Определитель матрицы разные способы

Как вычислить определитель?

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей, он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы (более подробно см. Действия с матрицами)

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения: Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два»:

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 — нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу:

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Способы вычисления определителя матрицы

У любой квадратной матрицы есть определитель, который можно найти. В данной статье мы разберем способы нахождения этого значения, для чего приведем конкретный пример (для наглядности мы выделили все столбцы разными цветами).

Рассмотрим такую систему уравнений:

Выписываем матрицу, для которой необходимо найти определитель:

1. Правило Пьера Фредерика Саррюса

1.1. Раскрываем матрицу так, как показано ниже.

1.2. В пустых промежутках необходимо продолжить матрицу.

1.3. Каждую тройку чисел необходимо перемножить между собой (ВАЖНО! Цвета в тройках не должны повторяться), после чего мы складываем полученные числа и вычитаем вторую часть из первой:

2. Вычисление определителя, используя разложение по строке (столбцу)

3. Правило треугольника

Иллюстрация метода треугольника выглядит так:

Таким образом, каждый из этих способов может быть использован в вычислении определителя.

Источник

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Определитель

Определение

Определитель (или детерминант 1) ) определяется для произвольной квадратной матрицы $ A^<> $, и представляет из себя полином от всех ее элементов. Обозначается — либо $ \det (A)_<> $, либо $ \det A_<> $, либо — в развернутом виде 2) — $$ \left| \begin a_ <11>& a_ <12>& \dots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \dots & a_ <2n>\\ \dots & & & \dots \\ a_ & a_ & \dots & a_ \end \right| $$ (матрица ограничивается вертикальными чертами 3) ). Имея в виду порядок матрицы $ A_<> $, о ее определителе говорят как об определителе порядка $ n_<> $.

Области использования понятия определителя:

1. (исторически первоначальная) с помощью этой функции устанавливаются условия существования и единственности решения системы линейных уравнений от нескольких переменных; более того, эта функция позволяет компактно записать решение;

2. эта функция позволяет анализировать свойства отображений (функций) одного многомерного множества в другое, см. ☞ ЗДЕСЬ;

3. определитель имеет также ряд геометрических приложений.

Введем теперь определитель произвольного порядка $ n_<> $.

Упорядоченная пара различных натуральных чисел $ (a,b)_<> $ образует инверсию (или нарушение порядка), если $ a>b_<> $. Будем обозначать число инверсий в паре $ (a,b)_<> $ через $ \operatorname(a,b)_<> $. Таким образом $$\operatorname(a,b)=\left\< \begin 1 \ npu \ a>b \\ 0 \ npu \ a ☞ ЗДЕСЬ), что половина слагаемых в сумме будет иметь положительный знак, а другая половина — отрицательный.

В разложение определителя пятого порядка входит произведение $ a_<32>a_<54>a_ <21>$ * * . Заполните места, обозначенные * * , и укажите знак произведения.

Входит ли в разложение определителя 7-го порядка произведение $ a_<71>a_<17>a_<26>a_<62>a_<53>a_<35>a_<44>^<> $? Если входит, то с каким знаком?

Пользуясь только определением, вычислить определитель

Теорема. Если $ (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n) $ и $ (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n) $ — произвольные перестановки чисел $ \ < 1,2,\dots,n\>$, то в разложение определителя обязательно встретится слагаемое

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Последний результат дает основание для альтернативного определения определителя — симметричного относительно его строк и столбцов.

Определитель матрицы есть сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, и такому произведению приписывается знак согласно теореме.

Элементарные свойства определителя

Определитель порядка $ n_<> $, как функция своих элементов, является однородным полиномом степени $ n_<> $, этот полином неприводим над любым из множеств $ \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_<> $ или $ \mathbb C_<> $. В разложении определителя всегда присутствует произведение элементов его главной диагонали: $$ a_<11>a_<22>\times \dots \times a_ $$ (со знаком $ +_<> $), оно называется главным членом определителя. Относительно каждого своего элемента $ a_^<> $ определитель будет линейной функцией; о подобной функции иногда говорят как о полилинейной. Теперь изложим свойства определителя как функции элементов его некоторой фиксированной строки (или фиксированного столбца).

1. Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании: $ \det A_<> = \det A^ <\top>$.

2. Определитель матрицы меняет знак при перестановке местами двух строк (столбцов): $$ \det [A_<[1]>,\dots,A_<[j]>,\dots,A_<[k]>,\dots,A_<[n]>]=- \det [A_<[1]>,\dots,A_<[k]>,\dots,A_<[j]>,\dots,A_<[n]>] \, . $$

3. Определитель матрицы равен нулю если она имеет две одинаковые строки (два одинаковых столбца).

4. Общий множитель строки (столбца) матрицы можно вынести за знак определителя: $$ \det [A_<[1]>,\dots,cA_<[j]>,\dots,A_<[n]>]= c\det [A_<[1]>,\dots,A_<[j]>,\dots,A_<[n]>] . $$

5. Сложение двух определителей, различающихся только по одной строке (столбцу), можно производить путем сложения этих строк (столбцов): $$ \det [A_<[1]>,\dots,A_ <[j]>+ \tilde_<[j]>,\dots,A_<[n]>]= $$ $$ =\det [A_<[1]>,\dots,A_<[j]>,\dots,A_<[n]>]+\det [A_<[1]>,\dots,\tilde_<[j]>,\dots,A_<[n]>] . $$

6. Определитель матрицы не меняется если к любой строке прибавить любую другую строку, домноженную на произвольную постоянную. Аналогичное утверждение справедливо для столбцов: $$ \det [A_<[1]>,\dots,A_<[j]>,\dots, A_<[k]>,\dots,A_<[n]>]= \det [A_<[1]>,\dots,A_ <[j]>+ c\cdot A_<[k]>,\dots, A_<[k]>,\dots,A_<[n]>] \ . $$

Доказательства свойств ☞ ЗДЕСЬ.

Миноры и алгебраические дополнения

Определитель $ (n-1)_<> $-го порядка, получающийся вычеркиванием из $$ \det A = \left| \begin a_ <11>& \dots & a_ <1,k-1>& a_ <1k>& a_ <1,k+1>& \dots & a_ <1n>\\ \dots &&&\dots&&& \dots \\ a_ & \dots & a_ & a_ & a_ & \dots & a_ \\ a_ & \dots & a_ & a_ & a_ & \dots & a_ \\ a_ & \dots & a_ & a_ & a_ & \dots & a_ \\ \dots &&&\dots&&& \dots \\ a_ & \dots & a_ & a_ & a_ & \dots & a_ \end \right| $$ $ j_<> $-й строки и $ k_<> $-го столбца называется минором 4) $ (n-1)_<> $-го порядка этого определителя, соответствующим элементу $ a_^<> $. Будем обозначать его $ M_^<> $: $$ M_ = A\left( \begin 1 & 2 & \dots & j-1, & j+1 & \dots & n \\ 1 & 2 & \dots & k-1, & k+1 & \dots & n \end \right) = $$ $$ =\left| \begin a_ <11>& \dots & a_ <1,k-1>& a_ <1,k+1>& \dots & a_ <1n>\\ \dots &&&&& \dots \\ a_ & \dots & a_ & a_ & \dots & a_ \\ a_ & \dots & a_ & a_ & \dots & a_ \\ \dots &&&&& \dots \\ a_ & \dots & a_ & a_ & \dots & a_ \end \right| \ . $$ Величина $$ A_ = (-1)^M_ $$ называется алгебраическим дополнением элемента $ a_^<> $ в $ \det A_<> $.

Пусть $ (\alpha_1,\dots,\alpha_n) $ при $ \alpha_ <1>1 $ строк с номерами $ \alpha_<1>,\alpha_2, \dots,\alpha_k $ и $ k $ столбцов с номерами $ \beta_<1>,\beta_2,\dots ,\beta_ $. Элементы $ a_ <\alpha_<_j>\beta_<_<\ell>>> $, стоящие в этих строках и столбцах, образуют определитель $ k_<> $-го порядка: $$ M= A\left( \begin \alpha_1 & \dots & \alpha_k \\ \beta_1 & \dots & \beta_k \end \right) =\left| \begin a_ <\alpha_1 \beta_1>& \dots & a_ <\alpha_1 \beta_k>\\ \dots & & \dots \\ a_ <\alpha_k \beta_1>& \dots & a_ <\alpha_k \beta_k>\end \right|. $$ Он называется минором порядка k матрицы $ A_<> $.

Главным минором порядка $ k_<> $ квадратной матрицы $ A_<> $ называется определитель $$ A_k=A\left( \begin 1 & \dots & k \\ 1 & \dots & k \end \right)=\left| \begin a_ <11>& a_ <12>& \dots & a_ <1k>\\ a_ <21>& a_ <22>& \dots & a_ <2k>\\ \dots & & & \dots \\ a_ & a_ & \dots & a_ \end \right| $$ т.е. определитель, образованный элементами первых $ k_<> $ строк и первых $ k_<> $ столбцов матрицы.

Теорема. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) определителя на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, справедливы следующие формулы разложения определителя по $ \mathbf j $-й строке (или по элементам $ \mathbf j $-й строки):

$$ \det A = a_A_ + a_A_+ \dots + a_A_ = \sum_<\ell=1>^n a_ A_ $$ и разложения определителя по $ k_<> $-му столбцу: $$ \det A = a_<1k>A_ <1k>+ a_<2k>A_<2k>+ \dots + a_A_ = \sum_<\ell=1>^n a_ <\ell k>A_ <\ell k>$$ для любых $ \ \subset \ <1,2,\dots,n \>$.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Разложение определителя третьего порядка по первому столбцу:

$$ \left| \begin a_ <11>& a_ <12>& a_<13>\\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>\\ a_ <31>& a_ <32>& a_ <33>\end \right| =a_ <11>\left| \begin a_ <22>& a_ <23>\\ a_ <32>& a_ <33>\end \right| — a_ <21>\left| \begin a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <32>& a_ <33>\end \right|+ a_ <31>\left| \begin a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <22>& a_ <23>\end \right| $$ по второму столбцу: $$ =-a_ <12>\left| \begin a_ <21>& a_ <23>\\ a_ <31>& a_ <33>\end \right| + a_ <22>\left| \begin a_ <11>& a_ <13>\\ a_ <31>& a_ <33>\end \right|- a_ <32>\left| \begin a_ <11>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right| = $$ и по третьему столбцу: $$ = a_ <13>\left| \begin a_ <21>& a_ <22>\\ a_ <31>& a_ <32>\end \right| — a_ <23>\left| \begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <31>& a_ <32>\end \right|+ a_ <33>\left| \begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right| . $$

Пример. Вычислить $$ \left| \begin 4&7& 1 &5 \\ 3 & 4 & 0 &-6 \\ -11 & 8 & 2 & 9\\ -12 & -10 &0 & 8 \end \right| , $$ разложив определитель по третьей строке.

Решение. В формуле берем $ j=3 $: $$ -11 (-1)^ <3+1>\left| \begin 7& 1 &5 \\ 4 & 0 &-6 \\ -10 &0 & 8 \end \right| + 8 (-1)^ <3+2>\left| \begin 4& 1 &5 \\ 3 & 0 &-6 \\ -12 & 0 & 8 \end \right| + $$ $$ + 2 (-1)^ <3+3>\left| \begin 4&7& 5 \\ 3 & 4 & -6 \\ -12 & -10 & 8 \end \right| + 9 (-1)^ <3+4>\left| \begin 4&7& 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ -12 & -10 &0 \end \right|= $$ и используем формулу вычисления определителя третьего порядка: $$ =-11\cdot 28 — 8 \cdot 48 + 3 \cdot 314 — 9 \cdot 18 = -226 \ . $$ Заметим, что тот же самый результат можно было бы получить, сэкономив на вычислении определителей третьего порядка, если бы мы разложили исходный определитель по третьему столбцу: $$ 1\cdot \left| \begin 3 & 4 & -6 \\ -11 & 8 & 9\\ -12 & -10 & 8 \end \right| — 0 \cdot (\dots) + 2 \cdot \left| \begin 4&7& 5 \\ 3 & 4 & -6 \\ -12 & -10 & 8 \end \right| — 0 \cdot (\dots) =1 \cdot (-854) + 2 \cdot 314 = -226 \ . $$ Наличие нулевых элементов «облегчает жизнь» вычислителю… ♦

Для этого в нашем распоряжении имеется такое средство, как преобразования строк или столбцов. В самом деле, на основании общего свойства 6 определителя, к любой его строке можно прибавить любую другую строку, домноженную на произвольное число — определитель от этого не изменится; аналогичное свойство справедливо и для столбцов. Но тогда мы можем упомянутые множители подбирать так, чтобы добиться появления как можно большего количества нулей в отдельной строке (или столбце).

Пример. Вычислить

$$ \left| \begin 2 & 2 & 1 & 3 & 4\\ 3 &1 &2 &3 &1\\ 4 & -1 &2 &4 &-2\\ 1 &-1 &1 &1 & 2\\ 4 & -1 & 2 &5 & 6 \end \right| \ . $$

Решение. Будем добиваться появления нулей во втором столбце. С этой целью прибавим вторую строку к третьей, четвертой и пятой, а также вычтем, домножив предварительно на $ 2_<> $, из первой: $$ =\left| \begin -4 & 0 & -3 & -3 & 2\\ 3 &1 &2 &3 &1\\ 7 & 0 &4 &7 &-1\\ 4 & 0 &3 &4 & 3\\ 7 & 0 & 4 &8 & 7 \end \right|= $$ раскладываем по второму столбцу: $$ =\left| \begin -4 & -3 & -3 & 2\\ 7 & 4 &7 &-1\\ 4 & 3 &4 & 3\\ 7 & 4 &8 & 7 \end \right|= $$ и вот уже порядок понизился. Вычитаем из третьего столбца первый: $$ =\left| \begin -4 & -3 & 1 & 2\\ 7 & 4 &0 &-1\\ 4 & 3 &0 & 3\\ 7 & 4 &1 & 7 \end \right|= $$ теперь имеет смысл увеличить число нулевых элементов в третьем столбце — вычитаем из четвертой строки первую: $$ =\left| \begin -4 & -3 & 1 & 2\\ 7 & 4 &0 &-1\\ 4 & 3 &0 & 3\\ 11 & 7 &0 & 5 \end \right|= $$ Раскладываем по третьему столбцу: $$ =\left| \begin 7 & 4 &-1\\ 4 & 3 & 3\\ 11 & 7 & 5 \end \right|= $$ Можно было бы применить теперь формулу разложения определителя третьего порядка, но можно и продолжить упрощения — вычтем из третьей строки первую и вторую: $$ =\left| \begin 7 & 4 &-1\\ 4 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 3 \end \right|= $$ и разложим по третьей строке: $$ =3\left| \begin 7 & 4 \\ 4 & 3 \\ \end \right|=3(21-16)=15 \ . $$ ♦

Систематическое развитие идеи, использованной при решении последнего примера, приводит к основному методу вычисления определителя — методу Гаусса.

Следующий результат имеет исключительно теоретическое значение: используется для доказательства некоторых результатов.

Теорема. Сумма произведений элементов $ j_<> $-го ряда $ \det A $ на алгебраические дополнения элементов $ k_<> $-го ряда равна 0 если $ j\ne k $ и равна $ \det A $ если $ j=k_<> $:

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема Лапласа

Пусть $ (\alpha_1,\dots,\alpha_n) $ при $ \alpha_ <1>вычеркиваются строки и столбцы с указанными номерами, то получившийся определитель $ (n-k)_<> $-го порядка $$ A\left( \begin \alpha_ & \dots & \alpha_n \\ \beta_ & \dots & \beta_n \end \right) $$ называется минором, дополнительным минору $ M_<> $ в $ \det A_<> $. Число $$ \tilde= (-1)^ <\alpha_1 + \dots + \alpha_k + \beta_1 + \dots + \beta_k>A\left( \begin \alpha_ & \dots & \alpha_n \\ \beta_ & \dots & \beta_n \end \right) $$ называется алгебраическим дополнением минора $ M_<> $ в $ \det A_<> $.

Теорема [Лаплас]. Выделим в $ \det A_<> $ произвольные строки с номерами $ \alpha_1 ♦

Имеет место равенство

$$ \left| \begin a_ <11>& \dots & a_ <1k>& 0 & \dots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ & \dots & a_ & 0 & \dots & 0 \\ a_ & \dots & a_ & a_ & \dots & a_ \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ & \dots & a_ & a_ & \dots & a_ \end \right|= $$ $$ =\left| \begin a_ <11>& \dots & a_ <1k>\\ \vdots & & \vdots \\ a_ & \dots & a_ \end \right| \cdot \left| \begin a_ & \dots & a_ \\ \vdots & & \vdots \\ a_ & \dots & a_ \end \right| \, . $$

Пусть $ A_<1>,\dots,A_k $ — квадратные матрицы (не обязательно одинаковых порядков). Тогда

$$ \det \left( \begin A_1 & <\mathbb O>& \dots & <\mathbb O>\\ \ast & A_2 & & <\mathbb O>\\ \vdots & & \ddots & \\ \ast & \ast & \dots & A_k \end \right)= \det A_1 \times \dots \times \det A_k. $$ В частности, определители треугольных матриц $$ \left( \begin a_ <11>& 0 & \dots & 0 \\ \ast & a_ <22>& \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \\ \ast & \ast & \dots & a_ \end \right) \quad u \quad \left( \begin a_ <11>& \ast & \dots & \ast \\ 0 & a_ <22>& \dots & \ast \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & 0 & \dots & a_ \end \right) $$ равны произведению элементов главных диагоналей.

Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель, предварительно преобразовав его:

Ответ. $ 14_<> $.

Биографические заметки о Лапласе ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема Бине — Коши

Задача. Пусть произведение двух матриц дает квадратную $ C_^<>=A_\cdot B_ $. Выразить $ \det C_<> $ через миноры матриц $ A_<> $ и $ B_<> $.

Теорема [Бине, Коши].

Показать, что для квадратных матриц одинакового порядка имеют место равенства

a) $ \det (AB) = \det (BA)_<> $; б) $ \det (A^) = (\det A)^ $.

Биографические заметки о Коши ☞ ЗДЕСЬ.

Методы вычисления определителей

Метод приведения к треугольному виду (метод Гаусса)

Напомним свойство 6 из элементарных свойств определителя : величина определителя не изменится если прибавить к любой его строке любую другую строку, умноженную на произвольную константу. Этот факт можно использовать для того, чтобы «сделать» в определителе побольше элементов равных нулю, т.к. содержащие эти элементы слагаемые выпадут из полного разложения определителя. Еще одно элементарное свойство — свойство 2 , утверждает, что перестановка строк изменит знак определителя, но не изменит его абсолютную величину. Пользуясь этими двумя преобразованиями, можем поставить целью привести определитель к треугольному виду, т.е. к виду $$ \left| \begin a_ <11>& a_ <12>& \ldots& a_ <1,n-1>& a_ <1, n>\\ 0 & a_<22>^ <[1]>& \ldots& a_<2,n-1>^ <[1]>& a_<2, n>^ <[1]>\\ & & \ddots & & \dots \\ 0& 0& \dots & a_^ <[n-2]>&a_^ <[n-2]>\\ 0& 0 & \dots & 0 & a_^ <[n-1]>\end \right| \ . $$ Тогда, на основании следствия к теореме Лапласа, величина исходного определителя с точностью до знака будет совпадать с произведением диагональных элементов: $$ \det A = a_ <11>a_<22>^ <[1]>\times \dots \times a_^ <[n-2]>a_^ <[n-1]>\ . $$ Формализовать приведение определителя к треугольному виду возможно с помощью используюшегося при решении систем линейных уравнений метода Гаусса. Так, первый шаг преобразования определителя $$ \left| \begin a_ <11>& a_ <12>& a_ <13>& \dots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>& \dots & a_ <2n>\\ a_ <31>& a_ <32>& a_ <33>& \dots & a_ <3n>\\ \vdots & & & & \vdots \\ a_ & a_ & a_ & \dots & a_ \end \right| $$ будет состоять в «обнулении» элементов первого столбца: из второй строки вычитается первая, домноженная на $ (-a_<21>/a_<11>) $, из третьей строки — первая, домноженная на $ (-a_<31>/a_<11>) $ и т.д. Все эти операции не изменяют величины определителя, но преобразуют его к виду $$ \left| \begin a_ <11>& a_ <12>& a_ <13>& \dots & a_ <1n>\\ 0 & a_ <22>— a_<12>a_<21>/a_ <11>& a_<23>— a_<13>a_<21>/a_ <11>& \dots & a_ <2n>-a_<1n>a_<21>/a_ <11>\\ 0 & a_ <32>— a_<12>a_<31>/a_ <11>& a_ <33>— a_<13>a_<31>/a_ <11>& \dots & a_ <3n>— a_<1n>a_<31>/a_ <11>\\ \vdots & & & & \vdots \\ 0 & a_ — a_<12>a_/a_ <11>& a_ — a_<13>a_/a_ <11>& \dots & a_ — a_<1n>a_/a_ <11>\end \right| $$ (при условии $ a_ <11>\ne 0 $). Теперь можно разложить по первому столбцу и свести задачу к вычислению определителя порядка $ n-1 $.

Пример. Вычислить

$$ \left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 4 & 2 & 4 & 1 & 3\\ 2 & 7 & 1 & 3 & 2\\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2\\ 1 & 2 & 3 & 2 & 2 \end \right| $$ методом Гаусса.

Решение. Вычитаем первую строку, умноженную на соответствующие числа, из остальных строк, добиваясь появления нулей в первом столбце: $$ =\left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1\\ 0 & 6 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 3\\ 0 & \frac<3> <2>& \frac<3> <2>& 0 & \frac<3> <2>\end \right| = $$ Выносим общий множитель элементов последней строки: $$ = \frac<3> <2>\left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1\\ 0 & 6 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 2 & 1 & 3 & 3\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end \right| = $$ Поскольку элемент, стоящий во второй строке и втором столбце нулевой, то поменяем местами вторую и пятую строки, при этом знак определителя изменится: $$ = -\frac<3> <2>\left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 6 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 2 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1\\ \end \right| = $$ Теперь с помощью второй строки обращаем в нуль элементы второго столбца: $$ = -\frac<3> <2>\left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -8 & -1 & -5\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1\\ \end \right| = $$ Чтобы избежать появления дробных элементов, поменяем местами третью и четвертую строки, определитель при этом снова поменяет знак: $$ = \frac<3> <2>\left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -8 & -1 & -5\\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1 \end \right| = \frac<3> <2>\left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -25 & -13\\ 0 & 0 & 0 & -13 & -1 \end \right|= $$ $$ =\frac<3> <2>\left| \begin 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -25 & -13\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac<\scriptstyle 144> <\scriptstyle 25>\end \right|= $$ $$ =\frac<3><2>\cdot 2\cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-25) \cdot \frac<144><25>=432. $$ ♦

Вычислить $ \det \left[ \min(i,j) \right]_^ $.

Источник