Определитель его свойства способы вычисления

Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .

|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

• правило треугольника;
• правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1

d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

• дописать слева от определителя два первых столбца;
• перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
• перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 2 ) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × ( — 2 ) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × ( — 1 ) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

• разложением по элементам строки;
• разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Разложение матрицы по элементам строки:

d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n

Разложение матрицы по элементам столбца:

d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0

• раскладываем по 2-ой строке:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0

• раскладываем по 4-му столбцу:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1

Свойства определителя

• если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
• если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
• определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

Пример 6

А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5

d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10

Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.

Источник

Предмет:” Элементы высшей математики Т.З. Лекция № 4 ”Тема« Определители Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей Способы вычисления определителей

Отделение , группа ___

Семестр ___3___, курс__2 ____ Преподаватель Пластун СВ

Предмет:” Элементы высшей математики Т.З. Лекция № 4 ” Тема« Определители Определитель квадратной матрицы.

Свойства определителей Способы вычисления определителей.»

1. Определитель квадратной матрицы.

Всякой квадратной матрице можно поставить в соответствие действительное число, называемое определителем или детерминантом этой матрицы.
Для определителя матрицы A применяются различные обозначения. Укажем наиболее употребимые: detA, D , или развернутое, указывающее на связь с данной матрицей

. (1)
Прямые скобки, заменяющие круглые (матричные), указывают на то, что имеется в виду именно определитель матрицы, т.е. единственное число, а не сама матрица A.

Рассмотрим определитель 2-го порядка .
Чтобы найти значение этого определителя надо перемножить элементы главной диагонали и отнять от полученного числа произведение элементов побочной диагонали, т.е. . (2)

Например, определитель

Определитель 3-го порядка вычисляется по формуле
. (3)
Например, .

Для того чтобы определить правило вычисления определителей порядка выше, чем 3, введем сначала некоторые новые объекты.
Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

. (4)

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:

, (5)

где индексы q₁, q₂. q_n составляют некоторую перестановку из чисел
1, 2. n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1) q, где q — число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4), называется алгебраическая сумма n! членов вида .

2. Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a_{i j} = b_j + c_j (j=), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, — такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом — из элементов c_j.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

3. Способы вычисления определителей.

Минором M_{i j} элемента a_{i j} определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a_{i j} определителя d называется его минор M_{i j}, взятый со знаком (-1) i + j . Алгебраическое дополнение элемента a_{i j} будем обозначать A_{i j}. Таким образом, A_{i j} = (-1) i + j M_{i j}. (6)

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a _{i 1} A _{i 1} + a _{i 2} A _{i 2} +. + a _{i n} A _{i n} (i = ) (7)

или j- го столбца

d = a _{1 j} A _{1 j} + a _{2 j} A _{2 j} +. + a_{n j} A_{n j} (j = ). (7а)

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Пример 1. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.

Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель , равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.

Пример 2. Вычислить определитель D = , разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

= .

Пример 3 . Вычислить определитель

A = ,

в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны

Решение. Разложим определитель А по первой строке:

A = a₁₁ A₁₁ = .

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:

A = .

И так далее. После n шагов придем к равенству A = а₁₁ а_22... a_nn.

Пример 4. Вычислить определитель .

Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: , равный исходному.

Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.

Источник

Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей

Определители

Понятие определителя

Любой квадратной матрице n-го порядка можно поставить в соответствие число, которое называется определителем (детерминантом) матрицы A и обозначается так: , или , или det A.

Определителем матрицы первого порядка , или определителем первого порядка, называется элемент

Определитель второго порядка (определитель матрицы второго порядка) вычисляется следующим образом:

Рис. Схема вычисления определителя второго порядка

Таким образом, определитель второго порядка есть сумма 2=2! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение 2-х сомножителей – элементов матрицы A, по одному из каждой строки и каждого столбца. Одно из слагаемых берется со знаком «+», другое – со знаком «-».

Найти определитель

Определитель третьего порядка (определитель квадратной матрицы третьего порядка) задается равенством:

.

Таким образом, определитель третьего порядка есть сумма 6=3! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение 3-х сомножителей – элементов матрицы A, по одному из каждой строки и каждого столбца. Одна половина слагаемых берется со знаком «+», другая – со знаком «-».

Основным методом вычисления определителя третьего порядка является так называемое правило «треугольников» (правило Саррюса): первое из трех слагаемых, входящих в сумму со знаком «+», есть произведение элементов главной диагонали, второе и третье – произведения элементов, находящихся в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; три слагаемых, входящих в сумму со знаком «-», определяются аналогично, но относительно второй (побочной) диагонали. Ниже представлены 2 схемы вычисления определителей третьего порядка

б)

Рис. Схемы вычисления определителей 3 порядка

Определитель квадратной матрицы n-го порядка (n 4) вычисляется с использованием свойств определителей.

Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей

Определители матриц имеют следующие основные свойства:

1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

2. Если в определителе поменять местами две строки (или столбца), то определитель поменяет знак.

3. Определитель с двумя пропорциональными (в частности, равными) строками (столбцами) равен нулю.

4. Если в определителе строка (столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

5. Общий множитель у элементов какой-либо строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

6. Определитель не изменится, если ко всем элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.

7. Определитель диагональной и треугольной (верхней и нижней) матриц равен произведению диагональных элементов.

8. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.

Источник