \det A_k. $$ В частности, определители треугольных матриц $$ \left( \begin a_ <11>& 0 & \dots & 0 \\ \ast & a_ <22>& \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \\ \ast & \ast & \dots & a_ \end \right) \quad u \quad \left( \begin a_ <11>& \ast & \dots & \ast \\ 0 & a_ <22>& \dots & \ast \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & 0 & \dots & a_ \end \right) $$ равны произведению элементов главных диагоналей.
Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель, предварительно преобразовав его:
Ответ. $ 14_<> $.
Биографические заметки о Лапласе ☞ ЗДЕСЬ.
Теорема Бине — Коши
Задача. Пусть произведение двух матриц дает квадратную $ C_^<>=A_\cdot B_ $. Выразить $ \det C_<> $ через миноры матриц $ A_<> $ и $ B_<> $.
Теорема [Бине, Коши].
Показать, что для квадратных матриц одинакового порядка имеют место равенства
a) $ \det (AB) = \det (BA)_<> $; б) $ \det (A^) = (\det A)^ $.
Биографические заметки о Коши ☞ ЗДЕСЬ.
Методы вычисления определителей
Метод приведения к треугольному виду (метод Гаусса)
Напомним свойство 6 из элементарных свойств определителя : величина определителя не изменится если прибавить к любой его строке любую другую строку, умноженную на произвольную константу. Этот факт можно использовать для того, чтобы «сделать» в определителе побольше элементов равных нулю, т.к. содержащие эти элементы слагаемые выпадут из полного разложения определителя. Еще одно элементарное свойство — свойство 2 , утверждает, что перестановка строк изменит знак определителя, но не изменит его абсолютную величину. Пользуясь этими двумя преобразованиями, можем поставить целью привести определитель к треугольному виду, т.е. к виду $$ \left| \begin a_ <11>& a_ <12>& \ldots& a_ <1,n-1>& a_ <1, n>\\ 0 & a_<22>^ <[1]>& \ldots& a_<2,n-1>^ <[1]>& a_<2, n>^ <[1]>\\ & & \ddots & & \dots \\ 0& 0& \dots & a_^ <[n-2]>&a_^ <[n-2]>\\ 0& 0 & \dots & 0 & a_^ <[n-1]>\end \right| \ . $$ Тогда, на основании следствия к теореме Лапласа, величина исходного определителя с точностью до знака будет совпадать с произведением диагональных элементов: $$ \det A = a_ <11>a_<22>^ <[1]>\times \dots \times a_^ <[n-2]>a_^ <[n-1]>\ . $$ Формализовать приведение определителя к треугольному виду возможно с помощью используюшегося при решении систем линейных уравнений метода Гаусса. Так, первый шаг преобразования определителя $$ \left| \begin a_ <11>& a_ <12>& a_ <13>& \dots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>& \dots & a_ <2n>\\ a_ <31>& a_ <32>& a_ <33>& \dots & a_ <3n>\\ \vdots & & & & \vdots \\ a_ & a_ & a_ & \dots & a_ \end \right| $$ будет состоять в «обнулении» элементов первого столбца: из второй строки вычитается первая, домноженная на $ (-a_<21>/a_<11>) $, из третьей строки — первая, домноженная на $ (-a_<31>/a_<11>) $ и т.д. Все эти операции не изменяют величины определителя, но преобразуют его к виду $$ \left| \begin a_ <11>& a_ <12>& a_ <13>& \dots & a_ <1n>\\ 0 & a_ <22>— a_<12>a_<21>/a_ <11>& a_<23>— a_<13>a_<21>/a_ <11>& \dots & a_ <2n>-a_<1n>a_<21>/a_ <11>\\ 0 & a_ <32>— a_<12>a_<31>/a_ <11>& a_ <33>— a_<13>a_<31>/a_ <11>& \dots & a_ <3n>— a_<1n>a_<31>/a_ <11>\\ \vdots & & & & \vdots \\ 0 & a_ — a_<12>a_/a_ <11>& a_ — a_<13>a_/a_ <11>& \dots & a_ — a_<1n>a_/a_ <11>\end \right| $$ (при условии $ a_ <11>\ne 0 $). Теперь можно разложить по первому столбцу и свести задачу к вычислению определителя порядка $ n-1 $.
Пример. Вычислить
$$ \left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 4 & 2 & 4 & 1 & 3\\ 2 & 7 & 1 & 3 & 2\\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2\\ 1 & 2 & 3 & 2 & 2 \end \right| $$ методом Гаусса.
Решение. Вычитаем первую строку, умноженную на соответствующие числа, из остальных строк, добиваясь появления нулей в первом столбце: $$ =\left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1\\ 0 & 6 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 3\\ 0 & \frac<3> <2>& \frac<3> <2>& 0 & \frac<3> <2>\end \right| = $$ Выносим общий множитель элементов последней строки: $$ = \frac<3> <2>\left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1\\ 0 & 6 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 2 & 1 & 3 & 3\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end \right| = $$ Поскольку элемент, стоящий во второй строке и втором столбце нулевой, то поменяем местами вторую и пятую строки, при этом знак определителя изменится: $$ = -\frac<3> <2>\left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 6 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 2 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1\\ \end \right| = $$ Теперь с помощью второй строки обращаем в нуль элементы второго столбца: $$ = -\frac<3> <2>\left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -8 & -1 & -5\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1\\ \end \right| = $$ Чтобы избежать появления дробных элементов, поменяем местами третью и четвертую строки, определитель при этом снова поменяет знак: $$ = \frac<3> <2>\left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -8 & -1 & -5\\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1 \end \right| = \frac<3> <2>\left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -25 & -13\\ 0 & 0 & 0 & -13 & -1 \end \right|= $$ $$ =\frac<3> <2>\left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -25 & -13\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac<\scriptstyle 144> <\scriptstyle 25>\end \right|= $$ $$ =\frac<3><2>\cdot 2\cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-25) \cdot \frac<144><25>=432. $$ ♦
Вычислить $ \det \left[ \min(i,j) \right]_^ $.
Источник
