- Методы вычисления определителей
- Вычисления определителей второго порядка
- Методы вычисления определителей третьего порядка
- Правило треугольника
- Правило Саррюса
- Разложение определителя по строке или столбцу
- Разложение определителя по элементам строки или столбца
- Приведение определителя к треугольному виду
- Теорема Лапласа
- Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы
- Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника
- Правило Саррюса
- Методы разложения по элементам строки и столбца
- Свойства определителя
- Формула разложения определителя и формула Лапласа
- Формула Лапласа разложения определителя
Методы вычисления определителей
В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.
Вычисления определителей второго порядка
Чтобы вычислить определитель матрицы 
второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:
Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin
Решение. $\left| \begin
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.
Методы вычисления определителей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin
Решение. $\left| \begin
$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$
Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin
Решение. 
$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$
Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin
Решение. $\left| \begin
Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin
Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.
Разложение определителя по элементам строки или столбца
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin
Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:
$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$
Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.
Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_<11>$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_<11>$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
Ответ. $\Delta=-80$
Теорема Лапласа
Пусть $\Delta$ — определитель $n$-го порядка. Выберем в нем произвольные $k$ строк (или столбцов), причем $k \leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех миноров $k$-го порядка, которые содержатся в выбранных $k$ строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.
Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель $\left| \begin
Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки — вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):
Источник
Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы
Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .
|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.
Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.
Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:
d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7
Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника
Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:
- правило треугольника;
- правило Саррюса.
Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32
А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1
d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12
Правило Саррюса
Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:
- дописать слева от определителя два первых столбца;
- перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
- перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32
А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 2 ) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × ( — 2 ) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × ( — 1 ) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3
Методы разложения по элементам строки и столбца
Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:
- разложением по элементам строки;
- разложением по элементам столбца.
Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Разложение матрицы по элементам строки:
d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n
Разложение матрицы по элементам столбца:
d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i
Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0
- раскладываем по 2-ой строке:
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0
- раскладываем по 4-му столбцу:
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1
Свойства определителя
- если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
- если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
- определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.
Пример 6
А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5
d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10
Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.
Источник
Формула разложения определителя и формула Лапласа
Разложим определитель n-го порядка по первой строке (согласно определению)
Продолжая раскладывать каждый из полученных определителей по первой строке, получаем формулу полного разложения определителя :
Каждое слагаемое — это произведение элементов определителя, взятых из разных строк и разных столбцов: из первой строки взят один элемент , стоящий в -м столбце; из второй строки — элемент , стоящий в -м столбце, причем и т.д., из последней строки — элемент , стоящий в -м столбце, причем Упорядоченный набор неравных между собой первых натуральных чисел называется перестановкой (см. пример). Например, имеется 6 перестановок из первых трех натуральных чисел:
Перестановка называется тождественной . Суммирование в (2.5) проводится по всем перестановкам из чисел. Всего в правой части (2.5) имеется слагаемых (по количеству различных перестановок). Определим знак, стоящий перед каждым произведением . Заметим, что при разложении определителя первое слагаемое имеет вид
т.е. произведение элементов на главной диагонали определителя входит в сумму со знаком плюс. Этому произведению соответствует тождественная перестановка номеров столбцов. Произведению соответствует перестановка номеров столбцов. Если столбцы определителя переставить так, чтобы эти элементы оказались на главной диагонали, то перед их произведением оказался бы знак плюс. Поскольку при перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный, то перед произведением нужно поставить коэффициент , где — соответствующее количество перестановок столбцов определителя. Это число равно количеству транспозиций — перемен местами двух чисел в перестановке — необходимых для приведения перестановки к тождественной. Напри мер, для определителя 3 -го порядка найдем знак, с которым в правую часть (2.5) входит произведение . Этому произведению соответствует перестановка . Поменяем местами 1-е и 3-е числа, получим тождественную перестановку . Следовательно, , т.е. перед произведением стоит коэффициент , что и указано в формуле (2.3).
Пример 2.6. Доказать, что определитель n-го порядка «с большим нулевым углом» равен нулю, т.е.
Решение. Рассмотрим произведение в правой части (2.5). Если хотя бы один множитель равен нулю, то и произведение будет равным нулю. Поэтому из первой строки надо брать элемент , стоящий в столбце k» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADYAAAAUCAMAAADx/z7SAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAMbA7IYHqwGFCoRBx0JGCRg9lIgAAAN5JREFUOMu9k1sSwyAIRdVRHj7Z/2qrphkTa9q0H+UroBc4SJT6h8WMdHCz2HsyFD64iDfLeXl/ThRWYfiUn5J7FVopw3Ho1sI8E1NFCx51+zZshdYV0dsZTSP3KhQVS7xoldHrE5rOqvTbtVAUfcnIBvVAS1mpsL+BgR7klcz6ISNBMKNtMDVkwC1r8QktQNo9vaG9zpOnkbRXw9Sm0VdmQ5tllKY5WnF9oUw4oE0ySmV+NW7pCQwNtFlGZbFcvanQsrGrSUit2a5NIKTnbL6RecC9Hcw//LiE1fTNyw8RUQZ6+vUH2QAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;»/>, из второй строки — элемент , стоящий в столбце k» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;»/> и , и т.д. из m-й строки — элемент , стоящий в столбце k,» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;»/> . Но выбрать разных столбцов из столбцов невозможно при . Поэтому хотя бы один из множителей в будет равным нулю. Таким образом, каждое слагаемое в правой части (2.5) для данного определителя равно нулю, т.е. сумма равна нулю.
Формула Лапласа разложения определителя
Теорема Лапласа обобщает формулу разложения определителя по элементам строки (столбца).
Пусть — квадратная матрица n-го порядка. Выберем в матрице строк с номерами и столбцов с номерами .
Минором k-го порядка матрицы называется определитель матрицы k-го порядка, образованной элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов матрицы . Обозначая миноры, номера выбранных строк будем указывать верхними индексами, а выбранных столбцов — нижними.
Алгебраическим дополнением минора называется умноженный на определитель матрицы (n-k)-го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием выбранных строк и столбцов.
Формула Лапласа разложения определителя. Определитель матрицы равен сумме произведений миноров k-го порядка, расположенных в выбранных к строках (столбцах), на их алгебраические дополнения:
(разложение по строкам);
(разложение по столбцам).
Пример 2.7. Вычислить по формуле Лапласа определитель
Решение. Выберем в матрице первые две строки . В этих строках расположены 6 миноров, которые получаются при произвольном выборе двух столбцов:
Найдем алгебраические дополнения этих миноров
Вычислим определитель, используя формулу разложения по двум строкам:
Используем теперь формулу разложения по столбцам. Выберем, например, 1-й и 4-й столбцы . Находим миноры, расположенные в этих столбцах, и их алгебраические дополнения
Вычисляем определитель, используя формулу разложения по двум столбцам:
1. Дополнительный минор элемента (см. разд.2.2) является минором (n-1)-го порядка, т.е.
2. Если и квадратные матрицы, матрицы соответствующих размеров, причем — нулевая, то определитель блочно-треугольной матрицы находится по формуле
Действительно, применяя формулу Лапласа к столбцам, в которых расположена матрица , получим одно слагаемое . Остальные миноры в этих столбцах равны нулю, так как содержат нулевую строку.
Источник
